Additiivinen arvofunktio Mat-.44 Optimointiopin seminaari kevät 0
Preferenssi Päätöksentekijällä preferenssi vaihtoehtojen a,b A välillä a parempi kuin b ( a b) b parempi kuin a ( b a) Indifferentti vaihtoehtojen suhteen (a~b) Preferenssirelaatioiden täytyy olla: täydellisiä, eli päätöksentekijällä preferenssi kaikkien mahdollisten vaihtoehtojen parien suhteen transitiivisia Vaihtoehdoilla a, b ja c pätee Jos ( a b) ja( b c) seuraa ( a c) money dump
Arvofunktiot Arvofunktio v antaa reaaliarvon vaihtoehdoille, s.e. jos päätöksentekijä preferoi vaihtoehtoa a verrattuna b:hen, niin a:n arvo on suurempi kuin b:n Ordinaalinen arvofunktio v( a) > v( b) a b a, b A Preferenssi voidaan mitata monilla arvofunktioilla. Arvofunktiot v ja v edustavat samaa preferenssirelaatiota, jos löytyy aidosti kasvava funktio φ:r->r s.e. v' ( a) = φ[ v( a)] a A
Arvofunktiot Kardinaalinen arvofunktio huomio preferenssin vahvuuden vaihtoehtojen välillä. Muutos vaihtoehdosta a vaihtoehtoon b on preferoitu verrattuna muutokseen c:stä d:hen vain jos arvojen erotus on suurempi: v( b) v( a) > v( d) v( c) ( a b) ( c d) a,b,c,d A Yksikäsitteinen aina positiivisiin affiineihin muunnoksiin: v(.) ja v (.) edustavat samaa preferenssiä joss löytyy α>0 ja β s.e. v (a) = αv(a) +β a A
Arvofunktioiden elisitointi Päätöksentekijän kanssa suoritettu interaktiivinen proseduuri. Määritellään mitta asteikko [x 0,x * ]. Elisitointi ksymykset 3. Arvofunktion todenmukaisuuden tarkistaminen Suorat metodit: Suora arvostelu, Asteikko arvostelu, Suhde arviointi Huonoja, eivät yleensä tuota kardinaalista arvofunktiota Indifferenssimenetelmät: Leikkaus metodi Arvio piste x / josta muutos pisteeseen x a on yhtä hyvä kuin pisteestä x b pisteeseen x / v(x / )-v(x b )=v(x a )-v(x / ) Yhtä preferoidut erotukset: Kuinka paljon palkan pitäisi nousta 800 :sta, jotta kasvu olisi yhtä hyvä kuin muutos 600 -> 800? Indifferenssimenetelmät tuottavat helpommin kardinaalisia arvofunktioita. Eivät mahdollisia jos väli diskreetti.
Kardinaalinen arvofunktio Lähde: http://.negotiation.hut.fi/theory/mcda.html
Additiivinen arvofunktio Huomioidaan monta kohdemuuttujaa Vaihtoehdon a A karakterisoi vektori a=(a,...,a m ), missä a r indikoi vaihtoehdon a arvoa attribuutille X r Päätöksentekijällä on arvofunktio v r (x r ) jokaiselle attribuutille X r Merkitään attribuutin huonointa arvoa x r - ja parasta arvoa x r +
Additiivinen arvofunktio Yksittäiset arvofunktiot on normalisoitu välille [0,] s.e. ( + v ) = 0 ja r x r v r ( x r ) = Additiivinen arvofunktio esitetään painotettuna summana missä r >0 ja V ( a) = m r= r = r= V(a) [0,] samoin kuin yksittäiset arvofunktiot m v r r ( a r )
Additiivisen mallin oletukset. Preferenssiriippumattomuus. Keskinäinen preferenssiriippumattomuus 3. Differenssiriippumattomuus
Preferenssiriippumattomuus On olemassa a = ( a,..., a i,..., a m ) b = a,..., b i,..., a ) ( m jotka eroavat toisistaan vain attribuutin i kohdalla ja lisäksi a ' = ( a',..., a i,..., am' ) b = ( a ',..., b i,..., a ') ' m Attribuutti X i on preferenssiriippumaton muista attribuuteista, jos pätee a,b,a,b yllä määriteltyinä a b a' b'
Preferenssiriippumattomuus Esimerkki: Täytyy valita Ferrari kriteereillä: väri {punainen, musta} teho {400, 500} Päätöksentekijä preferoi punaisia ferrareita mustien sijaan ( punainen,400) ( musta,400) ( punainen,500) ( musta,500) Väri on siis preferenssiriippumaton tehosta!
