S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat degeneroitumattomia Systeemin kokonaisenergia on 6ε Esitä kaikki mahdolliset artitiot ja osoita, että mikrotilojen kokonaislukumäärä on 84 Määritä todennäköisin artitio Esitä myös energiatasojen keskimääräiset miehitysluvut Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3 taaan ( nj = njk Pk ): k k Energia Partitio eli makrotila k 3 4 5 6 7 8 9 6ε 5ε 4ε 3ε ε ε n j,476,49,857,476,743,,3333 P k 4 6 4 4 4 6 limmalla rivillä olevat artitioiden todennäköisyydet saadaan yhtälöstä n P! i k = N gi, missä indeksi i numeroi energiatasot Nyt g i = jokaiselle i ni! energiatasolle Siten saadaan esimerkiksi 4! 4! P = = 4, P = =, jne 3!!!!! 9 Mikrotilojen kokonaislukumäärä on Pk = 84 odennäköisin artitio on artitio k = 6, k= jolle P 6 = 4 eli artitio sisältää 4 mikrotilaa Ruudukon oikealla uolella ovat energiatasojen keskimääräiset miehitysluvut Voidaan todeta, että niiden summa on = hiukkasten kokonaislukumäärä = 4
Ideaalikaasun tilavuus lämötilassa, ja 8 kpa aineessa on,47 m 3 a) Kuinka monta moolia kaasua on? Entä kuinka monta molekyyliä? b) Kaasun aine nostetaan 36 kpa:iin samalla kun sen lämötila nousee 3, :een Laske kaasun tilavuus tällöin olettaen, että kaasun uristuessa kokoon systeemin ja ymäristön välillä ei ole vuotoja t =,, = 8 kpa, V =,47 m 3 t = 3,, = 36 kpa a) Ideaalikaasun tilanyhtälöstä V = ν R, missä ν on ainemäärä mooleina, saadaan 3 3 V 8 Pa,47 m ν =,5 mol 3 mol R 8,343 ( 73,5 +, ) K K mol N = ν N,5 mol 6,5 6,78 mol 3 5 b) Paineen ja lämötilan noustessa ja kaasun uristuessa kokoon ainemäärä ysyy olettamuksen mukaan muuttumattomana ilanyhtälöstä saadaan V,5 mol 8,343 ( 73,5 + 3, ) K ν R = K mol,9 m 36 Pa 3 3 3 Säiliö, jonka tilavuus on V on jaettu kahteen yhtä suureen osaan ohuella väliseinällä Vasen uoli sisältää ideaalikaasua, aluksi aineessa, ja oikealla uolella on alussa tyhjö Väliseinään tehdään ieni reikä, jonka inta-ala on ohda lauseke aineelle l ( t ) säiliön vasemmalla uolella ajan funktiona : Olkoon aine vasemmalla uolella aluksi ja tiheys n Koska vakiolämötilassa aine on suoraan verrannollinen tiheyteen, ja koska säiliöissä olevien molekyylien lukumäärien summa on vakio saadaan vasemmalle uolella = nk ja oikealle - = ( n -n) k missä ja n ovat aine ja molekyylien tiheys vasemmalla uolella ajan funktiona ukon läi ajassa dt virtaavien molekyylien määrä dn on verrannollinen tiheyseroon: dn = n -( n - n) vavedt = -Vdn fi d = - V - v ave 4 4 dt
Huomaa - merkki; kun dn > niin molekyylien lukumäärä vasemmalla uolella ienenee ja tiheys ja aine laskevat ärjestelemällä termejä uolelta toiselle ja integroimalla alkuajanhetkestä t = t ajanhetkeen t: z z t F d 4V v dt - I =- ave fi ln =- 4 V v ave - HG K t Ratkaisemalla tämä aineen suhteen saadaan - -v e avet/ V -v t V = fi = + e ave / ( ) II Välikokeen alue 4 Kesällä, kun ulkoilman lämötila on 35, halutaan huoneilman lämötila itää 8 :ssa iedetään, että ymäristöstä, mukaanluettuina huoneessa olevat ihmiset sekä erilaiset laitteet, virtaa huoneeseen lämöä 48 W teholla Mikä on oltava jäähdytyskoneen tehon, jotta mainittua lämötilaa voitaisiin ylläitää? : Y = 35, = 8, P Q = 48 W äähdytyskoneen tehokerroin on ε ( + ) ( ) 8 73 K = 7, 35 8 K Y äähdytyskoneen tehon tulee siis olla P PQ 48 W = 5 W ε 7, 5 Berthelot on esittänyt reaalikaasuille tilanyhtälön R a =, V b V missä a ja b ovat emiirisiä vakioita (eivät samoja kuin Van der Waalsin vakiot) Määritä tätä tilanyhtälöä noudattavan kaasun kriittiset arametrit, ja V yhtälössä esiintyvien vaakioiden avulla (ehtävässä on vain yksi kohta) Derivoidaan :n lauseke kahdesti tilavuuden suhteen (V on tässä moolitilavuus - ) lämötilan ollessa vakio ja asetetaan kumikin derivaatta nollaksi: R a = ( ) + 3 = () V V b V R 6a = = () 3 3 V ( V b) V aetaan yhtälöt () ja () uolittain Suistamisen jälkeen saadaan
V b V =, 3 josta kriittiselle tilavuudelle saadaan arvo V = 3b Sijoitetaan saatu kriittinen tilavuus yhtälöön (): a R a R = =, 3 V b 3 V 7b 4b ( ) josta ratkaisemalla saadaan kriittinen lämötila = 8a a 7bR = 3 3bR Sijoitetaan louksi ja V Berthelot n tilanyhtälöön ja ratkaistaan kriittinen aine: a R R a 3 3 a = = br, V b V b a 9b 3 3bR josta tekemällä samannimisiksi ja sieventämällä saadaan = 3aR 8b b 6 mmoniumkaasun (NH 3 ) moolinen ominaislämö vakioaineessa voidaan tietyllä lämötilavälillä esittää lämötilan funktiona emiirisellä yhtälöllä c = a+ b + c, missä vakioiden kokeelliset arvot ovat 3 5 a = 33,6, b=,93, c=,9 mol K 3 mol K mol K Määritä kaasun entroian muutos, kun 5, mol NH 3 :a lämmitetään vakioaineessa 98 K:stä 373 K:iin Moolinen ominaislämö vakioaineessa on määritelmän mukaan Hm Sm c = = Yhdistämällä nämä yhtälöt saadaan ds m a b c d = + + Erotetaan muuttujat ja integroidaan tilasta tilaan : S d ds = a + bd + cd m S c = + + ( ) ( ) Sm aln b Sijoitetaan arvot:
373 3 S m 33,6 ln +,93 ( 373 98 ) K mol K 98 mol K 5 +,9 3 ( 373 98 ) K mol K 8,84 mol K Kertomalla louksi moolimäärällä saadaan S = ν S m 5, mol 8,84 44, mol K K VKIOI -3-7 -7-7 e n -9 8-34 -4 - m = 9, 9 kg m =,675 kg m =,6748 kg amu =,665 kg e =,6 c =,9979 m/ s h =,545 s µ B = 9,73 - - - -6 - ε = 8,8544 N m Ke = / 4πε µ =,566 mkg Km = µ / 4π - - 3 - - - -3 - γ = 6,67 Nm kg N = 6,5 mol R = 8,343 K mol k =,385 K