Tngrm TUTUSTUTAAN TANGRAMIIN Ensikohtminen Tngrm on kiinlinen plpeliä muistuttv ongelmkimppu. Siinä neliö on jettu erimuotoisiin j -kokoisiin ploihin, joit kääntelemällä j siirtelemällä on trkoitus rkent erilisi mielenkiintoisi kuvioit. Siinä missä euroopplisen plpelin plojen muoot j määrät vihtelevt vikeustson mukn, tngrmiss plt ovt neliöstä in smll tvll leiktut seitsemän pl. Vikeustso muutelln rkennettvi kuvioit muutellen. Tngrm soveltuu kikille, kuvioien vikeustso vihtelee hyvin helpoist toell vikeisiin. Tekeminen ei myöskään lopu kesken, uusi kuvioit voi kehitellä lähes loputtomiin. Synty Kiinss Tngrmin synnystä on lukuisi erilisi trinoit, kikki yhtä viihyttäviä j mielenkiintoisi. Yhteistä trinoiss on vin pelin pitkä ikä. Mitään trin ei ole onnistuttu toistmn muit toenperäisemmäksi. Yksi legen kertoo tngrmin syntyneen, kun kiinlinen mies yritti koot hjonnutt levyä. Neliön sijn ploist syntyi erilisi eläimiä, ihmisiä j rkennuksi. Toisen trinn mukn vnh kiinlinen jumln plvottu kirjilij kirjoitti seitsemän kirj Mn kehityksestä j kuvitti ne tngrm-kuvill. Itse pelin historin lisäksi myös nimen histori on tuntemton. Se sttisi tull vnhst kiinlisest Tnynstist j kreikn snst grmm, kirjoitettu. Toinen vihtoehto on tngrmin muoostuminen kirjoitusvirheien kutt vnhst englnninkielisestä snst trngm, koru ti lelu. Pinotuotteet tngrmist Ensimmäiset tngrm-kirjt pinettiin 1700- j 1800- lukujen vihteess, vnhin säilynyt kiinlinen kirj on vuoelt 1813. Ensimmäisen kirjn jälkeen julkistiin useit muit kirjoj. Kiinlisiss kirjoiss tngrmtehtäviin on liitetty selittäviä kirjoitusmerkkejä. Os kuvioist on itsessään jo kirjoitusmerkkejä.
Mihinnousu länsimihin Eurooppn tngrm levisi 1800-luvun luss melko pikisesti. Eurooppliset j merikkliset julkisut muistuttivt pljon kiinlisi, joskus kokonisi sivuj oli kopioitu toisist kirjoist. Euroopss suhtutuminen kuvioihin erosi kiinlisest. Siinä missä kiinlisill kuvioill oli merkitys, eurooppliset vin yrittivät rkent erilisi kuvioit, joit kirjoihin kuvttiin. Kirjoist hävisivät selittävät kirjoitukset, joit kiinlisiss kirjoiss oli. Amerikklinen Sm Loy kirjoitti omiss kirjoissn, että kiinlinen Li Hung hng toisti Pythgorn luseen tngrmin vull jo tuhnsi vuosi sitten. Eli tngrmiin sisältyy myös mtemttinen puoli. Siitä seurvksi. MATEMAATIKKO TUTKII TANGRAMIA Kupert monikulmiot Ongelmi? Neljällä peruskolmioll syntyy kuusi kuper monikulmiot: Ensin trkstelemme mhollisuutt rkent tngrmin ploist kuperi monikulmioit. Kuperss monikulmioss khen kärjen yhysjn kulkee koko jn monikulmion sisällä, riippumtt siitä, mitkä kksi kärkipistettä vlitn. Kuink mont erilist monikulmiot on mhollisuus rkent? Kuink mont kulm monikulmioss voi oll? Aloitmme jkmll tngrmin kuutentoist smnkokoiseen, tskylkiseen suorkulmiseen kolmioon, kutsumme näitä kolmioit peruskolmioiksi. Kikiss eellä esitetyissä kuperiss monikulmioiss lyhyt sivu on in toist lyhyttä sivu vsten j pitkät sivut ovt toisi pitkiä sivuj vsten. Jos jokin monikulmion sivuist olisi rkentunut sekä peruskolmion lyhyistä että pitkistä sivuist, vikutt siltä, ettei monikulmiot tällöin s kuperksi. Tämä ei kuitenkn estä sitä, että monikulmion ulkoreunn ost olisivt eri tvoin rkentuneit, kuten seurv esimerkki osoitt. Khest peruskolmiost voin rkent kuper monikulmio kolmell eri tvll: Kolmest peruskolmiost sn kksi kuper monikulmiot: Kuperi monikulmioit rkennettess kolmioien lyhyet sivut ovt in toisi lyhyitä sivuj j pitkät sivut toisi pitkiä sivuj vsten. Lisäksi monikulmion ulkoreunt koostuvt joko lyhyistä ti pitkistä kolmioien sivuist. Toistus sivuutetn.
