MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA"

Pauliina Niemelä
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Vastaa kaikkiin neljään pakolliseen kysymykseen. Valitse kolmesta valinnaisesta kysymyksestä vastattavaksi kaksi ja merkitse ne rastilla lomakkeen ruutuihin. Laske jokainen koetehtävä eri paperille. Sivu 1/8

taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Vastaa

2 PAKOLLINEN KYSYMYS 1. ANALYYSI Sivu 1 / 1 Pisteet Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: f ( x) = (1 x)e x. a) Tutki funktiota f : määritä sen nollakohta, kuvaajan asymptootti, välit joilla funktio on kasvava tai vähenevä sekä ääriarvopisteiden koordinaatit ja ääriarvojen luonne. b) i. Hahmottele funktion f kuvaaja. ii. Osoita, että funktio 6 pistettä F( x) = (2 x)e x on funktion f integraalifunktio. iii. Laske sen koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä olevan alueen pinta-ala, jonka funktion f kuvaaja rajoittaa yhdessä koordinaattiakselien kanssa. Sivu 2/8

koordinaatit ja ääriarvojen luonne. b) i. Hahmottele funktion f kuvaaja. ii.

3 PAKOLLINEN KYSYMYS 2. ANALYYSI Sivu 1 / 1 Pisteet Erään matemaattisen mallin mukaan lyhyen matkan kilpajuoksussa pikajuoksija lisää nopeuttaan v (yksikkönä m/s) ajan t (yksikkönä sekunti) funktiona, joka noudattaa differentiaaliyhtälöä dv dt = 12, 2 kv, missä k on kullekin pikajuoksijalle yksilöllinen vakio. a) Määritä tämän differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu, joka antaa nopeuden v ajan t funktiona. 6 pistettä b) 100 metrin juoksussa pikajuoksija lähtee paikaltaan, toisin sanoen v = 0, kun t = 0. i. Määritä tämän alkuehdon täyttävä ratkaisu nopeudelle v ajan t funktiona. ii. Vakion k arvo tietylle pikajuoksijalle on 1,25. Laske aika, jossa tämä pikajuoksija saavuttaa nopeuden 9,0 m/s. Sivu 3/8

joka noudattaa differentiaaliyhtälöä dv dt = 12, 2 kv, missä k on kullekin pikajuoksijalle yksilöllinen vakio.

4 EB-TUTKINTO 2008 : MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PAKOLLINEN KYSYMYS 3. GEOMETRIA Sivu 1 / 1 Pisteet Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan tasot α :2x 3y+ z 2= 0 ja β : 3x y 2z+ 4 = 0 sekä suora : x = 2λ + 3 y = λ z = λ + 1, λ IR. a) Olkoon s tasojen α ja β leikkaussuora. Osoita, että 6 pistettä x 0 1 y = 0 + μ 1, z 2 1 μ IR, on suoran s yhtälö. b) i. Osoita, että suorat s ja ovat ristikkäisiä ja kohtisuorassa toisiaan vastaan. ii. Laske näiden kahden suoran välinen etäisyys. Sivu 4/8

2z+ 4 = 0 sekä suora : x = 2λ + 3 y = λ z = λ + 1, λ IR. a) Olkoon s tasojen α ja β leikkaussuora.

5 PAKOLLINEN KYSYMYS 4. TODENNÄKÖISYYS Sivu 1 / 1 Pisteet Valmistaja tuo erään maan markkinoille uuden virvoitusjuoman. Jokaisen pullon korkin sisäpuolelle painetaan yksi kirjain. Kyseisen maan aakkosissa on 26 kirjainta: A, B, C,..., Z. Kukin näistä 26 kirjaimesta esiintyy yhtä todennäköisesti korkeissa. Eräs asiakas ostaa yhden pullon tätä virvoitusjuomaa joka päivä. a) i. Laske todennäköisyys, että hänen neljäntenätoista päivänä ostamansa pullon korkissa ei ole kirjainta Z. ii. Laske todennäköisyys, että hän ostaa kolmantena päivänä ensimmäisen kerran pullon, jonka korkissa on kirjain Z. b) i. Laske todennäköisyys, että 10 ensimmäisen päivän aikana hän ostaa ainakin yhden pullon, jonka korkissa on kirjain Z. ii. Laske todennäköisyys, että 3 ensimmäisen päivän pullonkorkkien kirjaimista hän voi koota sanan BAC. Sivu 5/8

Laske todennäköisyys, että hänen neljäntenätoista päivänä ostamansa pullon korkissa ei ole kirjainta Z. ii.

