802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II1 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 1 Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (1.1) Luku α = a b D (1.2) on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (1.1) muodostavat 2. asteen neliökunnan Q( D) = {a + b D a, b Q}. (1.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II2 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Toisen asteen algebralliset luvut Huomautus 1 Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α) = α = a b D, h : Q( D) Q( D), (1.4) on rengasmorfismi (2 laskutoimitusta). Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (1.5) α/β = α/β α, β Q( D). (1.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II3 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Toisen asteen algebralliset luvut Lause 1 Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα 2 + Bα + C = 0. (1.7) Määritelmä 2 Toisen asteen algebrallinen luku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b 0, D / Q. (1.8) Lause 2 Irrationaaliluku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A 0, että Aα 2 + Bα + C = 0. (1.9) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II4 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 3 Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b 1,...] (1.10) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, (1.11) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b 1,...] = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ] = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1, b N,..., b N+L 1,...] (1.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II5 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Jos niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. [b 0 ; b 1,...] = [b 0,..., b L 1 ], (1.13) Huomautus 2 Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II6 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 1 Esimerkki 2 [1] = 1 + 5 2 (1.14) [2] = 1 + 2, [1, 2] = 2. (1.15) Esimerkki 3 [3, 3, 6] = 11. (1.16) Esimerkki 4 [10, 20] = 101. (1.17) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II7 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Eulerin lause Lause 3 Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, c 0,..., c L 1 ] (1.18) on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. Todistus. Merkitään jolloin β = [c 0,..., c L 1 ], (1.19) α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β]. (1.20) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II8 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Olkoon (C n /D n ) kehitelmän (1.19) konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla missä ja kaikilla k = 2,..., L 1. β = [c 0,..., c L 1, β] = C L D L, (1.21) C L = βc L 1 + C L 2, DL = βd L 1 + D L 2 (1.22) C k = c k C k 1 + C k 2, D k = c k D k 1 + D k 2 (1.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II9 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Siten josta β = βc L 1 + C L 2 βd L 1 + D L 2, (1.24) D L 1 β 2 + (D L 2 C L 1 )β C L 2 = 0. (1.25) Niinpä β on 2. asteen irrationaaliluku ja β Q( D), jollakin D Z (määrää D). Edelleen α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β] = ÃN B N, (1.26) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 10 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut missä ja à N = βa N 1 + A N 2, B N = βb N 1 + B N 2 (1.27) A k = b k A k 1 + A k 2, B k = b k B k 1 + B k 2 (1.28) kaikilla k = 2,..., N 1. Siispä Siten α on 2. asteen irrationaaliluku. α = βa N 1 + A N 2 βb N 1 + B N 2 Q( D). (1.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 11 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 5 Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [2, 3, 8, 1, 1, 1, 4]. (1.30) Nyt ja siten β = [1, 1, 1, 4] (1.31) β = [1, 1, 1, 4, β] = C 4 D 4, (1.32) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 12 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut missä C 0 D 0 = 1, C 1 D 1 = 2, C 0 = D 0 = D 1 = 1, C 1 = 2, (1.33) C 2 = c 2 C 1 + C 0 = 3, C 3 = c 3 C 2 + C 1 = 14, (1.34) D 2 = c 2 D 1 + D 0 = 2, D 3 = c 3 D 2 + D 1 = 9, (1.35) C 4 = βc 3 + C 2 = 14β + 3, D 4 = βd 3 + D 2 = 9β + 2. (1.36) Niinpä β = 14β + 3 9β + 2, 3β2 4β + 1 = 0, (1.37) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 13 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut ja siten Edelleen β = 2 + 7. (1.38) 3 α = [2, 3, 8, β] = Ã3 B 3, (1.39) A 0 = 2, B 0 = 1, A 1 = 7, B 1 = 3, A 2 = 58, B 2 = 25, (1.40) Ã 3 = βa 2 + A 1 = 58β + 7, B3 = βb 2 + B 1 = 25β + 3, (1.41) Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β + 7 25β + 3 Q( 7). (1.42) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 14 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lemma 1 Kun α = [b 0, b 1,..., b n 1, α n ], niin α = α na n 1 + A n 2 α n B n 1 + B n 2 (1.43) α n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1. (1.44) Lemma 2 Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a + b D Q( D) voidaan esittää muodossa α = P + d, Q P 2 d, P, Q, d Z. (1.45) Q Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 15 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lagrangen lause Lause 4 Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 2 nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 2 0 d, P 0, Q 0, d Z. (1.46) Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (??) (??). Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (1.47) missä 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 < 1. (1.48) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 16 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Siten missä Tässä joten Edelleen pätee α 1 = 1 {α 0 } = P 1 + d, (1.49) Q 1 P 1 = b 0 Q 0 P 0, Q 1 = d P2 1 Q 0. (1.50) Q 0 P 2 1 d, (1.51) P 1, Q 1 Z. (1.52) Q 1 P 2 1 d = Q 1 Q 1. (1.53) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 17 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti ja yleisemmin missä Algoritmin mukaisesti α 1 = α 1 + {α 1 } = b 1 + {α 1 }... (1.54) 1 < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (1.55) Q n P 2 n d. (1.56) α n = α n + {α n } = b n + {α n } (1.57) 0 < {α n } = P n b n Q n + d Q n < 1. (1.58) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 18 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut missä Tässä joten Edelleen pätee α n+1 = 1 {α n } = P n+1 + d, (1.59) Q n+1 P n+1 = b n Q n P n, Q n+1 = d P2 n+1 Q n. (1.60) Q n P 2 n+1 d, (1.61) P n+1, Q n+1 Z. (1.62) Q n+1 P 2 n+1 d. (1.63) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 19 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ) ja (Q k ) ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta α n α n = P2 n d Q 2 n = (1.64) αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 = G n G n, (1.65) missä Harjoitustehtävän 17d nojalla G n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 < 0 n Z + (1.66) ja G n = α A n 2 B n 2 B n 2 α A (1.67) n 1 B n 1 B n 1 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 20 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Koska α α, niin on olemassa sellainen n, että α A k < 1 B k B 2 k < 2 d Q 0 = α α (1.68) kaikilla k K = n 2. Tällöin, joko α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (1.69) kaikilla k K. Siten G k > 0 α k α k = P2 k d Q 2 k = G k G k < 0, (1.70) josta P 2 k < d d < P k < d k K. (1.71) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 21 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Edelleen yhtälöstä (1.55) ja (1.71) nähdään, että Q k 1 Q k Q k Q k+1 = d Pk+1 2 d (1.72) 1 Q k d k K. (1.73) Olkoon B = {(S, T ) Z 2 S d 1, 1 T d}, (1.74) jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k ) Z 2 k = K, K + 1,...} B. (1.75) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 22 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l ) = (P K+h, Q K+h ). (1.76) Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+1 = α K+L+l+1,... (1.77) Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0, 1,... (1.78) ja siten α = P + d Q = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ]. (1.79) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 23 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 6 Olkoon d Z +. Tällöin d 2 + 2 = [d, d, 2d]. (1.80) Todistus. Aluksi huomataan, että d 2 < d 2 + 2 < (d + 1) 2 d < d 2 + 2 < d + 1 d 2 + 2 = d, { d 2 + 2} = d 2 + 2 d. (1.81) Käytetään ketjumurtoalgoritmia d 2 + 2 = d + d 2 + 2 d = b 0 + {α 0 }, (1.82) α 1 = 1 {α 0 } = 1 d d 2 + 2 d = 2 + 2 + d 2 3 + 1 > > 1, (1.83) 2 joten (tästäkin näkee, että) valitulle {α 0 }, pätee 0 < {α 0 } < 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 24 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Edelleen d α 1 =d + 2 + 2 d = b 1 + {α 1 }, 2 α 2 = 1 {α 1 } = 2 d 2 + 2 d = d 2 + 2 + d = 2d + d 2 + 2 d = b 2 + {α 2 }, (1.84) α 3 = 1 {α 2 } = 1 d 2 + 2 d = α 1. Siten b 0 = d, b 1 = d, b 2 = 2d, b 3 = b 1 = d, b 4 = b 2 = 2d,... (1.85) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 25 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 4 Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu, jos Lause 5 α = a + b D > 1, ja 1 < α = a b D < 0. (1.86) Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α > 1, ja 1 < α < 0 (1.87) α = [b 0,..., b L 1 ] (1.88) 1 α = [b L 1,..., b 0 ]. (1.89) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 26 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 6 Olkoot D Z 2, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (1.90) Todistus. Aluksi A = b 0 = D, A + D = 2A. (1.91) Joten D = [b0 ; b 1, b 2,...] = [A; b 1, b 2,...] (1.92) ja α := A + D = [2A; b 1, b 2,...]. (1.93) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 27 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Edelleen α = A D = ( D D ), 1 < α < 0 (1.94) eli α on redusoitu. Siten tuloksen (1.88) nojalla α = A + D = [2A, b 1,..., b L 1 ] (1.95) D = [A, b1,..., b L 1, 2A, b 1,..., b L 1, 2A,...] (1.96) eli D = [A, b1,..., b L 1, 2A], (1.97) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 28 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut mistä saadaan D A = [0, b1,..., b L 1, 2A]. (1.98) Tuloksen (1.89) nojalla 1 α = 1 D A = [b L 1,..., b 1, 2A]. (1.99) josta Harjoitustehtävä 17a:n nojalla D A = [0, bl 1,..., b 1, 2A]. (1.100) Verrataan vielä esityksiä (1.98) ja (1.100), joista saadaan b L 1 = b 1, b L 2 = b 2,... (1.101) ja siten D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (1.102) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 29 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 7 13 = [3, 1, 1, 1, 1, 6]. (1.103) Esimerkki 8 31 = [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10]. (1.104) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 30 / 121

