Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk klvot sisältävät vin yhden, usein mhdollisimmn yksinkertisen, esimerkin kustkin iheest. Jonot 2 Srjt 3 Jtkuvuus 4 Derivtt 5 Tylor-polynomit j -srjt 6 Alkeisfunktiot 7 Pint-l 8 Integrli 9. kertluvun differentiliyhtälö 2. kertluvun differentiliyhtälö Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 2 / 2. Lukujoukot.2 Jonot Luonnollisten lukujen joukko N = {, 2, 3,... }. N = {,, 2, 3,... } = N {}. Kokonislukujen joukko Z = {,,, 2, 2,... }. Rtionlilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Relilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi plutuu rtionlilukuihin, joss eri mhdollisuuksi: Dedekindin leikkukset, rtionliset Cuchy-jonot, desimlipproksimtiot. Intuitiivisesti helpoin vihtoehto on jtell relilukuj desimliesitysten kutt. Suurin os reliluvuist ei ole rtionlisi, esimerkiksi 2, π, Neperin luku e. Lukujonoll trkoitetn ääretöntä jono relilukuj n R, kun indeksi n N. Merkitään ( n ) n N = ( n ) n= = (, 2, 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkint on funktio f : N R, jolle f (n) = n. Jonon indeksöinti voi lk myös jostkin muust rvost kuin. Jos indeksin lkurvo ei ole tärkeä ti tilnne on muuten selvä, voidn käyttää merkintää ( n ). Joisskin sovelluksiss esiintyy myös jonoj, joiden indeksijoukkon on kikkien kokonislukujen joukko Z. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 3 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 4 / 2.2 Käytännössä.2 Perusongelmt Jonoj voidn määritellä ntmll yleisen termin luseke; esimerkiksi n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 6,... ). rekursiivisesti plutuskvojen vull, erityisesti moniss numeerisiss menetelmissä. Esimerkiksi f =, f =, f n = f n 2 + f n, kun n 2 Fibonccin lukujono (,,, 2, 3, 5,... ). tekemällä mittuksi jostkin systeemistä; esimerkiksi äänen voimkkuus tsisin ikvälein (idelisoitun äärettömäksi jonoksi). Mitä jonon ominisuuksi sdn selville yleisen termin ti plutuskvojen vull? Miten plutuskvst sdn yleisen termin luseke? Esimerkiksi Fibonccin jonolle joss f n = 5 ( ϕ n ( ϕ) n), ϕ = + 5 2 on ns. kultisen leikkuksen suhde. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 5 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 6 / 2.2 Jonojen ominisuuksi Määritelmä. Lukujono ( n ) on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen C R, että n C kikill n lhlt rjoitettu, jos on olemss sellinen c R, että n c kikill n rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu nousev, jos n+ n kikill n lskev, jos n+ n kikill n monotoninen, jos se on nousev ti lskev.3 Suppeneminen I Määritelmä.2 Lukujono ( n ) suppenee kohti rj-rvo L R, jos lusekkeen n L rvo lähestyy noll, kun n ; täsmällisemmin: Jokist ε > vst sellinen indeksi n ε N, että n L < ε in, kun n n ε. Tällöin merkitään lim n = L ti lim n = L ti lyhyesti n L. Jos lukujono ei suppenee, niin se hjntuu. Huom: n L = jonon pisteen n j rj-rvon L välinen etäisyys: n L < ε L ε < n < L + ε. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 7 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 8 / 2
.3 Suppeneminen II Ide: Mitä pienempi ε, sitä suurempi n ε trvitn. n L+ε L L ε n ε n.3 Täydellisyysksiom Relilukujen joukon erott rtionlilukujen joukost Täydellisyysksiom: Nousev j ylhäältä rjoitettu relilukujono ( n ) n N suppenee. Täydellisyysksiom voidn muotoill eri tvoill. Aiheest lisää kurssill MS-C54. Aksiom trjo mhdollisuuden reliluvun täsmälliseen määritelmään: Reliluku n,d d 2..., joss kokonisos n on kokonisluku j desimlit d, d 2, {,, 2,..., 9}, on monotonisen rtionlilukujonon (n; n,d ; n,d d 2 ; n,d d 2 d 3,... ) rj-rvo. Rtionlijonojen kohdll ongelm on se, ettei rj-rvo ole in rtionliluku! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 9 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2.3 Yleisiä tuloksi Lskev j lhlt rjoitettu jono suppenee. Suppenev jono on rjoitettu. Suppiloperite: Jos n b n c n jostkin indeksistä lken j lim n = lim c n = L, niin jono (b n ) suppenee j lim b n = L. Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku < q, jolloin sen rj-rvo on joko ti. Muiss tpuksiss geometrinen jono hjntuu. Jonon suppenemist kohti noll voi tutki lusekkeen n+ / n vull: jos jostkin indeksistä lken on n+ / n q j q <, niin lim n =. Tämä seur khdest edellisestä kohdst. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2.3 Lskusääntöjä I Luse.3 Jos lim n =, lim b n = b j c R, niin lim ( n + b n ) = + b, lim (c n) = c, lim ( nb n ) = b, lim ( n/b n ) = /b, jos b. Huom: Viimeisen kohdn oletuksest b seur, että b n jostkin indeksistä lken. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 2 / 2.3 Lskusääntöjä II Perustelu: Ensimmäinen kv perustuu epäyhtälöön ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) n + b n b. Toinen kv seur yhtälöstä c n c = c n. Kolmnnen kvn kohdll käytetään epäyhtälöä n b n b = ( n b n n b) + ( n b b) n b n b + n b j sitä, että n C jollkin vkioll C. Neljännen kvn kohdll osoitetn luksi, että /b n /b, j käytetään sen jälkeen tulokv..3 Lskusääntöjä III Esimerkki.4 3n 2 + 4n Lske rj-rvo lim n 2 +. Rtkisu: Kosk 3n 2 + 4n n 2 + j 4 lim n =, lim niin rj-rvon lskusääntöjen mukn = n2 (3 + 4/n) n 2 ( + /n 2 ) = 3 + 4/n + /n 2 n 2 =, 3n 2 + 4n lim n 2 + = 3 + + = 3. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 3 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 4 / 2.3 Eräitä rj-rvoj.3 Ympyrän krenpituus j kulm I lim n =, kun > lim n n = lim ( + n) n = e = Neperin luku 2,78288... Tähän pltn myöhemmin. Stirlingin kv (jolle ei helppo todistust!): Krenpituus yksikköympyrällä 2 + y 2 = määritellään seurvll tvll: Jetn tutkittv kri tsvälisesti 2 n :ään osn j lsketn vstvn murtoviivn pituus n. Näin sdn nousev j ylhäältä rjoitettu jono, jonk rj-rvo on kyseessä olevn kren pituus. lim n! =. 2πn (n/e) n Ide: Ensimmäinen seur toisest suppiloperitteen vull. Toisen kohdll merkitään n = n n > j sovelletn binomikv: n = ( + n ) n = + n n + n(n ) 2 n/2 + > + n(n ) 2 n/2, joten < n < 2/n. Väite seur tästä suppiloperitteen vull. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 5 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 6 / 2
