Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
|
|
|
- Ari-Pekka Laine
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen
2 Jatkuvuuden avulla voimme määritellä käsitteen derivaatta. Määritelmä (Funktion differentioituvuus pisteessä) Funktio f (x) on differentioituva määrittelyalueensa sisäpisteessä x 0 jos erotusosamäärän f (x) f (x 0 ) x x 0, x x 0 raja arvo on olemassa, kun x x 0. Tällöin sanotaan, että kyseinen raja arvo on funktion f (x) derivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Usein merkitään x = x 0 + h, jolloin derivaatan määritelmä saa muodon f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h
3 Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio.
4 Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n = f (3) ja
5 Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n Jos erityisesti f (x) on jatkuva, sanotaan, että f (x) on jatkuvasti derivoituva/differentioituva. = f (3) ja
6 Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n Jos erityisesti f (x) on jatkuva, sanotaan, että f (x) on jatkuvasti derivoituva/differentioituva. = f (3) ja Johdetaan malliksi derivoimissääntö D(x 3 ) = 3x 2 (liitutaululla)
7 Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n Jos erityisesti f (x) on jatkuva, sanotaan, että f (x) on jatkuvasti derivoituva/differentioituva. = f (3) ja Johdetaan malliksi derivoimissääntö D(x 3 ) = 3x 2 (liitutaululla) Oletetaan tunnetuksi lukiosta tutut derivoimiskaavat, jotka kohta kerrataan. Tarkastellaan ensin derivaatan geometrista merkitystä. [Erillinen Maple animaatio]
8 Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0.
9 Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0. Esimerkiksi funktion f (x) = 1 2 x 2 + 3x + 2 tangenttisuora pisteessä x = 0 on T (x) = 3x + 2 [todistus liitutaululla]
10 Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0. Esimerkiksi funktion f (x) = 1 2 x 2 + 3x + 2 tangenttisuora pisteessä x = 0 on T (x) = 3x + 2 [todistus liitutaululla] Harjoitustehtävänä on osoittaa, että tanttisuoran yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon T (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ).
11 Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0. Esimerkiksi funktion f (x) = 1 2 x 2 + 3x + 2 tangenttisuora pisteessä x = 0 on T (x) = 3x + 2 [todistus liitutaululla] Harjoitustehtävänä on osoittaa, että tanttisuoran yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon T (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Osoittaaksemme, että funktion differentioituvuudesta seuraa funktion jatkuvuus, tarvitsemme seuraavaa Teoreema Jos f (x) on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on muotoa f (x) = f (x 0 ) + [f (x 0 ) + E(x)](x x 0 ) ; lim x x0 E(x) = E(x 0 ) = 0
12 Edellisestä teoreemasta seuraa, että lim x x0 f (x) = f (x 0 ), joten Teoreema Jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on myös jatkuva pisteessä x 0
13 Edellisestä teoreemasta seuraa, että lim x x0 f (x) = f (x 0 ), joten Teoreema Jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on myös jatkuva pisteessä x 0 Käänteinen tulos ei yleisesti päde, esimerkkinä funktio f (x) = x pisteessä x 0 = 0 [liitutaululla].
14 Edellisestä teoreemasta seuraa, että lim x x0 f (x) = f (x 0 ), joten Teoreema Jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on myös jatkuva pisteessä x 0 Käänteinen tulos ei yleisesti päde, esimerkkinä funktio f (x) = x pisteessä x 0 = 0 [liitutaululla]. Teoreema (Derivoimiskaavoja) Jos f ja g ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin myös f + g, f g, fg ja f g ovat differentioituvia pisteessä x 0, ja niille on voimassa derivoimissäännöt (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ) f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2 edellyttäen, että g (x 0 ) 0.
15 Todistetaan liitutaululla malliksi kaava D(fg) = f g + fg. Kaava on laskuharjoitus. f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2
16 Todistetaan liitutaululla malliksi kaava D(fg) = f g + fg. Kaava f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2 on laskuharjoitus. Oletamme nämä derivoimissäännöt lukiosta tunnetuksi, samoin kuin seuraavan, ilman todistusta esitettävän Teoreema (Derivoinnin ketjusääntö) Jos g ovat differentioituvia pisteessä x 0 ja f ovat differentioituvia pisteessä g(x 0 ), niin yhdistetty funktion fog(x) on differentioituvia pisteessä x 0, ja sille on voimassa derivoimissääntö (fog) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 )
17 Todistetaan liitutaululla malliksi kaava D(fg) = f g + fg. Kaava f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2 on laskuharjoitus. Oletamme nämä derivoimissäännöt lukiosta tunnetuksi, samoin kuin seuraavan, ilman todistusta esitettävän Teoreema (Derivoinnin ketjusääntö) Jos g ovat differentioituvia pisteessä x 0 ja f ovat differentioituvia pisteessä g(x 0 ), niin yhdistetty funktion fog(x) on differentioituvia pisteessä x 0, ja sille on voimassa derivoimissääntö (fog) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) Lasketaan liitutaululla esimerkkinä (fog) (x), kun f (x) = sin(x) ja g(x) = 1 x.
18 Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke:
19 Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x.
20 Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1.
