Harjoitukset 5. 1. (a) Tarkastellaan uuden työntekijän palkkaamisen tuottoja ja kustannuksia eri skenaarioissa. Toimijat oletetaan aina riskineutraaleiksi, jos ei toisin mainita. Työntekijän tuottavuus on 50 %:n todennäköisyydellä 100 X. Jos tuottavuus paljastuu matalaksi vuoden jälkeen, yrityksen kannattaisi irtisanoa työntekijä heti matalan tuottavuuden paljastuttua, koska jokaisena työssäolovuotenaan työntekijä aiheuttaisi työnantajalle tappiota: (100 X) 100 = X. Kokemattomasta työntekijästä aiheutuu ensimmäiseltä työvuodelta joka tapauksessa tappiota (50-100)ke = - 50ke. Jos tuottavuus paljastuu korkeaksi vuoden jälkeen, niin myöhempinä työvuosinaan työntekijä tuottaa yritykselle lisätuloa 100 + X ke. Työntekijän palkka on 100 ke, joten työntekijän vaikutus yrityksen voittoon on (100 + X) 100 = X ke vuodessa niiden 12-1 = 11 vuoden ajan, joina työntekijä on halukas työskentelemään yritykselle. Lasketaan tuottavuus 11 vuoden ajalta käyttämällä perpetuiteetin kaavaa kahdesti. A: Lisätulo X euroa vuodessa alkaen ensi vuonna, jos tulovirta olisi ikuinen: P V = X 0.05 B: Lisätulo X euroa vuodessa alkaen tänä vuonna, jos tulovirta olisi ikuinen: P V = X + X 0.05 11 vuoden tulovirran arvo alkaen ensi vuonna saadaan vähentämällä A:sta tulovirta B 12 vuoden päästä nykypäivän rahassa (diskonttaus): P V 11V = X X+(X/0.05) Siispä uuden työntekijän palkkaamisen odotettu nykyarvo yritykselle on ( ) E[P V Y ] = 0.5 ( 50) + 0.5 50 + X X+X/0.05 Koska kokemattomasta työntekijästä aiheutuu ensimmäiseltä työvuodelta aina 50ke:n kustannus, tuottavuuskomponentin X on oltava riittävän suuri, että korkean tuottavuuden työntekijä kattaa lisätulona ensimmäiseltä työvuodelta aiheutuvan kustannuksen. Odotusarvon palkkaamisesta E[P V Y ] täytyy, X:n huomioonottaen, olla nollaa suurempi. Odotusarvo on nollaa suurempi, kun X 12. Firman maksamien tulojen odotettu nykyarvo työntekijälle on vastaavasti ( ) E[P V T ] = 0.5 100 + 0.5 100 + 100 100+(100/0.05) 515 tuhatta euroa. (b) Irtisanomismaksun seurauksena yrityksen on maksettava irtisanomisen jälkeen työntekijälle kolmen vuoden palkkaa vastaava summa eli 300 000e. Jos yrityksen kannattaa irtisanoa työntekijä, sen kannattaa tehdä se heti vuoden kuluttua tuottavuuden realisoiduttua. Vuoden päästä maksettu irtisanomismaksu on nykyarvoisena P V IM = 300 1.05 285.7 A-kohdan mukaisesti yrityksen ei nytkään kannata palkata työntekijää, jos X 12. Nyt kuitenkin myös irtisanomispäätös riippuu X:n suuruudesta. Jos tuottavuus paljastuu heikoksi, niin yritykselle aiheutuu tappiota työntekijän pitämisestä vuodessa 1