.3 Ympyrän krenpituus j kulm II.3 Rj-rvon yleistykset Määritelmä.5 Luku π on yksikköympyrän puolikkn krenpituus. Krenpituuden vull määritellään kulmn yksikkö rdini (lyh. rd), jok on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin j cos määritellään yksikköympyrän krenpituuden vull kikille R. (cos,sin) Myös käsitteet voidn määritellä täsmällisesti. Esimerkiksi lim n = j lim n = lim n = jokist luku M R vst sellinen indeksi n M N, että n M in, kun n n M. Snotn: Jono ( n ) hjntuu kohti ääretöntä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 7 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 8 / 2 2. Srj 2. Indeksöinti Lukujonost ( k ) k N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): s =, s 2 = + 2, s 3 = + 2 + 3,..., n s n = + 2 + + n = k. Määritelmä 2. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään + 2 + = k = lim n k = s. Ossummt knntt indeksöidä smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k= ossummt ovt s =, s = + jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. Konkreettisesti: k = k+ = k. k= k=2 k 2 = + 4 + 9 + = (k + ) 2 k= Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 9 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 2 / 2 2. Srjn hjntuminen 2.2 Geometrinen srj I Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. Tämä voi tphtu kolmell eri tvll: (i) ossummt lähestyvät ääretöntä; (ii) ossummt lähestyvät miinus-ääretöntä; (iii) ossummien jono heilhtelee niin, ettei rj-rvo ole. Hjntuvn srjn tpuksess merkintä k ei oikestn trkoit mitään. Usein sovitn sen trkoittvn ossummien jono, jok on in hyvin määritelty. Monet srjoihin liittyvät kummllisuudet (esim. = -todistus) johtuvt siitä, että srjn summminen tulkitn opertioksi, joss kikki jonon lkiot lsketn yhteen smll kert. Näin ei ole, vn summ lsketn ossumminen rj-rvon. Tämän vuoksi os äärellisten summien lskusäännöistä ei enää päde srjoille. Joisskin tpuksiss esimerkiksi srjn summ voi muuttu, jos termien järjestystä vihdetn. Luse 2.2 Geometrinen srj n q k k= suppenee, jos q < (ti = ), jolloin sen summ on niin srj hjntuu. n Perustelu: Srjn ossummille pätee seur. Yleisemmin q k = k=i qi q k= q. Jos q, q k = ( qn+ ), jost väite q srjn. termi =, kun q <. q Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 2 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 22 / 2 2.2 Geometrinen srj II Esimerkki 2.3 Lske srjn summ. Rtkisu: Kosk 3 4 k+ 3 4 k+ = 3 ( ) k 4, 4 niin kyseessä on geometrinen srj. Sen summksi sdn 2.2 Lskusääntöjä I Luse 2.4 Suppenevien srjojen ominisuuksi: ( k + b k ) = k + b k (c k ) = c k, kun c R on vkio Perustelu: Seur vstvist jonojen rj-rvojen ominisuuksist. 3 4 /4 /4 = 4. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 23 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 24 / 2
2.2 Lskusääntöjä II 2.2 Lskusääntöjä III Luse 2.5 Jos k suppenee, niin lim k =. k Kääntäen: Jos lim k k, niin srj k hjntuu. Perustelu: Jos srjn summ on s, niin k = s k s k s s =. Huom: Ominisuuden lim k k = vull ei void perustell srjn suppenemist; vrt. seurvt esimerkit. Esimerkki 2.6 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: k k + = 2 + 2 3 + 3 4 +... Srjn yleisen termin rj-rvo lim k ei ole noll, joten srj hjntuu. k k + = Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 25 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 26 / 2 2.2 Hrmoninen srj 2.2 Positiiviset srjt I Esimerkki 2.7 Hrmoninen srj k = + 2 + 3 +... hjntuu, vikk sen yleisen termin k = /k rj-rvo on noll. Rtkisu: Ktso lkeellinen perustelu esim. Mtemtiikklehti Solmust http://mtemtiikklehtisolmu.fi/24/3/hrmsrj.pdf Toinen tp integrlin vull. Srjn summn lskeminen on usein hnkl ti mhdotont (muuten kuin numeerisen likirvon). Moniss tilnteiss on kuitenkin tärkeintä tietää, suppeneeko vi hjntuuko tutkittv srj. Määritelmä 2.8 Srj p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Luse 2.9 Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 27 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 28 / 2 2.2 Positiiviset srjt II Esimerkki 2. Osoit, että ylihrmonisen srjn k 2 ossummille on voimss s n < 2 kikill n, joten srj suppenee. Rtkisu: Perustuu kvn k 2 < k(k ) = k k, kun k 2; vrt. pitkän mtemtiikn ylioppilskokeen tehtävä 5/kevät 25. Toinen tp integrlilskennn vull. Leonhrd Euler keksi v. 735 sin-funktion tulokehitelmän vull, että srjn summ on π 2 /6. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 29 / 2 2.2 Itseinen suppeneminen I Määritelmä 2. Srj k suppenee itseisesti, jos positiivinen srj k suppenee. Luse 2.2 Itseisesti suppenev srj suppenee, j tällöin k k. Perustelun ide (ilmn yleistä mjornttiperitett!): Tutkitn erikseen positiivist j negtiivist os: Olkoon b k = m( k, ) j c k = min( k, ). Kosk b k, c k k, niin positiiviset srjt b k j ck suppenevt edellisen luseen perusteell. Lisäksi k = b k c k, joten k on suppenevien srjojen erotuksen suppenev. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 3 / 2 2.2 Itseinen suppeneminen II Esimerkki 2.3 Tutki vuorottelevn srjn ( ) k+ k 2 = 4 + 9... suppenemist. Rtkisu: Kosk ( ) k+ k 2 = j ylihrmoninen srj k2 k 2 suppenee, niin tutkittv srj suppenee itseisesti. Näin ollen se suppenee myös tvllisess mielessä. 2.2 Vuorottelev hrmoninen srj I Itseinen suppeneminen j (tvllinen) suppeneminen ovt kuitenkin eri käsitteitä: Esimerkki 2.4 Vuorottelev hrmoninen srj ( ) k+ = k 2 + 3 4 +... suppenee, mutt ei itseisesti (vrt. hrmoninen srj). Rtkisu: (Ide) Piirretään ossummien jonon (s n ) kuvj (seurv sivu) j tutkitn erikseen prillisten j prittomien indeksien ossummi s 2n j s 2n+. Srjn summ on ln 2, jok sdn integroimll geometrisen srjn summkv sopivll tvll; vrt. hrjoitukset? Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 3 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 32 / 2
2.2 Vuorottelev hrmoninen srj II 2.3 Mjorntti j minorntti I Edellisen yleistyksenä sdn Luse 2.5 Mjornttiperite: Jos k p k kikill k j p k suppenee, niin myös k suppenee. Minornttiperite: Jos p k k kikill k j p k hjntuu, niin myös k hjntuu. ensimmäistä ossumm (pisteet yhdistetty jnoill) Mjorntin perustelu: Kosk k = k ( k k ) j k k 2 k, niin srj k suppenee khden suppenevn positiivisen srjn erotuksen. Tässäkin trvitn pun lkeellisemp positiivisten srjojen mjornttiperitett; kyseessä ei ole kehäpäättely! Minorntin perustelu: Oletuksist seur, että srjn k ossummt hjntuvt kohti ääretöntä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 33 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 34 / 2 2.3 Mjorntti j minorntti II Esimerkki 2.6 Tutki srjojen suppenemist. Rtkisu: Kosk + k 3 j k < + k 3 < k 3 k 2 kikill k N, niin ensimmäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. Toislt kikill k N, joten jälkimmäisellä srjll on k k minornttin hjntuv hrmoninen srj. Siispä jälkimmäinen srj hjntuu. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 35 / 2 2.3 Suhdetesti Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: Luse 2.7 Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+ k Q <, niin srj k suppenee (j suppenemisnopeus vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Perustelu: Srjn lku ei vikut sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidn olett kikille indekseille. Tästä seur k Q k Q 2 k 2 Q k, joten srjlle sdn suppenev geometrinen mjorntti. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 36 / 2 2.3 Suhdetestin rj-rvomuoto I 2.3 Suhdetestin rj-rvomuoto II Luse 2.8 Jos on olemss rj-rvo lim k+ k k = q, niin srj k suppenee, jos q <, hjntuu, jos q >, voi oll suppenev ti hjntuv, jos q =. Perustelu: Jos q <, niin vlitsemll rj-rvon määritelmässä ε = ( q)/2 > sdn jostkin indeksistä n ε lken k+ / k < q + ε = (q + )/2 = Q <. Viimeisessä kohdss ei siis sd mitään tieto suppenemisest. Näin käy mm. hrmonisen (hjntuv!) j ylihrmonisen (suppenev!) srjn kohdll. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 37 / 2 Esimerkki 2.9 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: ( ) k+ k 2 k = 2 2 4 + 3 8... Tässä k = ( ) k+ k/2 k, joten k+ k = ( ) k+2 (k + )/2 k+ ( ) k+ k/2 k = k + 2k kun k. Suhdetestin perusteell srj suppenee. = 2 + 2k 2 <, Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 38 / 2 3. Fuktiot 3. Erilisi funktioit Tässä luvuss käsitellään relikselin osjoukoiss määriteltyjä funktioit f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei in. Avoin väli: ], b[ ti ], [ ti ], b[ ti ], [ = R. Avoimi välejä merkitään joskus myös krisulkujen vull. Suljettu väli: [, b]. Puolivoimet välit: muoto [, b[ ti ], b]. Merkintöjä yksinkertistv sopimus: [, b] trkoitt in suljettu väliä, jonk päätepisteet ovt, b R riippumtt siitä, mikä on lukujen j b suuruusjärjestys. Smoin muiden välien kohdll. n-ulotteinen vruus R n = {(, 2,..., n ) k R, k =, 2,..., n}. Tpuksess n = 2 pisteitä merkitään usein (, y) j tpuksess n = 3 muodoss (, y, z). Yhden muuttujn funktio f : A R, kun A R Tsokäyrän prmetrisointi f : [, b] R 2, jolloin f(t) = ((t), y(t)). Avruuskäyrän prmetrisointi f : [, b] R 3, jolloin f(t) = ((t), y(t), z(t)). Usen muuttujn funktio (sklrikenttä) f : A R, kun A R n ; funktion rvo merkitään f (, y) tpuksess n = 2 Vektorikenttä F: A R k, kun A R n Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 39 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 4 / 2
3.2 Jtkuvuus I 3.2 Jtkuvuus II Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitetn siitä. Muist: Jos, b R, niin luseke b on pisteiden (= lukujen) j b välinen etäisyys. Määritelmä 3. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että f() +ε f( ) f() ε f() f () f () < ε in, kun A j < δ. Ide: Kun ε pienenee, niin δ = δ ε pienenee (jos jtkuvuus voimss). δ +δ Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 4 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 42 / 2 3.2 Jtkuvuus III Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. Seurv ehto on yhtäpitävä vrsinisen ε δ-määritelmän knss: Funktio f : A R on jtkuv pisteessä A, täsmälleen silloin, kun pätee: Jos jonolle ( n ) on voimss n A kikill n j lim n =, niin silloin lim f ( n ) = f (). Jonojen vull kirjoitettun jtkuvuus trkoitt siis yhtälöä 3.2 Jtkuvuus IV Jtkuvi funktioit ovt esimerkiksi polynomit: P() = c n n + c n n + + c + c ; rtionlifunktiot: R() = P()/Q(), kun P j Q ovt polynomej; juurifunktiot: f () = p/q, kun ; trigonometriset funktiot sin, cos, tn j cot; jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät (määrittelyjoukko!); jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. Perustelut suorviivisi, kun jtkuvuutt tutkitn edellisen sivun jono-version vull: tulokset plutuvt jonojen rj-rvojen ominisuuksiin. lim f ( n) = f ( lim ) n. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 43 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 44 / 2 3.2 Jtkuvuus V Sinin j kosinin jtkuvuus geometrisesti yksikköympyrän vull. ( cos y, siny) y sin y sin < y (cos, sin ) y 3.3 Mksimi j minimi Olkoon f : A R. Funktioll f on pisteessä A mksimi eli suurin rvo, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään m{f () A} ti m A f (). minimi eli pienin rvo pisteessä A, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään min{f () A} ti min A f (). cos cosy < y Muuttujn rvot j ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f ( ) j f ( ) ovt funktion äärirvot. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 45 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 46 / 2 3.3 Ominisuuksi 3.4 Funktion rj-rvo I perustulos: Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. II perustulos (Jtkuvien funktioiden välirvoluse): Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f [I ] = {f () I } on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f ()f (b) <, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C54 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. Jos A R j f : A R, niin f :n käyttäytymistä pisteen R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f ( ) välittämättä; ei edes trvitse oll A. Tällöin on kyseessä funktion f rj-rvo pisteessä. Rj-rvo määritellään (tällä kurssill) vin sellisiss pisteissä R, joille jokinen väli [ δ, + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > olisi kuink pieni thns. Tämä on yhtäpitävää sen knss, että jokinen väli [ δ, + δ] sisältää inkin yhden pisteen A,. (Tällisi pisteitä kutsutn joukon A ksutumispisteiksi. Esimerkiksi voimen välin päätepisteet.) Jtkoss oletetn siis, että on tällinen piste. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 47 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 48 / 2
3.4 Funktion rj-rvo I Määritelmä 3.2 Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä R, jos pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että Tällöin merkitään f () L < ε in, kun A j < < δ. lim f () = L. Huom: Ehdon < ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f ( ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess. 3.4 Funktion rj-rvo II Ide: Mitä pienempi ε > on nnettu, sitä pienempi δ > täytyy vlit; onnistuu in, jos rj-rvo on olemss. L+ε L L ε f() δ +δ Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 49 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 5 / 2 3.4 Toispuoleiset rj-rvot Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f () j lim + f (), kun epäyhtälö < < δ korvtn epäyhtälöllä < < δ ti < < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon erikoistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ], [ ti A ], [. Luse 3.3 Jos funktio f on määritelty joukoss [ δ, + δ] \ { }, niin rj-rvo on olemss täsmälleen silloin, kun lim f () = L 3.4 Lskusääntöjä Luse 3.4 Jos niin lim f () = j ( ) lim f () + g() = + b, lim g() = b, lim f ()g() = b, f () lim g() = b ; viimeisen kohdll oletetn b (jolloin g() pisteen lähellä ). Vstvt tulokset ovt voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. lim f () = + lim f () = L. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 5 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 52 / 2 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite I Luse 3.5 Jos lim f () = lim g() = L j f () h() g() kikill < < δ, niin lim h() = L. Tämäkin tulos on voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite II Esimerkki 3.6 Osoit, että sin lim =. Rtkisu: Geometrinen trkstelu yksikköympyrän vull (seurv sivu) joht epäyhtälöön sin < < tn = sin cos, kun < < π/2, joten cos < sin < kikill < < π/2. Kosk cos j luseke (sin )/ ovt prillisi, niin sm epäyhtälö on voimss kikill < < π/2. Kosk cos cos =, kun, niin väite seur suppiloperitteest. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 53 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 54 / 2 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite III 3.4 Jtkuvuus j rj-rvo sin tn Luse 3.7 Jos funktion f määrittelyjoukko M f on väli, niin funktion f jtkuvuus pisteessä M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f () = f ( ). sin < < tn Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 55 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 56 / 2
3.4 Funktion jtkminen 3.4 Rj-rvon yleistykset Jos f : A R on jtkuv, A on joukon A ksutumispiste j lim f () = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A { }, settmll { f (), kun A, f () = L, kun =. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Esimerkki 3.8 Funktio f () = on jtkuv koko relikselill. { sin,,, =, Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: Esimerkiksi lim f () = ±, lim f () = L, lim ± lim f () =, f () = ±, jne. ± jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ >, että f () > M in, kun A j < < δ. Rj-rvo lim f () on tärkeä mm. epäoleellisen integrlin yhteydessä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 57 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 58 / 2 4. Derivtt Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rj-senton) f( ) +h fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Esimerkki 4. Kppleen -ulotteisen liikkeen pikkkoordintti on = (t) hetkellä t. Sen hetkellinen nopeus on keskinopeuksien rj-rvo: v(t) = lim t (t + t) (t). t Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 59 / 2 4. Derivtn määritelmä Määritelmä 4.2 Oletetn, että funktio f on määritelty jollkin välillä ] δ, + δ[. Sen derivtt pisteessä on f f ( + h) f ( ) f () f ( ) ( ) = lim = lim, h h jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Merkintöjä: f ( ) = Df ( ) = df d, = f = Df = df d. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 6 / 2 4. Korkemmn kertluvun derivtt Jos funktion derivtt f () on määritelty jollkin voimell välillä ] δ, + δ[, niin voidn tutki funktion f erotusosmäärää pisteessä. Näin sdn toisen kertluvun derivtt f ( ) = D 2 f ( ) = d 2 f d 2. = Jtkmll smn tpn voidn määritellä korkemmn kertluvun derivtt f (), f (4) (),... Merkintä: C n( ], b[ ) = {f : ], b[ R f on n kert derivoituv välillä ], b[ j f (n) on jtkuv} Tällisi funktioit kutsutn n kert jtkuvsti derivoituviksi. 4. Linerisointi j differentili Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f ( ) f () f ( ) f () f ( ) + f ( )( ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f ( ) + f ( )( ) on funktion kuvjn pisteeseen (, f ( )) setettu tngenttisuor. Differentilin merkitys tulee premmin esille vst usen muuttujn funktioiden yhteydessä. Myöhemmin käsitellään funktion f pproksimointi myös korkemmn steen polynomien vull (Tylor-polynomi). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 6 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 62 / 2 4. Derivtn fysiklinen tulkint Jos = (t) on kppleen yksiulotteisen liikkeen pikkkoordintti hetkellä t, niin sen hetkellinen nopeus on v(t) = (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Vstvll tvll (t) = v (t) = (t) = (t).. on kppleen hetkellinen kiihtyvyys. Yleisemmin: Ajst riippuvn funktion f (t) hetkellinen muutosnopeus on f (t). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 63 / 2 4.2 Lskusääntöjä Linerisuus D ( f () + g() ) = f () + g () D ( cf () ) = cf (), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D ( f ()g() ) = f ()g() + f ()g () Osmäärän derivoimissääntö ( ) f () D = f ()g() f ()g () g() g() 2 Yhdistetyn funktion derivoimissääntö D ( f (g() ) = f ( g() ) g () Tälle käytetään nimitystä ketjusääntö = Chin Rule; nimen tust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Differentili- j integrlilskent 2. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 64 / 2
4.2 Eräitä derivttoj Erikoistpuksen perustelu D(vkiofunktio) = D( r ) = r r, r D(sin ) = cos, D(cos ) = sin D(tn ) = + tn 2 = cos 2, kun π/2 + nπ De = e, D ln = /, kun (näihin pltn myöhemmin) Esimerkki 4.3 Johd funktion f () = 2 derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä on sievennettynä f ( + h) f ( ) h = ( + h) 2 2 h = 2 + h, = 2 + 2 h + h 2 2 h joten rjll h sdn derivtksi f ( ) = 2. Derivttfunktion luseke on siis muoto f () = 2, kun R. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 65 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 66 / 2 Hnklmpi perustelu I Esimerkki 4.4 Johd funktion f () = sin derivtt kohdss. Rtkisu: Erotusosmäärä sdn yhteenlskukvn vull muotoon sin( + h) sin( ) h = sin cos h + cos sin h sin h sin h = cos h + sin cos h. h Kosk (perustelut ikisemmin/seurvll sivull) sin h cos h lim = j lim =, h h h h niin derivtksi sdn f ( ) = cos + sin = cos. Hnklmpi perustelu II Rj-rvo sin h lim = h h johdettiin ikisemmin geometrisesti j suppiloperitteen vull. Kosk (muist sin 2 h + cos 2 h = ) cos h h = (cos h )(cos h + ) h(cos h + ) = cos2 h h(cos h + ) = sin h h sin h cos h + 2 =, kun h, niin sdn jälkimmäinen rj-rvo. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 67 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 68 / 2 4.2 Esimerkkejä Käytännössä derivtt voidn lske lskusääntöjen j tunnettujen derivttojen vull: D ( 3 4 2 + 6 ) = 3 2 8 D ( + 5 2 ) = 2 ( + 5 2 ) /2 D( + 5 2 ) = D ( 2 cos(3) ) = D( 2 ) cos(3) + 2 D ( cos(3) ) = 2 cos(3) + 2( sin(3) D(3) ) = 2 cos(3) 3 2 sin(3) D ( sin(/) ) = cos(/)d(/) = cos(/) ( / 2 ) = cos(/)/ 2, kun 5 + 5 2 4.3 Yleisiä tuloksi I Olkoon f : [, b] R. Jos f on derivoituv pisteessä ], b[, niin se on jtkuv pisteessä. Perustelu: Seur derivtn määritelmästä, kosk f ( + h) f ( ) h = f ( ) + ε(, h) f ( + h) f ( ) = f ( )h + h ε(, h). Tässä ε(, h) on rj-rvoon liittyvä virhetermi, jolle ε(, h), kun h. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 69 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 7 / 2 4.3 Yleisiä tuloksi II (Rollen luse) Jos f on derivoituv pikllisess äärirvohdss ], b[, niin f ( ) =. Perustelu: Erotusosmäärän toispuoleiset rj-rvot ovt erimerkkiset pikllisess äärirvokohdss, esim. piklliselle mksimille f ( + h) f ( ) h f ( + h) f ( ) h = negtiivinen positiivinen = negtiivinen negtiivinen, kun h >,, kun h < j h on niin pieni, että f ( ) on mksimi välillä [ h, + h]. 4.3 Välirvoluse I Luse 4.5 Jos f on jtkuv välillä [, b] j lisäksi derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f (b) f (), ts. f (b) f () = f (c)(b ). b y y = f ( ) c b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 7 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 72 / 2
4.3 Välirvoluse II 4.3 Välirvoluseen seuruksi Välirvoluseen todistus: Sovelletn Rollen lusett pufunktioon g() = f () f (b) f () ( ), b jok toteutt g() = g(b) =. Sen pikllisess äärirvokohdss c ], b[ pätee g (c) = f (b) f () = f (c)(b ). y jnn pituus = g() y = f ( ) Jos f () = kikiss voimen välin pisteissä, niin f on vkiofunktio tällä välillä. Jos f () jollkin välillä, niin f on ksvv tällä välillä; jos f () jollkin välillä, niin f on vähenevä tällä välillä. Jos edellisen kohdn lisäksi f () = inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esimerkki: f () = 3. b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 73 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 74 / 2 4.3 L Hospitlin sääntö I Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä / ti / oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Luse 4.6 Oletetn, että f ( ) = g( ) = j funktiot f, g ovt derivoituvi jollkin välillä ] δ, + δ[. Jos on olemss, niin f () lim g () f () lim g() = lim f () g (). 4.3 L Hospitlin sääntö II Perustelu: Erikoistpuksess g ( ) perustelu on lyhyt: f () g() = f () f ( ( ) f () f g() g( ) = ( ) ) /( ) ( g() g( ) ) /( ) f ( ) g ( ). Yleisessä tpuksess trvitn ns. yleistettyä välirvolusett, jonk mukn f () g() = f (c) g (c) josskin pisteessä c ], [. Tällöin osoittjss j nimittäjässä on sm piste c, joten edes derivttojen jtkuvuutt ei trvit! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 75 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 76 / 2 4.3 L Hospitlin sääntö III Esimerkki 4.7 sin(4) Lske rj-rvo lim. Rtkisu: Kosk sin(4)/ on muoto / kohdss =, niin voidn (yrittää) sovelt L Hospitlin sääntöä: sin(4) 4 cos(4) lim = lim = 4. Kosk derivoidull muodoll on rj-rvo 4, niin lsku on pätevä. Huom. : Jos derivoitu rj-rvo on edelleen muoto /, niin sääntöä voidn yrittää käyttää toisen (ti usemmn) kerrn. Huom. 2: Muoto / on in trkistettv: cos sin lim lim =. 4.3 Äärirvotehtävät I Seurvss A R on väli. Funktioll f : A R on pikllinen mksimi/minimi pisteessä A, jos on funktion f mksimi-/minimikoht jollkin välillä A [ δ, + δ]. Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) sellisess kohdss, joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 77 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 78 / 2 4.3 Äärirvotehtävät II 4.3 Kuperuus Esimerkki 4.8 Määritä funktion f : [, 2] R, f () = 3 6, suurin j pienin rvo. Rtkisu: Derivtn nollkohdt: f () = 3 2 6 = = ± 2. Kosk 2 [, 2], niin lsketn rvot f () =, f ( 2) = 4 2, f (2) = 4, joist voidn vlit funktion pienin rvo 4 2 j suurin rvo. Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos, y D, niin myös niiden välinen yhdysjn [, y] D Välillä I R määritelty funktio on kuper eli konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on kuper; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f ( ( t) + ty ) ( t)f () + tf (y), kun, y I, t [, ]. Erityisesti: jos f () koko välillä, niin f on konveksi Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f () viht merkkiä. Jos funktion f derivtn nollkohdss on f ( ) <, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f ( ) >, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f ( ) = tilnnett täytyy tutki trkemmin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 79 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 8 / 2
5. sin-funktio j polynomit 5. Tylor-polynomi I Esimerkki 5. Verrtn funktion sin kuvj (puninen) polynomien 3 3! + 5 5! + ( )n 2n+ (2n + )! kuvjiin (sininen), kun n =, 4, 8, 2. Tylor-polynomi P n (; ) = funktion prs n-steinen polynomipproksimtio (derivoinnin knnlt) pisteen lähellä. Mclurin-polynomi: tpus =. Jos f on n kert derivoituv pisteessä, niin polynomill P n () = P n (; ) = f ( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) 2 + 2! + f (n) ( ) ( ) n n! n f (k) ( ) = ( ) k k! k= on pisteessä smt derivtt kuin f :llä kertlukuun n skk. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 8 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 82 / 2 5. Tylor-polynomi II 5. Tylor-polynomi III Tylorin kv: Jos derivtt f (n+) on olemss j se on jtkuv funktio, niin f () = P n (; ) + E n () j virhetermille E n () pätee E n () = f (n+) (c) (n + )! ( ) n+ josskin pisteessä c [, ]. Jos on olemss indeksistä n riippumton vkio M, jolle f (n+) () M jollkin välillä I, niin tällöin M E n () (n + )! n+, kun n. Eräitä Mclurin-polynomipproksimtioit: n + + 2 + + n = k k= e + + 2! 2 + 3! 3 + + n n! n k = k! ln( + ) 2 2 + n 3 3 + ( )n n ( ) k = k n k sin 3! 3 + n 5! 5 + ( )n (2n + )! 2n+ ( ) k = (2k + )! 2k+ cos 2! 2 + 4! 4 + ( )n (2n)! 2n = n k= k= ( ) k (2k)! 2k Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 83 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 84 / 2 5.2 Newtonin menetelmä I Ensimmäisen steen Tylor-polynomi P () = f ( ) + f ( )( ) on sm kuin funktion f linerisointi pisteen suhteen. Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f () = rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä n+ = n f ( n) f ( n ), kun n =,, 2,... Näin sdn lukujono (,, 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (eli tngentin) vull. 5.3 Tylor-srj I Jos Tylorin kvn virhetermi E n () lähestyy noll, kun n ksv, sdn Tylor-polynomin rj-rvon funktion f Tylor-srj (= Mclurin-srj, jos = ). Tylor-srj on siis muoto k= f (k) ( ) ( ) k = lim k! n k= f (k) ( ) ( ) k k! Tämä on esimerkki yleisestä potenssisrjst, joit esiintyy monien lkeisfunktioiden yhteydessä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 85 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 86 / 2 5.3 Tylor-srj II Tylor-srj voidn muodost in, kun funktioll f on kikkien kertlukujen derivtt pisteessä j ne sijoitetn ym. kvn. Tähän liittyy kuitenkin kksi ongelm: Suppeneeko Tylor-srj kikill muuttujn rvoill? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktion f () = Mclurin-srj (= geometrinen srj) suppenee vin rvoill < <, vikk funktio on derivoituv kikill : f () = = + + 2 + 3 + 4 +... 5.3 Tylor-srj III Jos srj suppenee jollkin, niin onko srjn summ sm kuin f ()? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktiolle { e / 2,, f () =, =, pätee f (k) () = kikill k N (hnkl, mutt peritteess lkeellinen lsku). Näin ollen sen Mclurin-srj on identtisesti noll j suppenee kohti rvo f () inostn pisteessä =. Johtopäätös: Tylor-srjoj pitäisi tutki trksti virhetermien jms. vull. Käytännössä srjoj muodostetn käyttämällä pun muutmi tunnettuj srjkehitelmiä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 87 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 88 / 2
5.3 Tylor-srj IV Esimerkkejä (eksponenttifunktioon pltn vielä myöhemmin): = e = sin = cos = k, < k= k! k, R ( ) k (2k + )! 2k+, R ( ) k (2k)! 2k, R k= k= k= ( + ) r = + r(r )(r 2)... (r k + ) k, < k! 5.3 Tylor-srj V Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r = n N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = n + lähtien, j kertoimet ovt muoto ( n k ) = n! k!(n k)! Vert binomikvn: kun n N. ( + b) n = n(n )(n 2)... (n k + ) =. k! n k= ( ) n n k b k, k Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 89 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 9 / 2 5.4 Potenssisrj I 5.4 Potenssisrj II Potenssisrj on muoto c k ( ) k = lim k= k= n c k ( ) k olev srj. Piste on srjn keskus j luvut c k srjn kertoimi. Srj suppenee rvoll, jos yllä olev rj-rvo on määritelty. Tämän suhteen on vin kolme erilist tpust: srj suppenee vin rvoll = (jolloin srjss esiintyy vin vkiotermi c ) srj suppenee kikill R srj suppenee jollkin välillä ] R, + R[ (j mhdollisesti yhdessä ti molemmiss päätepisteissä), mutt hjntuu muill :n rvoill. Luku R on potenssisrjn suppenemissäde. Sopimus: R = ti R = muiss tpuksiss. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 9 / 2 Esimerkki 5.2 Millä muuttujn rvoill potenssisrj k 2 k k suppenee? Rtkisu: Tutkitn suppenemist suhdetestin vull, kun k = k k /2 k. Tällöin k+ k = (k + ) k+ /2 k+ k k /2 k = k + 2k 2, kun k. Suhdetestin perusteell srj suppenee, kun /2 <, j hjntuu, kun /2 >. Rjtpuksiss /2 = = ±2 srjn yleinen termi ei lähesty noll, joten srj hjntuu. Tulos: Srj suppenee välillä 2 < < 2 j hjntuu muulloin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 92 / 2 5.4 Potenssisrj III 5.4 Potenssisrj IV Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funktio f : I R, f () = c k ( ) k, () k= jok on nimeltään srjn summfunktio. Potenssisrjn summfunktio f on välillä ] R, + R[ jtkuv j derivoituv. Lisäksi derivtn f () voi lske derivoimll srj () termeittäin: f () = kc k ( ) k. Huom, että vkiotermi c derivoituu pois eli summ lk indeksistä k =. Lisäksi derivoitu srj suppenee smll välillä ] R, + R[; tämä on hiemn yllättävää (?) kertoimen k vuoksi. Tpuksess [, b] ] R, + R[ potenssisrjn () voi myös integroid termeittäin: f () d = c k ( ) k d. k= Usein integrointi voidn ulott myös suppenemisvälin päätepisteeseen skk, mutt tämä ei in pidä pikkns. Tilnnett täytyy siis tutki tpuskohtisesti. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 93 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 94 / 2 6. Funktio I 6. Funktio II Tämä luku sisältää trkennuksi j lisäyksiä funktioihin liittyviin käsitteisiin. Kikki kohti ei käsitellä luennoll, mutt osn niistä pltn trvittess myöhemmin. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden B:n lkion b. Merkitään b = f (). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko j B on f :n mlijoukko. Funktion f rvojoukko (eli kuvjoukko) on B:n osjoukko f [A] = {f () A}. Esimerkiksi funktion f : R R, f () = 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on f [R] = [, [. Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [, [, f () = 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Esimerkki: Yritä tehdä sm funktiolle f : R R, f () = 6 + 2 +, R. Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. Jos A R n, n 2, niin kyseessä on usen muuttujn funktio, joit käsitellään kursseill Differentili- j integrlilskent 2 3. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 95 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 96 / 2
6.2 Käänteisfunktio I 6.2 Käänteisfunktio II Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot, ts. 2 f ( ) f ( 2 ), ts. f ( ) = f ( 2 ) = 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. fa = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom: Funktiost tulee surjektio, kun mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi, eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos y B on kiinteä, niin yhtälöllä y = f () on korkeintn yksi rtkisu A, jos f on injektio inkin yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f : B A, jok määräytyy ehdost y = f () = f (y). Käänteisfunktiolle pätee f (f ()) = kikill A j f (f (b)) = b kikill b B. Käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen kuvjn peilikuv suorn y = suhteen. Perustelu: piste (, b) on funktion f kuvjll b = f () = f (b) piste (b, ) on funktion f kuvjll. Lisäksi opertion (, b) (b, ) geometrinen tulkint on peilus suorn y = suhteen. Jos A R j f : A R on idosti monotoninen, niin funktioll f : A f [A] on käänteisfunktio. Jos yllä A on väli j f on jtkuv, niin myös f on jtkuv joukoss f [A]. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 97 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 98 / 2 6.2 Käänteisfunktio III 6.3 Trigonometriset funktiot I Käänteisfunktion derivtt: Olkoon f : ], b[ ]c, d[ derivoituv idosti monotoninen surjektio, jolloin f :llä on käänteisfunktio f : ]c, d[ ], b[. Tällöin kuvjt y = f () j y = f () ovt toistens peilikuvi suorn y = suhteen j ( f ) () = f (f ()), jos f (f ()). Huom: f (f ()) = funktion f derivtt lskettun pisteessä f (). Kulmn yksikkö rdini = rd: kulm vstvn yksikköympyrän osn krenpituus. π rd = 8 stett, ts. rd = 8/π 57,3 stett Funktiot sin, cos määritellään yksikköympyrän vull niin, että (cos, sin ), [, 2π], on yksikköympyrän prmetrisointi krenpituuden vull. Jksollisuus: tn = sin ( π/2 + nπ), cos cot = cos ( nπ) sin sin( + 2π) = sin, cos( + 2π) = cos, tn( + π) = tn Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 99 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2 6.3 Trigonometriset funktiot II Ominisuuksi (perustelut yksikköympyrästä!): sin =, sin(π/2) = cos =, cos(π/2) = sin j tn ovt prittomi funktioit, cos on prillinen: sin 2 + cos 2 = kikill R Yhteenlskukvt: sin( ) = sin, cos( ) = cos, tn( ) = tn sin( + y) = sin cos y + cos sin y, cos( + y) = cos cos y sin sin y Perustelu geometrisesti ti helpommin vektoreiden j mtriisien vull. (Kikkien eri tpusten käsittely geometrisesti on hiemn työlästä) 6.3 Trigonometriset funktiot III Derivtt: D(sin ) = cos, D(cos ) = sin Edellisestä seur, että molemmt funktiot y(t) = sin(ωt) j y(t) = cos(ωt) toteuttvt differentiliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) =, jok kuv ns. hrmonist värähtelyä. Tässä muuttuj t on ik j vkio ω > on värähtelyn kulmtjuus. Kuten myöhemmin nähdään, differentiliyhtälön kikki rtkisut ovt muoto y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt), joss A, B ovt vkioit. Ne määräytyvät yksikäsitteisesti, jos tunnetn esimerkiksi lkutil y() j lkunopeus y (). Kikki rtkisut ovt jksollisi j niiden jksonik on T = 2π/ω. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 2 / 2 6.3 rcus-funktiot I 6.3 rcus-funktiot II Trigonometrisill funktioill on käänteisfunktio, jos funktioiden määrittely- j mlijoukkoj rjoitetn sopivll tvll. Sini-funktio on idosti ksvv bijektio. Kosini-funktio on idosti vähenevä bijektio. Tngentti-funktio on idosti ksvv bijektio. sin: [ π/2, π/2] [, ] cos: [, π] [, ] tn: ] π/2, π/2[ R Käänteisfunktiot: Siis: rctn : R ] π/2, π/2[, rcsin : [, ] [ π/2, π/2], rccos : [, ] [, π] = tn α α = rctn, kun α ] π/2, π/2[ = sin α α = rcsin, kun α [ π/2, π/2] = cos α α = rccos, kun α [, π] Huom: rc nnetn rdineiss, ellei kyseessä ole geometrinen sovellus. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 3 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 4 / 2
6.3 rcus-funktiot III Käänteisfunktioiden derivtt 6.3 Johdnto: Rdioktiivinen hjominen D rctn = + 2, R D rcsin =, < < 2 D rccos = 2, < < Vrsinkin ensimmäinen kv on tärkeä integrlilskennss. Perustelu derivoimll puolittin yhtälö tn(rctn ) =, kun R: ( + tn 2 (rctn ) ) D(rctn ) = D = D(rctn ) = + tn 2 (rctn ) = + 2. Alin rivi myös suorn käänteisfunktion derivtn kvst. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 5 / 2 Rdioktiivisen ineen ydinten lukumäärää hetkellä t kuv funktio y(t). Lyhyellä ikvälillä t hjovien ydinten lukumäärä on likimin suorn verrnnollinen sekä ikvälin pituuteen että ydinten lukumäärään ikvälin luss: y = y(t + t) y(t) k y(t) t. Vkio k on ineest riippuv hjomisvkio. Tästä sdn y t ky(t), j rjll t differentiliyhtälö y (t) = ky(t). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 6 / 2 6.3 Eksponenttifunktio I Neperin luku e = ( lim + ) n = + + n 2! + 3! + 4! +... 2,7828828459... Eksponenttifunktio ep: ep () = n= n ( n! = lim + ) n = e. n Määritelmä (srjkehitelmä) perustuu ominisuuteen ep () = ep (), jonk vuoksi eksponenttifunktio on tärkeä differentiliyhtälöiden rtkisemisess. 6.3 Eksponenttifunktio II Yhteys erilisten määritelmien välillä on suorviivinen, mutt pitkähkö lsku, jok on tällä kurssill oheislukemist. Päättely etenee esimerkiksi seurvll tvll: Määritellään ep: R R, k ep () = k!. Srj suppenee suhdetestin perusteell kikill R. Osoitetn: ep on derivoituv j toteutt ep () = ep () kikill R. (Srjn derivoiminen termeittäin on koko päättelyn hnklin koht, vikk intuitiivisesti helppo ymmärtää.) Se toteutt myös ominisuudet ep () =, k= ep ( ) = /ep () j ep ( + y) = ep () ep (y) kikill, y R. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 7 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 8 / 2 6.3 Eksponenttifunktio III Edellisistä seur, että ep (p/q) = (ep ()) p/q kikille rtionliluvuille p/q Q. Jtkuvuuden perusteell kikill R. Kosk ep () = ep () = (ep ()) k= k! = lim ( + n ) n = e, niin eksponenttifunktiolle sdn muoto e. Lisäksi edellisistä seur, että ep: R ], [ on idosti ksvv bijektio, jolle lim ep () =, lim ep () =, lim n = kikill n N. ep () 6.3 Eksponenttifunktio IV Jtkoss kirjoitetn e = ep (). Ominisuuksi: e = e > D(e ) = e e = /e (e ) y = e y e e y = e +y kikill, y R. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 9 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2 6.3 DY y = ky Luse 6. Olkoon k R vkio. Kikki differentiliyhtälön y () = ky(), R, toteuttvt funktiot y = y() ovt muoto y() = Ce k, joss C on vkio. Jos funktion y rvo tunnetn josskin pisteessä, niin vkiolle C sdn yksikäsitteinen rvo. Perustelu: y () = ky() ( y () ky() ) e k = kosk e k > in y ()e k ke k y() = d d ( y()k k ) = y()e k = C = vkio y() = Ce k. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 / 2 6.3 Logritmi I Logritmifunktio = eksponenttifunktion käänteisfunktio: ln: ], [ R Trksti otten kyseessä on e-kntinen eli luonnollinen logritmi. Yleisen -kntisen logritmin määritelmä perustuu kvn kun > j y >. = y = log y, Muit sovelluksiss esiintyviä logritmej ovt Briggsin -kntinen logritmi lg = log j binäärilogritmi lb = log 2. Merkinnällä log trkoitetn yleensä (esim. tietokoneohjelmiss) luonnollist logritmi ln. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 2 / 2
6.3 Logritmi II 6.3 Eulerin kv Logritmin ominisuuksi e ln =, kun > ln(e ) = kikill R ln =, ln e = ln( b ) = b ln, kun >, b R ln(b) = ln + ln b, kun, b > D ln = /, kun Nämä seurvt vstvist ep-funktion ominisuuksist. Imginriyksikkö i: olio, jok toteutt i 2 =. Kompleksiluvut muoto z = + iy, joss, y R. Ktso trkemmin erillistä monistett kompleksiluvuist. Kun eksponenttifunktion srjkehitelmään sijoitetn muuttujn piklle i j ryhmitellään reliset termit erikseen, niin sdn Eulerin kv e i = cos + i sin. Seuruksen on kv e iπ + =, jot jotkut pitävät mtemtiikn hienoimpn kvn. Se sitoo toisiins tärkeimmät luvut,, i, e j π sekä kolme lskutoimitust. Kvojen e ±i = cos ± i sin vull voidn joht myös esitykset cos = ( e i + e i), sin = ( e i e i), R. 2 2i Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 3 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 4 / 2 6.3 Hyperboliset funktiot I 6.3 Hyperboliset funktiot II Hyperbolinen sini sinus hyperbolicus sinh, hyperbolinen kosini cosinus hyperbolicus cosh j hyperbolinen tngentti tnh: sinh: R R, sinh = 2 (e e ) cosh: R [, [, cosh = 2 (e + e ) tnh: R ], [, tnh = sinh cosh Ominisuuksi: cosh 2 sinh 2 = ; kikill trigonometrisill kvoill on hyperbolinen vstine, jok seur yhteyksistä sinh(i) = i sin, cosh(i) = cos. Kvoiss sin 2 -termien merkki vihtuu, muut pysyvät smoin. Derivtt: D sinh = cosh, D cosh = sinh. Hyperboliset käänteisfunktiot eli re-funktiot; re j lyhenne r viitt käänteisfunktioiden geometriseen tulkintn eräänä hyperbeliin liittyvänä pint-ln: sinh = r sinh = ln ( + + 2 ), R cosh = r cosh = ln ( + 2 ), Käänteisfunktioiden derivtt: D sinh = D cosh = + 2, R 2, > Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 5 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 6 / 2 7. Pint-l: Suorkulmio 7. Suunniks Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi joukkoj. Tsojoukon pint-l määritellään pluttmll se yksinkertisemmn joukon pint-ln. Joukon pint-l ei voi lske, ellei pint-l ole ensin yleisesti määritelty (vikk koulumtemtiikss näin yleensä menetelläänkin). Lähtökoht: Suorkulmion pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = b. Suunnikkn pint-l on (määritelmän mukn) knt korkeus: A = h. h b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 7 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 8 / 2 7. Kolmio 7. Monikulmio Kolmion pint-l on (määritelmän mukn) Monikulmio on tsolue, jot rj umpininen (j itseään leikkmton) murtoviiv. A = 2 h. h Murtoviiv koostuu peräkkäisistä jnoist, joille edellisen päätepiste = seurvn lkupiste. Se on umpininen, jos viimeisen päätepiste = ensimmäisen lkupiste. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 9 / 2 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto) MS-AX Differentili- j integrlilskent.9.26 2 / 2