21 Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1. Siis g (f (x 0 )) = 1 f (x 0 )
22 Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1. Siis g (f (x 0 )) = 1 f (x 0 ) Lasketaan liitutaululla esimerkkinä funktion f (x) = x 3 + 3x + 2 käänteisfunktion derivaatan arvo argumentin arvolla 2.
23 Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1. Siis g (f (x 0 )) = 1 f (x 0 ) Lasketaan liitutaululla esimerkkinä funktion f (x) = x 3 + 3x + 2 käänteisfunktion derivaatan arvo argumentin arvolla 2. Samalla tavalla kuin määriteltiin toispuoleiset raja arvot, määritellään toispuoleiset derivaatat ja asetetaan Määritelmä (Funktion differentioituvuus suljetulla välillä) Funktio f (x) on differentioituva suljetulla välillä [a, b] jos se on differentioituva avoimen välin (a, b) jokaisessa pisteessä ja vastaavat toispuoleiset derivaatat f (a + ) ja f (b ) ovat olemassa.
24 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset:
25 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, a x a+1
26 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x,
27 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, x 2
28 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3
29 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset:
30 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a,
31 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a,
32 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x,
33 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x,
34 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset:
35 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset: D(tan x) = 1, D(cot x) = 1 cos 2 x sin 2 x.
36 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset: D(tan x) = 1, D(cot x) = 1 cos 2 x sin 2 x. Funktion f (x) paikalliset ääriarvot on jo lukiossa totuttu etsimään määrittelyalueen reunoilta, derivaatan nolla kohdista ja epäjatkuvuuskohdista. Ne ovat funktion kriittisiä pisteitä.
37 Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset: D(tan x) = 1, D(cot x) = 1 cos 2 x sin 2 x. Funktion f (x) paikalliset ääriarvot on jo lukiossa totuttu etsimään määrittelyalueen reunoilta, derivaatan nolla kohdista ja epäjatkuvuuskohdista. Ne ovat funktion kriittisiä pisteitä. Muista kuitenkin: vaikka f (x 0 ) = 0, ei piste x 0 välttämättä ole funktion (paikallinen) ääriarvo, esim. f (x) = x 3 ja x 0 = 0.
38 Esimerkkinä funktion 2x 6 kun x [ 4, 2], f (x) = x 2 kun x ( 2, 2), x 6 kun x [2, 5] ääriarvot [liitutaululla].
39 Esimerkkinä funktion 2x 6 kun x [ 4, 2], f (x) = x 2 kun x ( 2, 2), x 6 kun x [2, 5] ääriarvot [liitutaululla]. Sovellutusten kannalta tärkeitä ovat seuraavat Teoreema (Rollen lause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b) ja f (a) = f (b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = 0.
40 Esimerkkinä funktion 2x 6 kun x [ 4, 2], f (x) = x 2 kun x ( 2, 2), x 6 kun x [2, 5] ääriarvot [liitutaululla]. Sovellutusten kannalta tärkeitä ovat seuraavat Teoreema (Rollen lause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b) ja f (a) = f (b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = 0. Teoreema (Derivaatan väliarvolause) Jos funktio f (x) on differentioituva suljetulla välillä [a, b], ja f (a) f (b) ja piste µ on arvojen f (a), f (b) välissä, niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = µ.
41 Teoreema (Lagrangen väliarvolause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = f (b) f (a) b a.
42 Teoreema (Lagrangen väliarvolause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = f (b) f (a) b a. Emme todista näitä kolmea keskeistä analyysin perustulosta, toteamme vain, että ilman raja arvon käsitettä näitä (intuitiivisesti ajatellen) ilmeisiä tosiasioita ei voitaisi pitävästi todistaa.
43 Teoreema (Lagrangen väliarvolause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = f (b) f (a) b a. Emme todista näitä kolmea keskeistä analyysin perustulosta, toteamme vain, että ilman raja arvon käsitettä näitä (intuitiivisesti ajatellen) ilmeisiä tosiasioita ei voitaisi pitävästi todistaa. Paneutuminen raja arvon syvällisimpiin ominaisuuksiin johdattaa meidät L Hospital in sääntöön raja arvon laskemiseksi, johon tutustunne (ilman todistusta!) esimerkkien kautta.
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
![Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on](/thumbs/47/23658224.jpg "Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on")
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
Mapusta. Viikon aiheet
Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
Matematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
![Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on](/thumbs/39/20459750.jpg "Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on")
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
Fysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Taylorin sarja ja Taylorin polynomi
Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...
5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,
Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,
1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
![1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ](/thumbs/67/57751673.jpg "1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ")
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.
![1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.](/thumbs/70/62889435.jpg "1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.")
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Diskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 4 Maanantai 3..05. Halutaan määritellä funktio f siten, että f() =. Missä pisteissä + funktio voidaan määritellä tällä lausekkeella? Missä pisteissä funktio on näin määriteltynä
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Toispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Matematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Yhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)
Yhdistetty unktio TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Määritelmä, yhdistetty unktio: Funktioiden ja g yhdistetty unktio g (luetaan g pallo ) määritellään yhtälöllä g g. Funktio g on ns. ulkounktio ja sisäunktio.
Funktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen