Tampereen kesäyliopisto, kevät 2015 Thlousmatematiikan perusteet, orrvrs ro:o 2. harjoitus, (pe27.11.2015) 1. Yritys valmistaa kappaletavaraa q kappaletta viikossa. Yhden kappaleen materiaali- ja palkkakustannus on 7, joten tuotannon määrästä riippuvat muuttuvat kustannukset ovat VC :7 q ( viikossa). Yrityksen kiinteät kustannukset ovat FC : ll250 ( viikossa). Lisäksi ahtaiden tuotantotilojen ja varastointiongelmien takia joudutaan turvautumaan ylityöhön, josta aiheutuu kustannuserä LC :0.005q2 ( viikossa). Kokonaiskustannus viikossa on siis f C(q) : FC +VC + LC : 11250 +7q -10.005q2. Tuotteen myyntihinta on 30, joten tuottofunktio on ZR : 3Oq ( viikossa) ja voittofunktio on P(q) : T R - TC : 23q-0.005q2-11250 ( viikossa). Piirrä voittofunktion P(q) ja yksikkökustannusfunktion AC(q) : rc(q) lq kuvaajat kun 0 < q < 3000. Mikä on AC(q):n yksikkö? Mikä on mielestäsi jåirkevä tuotannon mäara? (Ohje: yksiköt.[q] : H, [p] : nros, [AC] : ú) 2. Laske tehtävässä 1 esiintyneen voittofunktion derivaatta, eli p'ø):{. aq Millä 4:n arvolla P'(q) :0? Tarkista tehtävän 1 kuvan avulla nollakohdan paikka. Millä q:n arvoilla P'(q) > 0? Tarkista tämåikin tehtävän 1 kuvan avulla. 3. Laske derivaatat a) b) c) f'(3), g'(*), h'(*), kun /(x) : x2-4x, kun g(x) :7x2l5x-3, kun ft(.r) :3x. (x2-5) A.Eraäntuotteen kustannusfunktio on C(q):0.005q2 *6q+200. a) MäZiritä rajakustannus mc(q) : C'(q), yksikkökustannus AC(q) : C lò lq iukiinteät kustannukset FC: C(0). b) Minkä arvon edellä mainitut funktiot saavat, kun tuotannon mäåirä on q: QQ? 5. Edellisessä tehtävässä mainitun tuotteen þsyntäfunktio P: f (ù: 10 - O'\lq kertoo miten hinta ( lkpl) riippuu tarjolla olevien tuotteiden mä?irästä (kpl/kk). Tuottofunktio R(q) : qp : q(l}- 0.01a) : l}q - 0.0tqz Kertoo tuoton (myynnistä saatu kassatulo). Laske rajatuotto un(q) : n'(q) 6. Tþhtavien 4 ja 5 yritys tuottaa nyt kaksisataa tuotetta kuussa (q :200). Laske rajakustannus MC(200) ja rajatuotto MR(200). Kannattaako yrityksen kasvattaa vai pienentää tuotantoaan? 7. Yrityksen erään tuotelinjan þsyntäfunktio on p :20-0.0304 ja vastaava kustannusfunktio onc(q):0.02q2 -l5qi 150. Millä tuotannon mä?irällä voitto on suurin mahdollinen. Mikä on maksimivoitto?
