DEE-5300 Tuulioiman perusteet Aihepiiri 3 Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulen mittaaminen Tuulisuuden mallintaminen Weibull-jakauman hyödyntäminen DEE-5300: Tuulioiman perusteet
ALBERT BETZ Theoretical Limit for the Best Utilization of Wind by Wind Motors - 90 DEE-5300: Tuulioiman perusteet
ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO Ilmairtauksen energia on ilmamolekyylien liike-energiaa. Tuulioimalassa ilmamolekyylien liike-energia pyritään muuntamaan hyällä hyötysuhteella tuuliturbiinin roottorin liike-energiaksi ja edelleen generaattorin aulla sähköenergiaksi. Ilmamolekyylien liike-energiaa oidaan mallintaa klassisen mekaniikan yhtälöllä W0 m0. Kun energian muutosta tarkastellaan aikayksikköä kohti, saadaan teho jossa massairralle P dw dt m 0 0 0 m kg/s on oimassa m A. 0, Täten ilmairtauksen teholle saadaan P A. 3 0 0 DEE-5300: Tuulioiman perusteet 3
BETZIN LAIN LÄHTÖKOHDAT Betzin laki mallintaa teoreettista ylärajaa sille hyötysuhteelle, jolla ilmairtauksen energia saadaan muunnettua roottorin pyörimisenergiaksi. Roottori oletetaan ideaaliseksi. Roottori on ilmaa läpäiseä kiekko, jonka pintasuhde on yksi. Ei kitkaa roottorin laakereissa eikä ilmairtauksen ja lapojen älillä. Roottori on massaton, ja ilmairtaus on pyörteetön. Ilmairtaus kohdistaa roottoriin ain nostooiman, ei astusoimaa. Ilma irtaa kontrollitilauuteen asemmasta reunasta, ja sama massairta poistuu oikeasta reunasta. Ilma oletetaan kokoonpuristumattomaksi. Tarkastelun taoitteena on hakea se :n aro, jolla roottorin teho maksimoituu. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 4
BETZIN LAIN JOHTAMINEN /5 Koska kontrollitilauudesta poistuu ilmaa ain oikeasta reunasta, ja koska tiheys ja ilmanpaine oat akioita, massairralle oidaan kirjoittaa m A A A 0 0 roottori i. Koska roottori ottaa energiaa ilmairtaukselta, < 0. Ja koska ilmanpaine ja tiheys oat akioita koko kontrollitilauudessa, ilmairran on hajaannuttaa, jotta massairta pysyy muuttumattomana. Toisin sanoen A > A 0 täytyy toteutua. Kun massallisen ilmairtauksen nopeudessa tapahtuu roottorin kohdalla muutos, ilmairtaan kohdistuu roottorin kohdalla oima Newtonin II lain mukaisesti di F ma m md A roottori i roottori i 0. dt Kun oletetaan, että tämä ilmairtaan kohdistua oima muuttuu kokonaisuudessaan roottorin nostooimaksi, sen haaitaan riippuan ilman tiheydestä, roottorin pintaalasta, ilmairtauksen nopeudesta turbiinin kohdalla sekä kontrollitilauudessa tapahtuasta ilmairtauksen nopeuden muutoksesta. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 5
BETZIN LAIN JOHTAMINEN /5 Nyt päästään kiinni roottorin tehoon, sillä ilmairtauksen tekemälle työlle on oimassa dw Froottori dx. Kun kaiken tämän työn oletetaan muuttuan roottorin liike-energiaksi, roottorin teholle oidaan kirjoittaa dw dx P. roottori Froottori Froottori i dt dt xx Kun ilmairran roottoriin kohdistama oima korataan edellä esitellyllä yhtälöllä, roottorin teho saadaan muotoon P A roottori roottori roottori i 0. Toisaalta se teho, jolla roottori ottaa energiaa ilmairtaukselta, oidaan esittää ilmairtauksen liike-energian muutoksena eri puolilla roottoria: m0 m W Proottori m0. t t DEE-5300: Tuulioiman perusteet 6
BETZIN LAIN JOHTAMINEN 3/5 Kun edellisessä yhtälössä ilmairtauksen massairta lausutaan toisin, saadaan P A roottori roottori i 0 Kun eri taoin kirjoitetut roottorin tehot merkitään yhtäsuuriksi, saadaan P A A roottori roottori i 0 roottori i 0 i 0. Ilmairtauksen nopeus roottorin kohdalla on keskiaro ilmairtauksen nopeuksista roottorin eri puolilla. Roottorin teho oidaan nyt kirjoittaa muotoon 3 0 0 0 Proottori Aroottori 0 Aroottori 0. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 7