Kulmien lukumäärä Peruskolmioist rkennetun monikulmion kulm (kuviss kulm AB) on suor kulm, 90, jos vierekkäiset sivut ovt smnliset (molemmt lyhyistä ti pitkistä sivuist koostuvi). Jos sivut ovt erilisi, kulm on 45 ti 135. 45 o B A Jokinen peruskolmiost rkennettu kuper monikulmio voin siis peruskolmioit lisäämällä täyentää suorkulmioksi. Suorkulmion sivujen pituuet ovt kolmion lyhyen sivun pituuen moninkertoj. Monikulmioien sivut, jotk koostuvt kolmioien lyhyistä sivuist, sivuvt suorkulmion sivuj. P A B Q 45 o A B A B 135 o Monikulmio jtkuu G/H D y B A Monikulmion kulmien summ on (n 2) 180, missä n on kulmien lukumäärä. Merkitään :ll monikulmion 45 kulmien lukumäärää, :llä 90 kulmien lukumäärää j :llä 135 kulmien lukumäärää. Monikulmion kulmien summ on siis 45 + 90 + 135 = (n 2) 180. Lisäksi + + = n. Jälkimmäisestä yhtälöstä = n ( + ); sijoitetn se ensimmäiseen yhtälöön: S F x Suorkulmion kulmt: P, Q, R, S. Monikulmion kulmt: A, B,, D, E, F, G, H. Kikki sivut kolmion lyhyistä sivuist: E R 45 + 90 + 135(n ) = (n 2) 180 : 45 + 2 + 3n 3 3 = 4n 8 2 = n 8 2 + = 8 n Kosk 0 j 0, niin 8 n 0 j n 8. Monikulmion kulmien lukumäärä voi siis oll kolmest kheksn. Tätä lskettess ei oll tehty minkäänlisi olettmuksi peruskolmioien määrästä. Tulos on siis voimss in, myös silloin kun peruskolmioit on kuusitoist. Kuuelltoist peruskolmioll kulmi ei kuitenkn ole kuin korkeintn kuusi, trkempi perustelu pljstuu seurvss luvuss. Olemme rtkisseet toisen ongelmistmme. Nyt voimme tutki mhollisten kuperien monikulmioien määrää. Kikki sivut kolmion pitkistä sivuist: Kuperien monikulmioien lukumäärä Kolmion pitkää sivu vsten voin litt toisen kolmion pitkä sivu. Tästä muoostuu neliö, jonk sivut ovt kolmioien lyhyien sivujen pituisi. Suorkulmion vksuor sivu koostuu x:stä neliön sivust j pystysuor y:stä neliön sivust. Neliön sivun pituus on peruskolmion lyhyen sivun pituinen (täyentämisen seuruksen). Suorkulmion sivujen pituuet ovt x j y kert kolmion lyhyen sivun pituus.
Jokinen neliö koostuu khest peruskolmiost j suorkulmio koostuu xy:stä neliöstä. Suorkulmion l on 2xy peruskolmiot. Kolmiot PAH, BQ, DRE j GFS ovt suorkulmisi tskylkisiä kolmioit, niien lt ovt 2, 2, 2 j 2 peruskolmion l (,,, j ovt peruskolmion lyhyen sivun moninkertoj). Kun suorkulmion sisälle rkennettu monikulmio koostuu kuuesttoist peruskolmiost, j on siis mhollisesti tngrm, on monikulmion ulkopuolelle jäävä lue (suorkulmion sisällä) 2 + 2 + 2 + 2 = 2xy 16. Lisäksi + x, + x, + y, + y. Mhollisi kuperi monikulmioit on kksikymmentä kpplett. Kolmetoist näistä voin rkent tngrm-plikoill. Se on osoitettviss tulukoimll kikki epäyhtälöryhmän rtkisut j piirtämällä rtkisuj vstvt monikulmiot (ktso liitteet 1 & 2). Tulukko j kuvt osoittvt myös jo ikisemmin toetun sin, kuuesttoist peruskolmiost rkennetuss kuperss monikulmioss on korkeintn kuusi kulm. Tulukointi voin loitt tutkimll suorkulmioien sivujen tulo, xy:tä. Kosk suorkulmion l on 2xy peruskolmion l j peruskolmioit on käytettävissä 16, niin xy = 8, kun koko suorkulmio on täytetty peruskolmioill. Tämä on lrj xy:lle. Kun peruskolmioist rkennetn suorkulmion lävistäjä, s