KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme
Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä voimia kuormitetussa palkissa vaikuttaa Osata piirtää sisäiset voimat kappaleen leikkauksen vapaakappalekuvaan Osata laskea sisäisten voimien suuruudet leikkauksen tasapainoyhtälöitä soveltaen Sisältö: Sisäisten voimien määrittely kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa Sisäisten voimien laskeminen kappaleen leikkauksen vapaakappalekuvan ja tasapainoyhtälöiden avulla
Sisäiset voimat Edellisellä luennolla käytimme leikkausmenetelmää ristikon sauvavoimien ratkaisemiseen Sauvavoima on itse asiassa sauvan sisäinen normaalivoima Olemme siis jo soveltaneet sisäisen voiman käsitettä Katsotaan seuraavaksi tarkemmin, mitä se tarkoittaa
Sisäiset voimat A a F B F a p B F F F R = N B = p B F R = N B F F
Sisäisen voimat Jos voimat eivät ole akselin suuntaisia, ne aiheuttavat kappaleeseen normaalivoiman (N B ) lisäksi leikkausvoiman (V B ) ja taivutusmomentin (M B ). Sisäiset voimat piirretään leikkauksen vapaakappalekuvaan ikään kuin ne olisivat ulkoisia.
Sauva vs. palkki Sauvassa vaikuttaa vain akselin suuntaisia voimia Palkki kantaa taivuttavaa kuormitusta. Palkin kuormitus on kohtisuorassa sen akselia vastaan. Palkin rasitukset, eli sisäiset voimat, ovat tasokuormituksessa leikkausvoima ja taivutusmomentti.
Sauva vs. palkki Mitkä rakenteen osista ovat sauvoja ja mitkä ovat palkkeja?
Esimerkki Ratkaisusuunnitelma: Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaistaan siis ensin tukireaktio pisteessä B. Sen jälkeen ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla. Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. A x B y A y + ΣM A = 0 B y 6m 9kN 3m 4.5m 12kN 1.5m = 0 B y = 23.25 kn
Esimerkki Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva. N C M C V C 9 kn/m 23.25kN + ΣM C = 0 23.25 1.5m 9kN 1.5m (0.75m) M C = 0 M C = 24.75 knm + ΣF x = 0 N C = 0 + ΣF y = 0 23.25kN 9kN(1.5m) + V C = 0 V C = 9.75 kn
Esimerkki Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. Ratkaisusuunnitelma: Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaistaan siis ensin tukireaktio pisteessä B. Sen jälkeen ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla. Ratkaistaan tukireaktio pisteessä B koko palkin vapaakappalekuvasta. A x A y B y + ΣM A = 0 B y 6m 15kN 4.5m 10kN 1.5m = 0 B y = 13.75 kn
Esimerkki Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva. Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. M C N C V C 13.75 kn + ΣM C = 0 13.75 3m 15kN 1.5m M C = 0 M C = 18.75 knm + ΣF x = 0 N C = 0 + ΣF y = 0 13.75kN 15kN + V C = 0 V C = 1.25 kn
Kolmiulotteiset sisäiset voimat Poikkileikkauksessa vaikuttavat resultanttivoima ja voimaparin momentti. Ne voidaan jakaa x- y- ja z-akseleiden suuntaisiin komponentteihinsa. F C = F x + F y + F z = V x + N y + V z = V x i + N y j + V z k M C = M x + M y + M z = M x i + M y j + M z k
Esimerkki Ratkaisusuunnitelma: Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaistaan sisäiset voimat vektorianalyysin avulla. z Määritä voiman ja momentin x-, y- ja z- akselien suuntaiset komponentit pisteessä C, kun voimat ovat F 1 = 80i + 200j 300k kn ja F 2 = 250i 150j 200k kn. x M C F C y Sisäisten voimien resultantti, F C, saadaan ratkaistua voimatasapainoyhtälöstä. ΣF = 0 F C + F 1 + F 2 = 0 F C = F 1 F 2 F C = 80i + 200j 300k kn 250i 150j 200k kn = 170i 50j + 500k kn Voiman komponentit ovat: F x = V x = 170 kn F y = N y = 50 kn F z = V z = 500 kn
z Esimerkki Määritä voiman ja momentin x-, y- ja z- akselien suuntaiset komponentit pisteessä C, kun voimat ovat F 1 = 80i + 200j 300k kn ja F 2 = 250i 150j 200k kn. x M C F C r 1 y Määritetään paikkavektorit r 1 ja r 2 pisteestä C voimien F 1 ja F 2 vaikutuspisteisiin. r 1 = 3i + 2j m r 2 = 2j m Lasketaan sisäinen resultanttimomentti, M C, momenttitasapainoyhtälöstä pisteen C ympäri. ΣM C = 0 (r 1 F 1 ) + (r 2 F 2 ) + M C = 0 M C = r 2 i j k 3 2 0 80 200 300 i j k 0 2 0 250 150 200 = 600 0 i 900 0 j + (600 ( 160)k 400 0 i 0 0 j + (0 500)k = 1000i 900j 260k M Cx = 1 MN m M Cy = 900 kn m M Cz = 260 kn m
Yhteenveto Määrittelimme sisäiset voimat, jotka tasossa ovat Normaalivoima, N Leikkausvoima, V Taivutusmomentti, M Määrittelimme myös kolmiulotteiset sisäiset voimat Opimme, miten sisäiset voimat lasketaan Leikataan kappale kuvitteellisesti, Piirretään leikkauksen vapaakappalekuva, jossa sisäiset voimat ovat ikään kuin ulkoisia voimia Ratkaistaan sisäiset voimat tasapainoyhtälöiden avulla