JATKUVAT FUNKTIOT
JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna
JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Jatkuvalla funktiolla on raja-arvo jokaisessa pisteessä ja tämä raja-arvo on sama kuin funktion arvo ko. pisteessä.
JATKUVUUS Määritelmä Funktio f on jatkuva kohdassa x = x 0 jos raja-arvo ( ) lim f x x x 0 on olemassa ja ( ) ( lim f x = f x ). x x 0 0 Epäjatkuva funktio Jos f ei ole jatkuva kohdassa x0, se on epäjatkuva.
JATKUVUUS Määritelmä Funktio f on vasemmalta jatkuva kohdassa x = x 0 jos ( ) raja-arvo lim f x x x on olemassa 0 ja Vasemmalta jatkuva funktio lim x x 0 ( ) = f x 0 f x ( ).
JATKUVUUS Määritelmä Funktio f on oikealta jatkuva kohdassa x = x 0 jos raja-arvo lim x x 0 + ( ) f x Ei oikealta on olemassa ja jatkuva funktio lim x x 0 + ( ) = f x 0 f x ( ).
JATKUVUUS Määritelmä Funktio f on jatkuva avoimella välillä jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a,b] jos se on jatkuva avoimella välillä (a,b), ja vasemmalta jatkuva kohdassa b sekä oikealta jatkuva kohdassa a.
VÄLIARVOLAUSE f g a c b d Jos funktio f on jatkuva jollain välillä, niin f saa minkä tahansa arvon sen eri arvojen väliltä.
VÄLIARVOLAUSE f g a c b d Jos f(a) < 0, f(b) > 0 ja f on jatkuva, niin yhtälöllä f(x) = 0 on ratkaisu. Tässä g(c) < 0 ja g(d) > 0. g on epäjatkuva ja yhtälöllä g(x) = 0 ei ole ratkaisuja.
ESIMERKKEJÄ 1 f(x) = x 3 x on jatkuva kaikkialla. Polynomi-, rationaali- ja trigonometriset funktiot sekä näiden käänteisfunktiot ovat jatkuvia pisteissä, joissa ne saavat äärellisiä arvoja.
ESIMERKKEJÄ 2 ( ) = g x x x, x 0 0, x = 0 on epäjatkuva kohdassa x = 0.
ESIMERKKEJÄ 3 h(x) = sin(x)/x on määritelty ja jatkuva kun x 0. Asettamalla h(0) = 1, funktio h voidaan laajentaa jatkuvaksi funktioksi joka on määritelty kaikilla x.
JATKUVIA FUNKTIOITA KOSKEVIA SÄÄNTÖJÄ Oletetaan, että funktiot f ja g ovat jatkuvia kohdassa x = x 0. Olkoon c R. Seuraavat funktiot ovat jatkuvia kohdassa x = x 0. 1 f(x) + g(x) 2 cf(x) 3 f(x) g(x) 4 f(x)/g(x) jos g(x 0 ) 0
JATKUVIA FUNKTIOITA KOSKEVIA SÄÄNTÖJÄ Lause Jos f on jatkuva kohdassa x = a, ja g on jatkuva kohdassa f(a), niin yhdistetty funktio g f on jatkuva kohdassa x = a.
JATKUVAT FUNKTIOT Seuraavat funktiot ovat jatkuvia niissä pisteissä, joissa ne saavat äärellisiä arvoja. 1 Polynomit. 2 Rationaalifunktiot (eli polynomien osamäärät). 3 Ylläolevien käänteisfunktiot.
JATKUVAT FUNKTIOT Seuraavat funktiot ovat jatkuvia niissä pisteissä, joissa ne saavat äärellisiä arvoja. 4 Potenssifunktiot x r, r R. 5 Eksponenttifunktiot a x, a > 0. 6 Trigonometriset funktiot. 7 Ylläolevien käänteisfunktiot.
ESIMERKKEJÄ Tehtävä Onko seuraava funktio jatkuva? ( ) = f x 1 + sin x 2 ( ) 1 x 2. Ratkaisu 1 Koska x 2 ja sinifunktio ovat jatkuvia, niiden yhdistetty funktio sin( x 2 ) on jatkuva.
ESIMERKKEJÄ Tehtävä Onko seuraava funktio jatkuva? ( ) = f x 1 + sin x 2 ( ) 1 x 2. Ratkaisu 2 Koska 1 + sin( x 2 ) 0, 1 + sin x 2 on määritelty ja jatkuva kaikilla x. ( ) 1
ESIMERKKEJÄ Tehtävä Onko seuraava funktio jatkuva? ( ) = f x 1 + sin x 2 ( ) 1 x 2. Ratkaisu 3 Koska x 2 = 0 kun x = 0, f on määritelty ja jatkuva kaikilla x 0.
ESIMERKKEJÄ Tehtävä Onko seuraava funktio jatkuva? ( ) = f x 1 + sin x 2 ( ) 1 x 2. on määritelty ja jatkuva kaikilla x, x 0. Onko mahdollista määritellä f(0) niin, että f olisi jatkuva myös kohdassa x = 0?
ESIMERKKEJÄ Ratkaisu Lasketaan raja-arvo lim x 0 1 + sin x 2 ( ) 1 x 2. = 1 + sin( x 2 ) 1 = x 2 ( 1 + sin( x 2 )) 1 x 2 1 + sin x 2 ( ) + 1 1 + sin x 2 = ( ) 1 x 2 1 + sin x 2 sin x 2 x 2 1 + sin x 2 1 + sin x 2 ( ) + 1 ( ) ( ) + 1 ( ) + 1 1 2. x 0
Johtopäätös ESIMERKKEJÄ lim x 0 ( ) = lim f x x 0 1 + sin x 2 ( ) 1 x 2 = 1 2. Joten asettamalla f(0) = ½ funktiosta f tulee jatkuva myös kohdassa x = 0.
VÄLIARVOLAUSE f g a c b d Jos funktio f on jatkuva jollain välillä, niin f saa minkä tahansa arvon sen eri arvojen väliltä.