ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 1 / 5 Tehtävä 1. Alla esitetyn kuvan mukaisesti y-akselin suuntainen sauvajohdin yhdistää -akselin suuntaiset johteet (y = ja y =,5 m). a) Määritä indusoitunut jännite, kun sauva on kohdassa =,5 m ja B =,3 cos 1 4 t(-e ) (T). b) Määritä indusoitunut jännite, kun sauva liikkuu nopeudella v = 25(-e ) (m/s). y,5 V + - B Kuva 1. Kuva tehtävään 1.,5 a) ndusoitunut jännite, kun sauva ei liiku: d u1 d B d dtb e e t 1,5,5,5,5 4 u1,3cos1 tddy,3 1 sin 1 tddy t u t t 4 3,3 1 2,5 1 sin 1 7,5sin 1 V b) ndusoitunut jännite, kun sauva liikkuu: d u d d d B d v B dy dt B B t v B l e e t e e e u B d vb ydy y B d vb dy t e e t,5,5 u,3cos1 tddy 25,3cos1 tdy t,5 4,3 1 sin 1 d d 3, 75cos 1 t V u t y u 15sin 1 t 3, 75cos 1 t V y
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 2 / 5 Tehtävä 2. Alla olevassa kuvassa esitetyssä pitkässä virtalangassa kulkee virta = 1 A ja sen vieressä on etäisyydellä d = 1 cm kuvan mukainen metallilanka (l = 2 cm), joka liikkuu nopeudella v = 5 m/s. Määrää ko. lyhyen johtimen päiden välille indusoitunut jännite u ab. Kuva 2. Kuva tehtävään 2. Pitkän langan aiheuttama magneettikentän voimakkuus ja vuontiheys: H e B e 2π 2π Ko. magneettivuo aiheuttaa pitkän langan vierellä liikkuvaan metallilankaan smv:n: a a a a v 1 v a v a uab v Bdl ve Be d e v d d / ln ln 2π 2π 2π b 2π b b b b b -7-7 54π 1 1 1 54π 1 1 1 6 ln ln 1,99 1 11 μv uab 2π 3 2π 3 Tehtävä 3. Alla olevan kuvan mukaisesti sauvaa (l = 1 cm) pyöritetään toisen päänsä ympäri homogeenisen magneettikentän (B =,1(-e ) T) normaalitasossa pyörimisnopeudella n = 3 kierrosta minuutissa. Kuinka suuri lähdejännite indusoituu sauvaan eli mitä arvoa volttimittari näyttää? Kuva 3. Kuva tehtävään 3. l l l l l 2 ul v Bdl ve Bed e 2πnBd 2πnB d 2π nb / πnbl 2 3 2 2 3 ul π,11 1 15,711 16 mv 6 Volttimittarin näytössä 16 mv. 2
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 3 / 5 Tehtävä 4. Poikkileikkaukseltaan neliömäisen rengaskäämin sisähalkaisija on 6 cm ja ulkohalkaisija 1 cm. Käämissä on 8 johdinkierrosta yhdessä kerroksessa. Käämin virta on 2,5 A. a) Laske magneettikentän voimakkuus käämin poikkileikkauksen keskipisteessä. b) Miten a-kohdassa saatu tulos muuttuu, jos käämin poikkileikkauksen pinta-alaa pienennettään puoleen säilyttäen käämin keskihalkaisija. c) Ajatellaan lieriöpintaa, jonka osa on käämin sisäpinta. Kuinka suuren pintavirtatiheyden olisi kuljettava akselin suuntaisesti em. lieriöpinnalla, jotta syntyisi a-kohdan tulos. Kuva 4. 1-1 3 cm 5 cm Tehtävään 4 liittyvä periaatekuva neliömäisestä rengaskäämistä. ovelletaan Ampèren lakia (lävistyslakia). Valitaan integrointi alaksi renkaan poikkileikkauksen keskipisteestä kulkeva ympyrä ( kp = 4 cm, = ): 2π H dl He de H d 2π H N kp kp kp C C a) Magneettikentän voimakkuus käämin poikkileikkauksen keskipisteessä. N 8 2,5 A 3 A ka H 7,961 H 7,96 e 2 2π 2π41 m m m kp b) uoritettu integrointi ei riipu lainkaan poikkipinta-alasta, joten a-kohdan vastaus ei muutu, jos poikkipinta-alaa pienennetään, kunhan keskipisteen kohta säilyy ennallaan. c) Ajatellaan käämiä korvattavaksi ohuella johtavalla lieriöpinnalla ( lieriö = 3, cm). jotta kentänvoimakkuus kohdassa kp = 4 cm olisi sama kuin edellisissä tapauksissa, niin lieriöpintajohdinta pitkin tulee kulkea virta (seuraus lävistyslaista): lieriö N 8 2,5 A 2 A Tämä virta jakaantuu lieriöpinnalle (2), joten pintavirtatiheys on: N 8 2,5 A ka K 1,6 2π 2π,3 m m lieriö
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 4 / 5 Tehtävä 5. ähköjohto on vaakasuorassa lounas-koillinen -suunnassa, ja siinä kulkee 1 A virta lounaaseen päin. Kuinka suuren voiman aiheuttaa sen 1 m pituiseen osaan maan magneettikenttä, jonka horisontaalikomponentti kyseisessä paikassa on 18 T (pohjoiseen) ja vertikaalikomponentti 54 T (alas). Valitaan koordinaatisto, jossa positiivinen -akseli kulkee pohjoiseen, y-akseli länteen. -> Maan magneettikenttä: B B e B e Johdin koordinaatistossa (1 m): e ey l l 2 Joten voima: F l B l B e e e y l 2 2 Bl Bl Bl l F e e e B e B e B e 2 2 2 2 B y y 6 3 111 11 F e e e 2 2 e e e 3e 3e y e F 55,5 mn 19 54 54 y 18 18 3 3 y Tehtävä 6. ähköankerias voi synnyttää 5 V potentiaalieron elektrodiensa välille, joiden välimatka on 75 cm. Laske veteen syntyvä virta ja tarvittava teho, kun ankeriaan sisäinen resistanssi on 15 ja johtavuus =,1 1/m (järvivesi). Elektrodit voidaan olettaa palloiksi joiden halkaisija on 2a = 1 cm. Pallomaiset elektrodit ovat niin kaukana toisistaan (välimatka >> halkaisija), että ne voi likimain korvata keskipisteisiin sijoitetuilla pistelähteillä, joista toisen virta on ja toisen -. Pistelähteiden potentiaalit a-säteisillä elektrodeilla: V ja V 4πa 4πa Elektrodien välinen resistanssi: l 1 1 R el 3183 2πal 2πa 2 m 2π,1,51 m
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 5 / 5 Joten virta elektrodien välillä: V V V V 5 V 3 el 1561 A R R R 3183 15 el sis Ja teho: P V V el 5 V1561 A 78 W 3