xy suurimmn rvons, 8 9 = 72: :n, :n, :n j :n neliöien summ, jost selvitetään :n, :n, :n j :n eri mhollisuuet. Lopuksi krsitn ehoill + x, + x, + y j + y mhottomt neliköt suhteess x:n j y:n muoostmiin preihin. Lisää ongelmi? Tngrm täyentyy monikulmioksi Trkstelemme tngrm-kuvioit, joien kärkipisteet sn setettu säännöllisen ruuukon suorien leikkuspisteisiin. Tälliset tngrmit voin täyentää kuperiksi monikulmioiksi jo tutuiksi tulleien peruskolmioien vull. 9 8 Jos tngrmille setetn vielä ehoksi, että se on yksiosinen, on mhollist miettiä, löytyykö ylärj trvittvien plikoien lukumäärälle. Uteliimmille voin pljst, että tällinen ylärj on olemss, yksiosisen tngrmin täyentämiseen trvitn korkeintn 56 peruskolmiot (Elffers 1981, s. 174). Näien rjojen löyyttyä tutkitn jokist tällä välillä olev kokonisluku. Jetn tutkittv luku mhollisiin x:n j y:n rvoihin, esimerkiksi kun xy = 12, prej voivt oll 1 j 12, 2 j 6 ti 3 j 4. Sitten tutkitn mhollisi :n, :n, :n j :n rvoj. Kosk 2xy 16 on prillinen, myös lusekkeen 2 + 2 + 2 + 2 tulee oll prillinen, esimerkiksi = 1, = 1, = 1, = 0 ti = 3, = 1, = 1, = 0 eivät siis kelp. Vlitun xy:n vull sn lusekkeest 2xy 16 = 2 + 2 + 2 + 2 Jolliset tngrmit On myös olemss tngrmeit, jotk on mhollist jk khteen smnliseen osn, jollisi tngrmeit. Näitä on 65 erilist (Elffers 1981, s. 175). Prej voi yhistellä useill eri tvoill yhtenäisiksi jollisiksi tngrmeiksi, jotk on peruskulmioill mhollist täyentää kuperiksi monikulmioiksi. Ongelmnrtkonnst pitäville voin esittää ivonystyröitä työllistävä ongelm: mikä on täyentämiseen trvittvien peruskolmioien ylärj näien jollisten peruskolmioien kohll?
HYVÄSTIT TANGRAMILLE Kuten trkkvinen j kärsivällinen lukij on huomnnut, tngrm voi viihyttää monell eri tvll. Tngrmin milmn voi sukelt puhtsti tieteellisesti tutkien. Sen geometrisistä ominisuuksist löytyy pljon mielenkiintoist. Mutt tämä ei ole ino vihtoehto. Tngrmist voi nutti ivn miniosti ilmn minkäänlist mtemtiikk, työklun inostn mielikuvitus. Voi etsiä tehtäviä, joit yrittää rtkist. Voi itse yrittää kehitellä kuvioit, eläimiä, ihmisiä toimissn, rkennuksi. Nuttik elämästä tngrmin seurss! Teemu Mehtiö Munuln yhteiskoulu j Helsingin mtemtiikklukio Läheluettelo Elffers, Joost (1981). Tngrm, Bokförlget Prism, Tukholm. Liite 1: Mholliset kupert monikulmiot kuuelltoist peruskolmioll Numero xy x y 2xy 16 ( 2 + 2 + 2 + 2 ) Tngrm mhollinen 1 8 8 1 0 0 0 0 0 0 Ei 2 8 4 2 0 0 0 0 0 0 Kyllä 3 9 9 1 2 2 1 1 0 0 Ei 4 9 9 1 2 2 1 0 1 0 Ei 5 9 3 3 2 2 1 1 0 0 Kyllä 6 9 3 3 2 2 1 0 1 0 Kyllä 7 10 5 2 4 4 1 1 1 1 Kyllä 8 10 5 2 4 4 2 0 0 0 Kyllä 9 12 6 2 8 8 2 2 0 0 Kyllä 10 12 6 2 8 8 2 0 2 0 Kyllä 11 12 4 3 8 8 2 2 0 0 Kyllä 12 12 4 3 8 8 2 0 2 0 Kyllä 13 15 5 3 14 14 3 1 2 0 Kyllä 14 15 5 3 14 14 3 2 1 0 Kyllä 15 16 4 4 16 16 2 2 2 2 Kyllä 16 16 4 4 16 16 4 0 0 0 Kyllä 17 24 6 4 32 32 4 0 4 0 Ei 18 25 5 5 34 34 4 1 4 1 Ei 19 25 5 5 34 34 5 0 3 0 Ei 20 72 9 8 128 128 8 0 8 0 Ei y Ehot: x 1 2xy 16 = 2 + 2 + 2 + 2 2 + x + x + y + y
Liite 2: Kuperien monikulmioien kuvt Tngrmit vstvien monikulmioien vieressä. 1. 11. 2. 12. 3. 13. 4. 14. 5. 15. 6. 16. 7. 17. 8. 18. 9. 19. 10. 20.