1 Laaja matematiikka 5 Kevät 009 Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. Tasointegraali Tasointegraali f voidaan laskea kaksinkertaisena integraalina edellyttäen, että on esitettävissä kahden funktion välissä olevana tasoalueena, jonka voi "maalata" kordinaattiakselien suuntaisin vedoin, kuten seuraavassa kuvassa:
Integraali voidaan silloin esittää iteroituna integraalina, jolloin laskenta palautuu kahdeksi yhden muuttujan funktion peräkkäiseksi integroinniksi: b g ( x ) ( ) merk. b g x f ( xyda, ) = ( f( xydydx, ) ) = f( xydydx, ). a g1( x) a g1( x) Sisempi integraali antaa yllä olevassa kuvassa näkyvän pinta-alan A( x ): g( x) A( x) = f( x, y) dy. g1( x)
3 Tätä laskettaessa muuttuja x on siis parametrina vakion roolissa. Jos alueen muoto sallii, niin integraalissa on mahdollista vaihtaa integroimisjärjestystä. Kun edellä "maalattiin" pystysuorin vedoin eli y- akselin suuntaisesti, niin silloin maalataan vaakasuorin vedoin eli x- akselin suuntaisesti. Helpoin tilanne on, jos on suorakulmio [a,b] [c,d]: b d d b f ( x, y) da = ( f ( x, y) dy) dx = ( f ( x, y) dx) dy. a c c a Muuttujan vaihto tasointegraalissa esitetään tarkemmin kurssikirjassa luvussa 19. Mainitaan tässä kuitenkin tärkein tapaus, eli siirtyminen napakoordinaatistoon x = rcos ϕ, y = rsinϕ : f ( x, y) da = f ( rcos ϕ, rsin ϕ) rdrdϕ. S Huomaa lausekkeeseen ilmaantunut tekijä r (joka on ns. Jacobin determinantti, ks. F Theorem 19.9). Integroimisalue on tässä muuntunut ( r, ϕ) -tason alueeksi S. Alla olevassa kuvassa on esimerkki tilanteesta, jossa napakoordinaatteihin siirtyminen on järkevää: 3 π / f ( xyda, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ) rdϕdr. 0 0
4
5 Avaruusintegraali 3 Integrointia 3-ulotteisen avaruuden osajoukon Ω yli sanotaan usein avaruusintegroinniksi, vaikka sitä useampiulotteisetkaan integraalit eivät ole harvinaisia. Oheisessa kuvassa on kolmiulotteisen avaruuden kappale ja sen sisällä näkyvillä yksi väli eli suorakulmainen särmiö Q 1, ns. tilavuuselementti. Myös avaruusintegraalit voidaan laskea iteroituina integraaleina, jos alue Ω on sopivaa muotoa. Kappale Ω on silloin rakennettava kolmiulotteisista tilavuuselementeistä koordinaattiakseleiden suuntaisesti. Helpoin tilanne on, jos Ω on suorakulmainen särmiö [a 1, b 1 ] [a, b ] [a 3, b 3 ]: Ω b1 b b3 f ( xyzdv,, ) = ( ( f( xyzdzdydx,, ) ) ) a1 a a3 merk. b1 b b3 a1a a3 f ( xyzdzdydx,, ) =.
6 Siirtyminen sylinterikoordinaatistoon x = rcos ϕ, y= rsin ϕ, z= z tapahtuu samaan tapaan kuin tasossa napakoordinaatteihin: f ( xyzdv,, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ, zrdrd ) ϕdz, Ω Ωrϕ z missä Ω on muunnettu sylinterikoordinaatein ilmaistuksi alueeksi Ω rϕ z. Siirtyminen pallokoordinaatistoon: Pallokoordinaatit ovat x = ρ sinφcos θ, y = ρsinφsin θ, z= ρcosφ, jotka selittyvät oheisesta kuviosta. Alemmassa kuvassa on esitetty pisteen (, 6,4 ) pallokoordinaatit.
7 Muunnoskaava integraalille on nyt f ( xyzdv,, ) = f( ρ sinφcos θρ, sinφsin θρ, cos φρ ) sinφdρφθ d d. Ω Ωrφθ Esimerkkejä 1. I= kolmio. xyda, missä on suorien y=x ja x=4 sekä x-akselin rajaama 4 x 4 4. 3 4 Silloin I = xydydx = x 1x dx = 1x dx = 14 = 3 8 0 0 0 0 Sama tulos saadaan myös integroimalla toisessa järjestyksessä eli 44 xydxdy. 0 y
8. Lasketaan sen nelitahokkaan tilavuus, jota rajoittavat taso x + y+ z= ja koordinaattitasot. Piirtämällä kuvio nähdään, että tilavuus saadaan funktion z= f( x, y) = x y integraalina yli xy-tason alueen. V= 1 x ( x yda ) = ( x ydydx ) 0 0 (( x ) x ( x ) ( x ) ) dx = /3. = 1
9 3. Lasketaan sen avaruuden 3 ei-negatiivisessa oktantissa olevan kappaleen tilavuus, jota rajoittavat koordinaattitasot, taso x + y = ja pinta z= 4 x. y 0 3 V= (4 x ) da= (4 x ) dxdy= =. 0 0
10 4. Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jonka sylinteri x + y = y leikkaa pallosta x + y + z = 4. π sinθ (siirryttiin napakoordinaatistoon) V = 4 x y da = 4 r rdrdθ 0 0 π /sinθ 0 0 π 4 rrdrd θ d d / π/ 3/ 3/ 3 3 3 3 0 0 = 4 = ((4 4sin θ ) 4 ) θ = (cos θ 1) θ taul. = + π. 64 16 9 3
11 5. Lasketaan funktion f ( xy, ) = xyavaruusintegraali yli nelitahokkaan, jota rajoittavat koordinaattitasot ja taso x + y+ z= 4. 4 x 4 x y 15 3 xydv = xydzdydx = =. 0 0 0 Ω Sama integraali voitaisiin laskea myös esimerkiksi järjestyksessä 4 4 y(4 y z)/ xydxdzdy (Katso alla olevaa kuvaa.) 0 0 0
1
13 6. Lasketaan pinnan z = 4 y ja tasojen x + z= 4, x= 0, z= 0 rajoittaman kappaleen tilavuus. V= 4 y 4 z 1 18 dv = dxdzdy = =. 5 Ω 0 0