Keskinäinen preferenssiriippumattomuus Määritelmä: Attribuutit X,...,X m ovat keskenään preferenssiriippumattomia jos jokainen osajoukko näistä attribuuteista on preferenssiriippumaton sen komplementista Esim. joukon {X,X,X 3,X 4 } osajoukon {X,X 3,X 4 } pitää määritelmän mukaan olla preferenssiriippumaton osajoukosta {X } Nämä ehdot täyttävä joukko voidaan esittää additiivisena moniattribuuttisena arvofunktiona, mutta vain ordinaalisilla arvofunktioilla. Lisäehtojen täytyy täyttyä, jotta voidaan käyttää kardinaalisia arvofunktioita.
Keskinäinen preferenssiriippumattomuus Kaikkien attribuuttien preferenssiriippumattomuus toisistaan ei indikoi keskinäistä preferenssiriippumattomuutta Esimerkki: väri {punainen, musta} mutta teho {400, 500} moottori {V8, V0} ( punainen, a, V0) ( a Osajoukko {väri, moottori} ei ole keskenään preferenssiriippumaton sen komplementista {teho} ( a ( a,500, a, a ( punainen,500, V 8) ( musta,500, V0) ( punainen,400, V 8) ( musta,400, V0) 3, a ) ( a ) ( musta, a,400, a, a, V8) 3 3 ), a 3 ) Preferenssiriippumattomuus
Differenssiriippumattomuus On olemassa jotka eroavat toisistaan vain attribuutin i kohdalla ja lisäksi a' = ( a ',..., a,..., a ') Attribuutti X i on differenssi riippumaton muista attribuuteista, jos pätee a,b,a,b yllä määriteltyinä Mahdollistaa kardinaalisten arvofunktioiden käytön a = ( a b = ( a b' = ( a,..., a,..., b i i,..., a,..., a ',..., b,..., a i i m m m m ) ) ') ( a b) ~ ( a' b')
Attribuuttipainot Elisitoidaan päätöksentekijän preferensseistä Painokertoimien arvoilla ei merkitystä, vaan niiden suhteilla Normalisoivat additiivisen arvofunktion välille [0,] Määritelmän mukaan kuvaavat muutosta kokonaisarvossa kun kyseisen attribuutin arvo muutetaan huonoimmasta parhaimpaan Useita erilaisia menetelmiä elisitoinnille - Trade-off - Sing - Direct-ratio - (Lisäksi Päätöksenteko ja Ongelmanratkaisu kurssilla: SMART, SMARTS, Ordinaalit menetelmät kuten Rank sum ja Centroid) Osa menetelmistä vaikeampia, vaativat enemmän aikaa Painokertoimia tulkittaessa täytyy olla tarkkana
Esimerkki tehtävä Vaihtoehto Palkka Työaika Uranäkymät (a) Konsultointi 80000 60 h hyvä (b) Yliopisto 50000 40 h erinomainen (c) Purjehdusopettaja 30000 0 h huono Arvofunktiot: v ( x ) =.5( e v x ) = (60 ) / 40 ( x.695( x 30000) /(80000 30000) v 3 (x 3 ) diskreetti päätöksentekijän oma arvio ) Vaihtoehto Palkka Työaika Uranäkymät (a) Konsultointi 0 0.7 (b) Yliopisto 0.6 0.5 (c) Purjehdusopettaja 0 0
Trade-off metodi Verrataan kahta vaihtoehtoa, jotka eroavat toisistaan kahden attribuutin kohdalla. Päätöksentekijä asettaa niiden attribuutit siten, että vaihtoehdot ovat yhtä hyviä. = ( f g = ( f Arvofunktiot V(f)=V(g) voidaan merkitä additiivisuuden nojalla: m- vastaavaa yhtälöä sekä m = => m yhtälöä, m muuttujaa f,..., f,..., g i i,..., f,..., g j j,...,,..., ivi ( fi ) + jv j ( f j ) = ivi ( gi ) + jv j ( g j ) f f m m ) )
