Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä

Transkriptio

1 Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia arvoja ovat x=0,1,2, ). Jos x on jatkuva suure (esim. tuotetun selluloosan määrä tonneissa), rajakustannus ja rajahyöty määritellään derivaattoina. Seuraavaksi kerrataan (koulumatematiikasta tuttu) derivaatan käsite. 1

2 Erotusosamäärä Otetaan jälleen esimerkiksi tuotantokustannus C(x). Oletetaan, että x:n yksikön tuotantokustannus on C(x) ja että nykyinen tuotanto on x 0. Jos tuotantoa kasvatetaan määrällä Δx, kustannukset kasvavat määrällä C(x 0 +Δx)-C(x 0 ). Kustannusten kasvu per yksikkö on Tätä lauseketta nimitetään erotusosamääräksi. Aiempi rajakustannusten MC(x 0 ) määritelmä diskreetissä tapauksessa vastasi erotusosamäärä, jossa Δx=1, koska sen mukaan MC(x 0 ) = C(x 0 +1)-C(x 0 ) 2

3 Rajakustannus ja jatkuvat suureet Jos x on jatkuva suure, Δx:llä ole mitään tiettyä pienintä mahdollista arvoa. Tällöin rajakustannus MC(x) on erotusosamäärän raja-arvo kun Δx 0, eli Tämä lauseke on määritelmän mukaan funktion C derivaatta pisteessä x 0. 3

4 Derivaatta yleisesti Olkoon f(x) on x:n funktio. Funktion f derivaatasta pisteessä x 0 käytetään merkintöjä f (x 0 ) ja df/dx. Se määritellään Määritelmään sisältyvä erotusosamäärä kuvaa sitä, kuinka voimakkaasti f muuttuu x:n muuttuessa. Derivaatta on raja-arvo, joka kuvaa muutosvauhtia silloin, kun muutoksen suuruus lähestyy nollaa. Geometrisesti derivaatta f (x) ilmaisee funktion tangentin kulmakertoimen pisteessä x. 4

5 Erotusosamäärän geometrinen tulkinta Erotusosamäärä kuvaa funktion keskimääräistä muutosvauhtia Δx:n mittaisella välillä. Geometrisesti se on oheiseen kuvaan piirretyn sekantin S kulmakerroin. 5

6 Derivaatan geometrinen tulkinta Kun väliä Δx lyhennetään, sekantti S lähestyy pisteeseen x 0 piirrettyä tangenttia T ja sekantin kulmakerroin lähestyy tangentin kulmakerrointa. Geometrisesti derivaatta on tangentin T kulmakerroin. 6

7 Periaatteen 3 perustelu (kun x on jatkuva suure) Edellä periaate Rational people think at the margin muotoiltiin yhtälönä MB(x)=MC(x). Kaava osoitettiin diskreetissä tapauksessa likimain oikeaksi silloin, kun suureen x mahdolliset arvot ovat x=0,1,2, Jatkuvaan tapaukseen soveltuva perustelu on seuraava. Paras x:n arvo maksimoi funktion B(x) C(x). Maksimi löydetään derivoimalla x:n suhteen ja asettamalla derivaatta nollaksi. d(b(x) C(x))/dx = db(x)/dx dc(x)/dx = 0 Rajahyödyn määritelmä on MB(x) = db(x)/dx Rajakustannusten määritelmä on MC(x) = dc(x)/dx Siksi optimissa pätee, että MB(x) = MC(x). Vrt. seuraavat kuviot! 7

8 Kuviona: B(x), C(x) kulmakerroin = MB(x) = db(x)/dx B(x) C(x) B(x)- C(x) kulmakerroin = MC(x) = dc(x)/dx Optimaalinen valinta x: MB(x) = MC(x) x 9 8

9 Rajakäsitteisiin perustuva kuvio MB(x), MC(x) MB(x) MC(x) Optimaalinen valinta x: MB(x) = MC(x) x 10 9

10 Kaksi epätäsmällistä puhetapaa I Oletetaan edelleen, että C(x) on tuotantokustannus ja x on jatkuva suure (esim. jonkin aineen määrä). Nyt rajakustannus pisteessä x 0 on määritelmän mukaan derivaatta Tällaisissakin tilanteissa ajatellaan usein havainnollisesti, että MC(x) olisi se kustannusten lisäys, joka aiheutuisi siitä, että suuretta x kasvatetaan yksi yksikkö. Tämä on likimain totta, jos yksikkö jossa suuretta x mitataan, on riittävän pieni. 10

11 Kaksi epätäsmällistä puhetapaa II Usein sanotaan, että - kuten merkintätapa vihjaisee derivaatta f (x) olisi erotusosamäärä, jossa dx olisi äärettömän pieni (infinitesimaalinen) x:n lisäys, ja df olisi sitä vastaava funktion äärettömän pieni muutos. Rajakustannuksen tapauksessa tämä merkitsisi, että rajakustannus on kustannuksen lisäyksen ja tuotannon lisäyksen suhde silloin, kun tuotantoa kasvatetaan äärettömän vähän eli infinitesimaalisesti. Puhetapa on epätäsmällinen mutta havainnollinen, ja siksi sitä käytetään kansantaloustieteessä ja muillakin matematiikan sovellusalueilla. (Puhtaassa matematiikassa infinitesimaaleihin perustuvia määritelmiä tai argumentteja ei enää pidetä hyväksyttävinä.) 11