6 VALINNAINEN KYSYMYS I. ANALYYSI Sivu 1 / 1 Pisteet Tarkastellaan funktioita f ja g, jotka määritellään: x f( x) = x+ 2 ja gx= ( ) 2. 2 Olkoot F ja G niiden kuvaajat suorakulmaisessa koordinaatistossa. a) i. Määritä funktioiden f ja g määrittelyjoukot ja nollakohdat. Selvitä, ovatko funktiot kasvavia vai väheneviä. ii. Laske kuvaajien F ja G leikkauspisteiden koordinaatit. iii. Piirrä kuvaajat F ja G samaan kuvaan. 5 pistettä b) On annettu piste K (0, 2 ). Olkoon t 1 kuvaajalle F pisteeseen K piirretty tangentti ja t 2 kuvaajalle G pisteeseen K piirretty tangentti. i. Määritä näiden tangenttien yhtälöt ja piirrä tangentit edellä laatimaasi kuvaan. ii. Laske asteina suorien t 1 ja t 2 välinen terävä kulma. c) Olkoon S alue, jonka rajoittavat F, G ja x-akseli. i. Laske alueen S pinta-ala. ii. Laske sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka syntyy alueen S pyörähtäessä x-akselin ympäri. 5 pistettä Sivu 6/8

Piirrä kuvaajat F ja G samaan kuvaan. 5 pistettä b) On annettu piste K (0, 2 ). Olkoon t 1 kuvaajalle F pisteeseen K piirretty tangentti ja t 2 kuvaajalle G pisteeseen K piirretty tangentti. i.

7 VALINNAINEN KYSYMYS II. TODENNÄKÖISYYS Sivu 1 / 1 Pisteet Oheinen taulukko osoittaa neljän veriryhmän osuudet eli suhteellisten frekvenssien jakauman erittäin suuressa ihmisjoukossa. Veriryhmä O A B AB Suhteellinen frekvenssi 0,45 0,40 0,11 0,04 a) Tästä ihmisjoukosta valitaan umpimähkään 15 henkilön otos. i. Laske todennäköisyys, että otoksessa on veriryhmään A kuuluvia henkilöitä enintään 10. ii. Laske todennäköisyys, että otoksessa on veriryhmään B kuuluvia henkilöitä enemmän kuin 4 mutta vähemmän kuin 8. b) Kuinka monta henkilöä on suurimmassa otoksessa, jossa todennäköisyys ainakin yhden veriryhmään B kuuluvan henkilön esiintymiseen otoksessa on pienempi kuin 0,99? Ihmisjoukosta valitaan umpimähkään 100 henkilön otos. c) Olkoon satunnaismuuttuja X veriryhmään O kuuluvien henkilöiden määrä tässä otoksessa. i. Laske satunnaismuuttujan X keskiarvo ja keskihajonta. ii. Käyttäen normaalijakauma-approksimaatiota laske P ( X > 49). Perustele normaalijakauma-approksimaation käyttö tässä tapauksessa. iii. Määritä pienin henkilöiden määrä k, jolla P ( X < k) > 0, 95. d) Olkoon satunnaismuuttuja Y veriryhmään AB kuuluvien henkilöiden määrä tässä otoksessa. Käyttäen Poisson-approksimaatiota laske P( Y 1). Sivu 7/8

ii. Laske todennäköisyys, että otoksessa on veriryhmään B kuuluvia henkilöitä enemmän kuin 4 mutta vähemmän kuin 8.

8 VALINNAINEN KYSYMYS III. GEOMETRIA Sivu 1 / 1 Pisteet Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan taso π 1 : 4x+ 3z+ 29= 0, pallo S: x y z x y = 0, ja suora d 1 : x = 3 + t y = 1 t z = 3, missä t IR. a) Määritä pallon S keskipisteen M koordinaatit ja säde R. b) i. Osoita, että taso π 1 sivuaa palloa S. ii. Osoita, että taso π 1 koskettaa palloa S pisteessä A( 5,3, 3). c) i. Osoita, että suora d 1 leikkaa palloa S pisteessä A, ja määritä toisen leikkauspisteen koordinaatit. ii. Taso, joka on kohtisuorassa suoraa AM vastaan ja kulkee pisteen ( 1, 1, 3) kautta, leikkaa pallon S pitkin ympyrää C. Määritä ympyrän C säde ja keskipisteen koordinaatit. d) Piste H ( 1,7,3) on pallon S piste. Taso π 2 sivuaa palloa S pisteessä H. i. Määritä tason π 2 koordinaattimuotoinen (normaalimuotoinen) yhtälö. ii. Laske asteina tasojen π 1 ja π 2 välinen terävä kulma. e) Piste B (3, 3, 3) on sellainen pallon S piste, että jana AB kulkee pallon S keskipisteen kautta. Suora d 2 sivuaa palloa S pisteessä B ja leikkaa suoran d 1. 6 pistettä Määritä suoran d 2 parametrimuotoinen yhtälö. Sivu 8/8

missä t IR. a) Määritä pallon S keskipisteen M koordinaatit ja säde R. b) i. Osoita, että taso π 1 sivuaa palloa S. ii. Osoita, että taso π 1 koskettaa palloa S pisteessä A( 5,3, 3). c) i.

Samankaltaiset tiedostot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa