7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan ensin tämän integraalin suorittamista karteesissa koordinaatistossa ja sen jälkeen käyräviivaisissa koordinaatistoissa, kuten sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa. Oletataan, että alue, jonka yli integroidaan, on säännöllinen z- suunnassa. Silloin voidaan ensin integroida z-suunnassa alueen pohjapinnasta z= φ ( xy, ) kansipintaan z (, ) 1 = φ xy (ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: φ ( xy, ) dv f ( x, y, z) = dxdy dz f ( x, y, z). V G xy φ1 (, ) jokin x:n ja y:n funktio 7
73 Voi myös ensin tehdä pintaintegraalin alueen poikkipinnan Gz ( ) yli ja sitten integroida z:n yli niin, että koko alue tulee käydyksi läpi: dv f ( x, y, z) = dz dxdy f ( x, y, z). V a G( z) b jokin z:n funktio Pintaintegraaliosat voidaan suorittaa niin kuin aikaisemmin opimme. *** Esimerkki: Olkoon V alue, jota rajoittavat tasot x=, y = ja z = sekä pinta z = x + y ja jossa x ja y. Lasketaan funktion f( xyz,, ) = xtilavuusintegraali tämän alueen yli. Kuvasta voi päätellä, että integroimisalue V on se, jossa koordinaateille on voimassa ehdot Integraali on silloin x,, y x +. 73
74 I = dv x ds dz x = x + y = V x x G dx dy dz x 5/ ( ) 1 = dx x ( x ) y y 3 3 x y= 1 = dx x ( ) ( ) x x 3 ( ) 3/ = dx x x 3 = ( x ) 15 x + y = dx x dy x + y = 8. 15 3/ 3/ Harjoitustehtäväksi jätetään laskea integraali niin, että ensimmäisenä suoritetaan x-integrointi. *** Adamsin kirjassa on luvussa 14.5 useita hyviä esimerkkejä. Katso ainakin esimerkit, 3 ja 4. Muuttujanvaihto tilavuusintegraalissa. Tehdään muuttujanvaihto x= xuvw (,, ), y= yuvw (,, ), z= zuvw (,, ). 74
75 Kuten jo pintaintegraalien yhteydessä totesimme, muuttujanvaihdossa differentiaalinen integroimisalkio yleensä muuttuu kooltaan. Meidän pitää siis selvittää, mikä on dudvdw avulla ilmaistuna se uvw-avaruuden alue, joka vastaa alkuperäisen tilavuusintegraalin tilavuusalkiotadv = dxdydz. Tilavuusalkio on suuntaissärmiö, jonka virittää paikkavektorin r infinitesimaalinen muutos dr = idx ˆ + ˆ jdy + kdz ˆ. Särmiön sivujen pituudet ovat dx, dy ja dz ja tilavuus on siten dv = dxdydz. Sivulla 5 tarkastelimme, millainen muutos aiheutuu paikkavektoriin r= r( xuvw (,, ), yuvw (,, ), zuvw (,, )), kun esimerkiksi parametrin u arvoon tehdään infinitesimaalinen muutos du eli u u + du. Muutos on vektori r ˆ x ˆ y ˆ z du = i + j + k du a. u u u u Kahden muun parametrin muutokset antavat vastaavasti vektorit r v r dv b, dw c. w Paikkavektorin infinitesimaalinen muutos parametrien avulla esitettynä on ketjusäännön mukaan r r r dr = du + dv + dw, u v w jossa ovat pistettä ( xyz,, ) vastaavat parametriarvot. Edellä olevat kolme vektoria virittävät xyz-avaruuteen infinitesimaalisen suuntaissärmiön dv, jonka tilavuus on 75
dv = a ( b c) 76 b b b b b b = a + a + a y z z x x y cy cz cz c c x x cy x y z a a a u u u b b b dudvdw v v v cx cy cz x y z w w w = = ( xyz,, ) Jacobin determinantin itseisarvo dudvdw J ( u, v, w) dudvdw. Muuttujanvaihto siis skaalaa tilavuuselementit seuraavasti: dv = dxdydz = ( xyz,, ) dudvdw. Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali karteesisen xyz-avaruuden alueen D yli voidaan siis esittää seuraavalla tavalla käyräviivaisia koordinaatteja uvw käyttäen: D ˆ ( xyz,, ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( u, v, w) dudvdw, H jossa H on se uvw-parametriavaruuden alue, joka kuvautuu muuttujanvaihdossa xyz-avaruuden alueeksi D, ja f ˆ = f( xuvw (,, ), yuvw (,, ), zuvw (,, )). 76
77 *** Esimerkki: Lasketaan integraali jossa D x y z dxdydz +, 3 { } D= ( xyz,, ) x [ y/,1 + y/ ], y [,4], z [,3]. Tehdään muuttujanvaihto, joka yksinkertaistaa integroimisaluetta: x y y z u =, v=, w=. 3 Helposti nähdään, että integroimisalueeksi uvw-avaruudessa tulee { } H= u [,1], v [,], w [,1]. Muuttujanvaihdon Jacobin determinantti on (huom. x= u+ vy, =, vz= 3w) x y z u u u 1 ( xyz,, ) x y z = = 1 = 6. ( u, v, w) v v v 3 x y z w w w Tilavuusintegraali on 77
D 78 x y z dxdydz + 3 ( xyz,, ) = dudvdw ( u + w ) H 1 1 = dudvdw 6( u + w) u= v= w= [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 = 6 u / v w + 6 u v w / = 6 + 6 = 1. *** A 16.7 Jos oletamme, että uudet muuttujat (u,v,w) ovat suorakulmaisen käyräviivaisen koordinaatiston koordinaatteja, muuttujanvaihtoon liittyvä Jacobin determinantti on helppo määrittää. Silloin nimittäin edellä määritellyt vektorit a, b ja c ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja niiden kolmitulo a ( b c) = abc r r r = du dv dw u v w = h h h dudvdw, u v w jossa hu, hv ja h w ovat aiemmin määrittelemiämme skaalaustekijöitä (ks. s. 61). Suorakulmaisessa käyräviivaisessa koordinaatistossa tilavuusintegraali on siis D f ( x, y, z) dxdydz = fˆ ( u, v, w) h u h v h w dudvdw H = dv 78
79 Sylinterikoordinaatistossa x= ρcos φ, ρ = x + y y = ρsin φ, z = z, tilavuuselementti on (ks. s. 6) dv = hρhφh zdρdφdz = ρ d ρdφdz. Tämä nähdään myös geometrisesti oheisesta kuvasta. Pallokoordinaatistossa x= rsinθcos φ, r = x + y + z y = rsinθsin φ, z = rcos θ, vastaavasti dv = h rhθh φdrdθdφ = r sin θ drdθdφ. Myös tämän näkee geometrisesti kuvasta. 79