Harjoitukset 3. 1. (a) Dismalandissa eri puolueiden arvostukset katusiivoukselle ovat Q A (P ) = 60 6P P A (Q) = 10 Q/6 Q B (P ) = 80 5P P B (Q) = 16 Q/5 Q C (P ) = 50 2P P C (Q) = 25 Q/2 Katusiivous on aito julkishyödyke. Tehokkaassa ratkaisussa pätee siis MC = P A (Q) + P B (Q) + P C (Q), eli 25 = 10 Q/6 + 16 Q/5 + 25 Q/2 Q = 30 henkilötyövuotta. Tarkistetaan, että tästä seuraava rajahyöty on kaikille positiivinen: P A (30) = 5, P B (30) = 10, P C (30) = 10. Saatu ratkaisu on siis järkevä. (b) Kun kustannukset jaetaan tasan, niin katusiivouksen rajakustannus kullekin puolueelle on 25/3 tuhatta euroa. Yksittäisen puolueen i ylijäämän maksimoisi se Q, joka asettaa oman rajahyödyn yhtä suureksi kuin oma rajakustannus, eli toteuttaa yhtälön P i (Q) = 25/3. Tästä voidaan laskea puolueiden preferoidut määrät Q A = 10, Q B = 38.33, Q C = 33.33. Preferoidun määrän ympärillä ylijäämä laskee kumpaankin suuntaan, eli preferenssit ovat yksihuippuiset. Puolue C on tässä mediaaniäänestäjä, joten äänestysten jälkeen voidaan odottaa puolue C:n preferoiman määrän toteutuvan. Lisähuomautus. Puolueen i saama ylijäämä määrän Q toteutuessa on V i (Q) = [P i (0) + P i (Q)]Q/2 (25/3)Q, (kunhan Q ei ole niin suuri etteikö rajahyöty olisi positiivinen). Tästä voisi laskemalla havaita, että Q C voittaa äänestyksessä sekä Q B :n että Q A :n äänin 2 1. Äänestysjärjestyksellä ei siis ole väliä. 2. (a) Päivälehden kysyntä on Q D (p) = 4000 800p (kpl, e). Käännetty kysyntäkäyrä on P (q) = 5 q/800 ja lehden tuottamisesta syntyvät kustannukset ovat MC = 1.5 F C = 1000 Lisäksi lehti saa mainostuloja 0.8e per myyty lehti. Kirjoitetaan lehden tuotot määrän funktiona ja ratkaistaan rajahyöty M R: T R(q) = P (q) q + 0.8q = 5q q 2 /800 + 0.8q MR = T R (q) = 5 q/400 + 0.8 = 5.8 q/400 Ratkaistaan voittoa maksimoiva määrä ja hinta asettamalla M R = M C: 5.8 q/400 = 1.5 Q = 1720 P = P (Q ) = 5 1720/800 = 2.85 Voitot ovat: π a = T R(Q ) V C(Q ) F C = 2698 1
Tarkastetaan vielä voitot, jos lehti toimisi ilmaisjakeluna. Tällöin MC i = 0.5 ja kaikki tulot tulevat mainoksista: π i = 0.8Q(0) + 0.5Q(0) 1000 = 200 Lehden ei kannata toimia ilmaisjakeluna. (b) Jos Päivälehti siirtyy käyttämään kokosivun mainoksia niin jokaisen potentiaalisen lukijan reservaatiohinta laskisi osuudella x. (Vastaava prosenttiosuus on siis X = 100x%). Lukijoiden arvostukset ovat silloin tasajakautuneet välille [0, ()5]e. Lehden kysyntäkäyrä on nyt Q D (p) = 4000(1 p ) = 4000 800p/() (1 x)5 Ratkaistaan ensin miten optimaalinen hinta P riippuu x:n arvosta. Kirjoitetaan lehden kohtaama käänteinen kysyntä, tuotot ja rajatuotto q:n ja x:n funktioina. Huomaa, että nyt yrityksen saamat mainostulot ovat 2 0.8 = 1.6e per lehti. P (q) = ()5 ()q/800 