Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa
|
|
|
- Marjatta Hiltunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa Optimointiopin seminaari, Jaakko Ollila. Parannusehdotus 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä 1 -$ 0 Tavallinen päätöspuu Aika Laskut antavat yhden luvun olettaen, että päätös on tehtävä nyt tai ei koskaan. Investointiin sisältyvä riski mallinnetaan nettonykyarvomenetelmällä (CAPM) Sopeutuminen uuteen on informaatioon ongelmallista.. Parannusehdotus - 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä Epävarmuusrakenteet yksinkertaistuvat, aikadynamiikka unohtuu, eikä riskin muuttumista projektin edistyessä huomioida oikein FIM Yhden periodin investointipäätös Uusi projekti 180 FIM -0 FIM Olemassa oleva, markkinahinnoiteltu projekti 60 FIM NPV=-104+(90+30)/1.0=-4 0=(18+6)/(R) => R=0% Päätöspuu-/NPV-menetelmä kiteyttää projektin riskin diskonttokorkoon, joka on vakio. 1.8*0 FIM =36FIM 0.6*0 FIM =1FIM 5 Mitä jos investointipäätöstä voikin lykätä periodilla eteenpäin -104 FIM Uusi projekti Go Lykkää NPV=-4FIM No-Go NPV=0 NPV= Arvon muutos periodin aikana: Max[ *1.08, 0] FIM = FIM Max[60-104*1.08, 0] FIM = 0 FIM Virheellinen päätöspuumetodiikka: NPV=(0.5* *0)/1.0=8.0 FIM Traditionaaliset laskentamenetelmät eivät arvota oikein assetteja, eli johdannaisia, joiden arvo riippuu toisista asseteista. 6 1
2 Vaihtoehtoinen hinnoittelumenetelmä investointioptiolle: Replikoivan portfolion tuotto epävarmuuden lauetessa: Muodostetaan tuotoiltaan replikoiva portfolio olemassa olevista, hinnoitelluista asseteista: x*36fim - (R)*y = FIM x*1fim - (R)*y = 0 FIM, missä x on vertailukelpoisen assetin määrä, y on riskitön assetti ja R on riskitön korko. Nyt x=.8 ja y=31.33 FIM.8*0FIM FIM =5.07 FIM.8*36FIM- 1.08*31.33FIM =67.68 FIM.8*1FIM- 1.08*31.33FIM =0FIM Perusoletus pysyy muuttumattomana: on löydettävä riskiprofiililtaan vertailukelpoinen assetti, jolla on markkinahinta, ja joka on ostettavissa 7 Täydellisillä markkinoilla, ei-arbitraasiehdon vallitessa investointioption arvo on sama, = 5.07 FIM, kuin replikoivan portfolion arvo hetkellä nolla. 8 Koko odotusoption arvo on 5.07FIM-(-4FIM)=9.07FIM Huom. Yleisesti ottaen päätöspuumenetelmä aliarvioi pitkän aikavälin investointien arvon, koska se ei ota huomioon reaalioptioiden tuomaa arvonlisäystä = (0.5*67.68FIM+0.5*0FIM)/(r) <=> r = 16.4% Aina, kun investointipäätöksiin sisältyy reaalioptioita, riskin käsittely vaikeutuu ja tavallinen päätöspuumalli sisältää harhaa. 9 Yleistys jatkuva-aikaiseen tapaukseen Edellinen malli oli harvinaisen stilisoitu (yksi periodi, yksi epävarmuuden lähde, jolla vain kaksi mahdollista reaalisaatiota) Todellisuudessa mahdollisia päätöksentekopisteitä on useita. Myös epävarmuuksia on erilaisia (korkotaso, tekninen onnistuminen, taloudellinen onnistuminen,...), ja ne muuttuvat jatkuvasti Teoreettisesti käyttökelpoinen malli saadaan, kun mallinnetaan epävarmuudet jatkuvina, stokastisina prosesseina 10. Parannusehdotus - 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (1) Hyödyllinen apuväline: Iton lemma Oletetaan, että epävarmuus muuttu ajassa seuraavan prosessin mukaisesti dx ( = a( dt + b( dz, missä dz kuvaa Wiener -prosessia. Oletetaan edelleen, että y(=. Tällöin: F F 1 F F dy( = ( a+ + b ) dt+ bdz x t x x 11 1
3 Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä () Oletetaan nyt, että assetin (esim. projekti) arvoa voidaan kuvata seuraavalla prosessilla: dx = α xdt + σ xdz Muodostetaan jälleen replikoiva portfolio ostamalla vertailukelpoista assettia ja riskitöntä assettia Nyt replikoiva portfolio tuottaa kutakin sijoitettua FIMiä kohden r + n( α + δ ) x δ nx dt + dz nx nx Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (3) Oletetaan, että option arvoa kuvataan funktiolla. Iton lemman avulla arvon muutos voidaan kirjoittaa muotoon 1 Ft ( + αxfx ( + δ x Fxx( δ xfx ( d = dt+ dz. Jotta tuotot kummastakin assetista olisivat identtiset, vaaditaan δ nx δ xf x ( t ) = nx F ( t ) Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (4) Ei-arbitraasiehdon nojalla voidaan puolestaan vaatia 1 Ft ( + αxfx ( + δ x Fxx( r+ n( α+ δ ) x =. nx Kahdesta edellisestä yhtälöstä sijoittamalla saadaan alla oleva osittaisdifferentiaaliyhtälö option arvolle. Option ominaisuudet luodaan kiinnittämällä sopivat reunaehdot. 