-50 + X/0.05 - X+X/0.05 1.05 12-50 -50 + (-X/0.05 - X X/0.05 1.05 12 ) -50 0 Kuva 1: Yrityksen päätöspuu a-kohdassa. (100 X) 100 = X verran. Jos X on riittävän pieni, tämä vuosittainen tappio nykyarvoisena voi olla pienempi kuin nykyarvoinen irtisanomismaksu. Irtisanomismaksun maksaminen tulee yritykselle kalliimmaksi kuin matalasti tuottavan työntekijän pitäminen yrityksessä 12 vuoden ajan, kun P V IM > P V X 285.7 > X 0.05 X + (X/0.05) 1.05 12 1.05 12 513.1 > 35.9X 21X X 34.44 Kun matalasti tuottava työntekijä tuottaa 100 X 100 34.44 = 65.56 tai enemmän, yrityksen on kannattavampaa pitää hänet palkattuna 15 vuoden ajan kuin irtisanoa vuoden jälkeen ja maksaa irtisanomismaksu. Tällöin yrityksen nykyarvon odotusarvo työntekijän palkkaamisesta näyttää seuraavalta: ( )] E[P V Y [ 50 ] = 0.5 X X+(X/0.05) + 0.5 = 50 ( ) 50 + X X+(X/0.05) Uuden työntekijän palkkaamisen nykyarvon odotusarvo on negatiivinen, joten uutta työntekijää ei kannata palkata. Jos X > 34.44, yritys irtisanoo työntekijän, jos tuottavuus paljastuu vuoden päästä matalaksi. Työntekijän palkkaamisen nykyarvo yritykselle on 2
P V Y = 0.5 ( ) ( ) 50 300 1.05 + 0.5 50 + X X+(X/0.05) = 167.85 25 + 0.5 X X+(X/0.05) 0.5 Tämä nykyarvo on suurempi kuin nolla, kun X 46.4. Tällöin korkean tuottavuuden mahdollisuus nostaa odotusarvoisen nykyarvon positiiviseksi. Yrityksen on siis kannattavaa palkata uusi työntekijä vain, kun X 46.4. Kun X 46.4, firman maksamien tulojen nykyarvo työntekijälle on P V T = 0.5 ( ) ( ) 100 + 300 1.05 + 0.5 100 + 100 100+(100/0.05) 658.2 tuhatta euroa. Irtisanomismaksun käyttöönotto parantaa työntekijän tulojen nykyarvoa, jos riskitasoa kuvaava X on tarpeeksi suuri, ja muutoin pienentää, koska yrityksen ei alunperinkään kannata palkata häntä. 2. (a) Ratkaistaan alkuun tasapainomäärä Q ja ylijäämät ilman veroa yhtälöstä P D (q) = P S (q): 100 30q = 5 + 15q q = 95 Q = 95/ = 19/9 tonnia P = 5 + 15Q = 110/3 tuhatta dukaattia Lasketaan ylijäämät: CS = (100 110/3)(19/9)/2 66.8519 P S = (110/3 5)(19/9)/2 33.4259 W = CS + P S = 100.2778 Ratkaistaan seuraavaksi tasapaino Q t ja ylijäämät veron t kanssa yhtälöstä P D (q) = P S + t(q): 100 30q = 5 + 15q + t q = 95 t Q t (t) = 95 t PD 95 t (t) = 100 30 = 100 190 2t 3 PS 95 t (t) = 5 + 15 = 5 + 95 t 3 Kun vero t = 20 saadaan tasapainomääräksi ja hinnaksi: Q t = 95 20 = 5/3 PD 95 20 = 100 30 = 50 PS 95 20 = 5 + 15 = 30 Ylijäämissä tulee nyt huomioida kuluttajan ja tuottajan ylijäämien lisäksi verotulot T: CS t = (100 50)(5/3)/2 125/3 41.67 P S t = (30 5)(5/3)/2 125/6 20.83 T = tq t = 20 (5/3) = 100/3 33.33 W t = CS t + P S t + T = 95.83 3