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Huomautus 3 Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause 7 Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D) D Z. (1.105) Todistus. Myöhemmin, Seuraus 25 todistetaan, että e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,...] = [2, 1, 2k, 1] k=1. (1.106) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 31 / 121

Paras approksimaatio Kerrataan vielä, että rationaalilukujen nimittäjät oletetaan positiivisiksi (kuten yleensäkin tällä kurssilla). We assume that the denominators of rational numbers are positive. Määritelmä 5 Olkoon α R \ Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio/best approximation, jos missä 1 u s. sα r < uα t t/u Q \ {r/s}, (2.1) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 32 / 121

Paras approksimaatio Parhaalle approksimaatiolle r/s pätee/for the best approximation holds α r < α t, jos 1 u s. (2.2) s u ja t/u r/s. Siispä, jos t/u r/s ja α t α r, (2.3) u s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. The best approximation r/s is such a rational number, that every rational number which is closer to α has a bigger denominator. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 33 / 121

Paras approksimaatio Lause 8 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos uα t < B k α A k, u Z +, t Z, k Z +, (2.4) niin u B k+1 > B k. Siten irrationaalisen luvun konvergentit ovat parhaita approksimaatioita/thus the convergents an irrational number are best approximations. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 34 / 121

Paras approksimaatio Todistus. Vastaoletus: u < B k+1. Osoitetaan ensin, että yhtälöryhmällä { u = ab k + bb k+1 ; t = aa k + ba k+1 (2.5) on kokonaislukuratkaisu (a, b) Z 2, ab < 0. Yhtälöryhmän determinantti B k B k+1 A k A k+1 = ( 1)k 0, (2.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 35 / 121

Paras approksimaatio joten saadaan ratkaisu { a = ( 1) k (ua k+1 tb k+1 ); b = ( 1) k ( ua k + tb k ). (2.7) Yhtälöistä (2.5) ja vastaoletuksesta saadaan, että 1 u = ab k + bb k+1 < B k+1. (2.8) Näytetään seuraavaksi, että ab 0. Jos olisi a = 0, niin 1 u = bb k+1 < B k+1, (2.9) johtaen ristiriitaan. Siten a 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 36 / 121

Paras approksimaatio Jos b = 0, niin josta edelleen u = ab k, t = aa k, (2.10) uα t = a B k α A k > uα t, (2.11) johtaen ristiriitaan. Siten b 0. Tutkimalla epäyhtälöä (2.8) saadaan relaatiot a < 0 b > 0; a > 0 b < 0; ab < 0. (2.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 37 / 121

Paras approksimaatio Edelleen uα t = a(b k α A k ) + b(b k+1 α A k+1 ) = ax + by, (2.13) missä (laskarit) XY = (B k α A k )(B k+1 α A k+1 ) < 0. (2.14) Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 (2.15) kaikissa tapauksissa. Täten uα t = a X + b Y X + Y = (2.16) B k α A k + B k+1 α A k+1 > B k α A k. (2.17) Ristiriita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 38 / 121

Paras approksimaatio Lause 9 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α t < u α A k (2.18) niin u > B k. Todistus. Vastaoletus: u B k. Oletuksen (2.18) nojalla saadaan josta vastaoletuksen nojalla B k uα t < u B k B k α A k, (2.19) uα t < B k α A k. (2.20) Mutta tällöin Lauseen 8 mukaan u B k+1 > B k. Ristiriita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 39 / 121

Paras approksimaatio Esimerkki 9 Tiedetään, että ja π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2,...] / Q (2.21) A 0 = 3 B 0 1, A 1 = 22 B 1 7, A 2 = 333 B 2 106, A 3 = 355,... (2.22) B 3 113 ovat π:n konvergentteja. Siten luku 22/7 on π:n paras approksimaatio Lauseen 8 nojalla. Edelleen Lauseen 9 mukaan ei ole olemassa sellaista rationaalilukua t/u, 1 u 7, että se olisi lähempänä lukua π kuin 22/7. Esimerkiksi π 16 5 = 0.05840... > π 22 7 = 0.00126... (2.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 40 / 121

Paras approksimaatio Lause 10 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos niin jollakin k. α r s < 1 2s 2, (2.24) r s = A k B k, (2.25) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 41 / 121

Paras approksimaatio Todistus. Olkoon r s A l B l l sa l rb l 1 l. (2.26) Koska jono (B k ) on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että Siten Lauseen 8 ja oletuksen (2.24) mukaan B k s < B k+1. (2.27) B k α A k sα r < 1 2s (2.28) α A k < 1. 2sB k (2.29) B k Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 42 / 121

Paras approksimaatio Toisaalta mistä saadaan s < B k. Ristiriita. 1 sa k rb k sb k sb k = r s A k B k (2.30) α r + s α A k < 1 + 1 2sB k 2s 2, (2.31) B k Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 43 / 121

Paras approksimaatio Lause 11 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin α A k < 1 B k 2B 2 k (2.32) tai α A k+1 < 1 B k+1 2B 2 k+1. (2.33) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 44 / 121

Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomija/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. Määritelmä 6 Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö x 2 dy 2 = 1 (3.1) on Pellin yhtälö. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 45 / 121

Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Lause 12 Olkoon d Z 2, d / Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (3.1) ratkaisu, niin jollakin k N. Todistus. Yhtälön (3.1) mukaan x y = A k B k, (3.2) (x y d)(x + y d) = 1 x y > d; (3.3) x y d = 1 x + y d. (3.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 46 / 121

Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Niinpä joten Lauseen 10 nojalla jollakin k N. Esimerkki 10 Tutkitaan yhtälöä x y d = 1 y 2 (x/y + d) < 1 2y 2, (3.5) x y = A k B k, (3.6) x 2 2y 2 = 1. (3.7) Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y) = (3, 2) ja (x, y) = (17, 12) ovat ratkaisuja. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 47 / 121

Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla Tällöin β n = x n + y n 2 = (3 + 2 2) n. (3.8) β n β n = x 2 n 2y 2 n = (3 2 2 2 2 ) n = 1. (3.9) Täten jokainen identiteetillä (3.8) määrätty pari (x n, y n ) Z 2 on ratkaisu. Edelleen, ratkaisemalla yhtälöt x n + y n 2 = (3 + 2 2) n, saadaan seuraavat esitysmuodot x n y n 2 = (3 2 2) n (3.10) x n = 1 2 ((3 + 2 2) n + (3 2 2) n ), (3.11) y n = 1 2 2 ((3 + 2 2) n (3 2 2) n ). (3.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 48 / 121

Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Määrätään vielä rekursiot luvuille x n ja y n. Identiteetin (3.8) mukaan x n+1 +y n+1 2 = (3+2 2)(xn +y n 2) = 3xn +4y n +(2x n +3y n ) 2. (3.13) Koska 1 ja 2 ovat lineaarisesti vapaita kunnan Q yli, niin { x n+1 = 3x n + 4y n ; y n+1 = 2x n + 3y n. Edelleen { x n+2 = 6x n+1 x n ; y n+2 = 6y n+1 y n. (3.14) (3.15) Huomaa vielä, että rekursioitten (3.15) karakteristinen polynomi on x 2 6x + 1, jonka nollakohdat ovat 3 ± 2 2. Katso Lukuteorian perusteet. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 49 / 121

Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen?? nojalla ketjumurron konvergentit b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 +... b 0 + K n k=1 saadaan laskettua rekursioilla b 0 + K k=1 ( ak b k = b 0 + a 1 ) ( ak b k b 1 + ) a 2 b 2 +... = (4.1) (4.2) = A n B n n N, (4.3) A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n, (4.4) B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (4.5) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 50 / 121

Yleiset ketjumurrot Lause 13 A n+1 B n A n B n+1 = ( 1) n a 1 a n+1 n N. (4.6) A n+2 B n A n B n+2 = ( 1) n b n+2 a 1 a n+1 n N. (4.7) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (4.4) ja (4.5). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 51 / 121

Yleiset ketjumurrot Seuraus 1 Seuraus 2 A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n a 1 a n+1 B n B n+1 n N. (4.8) A n+2 B n+2 A n B n = ( 1)n b n+2 a 1 a n+1 B n B n+2 n N. (4.9) Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (4.10) kaikilla k, h N. < A 2h+1 B 2h+1 <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A 1 B 1. (4.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 52 / 121

Suppenemistarkasteluja Lause 14 Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku K k=1 ( ak b k ) (5.1) suppenee, jos b k a k + 1 k Z +. (5.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 53 / 121

Suppenemistarkasteluja Lause 15 Olkoot b k C, 0 < ɛ < π/2 ja π 2 + ɛ < arg b k < π 2 ɛ k Z+. (5.3) Tällöin ketjumurtoluku suppenee, jos ( ) 1 K k=1 b k (5.4) b k =. (5.5) k=1 Ei todisteta. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 54 / 121

Suppenemistarkasteluja Lause 16 Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ( K ak k=1 b k ) (5.6) suppenee, jos ja erityisesti, jos a 1 a n+1 B n B n+1 0, (5.7) b n+1 n i=1 b2 i n+1 i=1 a i. (5.8) Todistus. Edetään kuten Lauseen?? todistuksessa. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 55 / 121

Suppenemistarkasteluja Nyt yhtälön (4.8) mukaan pätee Täten suppenemiseen riittää tulos 0 < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = a 1 a 2k+1 B 2k B 2k+1. (5.9) a 1 a n+1 B n B n+1 0. (5.10) Näytetään seuraavaksi, että tulos (5.10) seuraa ehdosta (5.8). Rekursion nojalla B k+2 = b k+2 B k+1 + a k+2 B k > b k+2 B k+1, (5.11) joten Siispä ehdon (5.8) nojalla a 1 a n+1 B n B n+1 < B k > b k b 1. (5.12) a 1 a n+1 b 1 b n b 1 b n+1 0. (5.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 56 / 121

Suppenemistarkasteluja Esimerkki 11 K k=1 ( ) k 2 R +. (5.14) 2k + 1 Osoitetaan, että ketjumurto (5.14) suppenee. Ratkaisu: a 1 a n+1 = 12 2 2 3 2 n 2 (n + 1) 2 b 1 b n b 1 b n b n+1 3 2 5 2 (2n + 1) 2 (2n + 3) (n + 1) 2 2n + 3 1 0. 22n (5.15) Myöhemmin todistetaan vielä, että arctan 1 = 1 ( ) π 1 + K k 2 4 = 1. (5.16) 1 + 12 k=1 2k+1 3+ 22 5+... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 57 / 121

Suppenemistarkasteluja Esimerkki 12 Ketjumurto suppenee. Esimerkki 13 Ketjumurto suppenee. K k=1 K k=1 ( 1 ) 1 + i ( ) i 2 (5.17) (5.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 58 / 121

Suppenemistarkasteluja Esimerkki 14 Milloin ketjumurto suppenee? b + a b + a b +... (5.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 59 / 121

Suppenemistarkasteluja Esimerkki 15 τ = 3 + 2 2 3 + 3 +... suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö (5.20) τ = 3 + 2 τ τ = 1 tai 2 (5.21) mutta kumpi?? Toisaalta esimerkkien (12 15) suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 60 / 121

Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n 0. Määritelmä 7 Olkoot r, s C, s 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+1 + sw n, n N (5.22) sanotaan Lucasin jonoksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 61 / 121

Suppenemistarkasteluja Ratkaistaan rekursio (5.22) yritteellä Rekursioitten ratkaisemista w n = x n, x C. (5.23) Rekursiosta (5.22) saadaan x 2 rx s = 0, (5.24) jonka ratkaisut ovat Määritelmä 8 Polynomi α = r + r 2 + 4s 2, β = r r 2 + 4s. (5.25) 2 K(x) = K w (x) = x 2 rx s = (x α)(x β) (5.26) on rekursion (5.22) karakteristinen polynomi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 62 / 121

Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Lause 17 Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (5.22) ratkaisu. w n = aα n + bβ n (5.27) Olkoon r 2 + 4s 0, tällöin α β. Siten rekursion (5.22) kaikki ratkaisut ovat muotoa (5.27), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 63 / 121

Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Esimerkki 16 Ketjumurron konvergenteille pätee b + a b + a b +... (5.28) A k+2 = ba k+1 + aa k, B k+2 = bb k+1 + ab k. (5.29) Rekursioiden karakteristinen polynomi on muotoa x 2 bx a = (x α)(x β), (5.30) missä α = b + b 2 + 4a 2, β = b b 2 + 4a. (5.31) 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 64 / 121

Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Siten rekursioitten (5.29) yleiset ratkaisut ovat A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (5.32) missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A 1 = tα 1 + uβ 1, (5.33) B 0 = vα 0 + wβ 0, B 1 = vα 1 + wβ 1. (5.34) Tapaus a, b R, b 2 + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/α)k v + w(β/α) k t k v (5.35) ja siten b + a a b + b = t +... v. (5.36) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 65 / 121

Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Esimerkki 17 Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä raja-arvo saadaan vastaus τ = 3 + 2 2 3 + 3 = 2 (5.37) +... aikaisemman Esimerkin 15 kysymykseen. Nimittäin, nyt a = 2, b = 3, joten α = 2, β = 1. Siten rekursioitten (5.29) yleiset ratkaisut ovat muotoa A k = t2 k + u1 k, B k = v2 k + w1 k, (5.38) missä t = 4, u = 1, v = 2, w = 1 saadaan alkuarvoyhtälöistä (5.33) A 0 = 3 = t + u, A 1 = 7 = 2t + u, (5.39) Siten B 0 = 1 = v + w, B 1 = 3 = 2v + w. (5.40) A k = 4 2k 1 B k 2 2 k 1 = 4 (1/2)k 4 2 (1/2) k = 2. (5.41) k 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 66 / 121

Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Jos osaosoittajat ja -nimittäjät eivät ole vakioita, niin rekursioiden ratkaiseminen eksplisiittisesti voi olla vaikeaa tai mahdotonta. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan tapausta, jossa ketjumurron arvo saadaan ilman, että rekusioita ratkaistaan. Esimerkki 18 Tutkitaan ketjumurron arvoa. Konvergenteille pätee: K n=1 ( ) n + 1 n (5.42) A k+2 = (k+2)a k+1 +(k+3)a k, B k+2 = (k+2)b k+1 +(k+3)b k. (5.43) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 67 / 121

Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Tutkimalla alkuarvoja A 1 = 2, B 1 = 1; A 2 = 4, B 2 = 5; A 3 = 20, B 3 = 19; A 4 = 100, B 4 = 101;... (5.44) huomataan, että A n = B n + ( 1) n+1 (5.45) minkä voikin todistaa induktiolla. Lisäksi B n. Siten ( ) n + 1 K n=1 = lim A n = lim B n + ( 1) n+1 = 1. (5.46) n B n B n Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 68 / 121

Irrationaalisuusehtoja Määritelmä 9 Ketjumurron häntä on ketjumurto τ = K n=1 τ k = K n=k ( an b n ( an b n ), (6.1) ). (6.2) Hännille pätee palautuskaava τ k = a k b k + τ k+1. (6.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 69 / 121

Irrationaalisuusehtoja Huomautus 4 Mikäli ketjumurron (6.1) kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A) τ k 0 a k 0. (6.4) B) Olkoot a k, b k Q, a k 0 kaikilla k. Tällöin τ Q τ k Q k Z +. (6.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 70 / 121

Irrationaalisuusehtoja Lause 18 Olkoot a k, b k Z +. Jos a k b k k Z +, (6.6) niin ( K an n=1 b n ) / Q. (6.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 71 / 121

Irrationaalisuusehtoja Lause 19 Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (6.8) ja τ k 1 k Z +, (6.9) niin ( K an n=1 b n ) / Q. (6.10) Ennen lauseiden 18 ja 19 todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 72 / 121

Irrationaalisuusehtoja Lause 20 Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < 1 k Z +, (6.11) niin ( K an n=1 b n ) / Q. (6.12) Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, 1 r k s k 1 k Z +. (6.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 73 / 121

Irrationaalisuusehtoja Palautuskaavan (6.3) nojalla joten välttämättä Edelleen r k r k+1 = s k+1 (s k a k b k r k ), (6.14) s k+1 r k s k+1 r k k Z +. (6.15) r k+1 s k+1 1 r k 1 k Z +. (6.16) Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r 1 > r 2 >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 74 / 121

Irrationaalisuusehtoja Lauseen 18 todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten Edelleen τ k < 0 < τ k k Z +. (6.17) 0 < τ k = Sovelletaan vielä Lausetta 20. a k b k + τ k+1 6.17 < a k b k 6.6 1. (6.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 75 / 121

Irrationaalisuusehtoja Lemma 3 Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (6.19) niin τ k 1 k Z +. (6.20) Todistus. Olkoon n Z + annettu. Asetetaan κ n := a n b n, κ k := a k b k + κ k+1, k = n 1,..., 1. (6.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 76 / 121

Irrationaalisuusehtoja Oletuksen (6.19) nojalla 1 a k b k 1, k = 1,..., n, (6.22) ja 0 < κ n = Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla a n b n < 1. (6.23) b n 1 + κ n b n 1 κ n b n 1 κ n > b n 1 1 a n 1 (6.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 77 / 121

Irrationaalisuusehtoja Siispä eli ja lopulta Niinpä ja samaten 0 < κ n 1 = a n 1 b n 1 + κ n < 1 (6.25) 0 < a n 1 0 < < 1,..., (6.26) b n 1 + an b n a 1 a 2 a n b 1 + b 2 +...+ b n = A n < 1. (6.27) B n τ = lim A n B n τ 1 (6.28) τ k 1 k Z +. (6.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 78 / 121

Irrationaalisuusehtoja Lauseen 19 todistus. Lauseen 19 todistus. Lemman 3 nojalla τ k 1 k Z +. (6.30) Edelleen kaikkien ehtojen nojalla 0 < τ k < 1 k Z +, (6.31) joten Lausetta 20 käyttämällä saadaan väite. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 79 / 121

Irrationaalisuusehtoja Huomautus 5 Esimerkin (17) nojalla joten vaikka Lauseen 19 ehto (6.8) τ = 3 + 2 2 = 2, (6.32) 3 + 3 +... τ 1 = 2 2 = 1 Q (6.33) 3 + 3 +... 1 a k < b k k Z +, (6.34) toteutuu. Mutta nyt τ 1 = 1. (6.35) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 80 / 121

Irrationaalisuusehtoja Huomautus 6 Olkoot a k, b k Z +. Tarkastellaan irrationaalisuusehdon (6.6): a k b k k Z +, (6.36) rajamaastoa. Tiedetään, että K n=1 ( n n ) / Q (6.37) ja Mutta K n=1 K n=1 ( ) n + 1 = 1 Q. (6.38) n ( ) n 2 / Q. (6.39) 2n + 1 Siten, jos ehto (6.36) ei toteudu eli a k b k + 1, niin ketjumurto voi olla joko rationaalinen tai irrationaalinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 81 / 121

Transformaatioita Lause 21 Olkoot t k 0 kaikilla k. Tällöin b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 +... = (7.1) eli missä b 0 + t 1a 1 t 1 t 2 a 2 t 2 t 3 a 3 t 1 b 1 + t 2 b 2 + t 3 b 3 +... K k=1 ( ak b k ) = K k=1 ( ck d k (7.2) ), (7.3) d 0 = b 0, c 1 = t 1 a 1, d 1 = t 1 b 1, (7.4) c k = t k 1 t k a k, d k = t k b k, k = 2, 3,... (7.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 82 / 121

Transformaatioita Todistus. Olkoot (A n /B n ) ja (C n /D n ) ketjumurtojen konvergenttijonot. Näytetään, että C n = t 1 t n A n, D n = t 1 t n B n n = 1, 2,... (7.6) Induktiolla käyttäen rekursioita C n+2 = d n+2 C n+1 + c n+2 C n, (7.7) D n+2 = d n+2 D n+1 + c n+2 D n, n = 0, 1,... (7.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 83 / 121

Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat Seuraavassa tutkitaan lukujen ja funktioiden sarjakehitelmiin liittyviä rekursioita, joiden avulla muodostetaan laajahko luokka ketjumurtokehitelmiä. Pochhammerin symboli määritellään asettamalla jolloin esimerkiksi Formaalia sarjaa (a) 0 = 1, (a) n = a(a + 1) (a + n 1), (8.1) ( a1,..., a ) A AF B t = b 1,..., b B (1) n = n! n Z +. (8.2) n=0 kutsutaan yleistetyksi hypergeometriseksi sarjaksi. Seuraavassa ei välttämättä tutkita sarjojen suppenemista. (a 1 ) n (a A ) n n!(b 1 ) n (b B ) n t n (8.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 84 / 121

Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat Erikoistapauksia: Gauss hypergeometric series 2F 1 ( a, b c ) t = n=0 (a) n (b) n n!(c) n t n. (8.4) Geometric series 2F 1 ( 1, 1 1 ) ( 1 t = 1 F 0 ) t = t n (8.5) n=0 Jos A = 0 tai B = 0, niin käytetään merkintää. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 85 / 121

Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat Logarithm series Binomial series: Arcustangent: 2F 1 ( 1, 1 2 2F 1 ( 1, α 1 2F 1 ( 1, 1/2 3/2 ) log(1 t) t = = t ) t = (1 t) α = ) t 2 = arctan t t = n=0 n=0 n=0 1 n + 1 tn (8.6) ( ) α ( t) n (8.7) n ( 1) n 2n + 1 t2n+1 (8.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 86 / 121

Eksponenttifunktio: 0F 0 ( Kehitelmiä ) t = exp(t) = Hypergeometriset sarjat n=0 jonka avulla saadaan sarjaesitykset seuraaville funktioille. Trigonometriset funktiot 1 n! tn (8.9) sin(t) = eit e it 2i Hyperboliset funktiot, cos(t) = eit + e it, 2 sinh(t) = et e t, cosh(t) = et + e t, 2 2 tan(t) = sin(t) cos(t). (8.10) tanh(t) = sinh(t) cosh(t). (8.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 87 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Sarjalle pätee palautuskaava josta saadaan f (c) = 0 F 1 ( c f (c) = f (c + 1) + f (c + k) = f (c + k + 1) + ) t = n=0 1 n!(c) n t n (8.12) t f (c + 2), (8.13) c(c + 1) t f (c + k + 2). (8.14) (c + k)(c + k + 1) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 88 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Niinpä t f (c + k) f (c + k + 1) = 1 + (c+k)(c+k+1) f (c + k + 1)/f (c + k + 2). (8.15) Toistetaan yhtälöä (8.15), jolloin t f (c) f (c + 1) = 1 + (c)(c+1) f (c + 1)/f (c + 2) = (8.16) 1 + 1 + t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) f (c+2)/f (c+3) Voidaan todistaa, että ketjumurtokehitelmä 1 + 1 + suppenee kaikilla t C kohti funktiota t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) 1+... =... (8.17) (8.18) f (c) f (c + 1), (8.19) Tapani siten Matala-aho käyttämällä MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN vielä muunnosta 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO (7.3)saadaan OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 89 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lause 22 Olkoon c, t C, c 0, 1, 2,... Tällöin f (c) f (c + 1) = 1 + 1 + t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) 1+... = (8.20) t/c 1 + c + 1 + t c+2+ t c+3+.... (8.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 90 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lemma 4 sinh z = z 0 F 1 ( 3/2 ) z2 = 4 cosh z = 0 F 1 ( 1/2 z2 4 tanh z = z 0 F 1 n=0 ) = ( 3/2 0F 1 ( 1/2 1 (2n + 1)! z2n+1 ; (8.22) 1 (2n)! z2n ; (8.23) ) n=0 z2 4 z2 4 ). (8.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 91 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lemma 5 sin z = z 0 F 1 ( 3/2 cos z = 0 F 1 ( 1/2 ) z2 = 4 z2 4 tan z = z 0 F 1 n=0 ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 ; (8.25) ) ( 1) n = (2n)! z2n ; (8.26) n=0 ) z2 4 ). (8.27) z2 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 4 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 92 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lause 23 Kaikilla z C, z i(π/2 + kπ), k Z pätee Todistus. Lauseen 22 mukaan tanh z = ez e z e z + e z = z z 2 z 2 z 2 1 + 3 + 5 + 7. (8.28) +... tanh z = ez e z e z + e z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ) = (8.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 93 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 z f (1/2)/f (3/2) = t=z 2 /4,c=1/2 = = 1 + z 1 + 1 + z 2 3+ z2 5+ z2 7+... z t/c t c+1+ c+2+ t c+3+... z z 2 /2 z 3/2+ 2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+... (8.30) (8.31). (8.32) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 94 / 121

Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lause 24 Kaikilla z C, z π/2 + kπ, k Z pätee tan z = z 1 + z 2 z 2 z 2 3 + 5 + 7 +.... (8.33) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 95 / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus 3 Kaikilla z C pätee e 2z = 1 + Todistus. Yhtälön (8.28) nojalla e 2z = 1 + 2z z 2 z 2 1 z + 3 + 5. (8.34) +... 2 1 tanh z = 1 + 2 z = (8.35) 1 1+ z2 z 2 3 + 5 +... missä 1 + 2 1 z 1+τ = 1 + z + τ 1 z + τ = 1 + 2z 1 z + τ, (8.36) τ = z2 z 2 3 + 5. (8.37) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 96 / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus 4 e = 1 + 2[0, 1, 4k + 2] k=1 = 1 + 2 1 + I. Todistus. Asetetaan z = 1/2 kehitelmään (8.34), jolloin 1 6 + 1 10. (8.38) +... e = 1 + 1 1/4 1/4 7.3 = (8.39) 1/2 + 3 + 5 +... 1 + 2 1 + 1 6 + 1 10. (8.40) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 97 / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Lause 25 e = [2, 1, 2k, 1] k=1 = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1. (8.41) +... e 2 = [7, 3k 1, 1, 1, 3k, 12k + 6] k=1. (8.42) Todistus. Todistetaan (8.41), kehitelmä (8.42) menee vastaavasti. Lähdetään kehitelmästä (8.38), missä merkitään α = β 1 = 2 1 + 1 6 + 1 10. (8.43) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 98 / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Käytetään myös merkintöjä ja β k = 1 d k + β k+1, d k = 4k 2, k = 2, 3,... (8.44) α 0 = β 1 = 2 d 1 + β 2 = 2 1 + β 2. (8.45) Sovelletaan ketjumurtoalgoritmia lukuun α 0 = [b 0, b 1,...]. Sijoitetaan 1 β 2 = = 1 (8.46) d 2 + β 3 6 + β 3 yhtälöön (8.45), Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 99 / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle jolloin α 0 = 12 + 2β 3 7 + β 3 = 1 + 5 + β 3 7 + β 3 = b 0 + {α 0 }; (8.47) α 1 = 1 {α 0 } = 7 + β 3 5 + β 3 = 1 + 2 5 + β 3 = b 1 + {α 1 }; (8.48) α 2 = 1 {α 1 } = 5 + β 3 2 = 2 + 1 + β 3 2 = b 2 + {α 2 }; (8.49) α 3 = 1 {α 2 } = 2 1 + β 3. (8.50) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART100 II / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Sijoitetaan yhtälöön (8.50), jolloin β 3 = 1 d 3 + β 4 = 1 10 + β 4 (8.51) α 3 = 2d 3 + 2β 4 d 3 + 1 + β 4 = 1 + d 3 1 + β 4 d 3 + 1 + β 4 = b 3 + {α 3 }; (8.52) α 4 = 1 {α 3 } = d 3 + 1 + β 4 2 = 1 + = b 4 + {α 4 }; (8.53) d 3 1 + β 4 d 3 1 + β 4 α 5 = 1 {α 4 } = d 3 1 + β 4 2 = d 3 2 2 + 1 + β 4 2 = b 5 + {α 5 }; (8.54) α 6 = 1 {α 5 } = 2 1 + β 4. (8.55) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART101 II / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Yleisemminkin johon sijoitetaan Tällöin α 3l 3 = β l+1 = 1 {α 3l 4 } = 2, (8.56) 1 + β l+1 1 d l+1 + β l+2. (8.57) α 3l 3 = 2d l+1 + 2β l+2 d l+1 + 1 + β l+2 = (8.58) 1 + d l+1 1 + β l+2 d l+1 + 1 + β l+2 = b 3l 3 + {α 3l 3 }; (8.59) α 3l 2 = 1 + 1 {α 3l 3 } = d l+1 + 1 + β l+2 d l+1 1 + β l+2 = (8.60) 2 d l+1 1 + β l+2 = b 3l 2 + {α 3l 2 }; (8.61) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART102 II / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle siten jälleen Niinpä ja siten josta α 3l 1 = d l+1 2 2 1 {α 3l 2 } = d l+1 1 + β l+2 2 α 3l = + 1 + β l+2 2 b 3l 1 = d l+1 2 2 = (8.62) = b 3l 1 + {α 3l 1 }; (8.63) 1 {α 3l 1 } = 2. (8.64) 1 + β l+2 = 2l, b 3l = b 3l+1 = 1 (8.65) α = β 1 = [1, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...], (8.66) e = 1 + β 1 = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...]. (8.67) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART103 II / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle II. Todistus. Tutkitaan konvergenttijonoa missä A n B n = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,..., b n ], (8.68) A 3n+1 = A 3n + A 3n 1, B 3n+1 = B 3n + B 3n 1 ; (8.69) A 3n+2 = 2(n + 1)A 3n+1 + A 3n, B 3n+2 = 2(n + 1)B 3n+1 + B 3n ; (8.70) A 3n+3 = A 3n+2 + A 3n+1, B 3n+3 = B 3n+2 + B 3n+1. (8.71) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART104 II / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Asetetaan Lemma 6 α n = 1 n! β n = 1 n! γ n = 1 n! 1 0 1 0 1 0 x n (x 1) n e x dx, (8.72) x n+1 (x 1) n e x dx, (8.73) x n (x 1) n+1 e x dx. (8.74) α n = β n 1 γ n 1 ; (8.75) β n = 2nα n + γ n 1 ; (8.76) γ n = β n α n. (8.77) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART105 II / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Huomataan, että integraaleista tulee lineaarikombinaatioita luvuista 1 ja e, joten merkitään: Lemma 7 α n = v 3n 2 e t 3n 2 ; (8.78) β n = t 3n 1 v 3n 1 e; (8.79) γ n = t 3n v 3n e. (8.80) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART106 II / 121

Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Lemma 8 v n = B n n N. (8.81) Lemma 9 B 3n 2 e A 3n 2 = α n B 3n 1 e A 3n 1 = β n B 3n e A 3n = γ n 0; (8.82) n 0; (8.83) n 0; (8.84) n Todistus. lim A n B n = e e = [2, 1, 2k, 1] k=1. (8.85) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART107 II / 121

Irrationaalisuustuloksia Lause 26 Olkoon r/s Q, tällöin e r/s / Q. (9.1) Todistetaan tapaus z = r Z \ {0}. Yhtälön (8.28) nojalla Vastaoletus e 2r 1 e 2r + 1 = r r 2 r 2 1 + 3 + 5 +...+ r 2 2k 1 + τ k+1 = τ. (9.2) e r Q e2r 1 e 2r Q. (9.3) + 1 Toisaalta, valitaan k niin isoksi, että jolloin Lauseen 18 nojalla Ristiriita. Tapaus e r/s kotitehtävä. b k+1 = 2k + 1 > r 2 = a k+1, (9.4) τ k+1 / Q τ / Q. (9.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART108 II / 121

Irrationaalisuustuloksia Lause 27 π / Q (9.6) I. Todistus. Valitaan z = π/4, jolloin tan z = 1 ja yhtälön (8.33) nojalla z = 1 + z2 z 2 z 2 3 + 5 + 7. (9.7) +... Vastaoletus π Q. Olkoon z = π/4 = r/s, r Z, s Z +, jolloin r s = 1 + (r/s)2 (r/s) 2 (r/s) 2 7.3 = (9.8) 3 + 5 + 7 +... 1 + r 2 r 2 r 2 3s 2 + 5 + 7s 2 = τ, (9.9) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART109 II / 121

Irrationaalisuustuloksia missä b k = (2k + 1)s 2 2 k, b k = 2k + 1 2 k, (9.10) a k = r 2, k Z +. (9.11) Nyt b k a k + 1, k k 0 = r 2 + 1 (9.12) 2 ja siten Lemman 3 mukaan τ k 1 k k 0. (9.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART110 II / 121

Irrationaalisuustuloksia Edelleen 0 < τ k = Siispä Lauseen 20 nojalla a k b k + τ k+1 a k b k τ k+1 (9.14) a k b k 1 r 2 2k < r 2 + 1 1 k k 0. (9.15) 2k τ k / Q τ / Q. (9.16) Ristiriita, sillä τ = r/s. Täten vastaoletus väärä eli π / Q. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART111 II / 121

Irrationaalisuustuloksia II. Todistus. Tutkitaan integraaleja I n (π) = 1 2n! π jotka toteuttavat seuraavat ehdot (laskarit): 0 x n (π x) n sin x dx, (9.17) I n (t) Z[t] deg t I n = n; (9.18) 0 < I n (π) π2n+1. (9.19) n!22n+1 Vastaoletus π = r/s Q. Tällöin joten Ristiriita. s n I n (r/s) Z, (9.20) 1 s n I n (r/s) sn π 2n+1 n!2 2n+1 n 0. (9.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART112 II / 121

Irrationaalisuustuloksia Tarkemmin. Käytetään merkintää g(x) = x n (π x) n, jolloin osittaisintegroinnilla J m = π 0 g(x) sin x dx = g(0) + g(π) g (2) (0) g (2) (π) (9.22) Tässä + g (4) (0) + g (4) (π) g (6) (0) g (6) (π) +... (9.23) g (k) (0) = g (k) (π) = 0, k n 1, k 2n + 1 (9.24) ja ( ) n g (k) (0) = ( 1) k g (k) (π) = ( 1) k k! π k n, n k 2n. k n (9.25) Täten I n (π) = ( ) n+l (2l)! n ( 1) π 2n 2l. (9.26) n! 2l n n 2l 2n Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART113 II / 121

Irrationaalisuustuloksia Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Kerrataan, että alkioiden (vektoreitten) α 1,..., α m lineaarinen vapaus (riippumattomuus) kunnan K yli (lin. vapaita/k) tarkoittaa sitä, että ehdosta s 1 α 1 +... + s m α m = 0, (9.27) seraa s 1 =... = s m = 0. Olkoon vielä Kα 1 +... + Kα m = {k 1 α 1 +... + k m α m k 1,..., k m K}. (9.28) Tällöin dim K {Kα 1 +... + Kα m } = m (9.29) alkiot α 1,..., α m ovat lineaarisesti vapaita/k. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART114 II / 121

Irrationaalisuustuloksia Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Lause 28 α Q a, b Z, a 0 : aα + b = 0. (9.30) α / Q a, b Z, a 0 : aα + b 0. (9.31) α / Q 1, α lin. vapaita/q (9.32) α / Q dim Q {Q + αq} = 2. (9.33) α Q dim Q {Q + αq} = 1. (9.34) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART115 II / 121