Tampereen kesäyliopisto, kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet, orlt s to o 2. harjoitus, (pe 27.11.2015) L. Yritys valmistaa kappaletavaraa q kappaletta viikossa. Yhden kappaleen materiaali- ja palkkakustannus on 7, joten tuotannon määrästä riippuvat muuttuvat kustannukset ovat VC :7q ( viikossa). Yrityksen kiinteät kustannukset ovat FC:11250 ( viikossa). Lisäksi ahtaiden tuotantotilojen ja varastointiongelmien takia joudutaan turvautumaan ylityöhön, josta aiheutuu kustannuserä LC :0.005q2 ( viikossa). Kokonaiskustannus viikossa on siis fc@) : FC +VC * LC : 11250 * 7 q i 0.005q2. Tuotteen myyntihinta on 30, joten tuottofunktio on ZR : 3Oq ( viikossa) ja voittofunktio on P(q) : T R - TC : 23q - 0.0O5q2-11250 ( viikossa). Piinä voittofunktion P(a) ja yksikkökustannusfunkt\on AC(q) : rc(q) lq kuvaajat kun 0 < q 13000. Mikä on AC(q):n yksikkö? Mikä on mielestäsi j är'kevä tuotannon määrä? (ohje: yksiköt [q] : H, [P] : *, [AC] : ù) +ooo \ toa -t O +'t l + qoa '+ q 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 1200 1300 1400 1500 1600 1 700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600?700 2800 2900 3000 P(q) -4800-2850 -1000 750 2400 3950 5400 6750 8000 9150 10200 11150 '12000 12750 13400 13950 14400 14750 1 5000 15150 5200 15150 15000 14750 14400 13950 13400 12750 Ac(q) 46,00 37,13 32,00 28,75 26,57 25,06 24,OO 23,25 22,73 22,38 22,15 22,04 22,OO 22,O3 22,'12 22,25 22,42 22,63 22,86 23,11 23,39 23,69 24,00 24,33 24,67 25,O2 25,38 25,75 20000 15000 10000 5000 0-5000 -10000 50,00 40,00 30,00 20,oo 10,00.0,00 0 1: 1l 500 1000 1500 2000 2500 3000 -P(q)
2. Laske tehtävässä esiintyneen voittofunktion derivaatta, eli PØ):#. dq Millá' q:n arvolla P'(q) :0? Thrkista tehtäv in 1 kuvan avulla nollakohdan paikka. Millä q:n arvoilla P (q) >- 0? Tarkista tämåikin tehtävän 1 kuvan avulla.
Sheetl q pa(q) 0 20,00 5 19,00 10 18,00 1s 17,00 20 16,00 2s 15,00 30 14,00 35 13,00 40 12,00 45 11,00 50 10,00 55 9,00 60 8,00 6s 7,OO 70 6,00 75 5,00 80 4,00 85 3,00 90 2,OO 95 1,00 100 0,00 pb(q) 34,6 24,5 20,0 17,3 15,5 14,1 13,1 12,2 11,5 11,0 10,4 10,0 9,6 9,3 8,9 8,7 8,4 8,2 7,9 7,7 40,00 3s,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 1 \ \ \ --t-r-- - 0 20 40 60 80 100 L20 +pa(q) +pb(q) Page
3. Laske derivaatat a b c) f'(3), kun /("r) : x2-4)c, g' (*), kun g(x) :7x2 *5x-3, h'(*), kunå(.r) :3x'e *5) t-- 4. Eräåin tuotteen kustannusfunktio on C(q) :A.005q2 +6q*200. a) Mäåiritä rajakustannus MC(q) : C'(q), yksikkökustannus AC(q) : C(,ù lq ja kiinteär kustannuks et FC: C(0). b) Minkä arvon edellä mainitut funktiot saavat, kun tuotannon mäåirä on Ç: QQ?
i,t, 5. Edellisessä tehtävässä mainitun tuotteen kysyntäfunktio P:f(q):10-o'}lq kertoo miten hinta ( lkpl) riippuu tarjolla olevien tuotteiden mäåirästä (kpllkk). Tuottofunktio R(q) : qp : q(o- 0.01a) : l\q - 0.01q2 Kertoo tuoton (myynnistä saatu kassatulo). Laske rajatuotto MR(q) : n'(q) 6. Tþhtävien 4 ja 5 yritys tuottaa nyt kaksisataa tuotetta kuussa (q :200). Laske rajakustannus MC(200) ja rajatuotto MR(200). Kannattaako yrityksen kasvattaa vai pienentää tuotantoaan? 7. Yrityksen erään tuotelinjan þsyntäfunktio on p : 20-0.030q ja vastaava kustannusfunktio on C(q) :0.02q2 * 5q * 150. Millä tuotannon måiåirällä voitto on suurin mahdollinen. Mikä on maksimivoitto?