100 P 80 60 CS 40 20 T PS DWL 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Q Kuva 2: Ylijäämät turhakkeiden vaihdannasta, kun t = 20. Veron hyvinvointivaikutukset saadaan vertaamalla ylijäämiä ilman veroa ja veron kanssa. CS = 41.67 66.85 = 25.19 P S = 20.83 33.43 = 12.59 T = 33.33 0 = 33.33 W = 95.83 100.28 = 4. Veron kanssa kokonaisylijäämä alenee 4. tuhatta dukaattia. Berserkistan saa verotuloja 33.33 tuhatta dukaattia, mutta nämä saadaan kuluttajien ja tuottajien ylijäämän kustannuksella. Veron aiheuttamaa muutos on havainnollistettu kuvassa 2. (b) Veron ja verotulojen yhteys saadaan Laffer-käyrästä. Ratkaistaan ensin Laffer-käyrän yhtälö eli verotulot T veron t funktiona: T (t) = tq t (t) = t 95 t = 95t t2 Verotulot siis ensin kasvavat ja sitten laskevat. Tarkastellaan Laffer-käyrää graafisesti kuvassa 3 (veron ylijäämävaikutuksen kuvaamista ei vaadita ratkaisussa). Ratkaistaan milloin verotulot ovat suurimmillaan Verotulojen funktion derivaatan nollakohdasta: T (t) = 95 2t = 0 t = 95/2 = 47.5 T (47.5) 50.14 Verotulot maksimoituu kun despootti asettaa veron t = 47.5. Tällöin despootti saa verotuloja n. 50 140 dukaattia. (c) Verotulon rajahyöty on nyt 1.5 (aiemmissa kohdissa 1) ja hallitus haluaa maksimoida kansalaisten hyvinvointia eli kokonaisylijäämää. Maksimoitava funktio (veron t suhteen) on 4
dukaattia (1000) 70 60 50 40 30 CS PS T 20 10 20 40 60 80 t Kuva 3: Veron tason ja verotulojen välinen yhteys. W (t) = CS(t) + P S(t) + 1.5T (t) jossa CS(t) = (100 (100 190 2t 3 )) 95 t P S(t) = ((5 + 95 t 3 1.5T (t) = 1.5 95t t2 W (t) = 190 2t 3 95 t ) 5) 95 t /2 /2 + 95 t 3 /2 95 t 95t t2 /2 + 1.5 = (95 t)2 + (95 t)2 + 1.5 95t t2 135 270 Otetaan derivaatta asettaen se nollaksi ja ratkaistaan t: W (t) = 2(95 t) 135 2(95 t) 270 + 142.5 3t = 0 t = 23.75 Tulos on havainnollistettu kuvassa 4. Huomataan, että nyt on hyvinvoinnin kannalta optimaalista asettaa vero t > 0. Tämä johtuu verosta saadusta puolitoistakertaisesta hyödystä. Berserkistanin hallituksen kannattaa siis asettaa vero tasolle t = 23.75 dukaattia/kg maksimoidakseen kokonaisylijäämää. 5
tuhatta dukaattia 100 80 60 40 20 10 20 30 40 CS+PS T CS+PS+1.5T t dukaattia/kg Kuva 4: Veron tason ja kokonaishyvinvoinnin yhteys, kun julkishyödykkeiden arvo on huomioitu. 3. (a) Käännetään ensin kysyntä ja tarjontakäyrät: P D K P S K = 50 q/8 = 2.5 + q/12 Jotta voimme ratkaista tuen hyvinvointivaikutukset, tulee ensin ratkaista tasapainomäärä Q K ja ylijäämät ilman tukea yhtälöstä P D K (q) = P S K (q): 50 q/8 = 2.5 + q/12 5q/24 = 47.5 Q K P K = 228 tonnia kaalia = 50 228/8 = 21.5 euroa Näiden avulla voimme laskea ylijäämät ilman tukea: CS K = (50 21.5)228/2 = 3249 P S K = (21.5 2.5)228/2 = 2166 W K = 3249 + 2166 = 5415 Kaalin tuottajille maksetaan tukea s = 2.5 euroa per tuotettu tonni. Ratkaistaan tasapaino ja ylijäämät tuen kanssa asettamalla PK D(q) = P K S (q) s: 50 q/8 = 2.5 + q/12 2.5 5q/24 = 50 + s Q K = 240 PK D = 50 240/8 = 20 P K S = 2.5 + 240/12 = 22.5 Lasketaan ylijäämät. Huomaa nyt, että valtion ylijäämä G on negatiivinen maksettujen tukien takia. CS K = (50 20)240/2 = 3600 P S K = (22.5 2.5)240/2 = 2400 6