Trade-off metodi Esimerkki: Päätöksentekijältä selvitetty indifferentit vaihtoehdot (55000, 60h, *)~(30000, 0h, *) (70000,*,huono)~(30000,*,erinomainen) Muodostetaan yhtälöt: v ( 55000) + v (60) + 3v3 (*) = v (30000) + v (0) + 3v3 (*) v( 70000) + v (*) + 3v3 ( huono) = v (30000) + v (*) + 3v3 ( erinomainen) ratkaistaan suhteen v(0) v(60) = =. 49 v (55000) v (30000) v ( erinomainen) v ( huono) = 3 3 = 3. 099 v(70000) v (30000) 3
Trade-off metodi Hyödyntämällä tietoa m = => Ratkaisuna =0.38, = 0.7 ja 3 =0.35 Voidaan laskea vaihtoehtojen arvot v(a)=0.63 v(b)=0.7 v(c)=0.7 =.49 =.099 + + 3 3 =
Huomioita elisitoinnista Trade-off menetelmässä vertailu tulisi suorittaa jatkuvien arvofunktioiden avulla Diskreettien tapauksessa indifferenttien vaihtoehtojen löytyminen voi olla vaikeaa Attribuuttipainot voivat olla hyvin erilaisia riippuen elisitointikysymyksistä ja indifferenteistä vaihtoehdoista Enemmän kuin m- trade-off mittaa -> yhteneväisyyden varmistaminen
SWING metodi Oletetaan, että huonoin mahdollinen vaihtoehto on: = Päätöksentekijä valitsee, minkä attribuutin arvon nostaa sen parhaimpaan, muiden jäädessä huonoimmalle tasolle Merkitään tätä vaihtoehtoa a b r ( x, x,..., x kun r =,...,m Nyt preferoiduimmalle b r annetaan arvo 00 ja muut arvioidaan siten, että pisteet heijastavat arvotusta muihin verrattuna m Lopuksi normalisoidaan painokertoimet s.e. + ( x,..., x,..., x ) = r m ) r = m b i= r b i
SWING metodi Esimerkki Huonoin vaihtoehto Vaihtoehdot: a = ( 30000,60h, huono) b b b 3 = (80000,60h, huono) = (30000,0h, huono) = (30000,60h, erinomainen) Päätöksentekijä antaa pisteet: Sija Vaihtoehto Pisteet b 00 b 70 3 b 3 60 Voidaan laskea painokertoimet: = 00 /(00 + 70 + 60) = 0.44 = 60 /(00 + 70 + 60) = 0.6 = 70 /(00 + 70 + 60) = 0.30 3
SWING metodi Painokertoimien laskeminen helppoa Vaatii päätöksentekijältä kuitenkin enemmän ajattelua Arvofunktioita ei tarvitse tuntea!
Direct ratio metodi Asetetaan attribuutit tärkeysjärjestykseen Kysymyksillä elisitoidaan painokertoimien suhteet: Jos työajan tärkeys on tasoa, niin kuinka tärkeää on palkka? Vast. Jos työajan tärkeys on tasoa, niin kuinka tärkeää on uranäkymät? Vast.. Kysymysten avulla voidaan johtaa ( muistetaan m = ): 3 / / = =. => 3 = 0.48 = 0.4 = 0.9
Painokertoimien yhteys attribuuttien tarkasteluväliin Painokertoimet riippuvat välistä B r =[x r-,x r+ ] minkä yli attribuuttikohtaiset arvofunktiot on määritelty Kapea väli => pieni kerroin verrattuna laajempaa väliin Kapealla välillä erotus v r (x r + )-v r (x r - ) > v r (x r + )-v r (x r - ) kun v r laajemman välin arvofunktio Ilman tietoa attribuuttien tarkasteluvälistä painokertoimilla ei ole merkitystä Esim. Attribuutti turvallisuus saa painokertoimen 0.5 ja käsittely painokertoimen 0.5. Onko käsittely tärkeämpää? -> Riippuu tarkasteluvälistä!