BETZIN LAIN JOHTAMINEN 4/5 Edellä esitetty roottorin tehon yhtälö on siinä mielessä mielenkiintoinen, että lausekkeen alkuosa esittää roottorille tulean ilmairtauksen tehoa. Täten lausekkeen loppuosa määrittää sen, kuinka suuren osan ilmairtauksen tehosta roottori pystyy hyödyntämään. Tämän uoksi on tarpeen selittää, miten kerroin käyttäytyy :n funktiona. 0 0 Kun kerroin derioidaan :n suhteen, deriaatan nollakohdiksi saadaan = 0 ja = 0 /3. Ensimmäinen nollakohta ei ole fysikaalisessa mielessä järkeä, sillä ilmairtauksen suunta ei saa kääntyä kontrollitilauudessa. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 8
BETZIN LAIN JOHTAMINEN 5/5 Tarkastellaan seuraaassa kertoimen käyttäytymistä käyän alueen reunoissa ja deriaatan nollakohdassa. Jos = 0, kerroin menee nollaksi. Tämä on järkeää, sillä tilanne = 0 tarkoittaa sitä, ettei roottori ota lainkaan energiaa ilmairtauksesta. Jos = 0, kertoimen aroksi tulee ½. Tässä tilanteessa ilmairtaus pysähtyisi kokonaan roottorin takana. Tällöin osa alkuoletuksista ei olisi enää oimassa. Jos = 0 /3, kerroin saauttaa maksimiaronsa 6/7 59.3%. 59.3% on teoreettinen yläraja sille, kuinka suuren osan ilmairtauksen energiasta roottori pystyy hyödyntämään. Samalla kyseessä on tuulioimalan kokonaishyötysuhteen teoreettinen yläraja. Käytännössä tuulioimalan kokonaishyötysuhde on korkeintaan luokkaa 40%. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 9
ESIMERKKEJÄ Tarkastellaan kolmea identtistä tuulioimalaa. Voimala pyörii koko uoden keskimääräisellä tuulen nopeudella a. Voimala pyörii puolet ajasta kaksinkertaisella x a tuulen nopeudella, puolet ko. oimala ei pyöri lainkaan. Voimala 3 pyörii kolmasosan ajasta kolminkertaisella nopeudella, muulloin ko. oimala ei pyöri lainkaan. Määritä oimaloiden uotuisten energioiden suhde W :W ja W 3 :W. Tuulioimaloita myyä yritys markkinoi oimalaa, joka koostuu kolmilapaisesta, halkaisijaltaan 0 metriä omaaasta turbiinista. Yritys toteaa oimalan tehoksi 600 kw tuulen nopeudella 5 m/s. Ilman tiheys on.8 kg/m 3. Miten kommentoit yrityksen markkinointia? DEE-5300: Tuulioiman perusteet 0
TUULEN MITTAAMINEN / Tuulisuusmittaukset oat oleellinen osa tuulioimalahanketta. Kyse on yksinkertaisesti siitä, että ilmairtauksen teho riippuu kuutiollisesti ilmairtauksen auhdista. Ilmairtauksen auhti aikuttaa ratkaiseasti oimalan energiantuotantoon. Myös tuulen suunta ja turbulenttisuus oat kiinnostaia suureita. Tuulioimalaalmistajat sitoat oimaloiden tuotantotakuut tuulimittauksiin, mikä on konkreettinen esimerkki mittausten tärkeydestä. Kesto ja korkeus tekeät tuulimittauksista haastaia. Jatkuien mittausten on kestettää ähintään kuukautta. Mittaukset on parasta tehdä kohteeseen suunnitellun tuulioimalan napakorkeudelta. DEE-5300: Tuulioiman perusteet
TUULEN MITTAAMINEN / Mittausmaston käyttäminen on luotettain tapa tuulimittausten tekemiseen. Mittauslaitteet on sijoitettu maston kärkeen todelliselle napakorkeudelle. Kallis ja hankala menetelmä, sillä maston pituuden tulee olla jopa 00 m. Tietoliikennemastoja pyritään hyödyntämään mahdollisuuksien mukaan. LIDAR ja SODAR oat menetelmiä, joiden aulla tuulimittaukset oidaan tehdä maan pinnalta DAR = Detection And Ranging. Perustuat alon LIght tai ääniaaltojen SOnic hyödyntämiseen tietyllä etäisyydellä olean kohteen ominaisuuksien selittämisessä. Ilmamolekyylien nopeus saadaan selille maan pinnalta lähetetyn aallon ja ilmamolekyyleistä heijastuneen aallon taajuuserosta Doppler-ilmiö. Tuulipuiston paikkaa suunniteltaessa edellä mainitut mittausmenetelmät usein yhdistetään. Kohteeseen asennetaan yksi mittausmasto, ja sen lisäksi tehdään LIDAR- tai SODAR-mittauksia laajemmalta alueelta. DEE-5300: Tuulioiman perusteet