50 P CS 22.5 20. G & PS & CS PS DWL 0 50 100 150 200 250 Q Kuva 5: Ylijäämät ja julkiset menot kaalimarkkinoilla, kun s = 2.5. G = Q s = 240 2.5 = 600 W K = 3600 + 2400 600 = 5400 Ylijäämien muutokset ovat: CS = 351 P S = 234 G = 600 W = 15 Kokonaisylijäämä laskee 15 tukien seurauksena. Kuluttajien ja tuottajien ylijäämät kasvavat, mutta valtion ylijäämä laskee näitä enemmän tukimaksuista johtuen. (b) Tässä tehtävässä tulee ratkaista, mikä on alin verotaso jolla edelliskohdan tuet tulevat katetuiksi. Huomaa ylijäämien muutosta laskiessa, että veroa nostataan nykyiseltä tasolta t = 1.5 eikä nollatasolta. Käännetään ensin kysyntä ja tarjontakäyrät: P D L P S L = 100 q = 2.5 + q/2 Ratkaistaan tasapaino Q t veron t funktiona asettamalla P D L = P S L + t: 100 q = 2.5 + q/2 + t (3/2)q = 97.5 t Q t = 65 (2/3)t Karbaasian verotulot leivästä olivat aiemmin (t = 1.5): T = tq T = 1.5(65 (2/3)1.5) = 96. Kaalituesta syntyneet kustannukset olivat suuruudeltaan 600 euroa. Verotulojen tulee siis nousta tasolle 96+600 = 696. Kirjoitetaan verotulot veron t funtkiona ja ratkaistaan t, jolla T (t) = 696: T (t) = t(65 (2/3)t) = 65t (2/3)t 2 = 696 t = 12.25 t = 85.25. 7
Kokonaishyvinvointi laskee veron kasvaessa, joten aina kannattaa valita alhaisempi veron taso kun vaihtoehdot tuottavat samansuuruiset verotulot. Karbaasian valtion täytyy nostaa leipävero tasolle t = 12.25 euroa per yksikkö, jotta koko kaalituki saadaan maksettua. Lasketaan seuraavaksi veronkorotuksesta aiheutunut ylijäämän muutos. Alkuperäiset ylijäämät, kun t = 1.5, olivat: Q t = 65 (2/3)t = 65 1 = 64 PD = 100 Q t = 100 64 = 36 PS = 2.5 + Q t /2 = 2.5 + 64/2 = 34.5 CS t=1.5 = (100 36) 64 0.5 = 2048 P S t=1.5 = (34.5 2.5) 64 0.5 = 1024 T t=1.5 = 1.5 64 = 96 W t=1.5 = 3168 Ylijäämät, kun vero nousee tasolle t = 12.25: Q t = 65 (2/3)t = 65 8.17 = 56.83 PD = 100 Q t = 100 56.83 = 43.17 PS = 2.5 + Q t /2 = 2.5 + 56.83/2 = 30.92 CS t=12.25 = (100 43.17) 56.83 0.5 = 1614.82 P S t=12.25 = (30.92 2.5) 56.83 0.5 = 807.55 T t=12.25 = 12.25 56.83 = 696 W t=12.25 = 3118.37 P 100 80 60 CS 40 T DWL 20 PS 20 40 60 80 100 Q Kuva 6: Ylijäämät leipämarkkinoilla kun t = 12.25. Ylijäämien muutokset ovat: CS t = 433.18 P S t = 216. T t = 600 W t = 49.63 Karbaasialaisten kokonaisylijäämä pienenee veronkorotuksen seurauksena entisestään. Kuluttajat kärsivät jopa enemmän kuin tuotantotuen seurauksena hyötyvät. Tuottajat 8
kärsivät veronkorotuksesta myös, mutta vähemmän kuin hyötyvät tuontantotuesta. Koska valtion budjettiin näillä muutoksilla on nollavaikutus, voidaan todeta ylijäämää siirtyvän kuluttajilta tuottajille sekä 49.64 menevän hukkaan. (c) Tuotantotuista luovutaan, mutta tuottajien ylijäämä pitää saada pysymään tasolla PS = 2400. Tukiostot siirtävät kysyntäkäyrää ulospäin (tuotetta kysytään enemmän kuin mitä kuluttajat olisivat yksin valmiita