Painokertoimien yhteys attribuuttien tarkasteluväliin Tarkastellaan attribuuttia X r uudella välillä B r =[x r-,x r+ ] Arvojen erotus laskee täten normalisoinnin jälkeen suhteessa v r (B r )/ v r (B r ) < (Tai kasvaa jos pienennettään väliä) Kompensoitaessa arvojen muutosta painokertoimet täytyy kertoa arvolla M= v r (B r )/ v r (B r ) = v r (B r ) Vastaa jälleen päätöksentekijän preferenssejä, mutta painokertoimien summa täytyy asettaa vielä arvoon : M r j r ' = j ' = + M i + Mr i r i r i r
Painokertoimien yhteys attribuuttien tarkasteluväliin Esimerkki: Auton osto attribuuteilla hinta X [0000,0000 ] ja ajokilometrit X [0000km,80000km] Arvofunktiot: Hinta Ajokilometrit v ( x ) = x /0000 Auto v v Uusi tarkasteluväli hinnalle [5000,5000 ] => v = 5/4 x /0000 => preferenssi muuttunut! v ( x ) = 4 / 3 x / 60000 Lasketaan kerroin M = v r (B r ) = v (5000) v (5000) = Sekä uudet painokertoimet: johtaen v(a)=0.69 ja v(b)=0.63 0.6 ' = = 0.75 => preferenssi säilyy 0.4 + 0.6 0.4 ' = = 0.5 0.4 + 0.6 Kok. Arvo =0.6 =0.4 a 0000 50000km 0.5 0.8 b 5000 0.5 0000km 0.7 Auto Hinta =0.6 v Ajokilometrit =0.4 v Kok. Arvo a 0000 0.75 50000km 0.5 0.65 b 5000 0.5 0000km 0.7
Kotitehtävä: Soveltaen: Punkka, Liesiö, Salo. (00) Päätöksenteko ja ongelmanratkaisu -kurssin tehtäviä Tehtävä valita päätöksentekijän preferenssien perusteella hänelle paras vaihtoehto additiivisella arvofunktiolla Teemu Teekkari on ostamassa sähköautoa itselleen. Valintaan vaikuttavat seuraavat kolme attribuuttia: toimintasäde R, hinta H ja teho P Vaihtoehdot ovat Auto R H P a 70km 000 30kW b 00km 35000 00kW c 50km 30000 55kW Tiedetään. Toimintasäteen arvofunktio on kasvava ja suhteessa x:n neliöjuureen. Hinnan arvofunktio on vähenevä ja lineaarinen x:n suhteen 3. Tehon arvofunktio on kasvava ja seuraavat preferenssirelaatiot pätevät : (70 30)~(00 70) ja (55 30)~(70 55) 4. Lisäksi tiedetään mielikuvitusvaihtoehtojen relaatiot (50, 5000,70)~(00,0000,70) ja (50,5000,70)~(00,5000,55)
Kotitehtävä a) Rakenna normalisoidut kriteerikohtaiset arvofunktiot v i s.e. attribuutin paras taso saa arvon ja huonoin 0 b) Laske tunnettujen preferenssirelaatioiden avulla painokertoimet i ja 3 muodosta additiivinen arvofunktio: V ( x) = v ( x ) c) Mitkä ovat uudet painokertoimet kun toimintasäteen paras taso asetetaankin 300km ja huonoin 50km? i= i i i
Lähteet Eisenführ ym. (00): 07-4, 5-54 Punkka, Liesiö, Salo. (00) Päätöksenteko ja ongelmanratkaisu -kurssin luentokalvot