WEIBULL -JAKAUMA DEE-5300: Tuulioiman perusteet 3 Tiheysfunktio Kertymäfunktio Odotusaro missä gammafunktio k k C C C k f exp 0 exp k C d f F k C d f V E m... 0 dx x e n x n 0
WEIBULL JAKAUMA Cont. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 4 Varianssi Nyt Hajonta ] [ ] [ m m m m m m m m V E V V E V E V E V V E V E k C d f E... 0 k k C k C k C
KERTYMÄFUNKTIO F Pr Kertymäfunktion aro pisteessä on todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja saa aroja, jotka oat. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 5
TUULISUUDEN MALLINTAMINEN /4 Tuulisuuden mallintamisen tarkoituksena on selittää eri tuulennopeuskomponenttien esiintymistodennäköisyydet. Esiintymistodennäköisyyksien aulla pystytään arioimaan, kuinka suuren osan ajasta tuulee milläkin nopeudella. Tällöin tuulen energiasisällön mallintaminen onnistuu huomattaasti luotettaammin kuin pelkän keskiarotuulennopeuden aulla. Weibull-jakaumaa hyödynnetään yleisesti tuulisuuden mallinnuksessa. Tuulennopeuden esiintymistodennäköisyyttä f mallinnetaan tällöin yhtälöllä f k k k exp, C C C jossa k on muotokerroin ja C määräkerroin, joka saadaan yleisen gamma-funktion aulla yhtälöstä ka C, k jossa ka on tuulennopeuden keskiaro. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 6
TUULISUUDEN MALLINTAMINEN /4 Tarkastellaan tilannetta konkreettisen esimerkin aulla. Olkoon tuulennopeuden keskiaro 5 m/s. Kun mallinnetaan mannertuulia, muotokertoimelle käytetään yleensä aroa k =. Muotokertoimen kasattaminen keskittää jakaumaa tuulennopeuden keskiaron läheisyyteen. Merituulien mallinnuksessa käytetään tyypillisesti aroa k = 4. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 7
ESIMERKKI Tuulioimala käynnistyy, kun tuulen nopeus on 4 m/s ja se pysähtyy automaattisesti, kun tuulen nopeus saauttaa aron 5 m/s. Tuulioimala on sijoitettu alueelle, jossa muotokerroin k =.4 ja määräkerroin C = 9.8. Kuinka monta tuntia uorokaudessa tuulioimala tuottaa energiaa. Arioi edelleen todennäköisyys sille, että tuulen nopeus ylittää aron 35 m/s. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 8
TUULISUUDEN MALLINTAMINEN 3/4 Lasketaan tuulen tehotiheysjakaumat, kun =.5 kg/m 3 : Tuulennopeutta i astaaa tehotiheys P i on P f 3 i ' i i. Keskiarotehotiheydet saadaan oheisten kuaajien pinta-aloina: k = P ag 46. W/m, k = 4 P ag 94.5 W/m. Jos lasketaan pelkän keskiarotuulennopeuden aulla P ag 76.6 W/m. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 9
TUULISUUDEN MALLINTAMINEN 4/4 Jos edellä esitetty keskiarotehotiheyden laskeminen tuntuu hankalalta, asian oi miettiä myös toisella taalla. Kun todennäköisyydet kerrotaan uoden tunneilla, saadaan selille, kuinka monta tuntia uoden aikana tuulee milläkin tuulennopeudella. Yksittäisen tuulennopeuden tehotiheys on ja astaaa energiatiheys saadaan kertomalla kyseisen tuulennopeuden esiintymistunneilla. Vuoden kokonaisenergiatiheydeksi saadaan.809 MWh/m. Kun tämä jaetaan uoden tunneilla, keskiarotehotiheydeksi saadaan 46. W/m. DEE-5300: Tuulioiman perusteet 0