T R(q) = qp (q) + 1.6q = ()5q ()q 2 /800 + 1.6q MR = T R (q) = ()5 ()q/400 + 1.6 = 6.6 5x ()q/400 Ratkaistaan voiton maksimoiva määrä x:n funktiona asettamalla M R = M C: 6.6 5x ()q/400 = 1.5 Q = 2040 2000x 1 x Sijoitetaan tasapainomäärä käänteiseen kysyntäkäyrään ja ratkaistaan hinta X:n funktiona: P (Q ) = ()5 1 x 2040 2000x 800 1 x P = 5 + 50x 51 = 49/20 5x/2 20 2.5 P 2.0 1.5 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Kuva 1: P :n riippuvuus X:stä. Selvittääksemme miten mainoskoko riippuu x:stä, meidän täytyy ratkaista millä x arvoilla yrityksen voitto on suurempi isolla mainoskoolla kuin pienellä (voitto pienellä oli 2698e). Kirjoitetaan ensin voitto x:n funktiona: 2
= (49/20 5x/2) ( π x (x) = P (Q ) Q + 1.6Q 1.5Q 1000 2040 2000x 2040 2000x ) + 0.1 ( ) 1000 = 5000x2 10200x + 5202 1000 Asettamalla π x (x) 2698 ja ratkaisemalla x saadaan tietää, millä x : n arvoilla yrityksen kannattaa myydä suurempia mainoksia. 5000x 2 10200x + 5202 1000 2698 x 0.30 tai x 0.99 Huomaa, että voittofunktio ei ole määritelty pisteessä x = 1. Kun x 1 niin (1 x) 0, jolloin myös voitot näyttävät kohoavan äärettömiin. Tässä ei kuitenkaan ole järkeä, koska kuten yllä laskimme, P 0 kun x 1 ja potentiaalisia lukijoita on vain 4000. Todellisuudessa voitot eivät edes kattaisi kiinteitä kustannuksia, koska Päivälehti saisi vain mainostulot, mutta maksaisi jokaisesta lehdestä rajakustannuksen MC = 1.5. Kun x 1 päivälehden voitot lähestyvät 4000 (1.6 1.5) 1000 = 600, joten vastauksessa x 0.99 ei ole järkeä. Voidaan todeta, että kun x 30% Päivälehden kannattaa yrityksen myydä lehtiä kokosivun mainoksilla, muutoin pieniä mainoksia. Tarkistetaan vielä, miten mainoskoko vaikuttaa ilmaisjakelun voittoihin. Lukijoiden reservaatiohinnan aleneminen ei vaikuta ilmaislehden kysyntään: Q(0) = 4000 800 0/() = 4000 π i = 1.6 4000 0.5 4000 1000 = 3400 > π a Ilmaisjakelusta saatavat voitot isolla mainoskoolla ovat suuremmat, kuin 2a kohdan voitot. Päivälehteä ei siis kannata koskaan myydä pienellä mainoskoolla, jos on mahdollista käyttää kokosivun mainoksia. Lasketaan millä x arvolla lehden kannattaa muuttua ilmaisjakeluksi eli milloin π x π i : 5000x 2 10200x + 5202 1000 3400 x 0.16 Vastaus: Päivälehden kannattaa myydä lehteä kokosivun mainoksilla hintaan 2.45 2.5x, jos suuren mainoskoon alentava vaikutus kuluttajien reservaatiohintoihin x on alle 16 %. Jos vaikutus on suurempi kuin 16% sen kannattaa siirtyä ilmaisjakelulehdeksi. Päivälehden voitot x:n funktiona eri strategioilla on esitetty kuvassa 2. 3
Voitot 4000 3000 π i π a 2000 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 π x x Kuva 2: Päivälehden voitot eri strategioilla x:n funktiona, jossa x suuren mainoskoon alentava vaikutus kuluttajien arvostuksille. 3. (a) Aluksi pitää huomata, että itse sähkön hinta on vakio 1 markka/kwh. Se ei siis vaikuta RetuVerkon hinnoittelupäätökseen, mutta vaikuttaa kuluttajien kysyntään (koska heille sähkön hinta on 1e sen lisäksi, mitä RetuVerkko veloittaa sähkönsiirrosta). Kirjoitetaan aggregoitu kysyntäkäyrä ja käännetään se: Q(p) = 1000(10 (p + 1)) Q(p) = 9000 1000p P (q) = 9 q/1000 Taloudellisesti tehokas hinnoittelu toteutuu, kun yritys asettaa P = MC = 0.5. Tällöin: Q(P ) = 9000 1000 0.5 = 8500 CS = (9 0.5) 8500 0.5 = 36125 π = 8500 0.5 8500MC 8000 = 8000 Koska kiinteitä kustannuksia ei oteta huomioon taloudellisesti tehokkaassa hinnoittelussa, tekee yritys 8000e tappiota. (b) Nyt RetuVerkko käyttää perushinnoittelua sähkön hinnan määrittämiseen. Ratkaistaan aluksi MR: T R(q) = qp (q) = 9q q 2 /1000 MR = T R (q) = 9 q/500 Asetetaan M R = M C ja ratkaistaan voittoa maksimoiva tuotantomäärä: 9 q/500 = 0.5 Q = 8.5 500 = 4250 P = P (Q ) = 9 4250/1000 = 4.75 Yrityksen voitto on π = 4250 4.75 4250 0.5 8000 = 10062.5 Ja kuluttajan ylijäämä on CS = (9 4.75) 4250 0.5 = 9031.25 4
Yrityksen voitto kasvaa edelliskohdasta selvästi, mutta kuluttajien kustannuksella. Kokonaisylijäämään hinnoittelun vaikutus on negatiivinen! Voitto 10 000 5000 2000 4000 6000 8000 Q -5000-10 000 Kuva 3: Voitto tuotetun määrän funktiona. (c) Toisin kuin (a) kohdassa, nyt RetuVerkot ei saa tehdä tappiota. Halutaan siis löytää tasapaino, jossa kuluttajan ylijäämä maksimoituu niin, että π 0. Käytännössä ylijäämän maksimissa pätee π = 0, eli me voimme etsiä yrityksen voittofunktion nollakohdat ja tarkastaa, missä niistä ylijäämä on korkein. π = T R(q) V C(q) 8000 = 0 9q q 2 /1000 0.5q 8000 = 0 q 1077.86 tai q 7422.14 Sijoitetaan saadut arvot kuluttajan ylijäämän funktioon CS(q) = (9 (9 q/1000)) q 0.5 CS(1077.86) 580.89 CS(7422.14) 27544.08 Hinta ja RetuVerkon voitot, kun tuotetaan Q = 7422.14: P (7422.14) 1.58 π(7422.14) = 0 Voitot ja kuluttajan ylijäämä on kuvattu Q:n funktiona kuvassa 4. 5
40 000 30 000 20 000 10 000 2000 4000 6000 8000-10 000 Kuva 4: Voitto ja kuluttajan ylijäämä Q:n funktiona. 4. (a) Määrä, joka menisi kaupaksi hintaan 4 e/kg riippuu skenaariosta: Kasvu Myynti kg Todennäköisyys +25 % 10 000 0.3 0 % 8 000 0.4-30 % 5 600 0.3 Jos tuotanto on suurempi kuin myyty määrä, niin ylijäämä menee kaupaksi joulun jälkeen hintaan 1 e/kg. Koska rajakustannus on 2 e/kg, niin hintoihin liittyvät voittomarginaalit ovat 2e/kg (ennen joulua) ja -1e/kg (joulun jälkeen). On selvää, että ikinä ei kannata tuottaa enemmän kuin suurin mahdollinen kysytty määrä 10 000 tai vähemmän kuin pienin mahdollinen kysytty määrä 5 600. Siltä väliltä oleellinen tuotantomäärä on 8 000, joka osuu oikeaan todennäköisyydellä 0.4. Lasketaan voitot näille kolmelle tuotantomäärälle. Vaihtoehto 1: Tuota 5 600 kiloa, jolloin kaikki lanttulaatikko menee varmasti kaupaksi ennen joulua: π 1 = 5600 2 = 11200. Vaihtoehto 2: Tuota 8 000 kiloa. Jos kysytty määrä kasvaa, osalle asiakkaista ei pystytä myymään ja myynti on tällöinkin 8 000 kiloa. Jos kysytty määrä pienenee, ylijäämä 8 000 5 600 = 2 400 joudutaan myymään poistohintaan: Eπ 2 = 0.3 (8000 2) + 0.4 (8000 2) + 0.3 (5600 2 2400 1) = 13840 Vaihtoehto 3: Tuota 10 000 kiloa. Jos myyty määrä kasvaa, kaikki mämmi saadaan myytyä, muuten joudutaan osa myymään tappiolla. Eπ 3 = 0.3 (10000 2)+0.4 (8000 2 2000 1)+0.3 (5600 2 4400 1) = 13640 Vaihtoehto 2 tuottaa suurimman odotetun voiton, eli Heidin kannattaa tuottaa 8 000 kiloa. 6
(b) Jos lipeäkalan voittomarginaali on X e/kg, kalan tuottaminen on kannattavampaa kuin lanttulaatikon, mikäli 10000X 13840 eli jos X 1.384. (c) Jos käytössä olisi tarkka ennuste pääsiäisen myynnistä, niin lanttulaatikkoa osattaisiin tuottaa aina oikea määrä ja odotusarvoinen voitto olisi Eπ e = 0.3 (10000 2) + 0.4 (8000 2) + 0.3 (5600 2) = 15760. Lipeäkalan voittomarginaalin ollessa X, voidaan lipeäkalasta saatuja tuottoja merkata 10000X kuten edellisessä kohdassa. Kun X 1.384, ei lipeäkalaa kannata tuottaa ja tällöin ennusteen arvo Heidille saadaan ennusteen kanssa saadun odotetun tuoton ja parhaan vaihtoehdon (Vaihtoehto 2) odotetun tuoton erotuksena. Merkataan ennusteen arvoa Z: Z = Eπ e Eπ 2 = 15760 13840 = 1920 Kun X 1.384, kannattaa Heidin valmistaa lipeäkalaa ja ennusteen arvo riippuu X:n arvosta seuraavasti: Z = 15760 10000X Kun 10000X 15760 X 1.576 on voittomarginaali niin iso, ettei Heidin kannata koskaan ostaa ennustetta vaan tuottaa lipeäkalaa. Ennusteen arvon riippuu siis X:stä seuraavasti: 1920, kun X 1.384 Z = 15760 10000X, kun 1.384 < X < 1.576 0, kun X 1.576 7
KUN X 1.384: 20 000 - C EV = 15760 - C 16 000- C Tuotanto & myynti 8 000 [0.4] 11 200 - C 16 000 Kysyntä 8 000 [0.4] 16 000 EV = 13840 8800 KUN 1.576 X 1.384: 20 000 - C EV = 15760 - C 16 000- C Tuotanto & myynti 8 000 [0.4] 11 200 - C 10 000X Kuva 5: Joulumyyntiennusteen arvo. 8
5. Julkishyödykesimulaatio (tehtiin luokassa). Tehtävä oli jakaa oma 10 e budjetti yksityisja julkishyödykkeen tuotantoon. Oma kulutus oli C = 10 x + 0.3(x + 9 j=1 x j), jossa x oma panostus julkishyödykkeeseen ja x 1,..., x 9 muiden oman ryhmän jäsenten panostukset julkishyödykkeeseen. Täydet pisteet sai jos noudatti sääntöjä ja laski oikein oman kulutuksensa. Periodi 1 Keskiarvo = 4.35 Periodi 2 Keskiarvo = 3.89 Periodi 3 Keskiarvo = 3.13 12 10 15 20 8 10 15 6 4 2 5 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi Kuva 6: Panostukset julkishyödykkeeseen 9