annetuilla hinnoilla). Uusi kysyntä on: Q D tukiosto = Q D K + Q = 400 8p + Q. Uusi tasapainohinta on korkeampi: Q D tukiosto = QS K 400 8p + Q = 12p 30 P = (430 + Q )/20 Kokonaistuotanto on Q S kok = QD K + Q = 400 8((430 + Q )/20) + Q = 3(380+Q ) 5 Tuottajien ylijäämä voidaan kirjoittaa tuen Q funktiona: P S = ((430 + Q )/20 2.5) 3(380+Q ) 5 0.5 = 0.015(380 + Q ) 2 Asettamalla ylijäämän yhtä suureksi kuin tuotantotuen tapauksessa, voimme ratkaista tukiostojen määrän: P S = 0.015(380 + Q ) 2 = 2400 2166 + 11.4Q + 0.015Q 2 = 2400 Käyttämällä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa, saadaan Q = 20 (toinen vaihtoehto, Q = 780 ei käy, koska määrä ei voi olla negatiivinen), jolloin hinnaksi muodostuu P = (430 + 20)/20 = /2 = 22.5. Kuluttajat ostavat tällöin Q D tukiosto = 400 8 22.5 = 220 tonnia kaalia. Kuluttajien ylijäämä on CS tukiosto = (50 22.5) 220 0.5 = 3025. Ylijäämä on 575 pienempi kuin tuotantotuen tapauksessa. Tuottajat myyvät Q kok = 3(380+20) 5 = 240 tonnia kaalia ja heidän ylijäämänsä pysyy ennallaan P S = P S tukiosto = 2400. Valtion ostettavaksi jää kuluttajien ostojen jälkeen 20 tonnia. Valtio ostaa nämä markkinahintaan, mutta saa myytyä ne eteenpäin yksikköhintaan 5e/tonni. Valtion menot ovat siten 20 22.5 20 5 = 350e. Valtion menot ovat selkeästi alhaisemmat kuin tuotantotuen tapauksessa, jossa rahaa käytettiin S K = 600e. Kokonaisuudessaan tukiosto aiheuttaa suuremman hyvinvointitappion kuin tuotantotuki. Tehtävän tapauksessa kuluttajien ylijäämä alenee enemmän kuin valtio säästää rahaa. Kokonaisvaikutus hyvinvointiin (verrattuna tuotantotukeen) on 350 575 = 225. 9
P 50 40 30 CS PS & G P 20 10 PS G P A 50 100 150 200 250 300 Q Kuva 7: Ylijäämät ja julkiset menot kaalimarkkinoilla tukiostojen tapauksessa. Ylempi kysyntäkäyrä sisältää tukiostot, alempi vain kuluttajien kysynnän. 4. (a) Oskari kuluttaa omenoita ja porkkanoita. Kuvassa 8 on kaksiulotteinen avaruus, jossa pystyakselilla on toinen hyödyke (porkkana) ja vaaka-akselilla toinen hyödyke (omena). Piirretään kuvaajaan budjettisuora. Verotuksen jälkeen Oskarin budjetti on 90 taaleria. Jos hän kuluttaa kaikki rahansa porkkanoihin, hän voi ostaa 9 säkkiä porkkanaa, eli budjettisuora leikkaa pystyakselin kohdassa 9. Vastaavasti jos Oskari ostaa vain omenoita, hän saa niitä 90/5 = 18 laatikkoa. Budjettisuora leikkaa vaaka-akselin kohdassa 18. Merkitään hintoja P p ja P o, määriä Q p ja Q o ja Oskarin rahamäärää M. Budjettisuoran tarkka yhtälö on P p Q p + P o Q o = M. Kun käytetään tiedossa olevia hintoja ja rahamäärää, saadaan 10Q p + 5Q n = 90. Kulutuskori on piste (10,4) budjettisuoralla. (b) Oskarin budjetti on nyt suurempi kuin lähtötilanteessa, koska hänen maksamansa vero pienenee kulutustuen verran. Kun Oskari kuluttaa 10 säkkiä porkkanaa, hänen saamansa tuloverovähennys on yhteensä 6 10 = 60 taaleria, eli budjetti nousee 90:stä 150:een taaleriin. Jos Oskari kuitenkin kuluttaisi vähemmän porkkanoita, hänen saamansa tuloverovähennys pienenisi ja vastaavasti enemmän kulutettaessa suurenisi. Täydennetään kuvaa 8. Kun ajattelemme budjettia porkkanan efektiivisen yksikköhinnan muutoksen kautta, voimme piirtää yhden budjettisuoran useamman, maksetusta tuloverosta riippuvan pistejoukon sijaan. Oskarin budjetin voidaan tällöin ajatella pysyvän ennallaan, mutta porkkanan hinnan muuttuvan. Kun budjetti on a-kohdan mukaisesti 90, Oskari voi ostaa saman määrän omenoita kuin aiemminkin, eli uusi budjettisuora leikkaa vaaka-akselin edelleen kohdassa 18. Porkkana sen sijaan on halventunut. Sen efektiivinen hinta on nyt 4, eli Oskari voi ostaa maksimissaan 90/4 = 22.5 säkkiä porkkanaa. Budjettisuora kääntyy. Uusi budjettisuora leikkaa pystyakselin kohdassa 22.5. 10
Kuva 8: Oskarin kulutusavaruus Kuten edellisessä kohdassa, budjettisuoran yhtälö on summa hyödykkeisiin kulutetuista varoista: (P p S)Q p + P o Q o = M eli 4Q p + 5Q o = 90. Kulutuskori on piste (10,10) budjettisuoralla. Samahyötykäyrästö piirretään niin, että kulutuskorit (4,10) ja (10,10) ovat kahdella erillisellä samahyötykäyrällä ja näiden samahyötykäyrien tangentit ovat yhdensuuntaisia budjettisuoran kanssa kulutuskorien määrittämissä pisteissä. Porkkanan efektiivisen hinnan laskun ansiosta Oskari saattoi siirtyä ulommalle samahyötykäyrälle, eli hänen kokemansa hyöty kasvoi. Kompensoiva variaatio (CV) mittaa hyödyssä tapahtunutta muutosta vertaamalla uutta tilannetta alkuperäiseen hyödyn tasoon: tarkastellaan siis erotusta uuden budjettisuoran ja samansuuntaisen, vanhaa samahyötykäyrää sivuavan budjettisuoran välillä. Erotus näiden budjettisuorien vakioissa kuvaa kompensoivaa variaatiota jaettuna pystyakselilla olevan hyödykkeen hinnalla. (c) Ajatellaan b-kohdan mukaisesti Oskarin päätöstä porkkanan efektiivisen yksikköhinnan 11
muutoksena. Kohdassa (b) Oskari ostaa 10 säkkiä porkkanaa, eli saa tukea 60 taaleria. Tämä verotetaan pois, eli uusi budjetti on 90 60 = 30. Budjettisuora piirretään samalla menetelmällä kuin kohdassa (a). Kuluttaja voi ostaa maksimissaan 6 laatikkoa omenoita tai 7.5 säkkiä porkkanaa, ja näissä pisteissä suora leikkaa vaaka- ja pystyakselit. Koska kulutustuen hintavaikutus on edelleen voimassa, budjettisuoran kulmakerroin ei muutu. Oskarin mahdolliset kulutuskorit ovat uudella budjettisuoralla, joka on alkuperäisen budjettisuoran alapuolella. Oskari ei siis pääse kohdan (a) samahyötykäyrälle, vaan hän joutuu tyytymään matalampaan hyötyyn. Uusi kulutuskori on pisteessä, jossa uusi budjettisuora ja samahyötykäyrä sivuavat toisiaan. Kuva 9: Oskarin kulutusavaruus tuen ja verotuksen vaikutuksen alaisena 12