1 δ x F xx ( + ( r δ ) xf ( + F ( r = 0 x 15 t Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (5) Edellä johdettu on itse asiassa Black-Scholes -kaava finanssioption arvolle Samaan tulokseen päädytään stokastisen dynaamisen ohjelmoinnin kautta Vain harvat todellisuuden probleemat ratkeavat analyyttisesti Käytännön ongelmana on vaadittu korkeamman matematiikan taito Useat epävarmuuslähteet ja erimuotoiset prosessit voivat muuttaa tuloksia ratkaisevasti Oleellista on paikallistaa tärkein epävarmuus ja muodostaa ymmärrettävä malli. 16. Parannusehdotus 3. Esimerkki 1: 1: alkuperäislääkkeen tuotekehitys 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä 17 Selkeästi jaksottuneet investointipäätökset Erittäin pitkä kokonaisaika Suuret kustannukset Alkuperäislääkkeen tuotekehitys Phase III Discovery& 0.01% Phase I Preclinical % 47% Phase IIII Breakthrough Above Average Average Below Average 18 60% Market Launch 60% Dog AIKA/ VUOTTA 3
4 Reaalioptiomallin mukaan aiempaa enemmän tuotekehitysprojekteja aloitetaan, mutta vastaavasti aiempaa enemmän niitä myös lopetetaan Alkuperäislääkkeen tuotekehitys Päätöksentekijöillä on joustavuutta ohjata projektia optimaaliseen suuntaan kussakin päätöksentekopisteessä. Pitkä aikahorisontti tuo paljon uutta, projektin päätöksenteon kannalta merkityksellistä tietoa. Kasvuoptiot ja pysäytysoptio lisäävät investoinnin arvoa etenkin alkuvaiheen päätöksenteossa. Mittavien kumulatiivisten kustannusten vuoksi, väärien projektien valinta voi aiheuttaa suuret tappiot. 19. Parannusehdotus 4. Esimerkki : : hystereesis investointipäätöksissä 0 Hystereesis investointipäätöksissä Hystereesis investointipäätöksissä AIKA Arvioitu projektin rahallinen arvo Nettonykyarvo Lykkäysoption arvo Pysäytysoption arvo Investointioptioiden tiedostaminen aiheuttaa inertian kohti status quoa. GO STOP 1 Ilmiö on yleinen sekä taloudellisissa että eitaloudellisissa investointipäätöksissä. Hyvä esimerkki on lääketeollisuus, jossa tuotekehitysprojekteista tulee helposti tavarajunia. Äärimmäisissä tapauksissa epävarmuuden volatiliteetti voi vaikuttaa päätöksiin enemmän kuin epävarmuuden absoluuttinen taso. (esim. yleinen korkotaso) Mitä suurempi epävarmuus ja mitä suuremmat uponneet kustannukset, sitä suurempi on investointioptioiden arvo ja sitä voimakkaampi on taipumus pysyä status quossa.. Parannusehdotus 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä 3 Päätöspuun soveltamista vaikeuttavia tekijöitä Investoinnin ajoitus ja aikahorisontti Suuri epävarmuus investoinnin arvossa Uponneiden kustannusten suuruus Joustavuus päätöksenteossa Pitkä aikahorisontti, jatkuva epävarmuusrakenne sekä jaksottaiset päätökset luovat investointipäätökseen tekijötä, joiden arvoa ei voida kuvata oikein tavanomaisella päätöspuulla. 4 4
5 Pohdintaa Optiohinnoittelumalli on markkinalähtöinen: olemassa olevia markkinahinnat määrittäävät uuden assetin arvon Ongelmana on kuitenkin löytää parametreille oikeat arvot Tosielämän päätöksenteossa rahallinen arvo ei ole ainoa päätöksentekokriteeri Suhde Dempster-Schafer ajatteluun Kotitehtävä 1. Muodosta investointioption arvo diskreetin parannusehdotuksen lukuarvoilla käyttäen riskineutraalia menetelmää. (Vihje: kuvittele itsesi maailmaan, jossa kaikki sijoituspäätökset ovat riskittömiä. Tällöin diskonttokoron muodostaa pelkkä rahan aika-arvo, eli riskitön korko R=8%. Koko sijoituksen riski sisällytetään tulevaisuuden kassavirtoihin riskineutraalien todennäköisyyksien avulla, jotka muuttavat epävarmat tuotot varmoiksi riskittömässä maailmassa. Riskineutraalit todennäköisyydet saat laskettua markkinahinnoitellusta projektista kalvolla 5. Kysessä ovat siis ne todennäköisyydet, joilla mikä tahansa markkinahinnoiteltu investointi on täysin riskitön.) Tässäkin mallinnusmetodiikassa on omat heikkoutensa
Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus
Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Ratkaisu optiohinnoitteluteorian avulla Esitelmä - Eeva Nyberg Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Tähän asti opittua NP:n rajoitteet vaikka NP negatiivinen
OPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS
OPTIMAALINEN INESTOINTIPÄÄTÖS Keskiarvoon palautuvalle prosessille ja Poissonin hyppyprosessille Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1 I. KESKIAROON PALAUTUA PROSESSI Investoinnin kohde-etuuden arvo
Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio
Johdannaisanalyysi Contingent Claims Analysis Juha Leino 11.10.2000 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Oletukset Yritys tuottaa tuotetta, jonka hinta on x x noudattaa geometrista Brownin liikettä
Projektin arvon määritys
Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin
Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen
Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Ajoituksen ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Esitelmän sisältö Investoinnin ajoitusongelman esittely Ongelman
Referaatti Jaakko Ollila 46016V
PÄÄTÖSPUUT PITKÄN AIKAVÄLIN INVESTOINTILASKELMISSA Referaatti Jaakko Ollila 46016V Syksy 1999 Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa, referaatti 2 Päätöspuiden ongelmakohtia pitkän aikavälin
Lisää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti
isää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy isää satunnaisuutta Tähän mennessä on käytetty vain yhtä satunnaismuuttujaa tuotteen
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla
Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien
Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio
Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx
Investointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen
Investointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen Optimaalisen investointistrategian ominaispiirteitä eli parametrien vaikutus ratkaisuun Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Optimointiopin seminaari
Projektin arvon aleneminen
Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen
Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi
Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
Investointistrategioista kilpailluilla markkinoilla
Investointistrategioista kilpailluilla markkinoilla Tuomas Pyykkönen 29.11.2000 (esitys kirjasta: Investment under Uncertainty; Dixit, Pindyck (1994); ss. 247-260) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000
TU-C1030 Luento JK
Perusmuodossaan investointilaskelmasta tehtävä NPV:n selvittäminen on kuvattu seuraavalla kaavalla: = + (1 + ) Kaikki investointipäätökset eivät kuitenkaan ole näin suoraviivaisia kertapäätöksiä, jossa
r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P
Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen
Projektin keskeyttäminen, uudelleen käynnistäminen ja hylkääminen
Projektin keskeyttäminen, uudelleen käynnistäminen ja hylkääminen Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1 Mallin laajennus Toiminta voidaan väliaikaisesti keskeyttää ja käynnistää uudelleen Keskeyttämisestä
Jatkuvan ajan dynaaminen optimointi
Jatkuvan ajan dynaaminen optimointi Diskreetistä ajasta jatkuvaan Ito prosessit Optimaalinen pysäytys Poisson prosessit Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Jatkuvan ajan dynaaminen π(x,u,t) tuottovirta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu
Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on
Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy
Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika
Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =
Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Black ja Scholes ilman Gaussia
Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
![[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.](/thumbs/61/45563797.jpg "[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.")
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa
Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.
Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka
Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable)
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Moraalinen uhkapeli: laajennuksia ja sovelluksia
Moraalinen uhkapeli: laajennuksia ja sovelluksia Sisältö Kysymysten asettelu Monen tehtävän malli Sovellusesimerkki: Vakuutus Sovellusesimerkki: Palkkion määrääminen Johtajan palkitseminen Moraalisen uhkapelin
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.3.07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.
Investoinnin takaisinmaksuaika
Investoinnin takaisinmaksuaika Takaisinmaksuaika on aika, jona investointi maksaa hintansa takaisin eli nettotuottoja kertyy perushankintamenon verran Investointi voidaan tehdä, jos takaisinmaksuaika
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
![= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja](/thumbs/61/46167685.jpg "= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja")
44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan
Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2
![ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2](/thumbs/65/53919158.jpg "ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2")
Moniperiodisten investointitehtäviä tarkasteltaessa sijoituskohteiden hintojen kehitystä mallinnetaan diskeetteinä (binomihilat) tai jatkuvina (Itô-prosessit) prosesseina. Sijoituskohteen hinta hetkellä
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
, tuottoprosentti r = X 1 X 0
Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen
Black-Scholes-optiohinnoittelumalli
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN,
Riski ja velkaantuminen
Riski ja velkaantuminen TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 28.1.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS YRITYKSEN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta (FCF) 2. Rahavirtojen
Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä
Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia
Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000
OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
INVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU. Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous)
INVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous) 25.5.2007 Mitä tietoja laskentaan tarvitaan Investoinnista aiheutuneet investointikustannukset Investoinnin pitoaika Investoinnin
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat
Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat Tommi Sottinen, Helsingin yliopisto Yhteistyössä C. Bender, TU Braunschweig E. Valkeila, Teknillinen korkeakoulu 10. lokakuuta 2006
V ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Sovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
Tehtävä 1: Maakunta-arkisto
Tehtävä 1: Maakunta-arkisto Maakunta-arkisto aikoo ostaa uuden laitteen avustamaan ja nopeuttamaan henkilöstönsä työskentelyä. Laitteen hinta on 36 000 ja sen arvioitu taloudellinen pitoaika on 5 vuotta.
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi Kalastuksen taloustiede
YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi alastuksen taloustiede Marko Lindroos Luentoteemat I Johdanto II SchäferGordon malli III Säätely IV ansainväliset kalastussopimukset SchäferGordon malli Gordon
Dynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
Koron käyttö ja merkitys metsän
Koron käyttö ja merkitys metsän käyvän arvon laskennassa Taksaattoriklubin kevätseminaari 9.4.2019 Henrik Nieminen Talous- ja rahoitusjohtaja Liikevaihto 113 milj. Tase 1,6 mrd 2 METSÄN KÄYVÄN ARVON MÄÄRITTÄMINEN
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Tehtävä 1: Maakunta-arkisto
Tehtävä 1: Maakunta-arkisto Maakunta-arkisto aikoo ostaa uuden laitteen avustamaan ja nopeuttamaan henkilöstönsä työskentelyä. Laitteen hinta on 36 000 ja sen arvioitu taloudellinen pitoaika on 5 vuotta.
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Matematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
Päätöksentekomenetelmät
L u e n t o Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Päätösongelmia löytyy joka paikasta Päästökauppa:
a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun
Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
Päätöksentekomenetelmät
L u e n t o Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Johdanto päätöksentekoon Päätösongelmia löytyy
12. Korkojohdannaiset
2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
MAT INVESTOINTITEORIA. (5 op) Kevät Ville Brummer / Pekka Mild / Ahti Salo
MAT - 2.114 INVESTOINTITEORIA (5 op) Kevät 2008 Ville Brummer / Pekka Mild / Ahti Salo 1 Opintojakson sisältö Taustaa Kattaa matemaattisen investointiteorian perusteet: Teemoja sivuttu osin muilla Mat-2
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Mat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)
8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita