Moderni reaalianalyysi

JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri

Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI. Ulkomitta ja mitta................................ Lebesguen ulkomitta....................... 3..2 Nollamittaiset joukot........................ 4..3 Cantor-tyyppiset joukot...................... 5.2 Lebesgue-mitalliset funktiot........................ 7.2. Mitallisten funktioiden ominaisuuksia.............. 9.2.2 Cantorin funktio........................... 9.2.3 Approksimointi yksinkertaisilla funktioilla.............3 Lebesguen integraali............................ 2 2 LEBESGUEN AVARUUDET 5 2. Integrointi osajoukoissa........................... 5 2.2 Melkein kaikkialla.............................. 7 2.2. Oleellisesti rajoitetut funktiot................... 23 2.3 Jatkuvien funktioiden tiheys........................ 25 2.3. Lokaalisti integroituvat funktiot.................. 29 3 FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 3 3. Sopimuksia merkinnöistä.......................... 3 3.2 Tonellin ja Fubinin lauseet......................... 32 3.2. Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä................. 36 4 HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 4 4. Maksimaalifunktion ominaisuuksia.................... 4 4.2 Heikko L p eli avaruus L p......................... weak 45 4.3 Lebesguen tiheyspistelause........................ 49 4.3. Tiheyspisteet............................. 55

5 KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 57 5. Konvoluution ominaisuuksia........................ 57 5.2 Silottajat.................................... 58 6 SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ 67 6. Rieszin ydin ja potentiaali.......................... 68 6.2 Lokaalit estimaatit.............................. 7 7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 75 KIRJALLISUUTTA 83 HAKEMISTO 84

Mathematics is not a deductive science that s a cliché. When you try to prove a theorem, you don t just list the hypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork. Paul R. Halmos Lebesguen ulkomitta ja integraali. Ulkomitta ja mitta Määritelmä.. Olkoon X joukko ja P (X) = { A : A X } sen potenssijoukko. Kuvaus µ : P (X) [, ] on ulkomitta joukossa X, mikäli (UM ) µ ( ) = (UM 2) µ on monotoninen eli µ (A) µ (B) aina, kun A B X (UM 3) µ on numeroituvasti subadditiivinen eli µ ( i= A i) i= µ (A i ) V A R O I T U S : Oletuksesta A B = ei seuraa, että µ (A B) = µ (A) + µ (B). Perustelu. Olkoon X = {,2,3} ja määritellään µ ( ) =, µ (X) = 2 ja µ (E) = kaikille muille E X. Tällöin µ on ulkomitta joukossa X. Kuitenkin jos A = {} ja B = {2}, niin µ (A B) = µ ({,2}) = 2 = µ (A) + µ (B). Järjestys on silti voimassa ehdon (UM 3) nojalla. Määritelmä.2. Joukko A X on µ -mitallinen, mikäli µ (E) = µ (E A) + µ (E \ A) jokaisella E X. Huomautuksia.3: () Koska E = (E A) (E \ A), niin ulkomitan monotonisuusehdon (UM 2) nojalla µ (E) µ (E A) + µ (E \ A). Järjestys pätee siis aina. Intuitiivisesti mitallisella joukolla A jaetaan mielivaltainen joukko E kahteen osaan, ja mitallisuusehto tarkoittaa sitä, ettei mittaa tule jaossa lisää. Käytännössä mitallisuuden todistaminen suoraan määritelmän avulla on hankalaa.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 2 (2) Jos µ (A) =, niin A on µ -mitallinen. Nimittäin ehdon (UM 2) nojalla A E = {}}{{}}{{}}{ µ ( E A) + µ ( E \ A) µ (A)+µ (E) = µ (E). (3) µ -mitallisten joukkojen kokoelma Σ on σ-algebra: (a) Σ (b) Jos A Σ, niin A = X \ A Σ (c) Jos A i Σ jokaisella i N, niin i= A i Σ Esimerkki.4. Tarkastelemme vielä joukkoa X = {,2,3} ja sen ulkomittaa µ, jolle µ ( ) =, µ (X) = 2 ja µ (E) = kaikille muille E X. Jos a, b X ovat erillisiä pisteitä, A = {a} ja E = {a, b}, niin µ (E) = µ ({a, b}) = < 2 = µ ({a}) + µ ({b}) = µ (E A) + µ (E \ A). Siispä A ei ole µ -mitallinen. Samalla tavalla nähdään, etteivät kahden pisteen joukot ole mitallisia. Tässä tapauksessa ainoastaan ja X ovat µ -mitallisia. Määritelmä.5. Oletetaan, että Σ on σ-algebra joukossa X. Joukkokuvaus µ: Σ [, ] on mitta, mikäli (M) µ( ) = ja (M2) µ ( i= A i) = i= µ(a i) aina, kun joukot A i Σ ovat pistevieraita. Sanomme, että µ on numeroituvasti additiivinen. V A R O I T U S : Ulkomitta on määritelty kaikille joukon X osajoukoille, mutta mitta µ on määritelty ainoastaan σ-algebraan Σ kuuluville joukoille. Erityisesti on mahdollista, että A B Σ ja µ(b) =, mutta A Σ. Perustelu. Jos X = {,2,3}, niin Σ = {,{},{2,3}, X } on σ-algebra. Jos µ( ) =, µ({}) =, µ({2,3}) = ja µ(x) =, niin µ on mitta σ-algebrassa Σ. Nyt {2,3} Σ ja µ ({2,3}) =, mutta {2} Σ. Mittaa, jolla on ominaisuus B Σ, µ(b) = ja A B = A Σ sanotaan täydelliseksi mitaksi. Jokainen mitta voidaan täydellistää luonnollisella tavalla ja mitan µ monotonisuudesta seuraa, että µ(a) =. Todistimme kurssilla Analyysi III, että jokainen ulkomitta indusoi täydellisen mitan: Lause.6. Olkoon µ ulkomitta joukossa X. Silloin ulkomitan µ rajoittuma µ -mitallisten joukkojen σ-algebraan on mitta.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 3 Tällä kurssilla käsitellään ulkomittoja, ja niitä saatetaan kutsua mitoiksi. Joukot ovat yleensä mitallisia, joten edellisen lauseen nojalla ero ei ole kovin suuri. Lause.7. Olkoon µ ulkomitta joukossa X ja oletetaan, että joukot A i X ovat µ -mitallisia. Tällöin (a) Jos A A 2, niin limµ (A i ) = µ ( i= A i). (b) Jos A A 2 ja µ (A i ) < jollain i, niin limµ (A i ) = µ ( i= A i). Huomautuksia.8: () Tulokset eivät yleensä päde ilman mitallisuusoletusta. (2) Ehdosta µ (A i ) < ei voida luopua kohdassa (b)... Lebesguen ulkomitta Joukko I = { x R n : a i x i b i, i =,..., n } = [a, b ] [a n, b n ] on n-ulotteinen suljettu väli, ja sen geometrinen mitta on m(i) = (b a )(b 2 a 2 ) (b n a n ). Joukon E R n Lebesguen ulkomitta on m(e) = inf m(i i ), missä infimum otetaan yli kaikkien suljettujen välien numeroituvien kokoelmien, joille pätee E i= I i. Palautetaan mieleen Lebesguen mitan ominaisuuksia, jotka todistimme kurssilla Analyysi III: i= () Lebesguen ulkomitta on ulkomitta. (2) Lebesguen ulkomitan rajoittuma Lebesgue-mitallisiin joukkoihin on mitta. (3) Borelin joukot ovat pienin σ-algebra, joka sisältää avoimet joukot. Kaikki Borelin joukot ovat Lebesgue-mitallisia, mutta on olemassa Lebesguemitallisia joukkoja, jotka eivät ole Borelin joukkoja. (4) On olemassa joukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. (5) Lebesguen mitan määritelmässä olevat välit voidaan olettaa (a) sisäpisteistöiltään erillisiksi (eli Int(A i ) Int(A j ) =, jos i j), (b) avoimiksi ja (c) kuutioiksi tai (d) ne voidaan korvata palloilla.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 4..2 Nollamittaiset joukot Määritelmä.9. Joukko E R n on nollamittainen, jos m(e) =. Tällöin jokaista ε > kohti on olemassa sellainen välien kokoelma (I i ) i=, että E I i i= ja m(i i ) < ε. i= Esimerkkejä.: () Yksiöt {x} R ovat nollamittaisia. (2) Numeroituvat joukot ovat nollamittaisia; erityisesti siis rationaalilukujen joukko Q on nollamittainen. (3) Cantorin 3 -joukko konstruoidaan seuraavasti. Olkoon C := [,]. Poistetaan tästä avoin väli ( 3, 2 3 ) ja merkitään C := [, 3 ] [ 2 3,]. Poistetaan jäljelle jääneistä väleistä keskimmäiset kolmannekset ja merkitään C 2 := [, 9 ] [ 2 9, 3 ] [ 2 3, 7 9 ] [ 8 9,]. Jatketaan näin. Kuva. havainnollistaa tätä prosessia, jonka lopputuloksena saadaan Cantorin 3 -joukko C := k= C k. Kuva.: Cantorin 3 -joukon viisi ensimmäistä iteraatiota. Jokainen C k koostuu 2 k kappaleesta erillisiä ja suljettuja välejä J k,i, joiden pituus on 3 k. Siispä m(c k ) = i m ( J k,i ) = ( 2 3 ) k k, joten m(c) =. Seuraavassa osiossa jatkamme Cantorin joukon tarkastelua. K Ä Y T Ä N N Ö N O H J E : Kun tutkitaan annetun joukon nollamittaisuutta, voidaan Lebesguen mitan ominaisuuksien perusteella välit korvata kuutioilla tai palloilla. Tästä havainnosta on usein hyötyä, kun n 2.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 5..3 Cantor-tyyppiset joukot Cantorin 3 -joukolla C on seuraavat ominaisuudet: () C (2) C on kompakti (3) Joukossa C ei ole eristettyjä pisteitä (4) Joukossa C ei ole sisäpisteitä: jos Int(C), niin löytyisi avoin väli I C, jolle m(i) >. Tämä on ristiriita, koska m(i) m(c) =. (5) C on ylinumeroituva. Äkkiseltään tuntuisi, että tämäntyyppinen joukko on aina nollamittainen. Näin ei kuitenkaan ole. Itse asiassa jokaiselle < α < on olemassa Cantor-tyyppinen joukko C [, ], jonka Lebesguen mitta on α. Tällainen joukko konstruoidaan seuraavasti. Olkoon α j := ( α)2 j, j =,2,..., jolloin j= α j = α. Ensimmäisessä vaihessa välin C = J = [,] keskeltä poistetaan avoin väli I, jonka pituus m(i ) = α. Merkitään C := J \ I. Nyt C koostuu kahdesta suljetusta välistä. Poistetaan näiden välien keskeltä kaksi avointa väliä I 2 ja I 3, jotka ovat yhtä pitkiä ja joiden yhteenlaskettu pituus on α 2. Merkitään C 2 := J \ ( I I 2 I 3 ). Jatketaan näin. Kun prosessia on iteroitu k kertaa, olemme poistaneet + 2 + 2 2 + + 2 k = 2 k pistevierasta avointa väliä I,..., I 2 k, joille pätee 2 k k m(i i ) = α j. i= j= Nyt joukko 2 k C k := J \ I i i= koostuu 2 k kappaleesta suljettuja välejä. Koska välit I i ovat erillisiä, niin Olkoon C := k= C k. Silloin 2 k m(c k ) = m(j ) m(i i ) = i= k α j. j= m(c) = lim m(c k ) = α j = ( α) = α. k Huomaa, että suljettujen joukkojen C k leikkauksena myös C on suljettu. Edelleen C J ja J on kompakti, joten myös C on kompakti. j=

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 6 Lause. (Approksimointilause). Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: () A R n on Lebesgue-mitallinen (2) jokaista lukua ε > kohti on olemassa sellainen avoin joukko U A, että m(u \ A) < ε (3) jokaista lukua ε > kohti on olemassa sellainen suljettu joukko F A, että m(a \ F) < ε Todistus. Todistamme tuloksen osoittamalla, että ehto () on yhtäpitävä sekä ehdon (2) että (3) kanssa. () (2): Oletetaan ensin, että m(a) <. Olkoon ε > annettu ja valitaan sellaiset avoimet välit I, I 2,..., että A I i i= ja m(i i ) m(a) + ε. i= Tällöin U = i= I i on etsitty joukko, sillä m(u \ A) = m(u) m(a) m(i i ) m(a) < ε. Mikäli m(a) =, niin määritellään A k := A B(, k), missä k =,2,... ja i= B(, k) = { x R n : x < k }. Nyt A k on mitallinen ja m(a k ) <. Edellisen perusteella on olemassa avoimet joukot U k A k, joille m(u k \ A k ) < ε 2 k. Nyt joukko U = k= U k on etsimämme avoin joukko, sillä A U ja m(u \ A) m ( (U k \ A k ) ) ε m(u k \ A k ) < 2 k = ε. k= () (3): Koska R n \ A on mitallinen, niin voidaan soveltaa edellistä kohtaa. Olkoon ε >. Tällöin on olemassa sellainen avoin joukko U R n \ A, että k= m ( U \ (R n \ A) ) < ε. k= Joukko F := U A on suljettu ja A \ F = A F = A U = U \ (R n \ A), joten m(a \ F) < ε. (3) (): Jokaisella k N on olemassa sellainen suljettu joukko F k A, että m(a \ F k ) < k. Olkoon F := k= F k A. Tällöin F on mitallinen ja m(a \ F) m(a \ F k ) < k

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 7 kaikilla k N. Siis m(a \ F) = ja A \ F on mitallinen. Koska A = F (A \ F), niin A on mitallinen. (2) (): Jokaisella k N on olemassa sellainen avoin joukko U k A, että m(u k \ A) < k. Nyt U := k= U k on mitallinen ja U A. Edelleen, m(u \ A) m(u k \ A) < k kaikilla k N, joten m(u \ A) = ja U \ A on mitallinen. Joukko A on väistämättä mitallinen, sillä A = U \ (U \ A). Huomautus.2. Yleinen mitallinen joukko poikkeaa Borelin joukosta vain nollamittaisella joukolla. Siis A R n on mitallinen, jos ja vain jos A = B \ N, missä B A on Borelin joukko ja m(n) =. Todistus. Jos joukko A on mitallinen, niin Lauseen. perusteella on olemassa sellaiset avoimet joukot U i, i =,2,..., että U i A ja m(u i \ A) < i. Joukko U := i= U i on avointen joukkojen leikkauksena Borelin joukko (mutta se ei välttämättä ole avoin). Nyt U A ja U \ A = i= (U i \ A), joten m(u \ A) = m ( (U i \ A) ) lim m(u i \ A) lim i i i =. i= Nyt A = U \ (U \ A), U = B ja U \ A = N. Olkoon B Borelin joukko, m(n) = ja A = B \ N. Joukot N ja B ovat mitallisia, sillä N on nollamittainen ja B on Borelin joukko. Koska mitallisten joukkojen kokoelma on σ-algebra, niin A = B \ N on mitallinen. Samalla tavalla voidaan näyttää, että A R n on mitallinen, jos ja vain jos A = B N, missä B A on Borelin joukko ja m(n) =. Huomautus.3. On olemassa joukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. Itse asiassa jokaisella mitallisella joukolla A R n, jonka mitta m(a) >, on eimitallinen osajoukko..2 Lebesgue-mitalliset funktiot Määritelmä.4. Oletetaan, että A R n on Lebesgue-mitallinen joukko. Funktio f : A [, ] on Lebesgue-mitallinen, jos alkukuva f ( (λ, ] ) = { x A : f (x) > λ } on Lebesgue-mitallinen kaikilla λ R. Huomautus.5. Ehto voidaan yhtäpitävästi vaatia joukoille { } { } { } x A : f (x) λ, x A : f (x) < λ tai x A : f (x) λ.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 8 Lause.6. Olkoon A R n Lebesgue-mitallinen ja f : A [, ]. Tällöin () Mikäli joukot f ( ) ja f ( (a, b) ) ovat Lebesgue-mitallisia kaikilla a, b R, a < b, niin f on mitallinen. (2) Jos f on mitallinen, niin alkukuvat f ( ), f ( ) ja f (B) ovat mitallisia jokaisella B R, joka on numeroituva yhdiste tai leikkaus suljetuista tai avoimista joukoista. Joukot B R voidaan korvata Borelin joukoilla. Todistus. Alkukuva f ( [,λ) ) = f ( ) f ( (λ k,λ) ) on Lebesgue-mitallinen kaikilla λ R, joten edellisen huomautuksen nojalla f on mitallinen. Täten () on tosi. k= Todistetaan vielä väite (2). Huomataan aluksi, että joukot f ( ) = f ( [, k] ) ja f ( ) = f ( [k, ] ) k= ovat mitallisia. Olkoon sitten Γ := { E R : f (E) mitallinen }. Nyt Γ sisältää avoimet reaalilukuvälit, sillä k= f ( (a, b) ) = f ( (a, ] ) f ( [, b) ) on mitallinen. Harjoitustehtävänä 9 on osoittaa, että kokoelma Γ on σ-algebra eli sillä on ominaisuudet (a) Γ, (b) jos A Γ, niin R \ A Γ ja (c) mikäli A, A 2,... Γ, niin i= A i Γ. Tästä seuraa, että Γ sisältää avoimet joukot U R (numeroituvina yhdisteinä avoimista väleistä), suljetut joukot (avoimien komplementteina) sekä näiden numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. V A R O I T U S : Jos f on mitallinen, niin mielivaltaisen mitallisen joukon B R alkukuva ei ole välttämättä mitallinen (edes silloin, kun f on jatkuva). Palaamme tähän osiossa.2.2. Esimerkkejä.7: () Jatkuva funktio f : A R n R on Lebesgue-mitallinen, sillä avoimen joukon U R alkukuva f (U) on avoimena joukkona mitallinen. (2) Joukko A R n on mitallinen, jos ja vain jos funktio f = A on mitallinen: f ( (λ, ] ) R n, kun λ < = A, kun λ <, kun λ

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 9.2. Mitallisten funktioiden ominaisuuksia () Jos funktiot f, g : A R n [, ] ovat mitallisia, niin myös summa f +g, skalaarikerrannainen λf, osamäärä f /g, itseisarvo f sekä min{ f, g} ja max{ f, g} ovat mitallisia, jos ne ovat määriteltyjä. Huomaa, että summa f + g on määritelty mitallisessa joukossa A \ ([ f ( ) g ( ) ] [ f ( ) g ( ) ]). (2) Jos funktiot f i : A R n [, ], i =,2,... ovat mitallisia, niin myös inf f i, sup f i, liminf f i, limsup f i ja lim f i (mikäli olemassa) ovat mitallisia. Huomaa, että f 2 voi olla mitallinen, vaikka f ei olisikaan mitallinen. Jos E R on ei-mitallinen joukko ja funktio, kun x E f : R R, f (x) =, kun x E niin f 2 = on mitallinen, mutta { x R : f (x) > } = E ei ole mitallinen..2.2 Cantorin funktio Määritellään funktiot f k : [,] [,] rekursiivisesti asettamalla f (x) = x ja 2 f k(3x), kun x 3 f k+ (x) = 2, kun 3 x 2 3 2 + 2 f k(3x 2), kun 2 3 x Kuvassa.2 on esitetty funktioiden f k kuvaajat, kun k =,,2. (.) 3 4 2 f f f 2 4 I 2, I, = I 2,2 I 2,3 9 2 9 3 2 3 7 9 8 9 Kuva.2: Cantorin funktion konstruktio.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 7 8 3 4 5 8 2 3 8 4 8 9 2 9 3 2 3 7 9 8 9 Kuva.3: Hahmotelma Cantorin funktion kuvaajasta, pirun portaista. Palautetaan mieleen esimerkin. Cantorin 3 -joukon konstruktio ja siinä käyttämämme merkinnät. Huomataan aluksi, että () f k on jatkuva ja kasvava, (2) f k () = ja f k () =, (3) f k (x) = i2 k, jos x I k,i sekä (4) f k on paloittain lineaarinen joukossa C k = [,] \ i I k,i = i J k,i. Jos k, niin kaikilla x [,] pätee fk (x) f k+ (x) 2 sup { f k (x) f k (x) : x }, joten induktiolla saadaan arvio fk (x) f k+ (x) 2 k. Jokaisella m N on siten voimassa fk (x) f k+m (x) k+m f j (x) f j+ (x) 2 j = k 2 k. j=k Siis (f k ) on Cauchyn jono Banachin avaruudessa ( C[,], ), missä f = sup f (x). x [,] Nyt on olemassa sellainen funktio f C[,], että f k f, kun k. Siis funktiojono (f k ) suppenee tasaisesti kohti funktiota f välillä [,]. Funktiota f kutsutaan Cantorin funktioksi. Kuvassa.3 on luonnostelma sen kuvaajasta. Cantorin funktio f on jatkuva ja f () = sekä f () =, joten f on surjektio. Määritellään nyt jatkuva funktio j=k g : [,] [,2], g(x) := x + f (x),

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI jolloin g() = ja g() = 2. Funktio g on jatkuva bijektio, ja sen käänteisfunktio g on jatkuva eli g on homeomorfismi. Tarkastellaan Cantorin joukon C kuvaa g(c). Nyt [,] \ C = 2 k k= i= I k,i eli [,] \ C = I r, missä välit I r, r =,2,... ovat avoimia ja pistevieraita. Täten m ( g(c) ) = m ( [,2] \ r= g(i r ) ) = m ( [,2] ) m ( Koska g(x) = x + a kaikilla x I r, saadaan m ( g(i r ) ) = m(i r ). r= r= g(i r ) ) = 2 m ( g(i r ) ). r= Edelleen m(i r ) = m ( ) ( ) I r = m [,] m(c) =, r= r= joten m ( g(c) ) = 2 =. Koska m ( g(c) ) >, niin on olemassa ei-mitallinen joukko B g(c). Olkoon A := g (B). Tällöin A C ja m(a) m(c) =, joten A on mitallinen. Siis g kuvaa mitallisen joukon A ei-mitalliseksi joukoksi B. Nyt [,2] g jatkuva [,] A mitallinen R, mutta yhdistetty kuvaus A g = B ei ole mitallinen, vaikka g ja A ovat mitallisia. Kahden mitallisen funktion yhdiste ei siis välttämättä ole mitallinen funktio. Huomautus.8. Joukko A on esimerkki mitallisesta joukosta, joka ei ole Borelin joukko. Perustelu. Jos A on Borelin joukko, niin g(a) = B on Borelin joukko, sillä harjoitustehtävän 9 mukaan homeomorfismi kuvaa Borelin joukon Borelin joukoksi. Tämä on ristiriita, sillä B ei ole edes mitallinen..2.3 Approksimointi yksinkertaisilla funktioilla Määritelmä.9. Funktio f : R n [, ) on yksinkertainen, jos se on mitallinen ja saa vain äärellisen monta positiivista arvoa. Funktio f on yksinkertainen, jos ja vain jos k f = a i Ai, i= (normaaliesitys) missä A i ovat pistevieraita mitallisia joukkoja ja a i.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 2 Esimerkki.2. Karakteristinen funktio f = Q on yksinkertainen funktio, vaikka se ei ole jatkuva missään pisteessä. Huomautus.2. Kurssilla Analyysi III todistimme, että funktio f : R n [, ] on mitallinen, jos ja vain jos on olemassa sellainen jono (f i ), että () jokainen f i on yksinkertainen, (2) f f 2 ja (3) lim f i (x) = f (x) kaikilla x R n..3 Lebesguen integraali V A I H E : Määritellään yksinkertaisen funktion f integraali asettamalla k f dm = a i m(a i ). R n i= Huomaa, että tämän ei tarvitse olla äärellistä. V A I H E 2 : Mitallisen, ei-negatiivisen funktion f : R n [, ] integraali määritellään R n f dm = sup ϕ f R n ϕ dm, missä supremum otetaan yksinkertaisten funktioiden ϕ yli. Huomaa, että tässäkin voi olla Rn f dm =. V A I H E 3 : Yleinen mitallinen funktio f : R n [, ] voidaan esittää muodossa f = f + f, missä f + ja f ovat funktion f positiivi- ja negatiiviosat: f + = max{ f,} ja f = min{ f,}. Tällöin f on mitallinen, jos ja vain jos sekä f + että f ovat mitallisia. Funktion f integraali f dm = f + dm f dm R n R n R n on määritelty, ellei tule -tilannetta. V A I H E 4 : Funktio f : R n [, ] on integroituva, jos () f on mitallinen, (2) R n f + dm < ja (3) R n f dm <. Ehdot (2) ja (3) ovat voimassa täsmälleen silloin, kun Rn f dm <, missä f = f + + f. Jos funktio f on integroituva, niin f dm = f + dm f dm <. R n R n R n Lisäksi R n f dm Rn f dm.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 3 Esimerkki.22. Määritellään funktio f : [,] R asettamalla f () = ja Nyt f (x) = ( ], kun x i 2 i, 3 2 i+ ( ] 3, kun x i 2 i+, 2 i 2 i+ 2i+ f + dm = i= 2 i+ i 2 i+ = i= i = ja vastaavasti f dm =. Täten f ei ole integroituva välillä [, ], vaikka epäoleellinen Riemann-integraali voidaankin laskea: f (x) dx = lim ε ε f (x) dx = Palautetaan mieleen kurssilla Analyysi III todistetut keskeiset rajankäyntilauseet. Lause.23 (Lebesguen monotonisen konvergenssin lause). Oletetaan, että funktiot f i : R n [, ] ovat mitallisia ja f f 2. Tällöin lim f i dm = lim f i dm. i R n R n i Todistus. Kurssilla Analyysi III. Esimerkki.24. Lauseen oletus f i ei ole turha. Esimerkiksi vakiofunktiojono f i : R n R, f i (x) = /i, on kasvava ja f (x) = lim f i (x) = kaikilla x R n. Kuitenkin lim f i dm = = f dm. i R n R n Lause.25 (Fatoun lemma). Jos f i : R n [, ], i =,2,..., ovat mitallisia funktioita, niin liminf R n i f i dm liminf i R n f i dm. Todistus. Kurssilla Analyysi III.

LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 4 Lause.26 (Lebesguen dominoidun konvergenssin lause). Oletetaan, että funktiot f i : R n [, ], i =,2,..., ovat mitallisia. Mikäli on olemassa sellainen integroituva funktio g, että f i g ja f i f avaruudessa R n, niin f dm = lim f i dm. R n i R n Todistus. Kurssilla Analyysi III. Esimerkki.27. Oletus integroituvasta majorantista ei ole turha. Jos määritellään jono f i : R R asettamalla f i = i (,/i), niin f i, mutta lim f i dm = = i R R lim f i dm. i Tästä nähdään myös se, että Fatoun lemmassa ei aina päde yhtäsuuruus.

Gauss called mathematics the queen of the sciences. I prefer to think of it as an emperor. And though it may yet transpire that the emperor has no clothes, he is still better dressed than his courtiers. Ian Stewart 2 Lebesguen avaruudet 2. Integrointi osajoukoissa Olkoon A R n mitallinen joukko ja f : R n [, ] mitallinen funktio. Tällöin asetamme A f dm := f A dm, R n mikäli jälkimmäinen integraali on määritelty. Huomaa, että ei-negatiivisen funktion f integraali on aina määritelty, mutta se voi olla. Mikäli f A on integroituva eli R n f A dm <, niin integraali A f dm on äärellisenä olemassa. Funktion f : A [, ] sanotaan olevan mitallinen, jos sen nollajatke f : R n [, ], f f (x), kun x A (x) :=, kun x A on mitallinen. Silloin f dm = f dm = R n f A dm = R n A A f dm. Määritelmä 2.. Olkoon A R n mitallinen joukko ja f : A [, ] mitallinen. Silloin f L p (A), missä < p <, mikäli ( /p f p := f dm) p <. A 5

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 6 Huomautuksia 2.2: () Tapaus p = : f L (A), jos ja vain jos f on integroituva joukossa A. (2) Tapaus p < : f L p (A) täsmälleen silloin, kun f p on integroituva joukossa A. Esimerkki 2.3. Olkoon A = B(,) = { x R n : x < } avaruuden R n avoin yksikköpallo ja funktio f : R n [, ], f (x) := x n. Merkitään A i := B(,2 i ) \ B(,2 i ), missä i =,2,... Jos tällöin x A i, niin 2 i x < 2 i eli 2 np(i ) < x np 2 npi. Nyt B(,) x np dm = x np dm 2 npi dm = 2 npi m(a i ) i= A i i= A i i= 2 npi m ( B(,2 i ) ) = 2 npi( 2 i) n ( ) m B(,). i= i= Merkitsemällä Ω n := m ( B(,) ) saamme B(,) x np dm Ω n 2 npi ni+n = 2 n Ω n 2 in(p ) <, i= i= kun n(p ) <. Siis f L p( B(,) ), jos p <. Toisaalta B(,) x np dm = x np dm i= A i 2 np(i ) dm = 2 np(i ) m(a i ). A i i= Sijoittamalla m(a i ) = m ( B(,2 i ) ) m ( B(,2 i ) ) saamme B(,) i= x np dm Ω n 2 np 2 npi( (2 i ) n (2 i ) n) i= = Ω n (2 n )2 np 2 in(p ) =, i= kun n(p ). Siis f L p( B(,) ), jos p. Täten f L p( B(,) ), jos ja vain jos p <. Jos taas A = R n \B(,) ja A i = B(,2 i )\B(,2 i ), niin vastaavalla päättelyllä näemme, että f L p( R n \ B(,) ), jos ja vain jos p >. Y L E I S E N Ä P E R I A A T T E E N A O N S I I S : Mitä pienempi p on, sitä pahempia lokaaleja singulariteetteja L p -funktiolla voi olla. Toisaalta mitä suurempi p on, sitä laajemmalle alueelle L p -funktio voi levitä globaalisti.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 7 2.2 Melkein kaikkialla Jokin ominaisuus pätee melkein kaikkialla (m.k.), jos se pätee lukuun ottamatta nollamittaista joukkoa. Esimerkiksi joukon Q karakteristinen funktio Q = melkein kaikkialla. V Ä I T E : f p = f = melkein kaikkialla. Perustelu. Oletetaan, että f = melkein kaikkialla joukossa A ja merkitään E := { x A : f (x) > }. Tällöin m(e) = ja f p dm = f dm + f dm =. A E A\E Oletetaan nyt, että f p = ja merkitään A i := { x A : f (x) /i }. Tällöin i= A i = E ja jokaisella i =,2,... m(a i ) = dm i p f p dm i p f dm =. A i A i A Siis m(e) m(a i ) = i= eli f = melkein kaikkialla joukossa A. Tämän perusteella L p (A) ei ole normiavaruus, sillä ehdosta f p = ei seuraa, että f. Tapauksessa p (ks. harjoitustehtävä 4) siitä kuitenkin saadaan normiavaruus, kun määrittelemme funktioiden välille ekvivalenssirelaation f g f = g m.k. joukossa A. Huomautuksia 2.4: () L p -teorian kannalta emme yleensä erottele funktioita f ja g toisistaan, jos ne yhtyvät melkein kaikkialla. Harjoitustehtävänä 6 on osoittaa, että jos f = g m.k. joukossa A, niin (a) f L p (A) g L p (A) ja A f p dm = A g p dm sekä (b) f on mitallinen g on mitallinen. Merkitään funktion f L p (A) virittämää ekvivalenssiluokkaa f := [ f ] = { g L p (A) : g f }. Asetamme L p (A) := { f : f L p (A) } ja määrittelemme f p = f p. Nyt pätee f p = f =,

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 8 missä = { u L p (A) : u = m.k. joukossa A }. Jatkossa emme käytä avaruutta L p (A) vaan puhumme L p (A)-funktioista. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että samaistamme funktiot, jotka yhtyvät melkein kaikkialla. (2) Tämän perusteella voimme hieman höllentää Luvun lopussa esitettyjen konvergenssilauseiden oletuksia. Monotonisen ja dominoidun konvergenssin lauseissa riittää olettaa, että oletukset toteutuvat melkein kaikkialla. Lemma 2.5. Avaruus L p (A) on lineaarinen. Todistus. Olkoot f, g L p (A) ja λ R. Tällöin jokaisella < p < pätee λf p dm = λ p f p dm < A A } {{ } < eli λf L p (A). Koska f + g p ( f + g ) p ( 2max{ f, g } ) p 2 p ( f p + g p), niin f + g L p (A). Lemma 2.6 (Youngin epäyhtälö). Jos < p < ja a, b, niin ab ap p + bp p, missä p on luvun p Hölder-konjugaatti, joka saadaan lausekkeesta Todistus. Tilanteesta piirretty kuva: y p + p = p = p p. (2.) b y = x p x = y /(p ) = y p a x Väite nähdään todeksi laskemalla ab a x p dx + b y p dy = ap p + bp p. Katso myös harjoitustehtävä 2.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 9 Huomautus 2.7. Eksponentti p ja sen konjugaattieksponentti p ovat keskenään symmetrisessä asemassa. Huomaa, että () p = 2 p = 2 (2) < p < 2 2 < p < (3) 2 < p < < p < 2 (4) Kun p, niin p Lause 2.8 (Hölderin epäyhtälö). Jos < p <, f L p (A) ja g L p (A), niin f g L (A) ja eli f g f p g p. ( ) /p ( ) /p f g dm f p dm g p dm A A A Todistus. Jos f p = tai g p =, niin f g = melkein kaikkialla, jolloin myös f g =. Jatkossa oletamme, että f p > ja g p >. Merkitään f := f ja g := g, f p g p jolloin f p = g p =. Youngin epäyhtälön avulla saadaan arvio f p g p f g dm = f g dm f p dm + A A p A p g p dm A = p + p = eli f g f p g p. V A R O I T U S : Oletuksesta f, g L p (A) ei seuraa, että f g L p (A). Perustelu. Jos esimerkiksi A = (, ) ja f : (,) R, f (x) = x, niin f L (,). Kuitenkin f 2 (x) = x, joten f 2 L (,). Huomautus 2.9. Tapauksessa p = 2 saadaan Schwarzin epäyhtälö ( ) /2 ( /2 f g dm f 2 dm g dm) 2. A A A Vaikka Schwarzin epäyhtälö saadaankin Hölderin erikoistapauksena, niin se ei varsinaisesti ole Hölderin epäyhtälöä heikompi tulos: molemmat pohjautuvat konveksisuuteen.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 2 Seuraus 2. (Jensenin epäyhtälö). Jos p < q < ja < m(a) <, niin ( m(a) /p ( f dm) p A m(a) /q f dm) q. A Todistus. Olkoot u := f p, v := ja sovelletaan tuloon uv Hölderin epäyhtälöä eksponenteilla α = q/p ja α = q/(q p): ( ) /α ( ) /α f p dm = uv dm u α dm v α dm A A A A ( ) p/q ( = f q dm A dm A }{{} =m(a) ) (q p)/q Korottamalla puolittain potenssiin /p ja jakamalla luvulla m(a) /p saadaan Huomautuksia 2.: ( m(a) /p ( f dm) p A m(a) /q f dm) q. A () Jos m(a) < ja p < q <, niin Jensenin epäyhtälön perusteella L q (A) L p (A). Tämä voidaan osoittaa myös käyttämättä Hölderin epäyhtälöä (ks. harjoitustehtävä 22). (2) Jos m(a) =, niin pelkästä eksponentista p riippuvaa sisältyvyyssääntöä ei voida antaa (miksi?). Vertaa sivun 6 yleiseen periaatteeseen: lokaalit singulariteetit VS kuinka laajalle on levinnyt. Lause 2.2 (Minkowskin epäyhtälö). Jos p < ja funktiot f, g L p (A), niin f + g L p (A) ja f + g p f p + g p. Todistus. Lemman 2.5 mukaan f + g L p (A), joten riittää osoittaa, että p toteuttaa kolmioepäyhtälön. Jos p = tai f + g p =, niin väite on ilmeinen. Jos < p < ja f + g p >, niin arviosta f + g p f + g p ( f + g ) saadaan integroimalla f + g p p f + g p f dm + f + g p g dm =: I f + I g. A A Hölderin epäyhtälö eksponenteilla p/(p ) ja p antaa ( ) (p )/p ( ) /p I f f + g p dm f p dm = f + g p p f. A A

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 2 Vastaava arvio pätee myös integraalille I g, joten saadaan f + g p f p + g p. Huomautuksia 2.3: () Jono (f i ), missä f i L p (A) ja i =,2,..., suppenee kohti funktiota f avaruudessa L p (A), mikäli (a) f L p (A) ja (b) jokaista ε > kohti on olemassa sellainen i ε, että f i f p < ε aina, kun i i ε. (2) Jono (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p (A), jos jokaista lukua ε > kohti on olemassa sellainen i ε, että f i f j p < ε aina, kun i, j i ε. (3) Jos f i f avaruudessa L p (A), niin f i f j p f i f p + f f j, kun i, j. Täten jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono. (4) Kurssilla Analyysi III todistimme Monotonisen konvergenssin lauseen ja Minkowskin epäyhtälön avulla, että avaruuden L p (A), p <, Cauchyn jonolla (f i ) on melkein kaikkialla suppeneva osajono (f ik ). Seuraavaksi osoitamme, että L p (A) on Banachin avaruus jokaisella p <. Lause 2.4 (Riesz-Fischer, 97). Jos (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p (A) ja p <, niin on olemassa sellainen f L p (A), että f i f. Todistus. Oletetaan, että (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p (A). Huomautuksen 2.3 kohdan (4) mukaan löytyy sellainen osajono (f ik ), että f ik (x) f (x) m.k. x A. Tällöin f on mitallinen joukossa A. Osoitamme, että f L p (A) ja f i f p. Olkoon ε > annettu. Tällöin on olemassa sellainen i ε, että f i f j p < ε aina, kun i, j i ε. Jos i i ε, niin Fatoun lemman nojalla f i f p dm = lim f i f ik p dm A A k liminf f i f ik p dm = liminf f i f ik p p ε p <. k A k Siis f iε f L p (A) ja f i f p, joten f = f iε (f iε f ) L p (A) ja f i f avaruudessa L p (A). Riesz-Fischerin lauseen ja Huomautuksen 2.3 perusteella saamme Seuraus 2.5. Jos f i f avaruudessa L p (A), niin on olemassa sellainen osajono (f ik ), että f ik (x) f (x) m.k. x A.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 22 Huomautus 2.6. Jos f i f avaruudessa L p (A), niin f i p f p. Tämä seuraa Minkowskin epäyhtälöstä: sen mukaan f i p f i f p + f p eli f i p f p f i f p. Vastaavasti myös f p f i p f i f p, joten täytyy olla fi p f p f i f p i. Täten p-normi p on jatkuva. Katso myös harjoitustehtävä 33. Esimerkkejä 2.7: () Jono (f i ), missä f i = [i, i], suppenee pisteittäin kohti nollafunktiota f =. Kuitenkin f i f p = jokaisella i =,2,..., joten f i f avaruudessa L p (R). (2) Huomaa, että f i f avaruudessa L (A), jos ja vain jos f i f. Täten kun i. Toisin sanoen siis A f i f dm f i f dm = f i f, A lim f i dm = f dm. i A A (3) Ehdosta f i f m.k. joukossa A ei seuraa, että f i f avaruudessa L p (A). Olkoon f i = i 2 (,/i), jolloin R f i p dm = i 2p R p (,/i) dm = i2p < eli f i L p (R) kaikilla p <. Vaikka jokaisella kiinteällä x R pätee f i (x), niin f i p i, kun i. (4) Ehdosta f i f avaruudessa L p ei seuraa, että f i f m.k. Määritellään joukot [ j A k, j := 2 k, j + ] 2 k, k =,,... ja j =,,...,2 k. Olkoon f 2 k + j = k A k, j, jolloin jokaisella p < pätee f2 k + j p = k k 2 k/p. Siis jono (f i ) suppenee kohti nollafunktiota avaruudessa L p (R). Huomaa, että lim f 2 k + (x) = jokaisella x, joten liminf f i(x) =. Kuitenkin limsup f i (x) =, joten pisteittäistä raja-arvoa lim f i (x) ei ole olemassa millään x [,].

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 23 2.2. Oleellisesti rajoitetut funktiot Määritelmä 2.8. Olkoon A R n on mitallinen joukko ja f : A [, ] mitallinen funktio. Silloin f L (A), jos on olemassa sellainen M <, että f (x) M m.k. x A. Jos f L (A), niin f = esssup f (x) := inf { M R ( ) } m { x A : f (x) > M } =. x A Intuitiivisesti f on siis supremum lukuun ottamatta funktion f käyttäytymistä nollamittaisissa joukoissa. Esimerkkejä 2.9: () Jos f = Q, niin f =, mutta sup f (x) =. (2) Jos g : (, ) R, g(x) = /x, niin g L (, ). Huomautuksia 2.2: () Jos f L (A) ja ε >, niin (a) m ( { x A : f (x) f + ε} ) = ja (b) m ( { x A : f (x) f ε} ) >. (2) Jos f L (A) C(A), niin f = sup f (x). Jätämme todistuksen harjoitustehtäväksi 3. Lemma 2.2. Jos f L (A), niin f (x) f m.k. x A. Todistus. Merkitään S := { M R ( ) } m { x A : f (x) > M } = ja β := inf S. Nyt β S, sillä { } { } x A : f (x) > β = x A : f (x) > β + k= on nollamittaisten joukkojen numeroituvana yhdisteenä nollamittainen. Huomaa, että oletuksen f L mukaan S. Huomautuksia 2.22: () Lemman 2.2 todistuksen perusteella on olemassa sellainen nollamittainen joukko N A, että f = esssup f = sup { f (x) : x A \ N }. k (2) Useat L p -avaruuksien ominaisuudet pätevät triviaalisti myös tapauksessa p =. Esimerkiksi (a) Minkowskin epäyhtälö: jos f, g L, niin f + g f + g.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 24 (b) Hölderin epäyhtälö: jos f L (A) ja g L (A), niin f g L (A) ja A f g dm g f. Huomaa myös L p -variantti: f g p dm g p A f p dm. A (c) Kuvaus on normi vastaavalla tulkinnalla kuin p tapauksessa p <. Lause 2.23. Jos f L (A) L q (A) jollain q <, niin f L p (A), kun p > q ja lim f p = f. p Todistus. Jos f L q (A) ja p > q, niin f p p = f p dm = f q f p q dm f p q f q dm, A A A mistä saadaan ( ) /p f p f q/p f q dm = f q/p f q q/p <. A Siis f L p (A) aina, kun p > q ja limsup f p f. (2.2) p Olkoon nyt λ < f ja merkitään E λ := { x A : f (x) > λ }. Tällöin m(e λ ) > ja f p p = f p dm f p dm λ p dm = λ p m(e λ ) A E λ E λ eli f p λ m(e λ ) /p. Nyt eli joka tapauksessa saadaan lim m(e λ) /p, jos < m(e λ ) < = p, jos m(e λ ) = liminf p f p λ. Koska λ < f on mielivaltainen, niin liminf p f p f. (2.3) Kun arviot (2.2) ja (2.3) yhdistetään, saadaan väite.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 25 Huomautus 2.24. Lauseen oletus f L q (A) jollain q < voidaan korvata oletuksella m(a) <. Lause 2.25. Jos A R n on mitallinen, niin L (A) on Banachin avaruus. Todistus. Olkoon (f i ) Cauchyn jono avaruudessa L (A). Lemman 2.2 nojalla f i (x) f j (x) f i f j m.k. x A, joten on olemassa sellaiset nollamittaiset joukot N i, j A, että f i (x) f j (x) f i f j kaikilla x A \ N i, j. Koska (f i ) on Cauchyn jono, niin jokaisella k =,2,... on olemassa sellainen i k N, että f i f j < k kun i, j i k. Olkoon N = i, j= N i, j, jolloin m(n) i, j= m(n i, j) =. Kun i, j i k, niin f i (x) f j (x) f i f j < k kaikilla x A \ N eli ( f i (x) ) i on Cauchyn jono jokaisella x A \ N. Koska R on täydellinen, niin lim f i (x) on olemassa jokaisella x A \ N. Funktio lim f i (x), jos x A \ N f : A [, ], f (x) :=, jos x N on mitallinen ja f i f k, kun i i k. Koska f f i + f i f f i + k, kun i i k, niin f L (A) ja f i f avaruudessa L (A). Huomautus 2.26. Ehdosta lim f i f = seuraa, että f i f tasaisesti joukossa A \ N. 2.3 Jatkuvien funktioiden tiheys Määritelmä 2.27. Funktion f : A [, ] kantaja on joukko supp f := { x A : f (x) }. Funktio on kompaktikantajainen, mikäli supp f on kompakti ja supp f A.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 26 V A R O I T U S : Kantaja supp f ei välttämättä ole joukon A osajoukko. Jatkossa käytämme myös seuraavia merkintöjä: C(A) := { f : A R } f on jatkuva joukossa A C (A) := { f C(A) } supp f A on kompakti Seuraavaksi todistamme, että C (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ), p < eli C (R n ) = L p (R n ). Teemme tämän useassa vaiheessa. Olkoon p < annettu ja oletetaan, että f L p (R n ). V A I H E : Määritellään jono (f i ) i=, missä f i = f B(,i). Tällöin f i (x) f (x) jokaisella x R n. Koska f i (x) f (x) p ( f i (x) + f (x) ) p 2 p f (x) p kaikilla x R n ja f p L (R n ), niin Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen nojalla f i f p dm i. R n Siis L p (Rn ) := { f L p (R n ) : supp f kompakti } on tiheä avaruudessa L p (R n ). Siksi voimmekin jatkossa olettaa, että f = jonkin rajoitetun joukon ulkopuolella. V A I H E 2 : Koska f = f + f, niin voimme olettaa, että f ja f = jonkin rajoitetun alueen ulkopuolella (jos voimme approksimoida funktiota f +, niin sama tekniikka toimii myös funktiolle f ). V A I H E 3 : Koska f on mitallinen, niin on olemassa sellainen kasvava jono yksinkertaisia funktioita f i, että f i f pisteittäin. Samalla päättelyllä kuin Vaiheessa nähdään, että f i f p, kun i. Täten voimme olettaa, että f on yksinkertainen ja että f = jonkin rajoitetun alueen ulkopuolella. V A I H E 4 : Yksinkertainen funktio f voidaan kirjoittaa sen normaaliesityksen avulla muodossa f = k i= a i Ai, missä a i ja joukot A i ovat erillisiä ja mitallisia. Tämän perusteella voimme olettaa, että f = A, missä A on rajoitettu ja mitallinen joukko. V A I H E suljettu F A, joille 5 : Approksimointilauseen. nojalla on olemassa avoin U A ja m(u \ A) < εp 2 ja m(a \ F) < εp 2, missä ε >. Siten m(u \ F) = m(u \ A) + m(a \ F) < ε p eli m(u \ F) /p < ε. Suljettuna ja rajoitettuna joukkona F on myös kompakti.

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 27 Nyt tarvimme seuraavanlaista Urysohnin lemman erikoistapausta: Lemma 2.28. Oletetaan, että U R n on avoin ja F U on kompakti. Tällöin on olemassa sellainen jatkuva funktio g : R n R, että () g(x) kaikilla x R n, (2) g(x) = kaikilla x F ja (3) g C (U). Todistus. Konstruoimme aluksi sellaisen avoimen joukon V, että V on kompakti ja F V V U. Olkoon < r 2 dist(f,rn \U), missä dist(f,r n { \U) = inf a b : a F ja b R n \U } a,b on joukkojen F ja R n \U välinen etäisyys. Tällöin F B(x, r) ja B(x, r) U kaikilla x F. x F Koska F on kompakti, niin on olemassa sellaiset pisteet x,..., x k F, että F k i= B(x i, r). Joukoksi V voidaan siis valita Määritellään kuvaus g : R n R, g(x) := jolloin ehto () on selvästi voimassa. V := k B(x i, r). i= dist(x,r n \ V ) dist(x, F) + dist(x,r n \ V ), Olkoon x F. Tällöin dist(x, F) = ja koska V F on avoin, niin löytyy r >, jolle B(x, r) V. Siten dist(x,r n \V ) > ja g(x) =. Myös ehto (2) on siis voimassa. Nyt supp g = { x : g(x) } V on suljettu ja rajoitettu ja siten myös kompakti. Kolmioepäyhtälön avulla nähdään, että kuvaus x dist(x, E) on jatkuva, jos E. Täten myös (3) toteutuu. Alkuperäisenä tavoitteenamme ollut tiheysväite seuraa nyt näppärästi äskeisestä lemmasta. Jos f = A, niin on olemassa sellainen jatkuva funktio g, että ( ) /p f g p = A g p dm m(u \ F) /p < ε. R n Saimme siis todistettua tuloksen: Lause 2.29. Jos p <, niin C (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ).

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 28 V A R O I T U S : C (R n ) ei ole tiheä avaruudessa L (R n ). Perustelu. Huomaa, että C (R n ) C(R n ) L (R n ) ja C(R n ) L (R n ) on täydellinen normilla. Jos olisi C (R n ) = L (R n ), niin kaikki L (R n )-funktiot olisivat jatkuvia. Lause 2.3. Jos p < ja f L p (R n ), niin lim f (x + y) f (x) p dx =, y R n missä dx = dm n (x) on n-ulotteinen Lebesgue-mitta. Todistus. Olkoot ε > ja y R n mielivaltaisia. Lauseen 2.29 nojalla on olemassa sellainen g C (R n ), että ( ) /p f (x) g(x) p dx < ε R n 3. Merkitään f y (x) := f (x + y) ja g y (x) := g(x + y), jolloin Lebesguen mitan siirtoinvarianttisuuden nojalla f y g y p = f g p < ε 3. Koska g C (R n ), niin on olemassa r >, jolle g(x) = kaikilla x R n \ B(, r ). Olkoon r = r +. Nyt g on tasaisesti jatkuva eli on olemassa < δ niin, että g(x + y) g(x) < ε 3 m(b r ) /p kaikilla x R n ja y < δ. Kun x r, niin x + y x y r δ r, joten g(x + y) g(x) = kaikilla x R n \ B(, r). Siis g y g p < ε 3 m(b r ) /p m(b r) /p = ε 3. Minkowskin epäyhtälön avulla saadaan siis lopulta f y f p f y g y p + g y g p + g f p < ε. V A R O I T U S : Vastaava väite ei ole tosi, kun p =. Perustelu. Esimerkiksi jos f = [, ), niin esssup f (x + y) f (x) = kaikilla y. x R

LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 29 2.3. Lokaalisti integroituvat funktiot Määritelmä 2.3. Olkoon Ω R n avoin joukko ja f : Ω [, ] mitallinen funktio. Silloin f L p loc (Ω), mikäli f p dm < ( p < ) tai esssup f < (p = ) K K kaikilla kompakteilla joukoilla K Ω. Huomautuksia 2.32: () L p (Ω) L p loc (Ω) (2) Jos p q, niin L loc (Ω) Lq loc (Ω) Lp loc (Ω) L loc (Ω). Esimerkkejä 2.33: () Olkoon Ω = (, ) ja f : Ω R, f (x) = x, niin f L (Ω), mutta f L loc (Ω). (2) Olkoon f : R n R, f (x) =. Tällöin f L p (R n ) millään p <, mutta f L p loc (Rn ) kaikilla p.

Onko tämä vain yksi tapa tehdä elämä vaikeaksi? Juha Kinnunen 3 Fubinin lause ja iteroitu integraali Kurssilla Analyysi II kehitimme Riemann-integroinnin teoriaa avaruudessa R n. Todistimme muun muassa, että suorakaiteessa Q = [a, b] [c, d] jatkuvan funktion f : Q R Riemann-integraali voidaan laskea peräkkäisinä yksiulotteisina integraaleina: b d a c f (x, y) dy dx = f (x, y) d(x, y) = Q d b c a f (x, y) dx dy. Tavoitteenamme on todistaa vastaava tulos Lebesgue-integraalille. Tämä antaa tehokkaan menetelmän moniulotteisten integraalien laskemiseksi, sillä voimme käyttää peruskursseilta tuttuja integrointimenetelmiä. Ennen kuin aloitamme tämän konstruktion, on kuitenkin syytä huomauttaa muutamista asioista. Ensinnäkin tarkastelumme kohteena on Euklidinen avaruus R n varustettuna Lebesgue-mitalla lukijan kannattaakin pitää mielessä intuitiivisesti helposti hahmotettava mielikuva tasosta R 2. Määritelmiä ja tuloksia voi ja kannattaa hahmotella itselleen piirtämällä tilanteesta kuva. On kuitenkin hyvä tiedostaa, että R n varustettuna Lebesgue-mitalla on erikoistapaus yleisestä mitta-avaruudesta (X, Σ, µ). Valitsemamme esitystapa pohjautuu teokseen [2, luku 8], mutta teoria voidaan kehittää myös paljon yleisemmin. Abstraktimmassa muodossa tähän voi perehtyä miltei jokaisesta mittateoriaa käsittelevästä kirjasta, esimerkiksi teoksista [2, luku ] ja [4, luku 8]. 3. Sopimuksia merkinnöistä Palautetaan aluksi mieleen joukkojen X ja Y karteesisen tulon X Y määritelmä: X Y = { (x, y) : x X ja y Y } 3

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 3 Jotta säästyisimme jatkuvalta merkintöjen sekasotkulta, teemme seuraavan sopimuksen: kiinnitämme sellaiset luonnolliset luvut n, p ja q, joille n = p + q. Tällöin R n R p R q, joten nämä voidaan samaistaa. Käytämme kirjaimia x, y ja z ilmaisemaan avaruuksien R p, R q ja R n pisteitä: x R p, y R q ja z R n ja teemme luonnollisen samaistuksen z = (z,..., z n ) = (x, y) R p R q eli x i, z i = y i p, kun i p kun p < i n Integroinnissa seuraava määritelmä osoittautuu näppäräksi; kuva 3. havainnollistaa määritelmän ideaa. Määritelmä 3.. Olkoot A R n ja x R p annettuja. Sanomme joukkoa A x = { y R q : (x, y) A } joukon A x-viipaleeksi. Vastaavasti jos y R q on kiinteä, sanomme joukkoa A y = { x R p : (x, y) A } joukon A y-viipaleeksi. Funktion f : R n [, ] viipaloinnilla tarkoitamme kuvauksia f x (y) := f (x, y) ja f y (x) := f (x, y). y A A y Kuva 3.: Joukon A y-viipale tasossa R 2.

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 32 Olkoon funktio f : R n [, ] annettu. Jos y R q on kiinnitetty, niin voimme tarkastella funktion f y : R p [, ] integroituvuutta. Mikäli f y on integroituva, niin merkitsemme F(y) := f y (x) dx, R p missä dx = dm p (x) on p-ulotteinen Lebesgue-mitta. Jotta F(y) olisi olemassa, on funktion f y oltava vähintäänkin mitallinen. Tällöin oleellisesti erilaisia vaihtoehtoja on kaksi: () joko f y, jolloin F(y) on olemassa ja F(y) tai (2) f y L (R p ), jolloin < F(y) <. Emme kuitenkaan ole varsinaisesti kiinnostuneita luvusta F( y), vaan haluaisimme kirjoittaa f (z) dz = R n F(y) dy = R q R q ( ) f y (x) dx R p dy =: f (x, y) dx dy. R q R p Tässä käyttämämme merkintätapa on kuitenkin symbolisesti harhaanjohtava: funktion f m n -mitallisuudesta ja integraalin Rn f (z) dz olemassaolosta ei nimittäin seuraa, että funktio f y olisi m p -mitallinen (ks. harjoitustehtävä 34). Joudumme tulkintavaikeuksiin, sillä sisempää integraalia R p f y(x) dx ei tällöin ole edes määritelty! Tämän mitallisuusongelman vaatima erityistarkastelu osoittautuukin työläimmäksi vaiheeksi seuraavan lauseen todistuksessa. 3.2 Tonellin ja Fubinin lauseet Lause 3.2 (Tonelli). Olkoon f : R n [, ] Lebesgue-mitallinen. Tällöin () funktio f y on m p -mitallinen melkein kaikilla y R q ja (2) kuvaus y F(y) = R p f y(x) dx on määritelty ja m q -mitallinen melkein kaikilla y R q sekä (3) integraaleille on voimassa f (z) dz = R n R q R p f (x, y) dx dy. Todistus. Aloitamme tarkastelemalla mahdollisimman yksinkertaista tilannetta ja yleistämme tulosta vaiheittain. Vaiheissa 6 oletamme, että f = E on joukon E R n karakteristinen funktio. Meidän on siis osoitettava, että f y = E y on m p -mitallinen m.k. y R q ja F(y) = R p f y (x) dx = m p (E y )

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 33 on m q -mitallinen sekä m n (E) = m p (E y ) dy. R q V A I H E : Jos E on n-väli, niin se on muotoa E = I J, missä I R p on p-väli ja vastaavasti J R q on q-väli. Nyt I, jos y J E y =, jos y J joten E y on taatusti mitallinen ja m p (E y ) = m p (I) J (y) on m q -mitallinen. Siis m n (E) = m p (I) m q (J) = m p (E y ) dy, R q joten ensimmäinen tapaus on saatu todistettua. V A I H E 2 : Jos E on avoin joukko, niin se voidaan esittää muodossa E = J k, missä joukot J k R n ovat erillisiä välejä. Täten jokaisella y R q k= E y = J k,y k= on myös numeroituva yhdiste erillisistä väleistä ja m p (E y ) = m p (J k,y ). Lebesguen monotonisen konvergenssin lauseen ja Vaiheen perusteella m p (E y ) dy = R q = m p (J k,y ) dy R q k= k= R q m p (J k,y ) dy = m n (J k ) = m n (E). k= V A I H E 3 : Oletetaan nyt, että E on kompakti. Tällöin voimme valita avoimen ja rajoitetun joukon G E ja soveltaa Vaihetta 2 joukkoon G \ E. Huomataan aluksi, että (G \ E) y = G y \ E y jokaisella y R q. Vaiheen 2 perusteella R q m p (G y \ E y ) dy = m n (G \ E) ja toisaalta m p (G y ) dy m p (E y ) dy = m n (G \ E) = m n (G) m n (E). R q R q

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 34 Vaiheen 2 nojalla m n (G) = R q m p(g y ) dy, joten saadaan R q m p (E y ) dy = m n (E). V A I H E 4 : Olkoot K K 2 kompakteja ja asetetaan E = j K j. Jokainen joukon E y-viipale on muotoa E y = K j,y. j= Siispä E y on m p -mitallinen ja kasvavuuden perusteella m p (E y ) = lim m p (K j,y ). Lebesguen monotonisen konvergenssin lauseen ja Vaiheen 3 nojalla m p (E y ) dy = lim m p (K j,y ) dy = lim m n (K j ) = m n (E). R q j R q j V A I H E 5 : Olkoot nyt puolestaan G G 2 rajoitettuja avoimia joukkoja ja asetetaan E = j G j. Olkoon K kompakti joukko ja G K. Tällöin ja Vaiheen 4 perusteella K \ E = K \G j j= R q m p (K y \ E y ) dy = m n (K \ E). Nyt R q m p (K y ) dy = m n (K), joten väite nähdään todeksi kirjoittamalla m n (E) = m n (K) m n (K \ E). V A I H E 6 : Oletetaan nyt, että E on rajoitettu mitallinen joukko. Approksimointilauseen. mukaan on olemassa sellaiset kompaktit joukot K j sekä avoimet rajoitetut joukot G j, että K K 2 E G 2 G ja lim j m n (K j ) = m n (E) = lim j m n (G j ). Asetetaan K := K j ja G := G j, j= j= jolloin K E G ja m(k) = m(e) = m(g). Vaiheiden 4 ja 5 perusteella m p (G y ) dy = m n (G) = m n (K) = m p (K y ) dy. R q R q

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 35 Vähentämällä nämä toisistaan saadaan R q {}}{ m p (G y ) m p (K y ) dy = m n (G \ K) =, joten m p (G y \ K y ) = melkein kaikilla y R q. Melkein kaikki joukot E y eroavat kompakteista joukoista K y vain nollamittaisella joukolla, joten E y on m p -mitallinen ja m p (E y ) = m p (K y ) melkein kaikilla y. Täten m p (E y ) dy = m p (K y ) dy = m n (K) = m n (E). R q R q Huomaa, että aiemmissa vaiheissa E y oli m p -mitallinen jokaisella y R q. V A I H E 7 : Todistuksen loppu nojaa suureksi osaksi seuraavaan havaintoon: jos jono (f j ) on kasvava eli f f 2 ja Lauseen väite pätee jokaiselle funktiolle f j, niin Lebesguen monotonisen konvergenssin lauseen perusteella se pätee myös funktiolle f = lim f j (harjoitustehtävä 35). V A I H E 8 : Nyt voimme päätellä, että väite pätee funktiolle f = E, missä E R n on mielivaltainen m n -mitallinen joukko. Tämä seuraa suoraan Vaiheista 6 ja 7, kun asetetaan E k := E B(, k) ja määritellään kasvava jono f k := Ek. V A I H E 9 : Väite pätee yksinkertaiselle funktiolle f = k j= c j E j, sillä summa on äärellinen ja Vaiheen 8 tulosta voidaan soveltaa jokaiseen summattavaan erikseen. V A I H E : Lopulta voimme todeta, että väite pätee jokaiselle mitalliselle, einegatiiviselle funktiolle f : huomautuksen.2 mukaan funktio f voidaan esittää yksinkertaisten funktioiden raja-arvona, jolloin väite seuraa Vaiheista 7 ja 9. Tonellin lauseen välittömänä seurauksena saamme Fubinin lauseen. Lause 3.3 (Fubini). Olkoon f L (R n ). Tällöin funktio f y L (R p ) melkein kaikilla y R q, joten F(y) = f y (x) dx R p on olemassa melkein kaikilla y. Lisäksi F L (R q ) ja f (z) dz = F(y) dy. R n R q Todistus. Funktio f voidaan kirjoittaa ei-negatiivisten funktioiden erotuksena muodossa f = f + f ja voimme soveltaa Tonellin lausetta positiivi- ja negatiiviosiin erikseen. Viipaleet f + y ja f y ovat m p-mitallisia melkein kaikilla y R q, joten voimme asettaa G(y) := R p f y (x) dx ja H(y) := f + R p y (x) dx.

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 36 Tonellin lauseen mukaan funktiot G ja H ovat m q -mitallisia melkein kaikilla y. Lisäksi G(y) dy = f (z) dz ja H(y) dy = f + (z) dz. R q R n R q R n Molemmat integraalit ovat äärellisiä, joten G(y) < ja H(y) < melkein kaikilla y. Siis (x) dx < ja R p f y R p f + y (x) dx < melkein kaikkialla eli f y L (R p ). Nyt F(y) = H(y) G(y), joten F L (R q ) ja F(y) dy = H(y) dy G(y) dy R q R q R q = f + (z) dz f (z) dz = f (z) dz. R n R n R n Tonellin ja Fubinin lauseiden avulla moniulotteiset integraalit voidaan palauttaa yksiulotteisiksi iteroiduiksi integraaleiksi. Usein niitä käytetään kuitenkin peräkkäin: Seuraus 3.4. Olkoon f : R n [, ] mitallinen funktio. Jos edes yksi integraaleista f (z) dz, R n f (x, y) dx dy tai R q R p R p R q f (x, y) dy dx on äärellisenä olemassa, niin kaksi muutakin ovat olemassa ja ne ovat yhtäsuuria. Tällöin f L (R n ) ja integraaleille pätee f (x, y) dx dy = f (z) dz = R q R p R n R p R q f (x, y) dy dx. Usein haluamme kuitenkin laskea integraalin vain jonkin osajoukon yli koko avaruuden R n sijasta. Harjoitustehtävien 36 ja 37 perusteella myös tämä on mahdollista. 3.2. Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä Tarkastelemme seuraavaksi kahta esimerkkiä Tonellin ja Fubinin lauseiden käytöstä. Esimerkkejä 3.5: () Ensimmäisenä esimerkkinä osoitamme, että I := e x2 dx = π. On helppo nähdä, että integraali I suppenee, sillä e x2 > kaikilla x ja I xe x2 dx + e x2 dx + xe x2 dx <.

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 37 Koska kuvaus x e x2 on parillinen, niin I = 2 e x2 dx. Harjoitustehtävän 37 avulla voidaan kirjoittaa ( )( ) ( ) I 2 = e x2 dx e y2 dy = 4 e (x2 +y 2) dy dx. Tehdään sijoitus y = xs, jolloin dy = x ds. Fubinin lausetta käyttämällä saadaan I 2 4 = = 2 ( ) e (+s2 )x 2 x ds dx = + s 2 ds = 2 joten I = π, kuten väitimmekin. ( / arctan s = π 4, (2) Toisena esimerkkinä tarkastelemme integraalia e ax e bx dx, missä a, b >. x ) e (+s2 )x 2 x dx ds Huomataan aluksi, että integrandi voidaan kirjoittaa muodossa e ax e bx = x b a e xy dy, joten alkuperäinen integraali saadaan muotoon e ax e bx dx = x b a e xy dy dx. Nyt (x, y) e xy on jatkuvana kuvauksena mitallinen. Koska e xy >, niin Tonellin lauseen perusteella integrointijärjestystä voidaan vaihtaa: e ax e bx dx = x b a e xy dx dy = b a y dy = log( ) b a Fubinin lauseen oletus integroituvuudesta ei ole tarpeeton. Seuraavat esimerkit osoittavat, ettei integrointijärjestystä ole aina luvallista muuttaa. Esimerkkejä 3.6: () Tutkitaan integraalia Lasketaan aluksi x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy = = x 2 y 2 dy dx. (x 2 + y 2 2 ) x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy + x 2 + y 2 dy + 2y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy ( d y dy x 2 + y 2 ) dy.

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 38 Näistä jälkimmäinen voidaan laskea integroimalla osittain: ( d y dy x 2 + y 2 ) / y dy = x 2 + y 2 = x 2 + x 2 + y 2 dy x 2 + y 2 dy Siis x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy = x 2 +, mistä saadaan x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) dy dx = 2 x 2 + dx = / arctan x = π 4. Muuttujat x ja y ovat keskenänään antisymmetrisessä asemassa, joten x 2 y 2 dx dy = (x 2 + y 2 2 ) x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy dx = π 4. Huomaa, että vaikka tässä tapauksessa molemmat iteroidut integraalit x 2 y 2 dy dx ja (x 2 + y 2 2 ) x 2 y 2 dx dy (x 2 + y 2 2 ) ovat äärellisinä olemassa, niin ne eivät ole yhtäsuuria. Tämä ei kuitenkaan ole ristiriidassa Fubinin lauseen kanssa, sillä integraali ei suppene itseisesti (eikä funktio siten edes ole Lebesgue-integroituva): x 2 y 2 [ x (x 2 + y 2 ) 2 dy dx = x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy + = x dx x x 2 dx =, + y 2 x 2 ] (x 2 + y 2 ) 2 dy dx missä hakasulkeissa oleva summa voidaan laskea osittaisintegroinnilla. (2) Olkoon (δ k ) [,] sellainen jono, että = δ < δ 2 < δ 3 < < δ k < δ k+ < < ja δ k k. Olkoon lisäksi (g k ) sellainen jono jatkuvia funktioita, että supp g k (δ k,δ k+ ) kaikilla k =,2,... Määritellään ja g k (t) dt = [ f (x, y) := gk (x) g k+ (x) ] g k (y). k=

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 39 Harjoitustehtävänä 4 on osoittaa, että f on jatkuva lukuun ottamatta pistettä (, ), mutta f (x, y) dy dx = = Tämäkään ei ole ristiriidassa Fubinin kanssa, sillä ja siten f L ( [,] [,] ). f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy. (3) Olkoon Q := { (x, y) R 2 : x, y } karteesisen koordinaatiston I neljännes. Merkitään R := { (x, y) Q : x y x } ja S := { (x, y) Q : x 2 y x } ja asetetaan f = S R. Alueet R ja S on esitetty kuvassa 3.2. Koska kumpikaan joukoista R ja S ei ole äärellismittainen, niin f ei ole Lebesgue-integroituva. Kuitenkin funktio x, kun x g(x) = f (x, y) dy = x 2, kun x 2, kun x 2 on integroituva ja g(x) dx =. Vastaavasti funktio h(y) = f (x, y) dx on integroituva, mutta h(y) dy = = g(x) dx. y R S x Kuva 3.2: Alueet R ja S.

LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 4 Huomautus 3.7. Vaikka f on ei-negatiivinen, iteroidut integraalit ovat olemassa ja f (x, y) dx dy = R q R p R p R q f (x, y) dy dx, niin integraali R n f (z) dz ei välttämättä ole määritelty. Vastaesimerkkiä varten tarvitaan kuitenkin valinta-aksioomaa, sillä ongelma palautuu ei-mitallisten joukkojen olemassaoloon. Sierpinski todisti, että on olemassa sellainen ei-mitallinen joukko S R 2, että jokainen tason suora L sisältää korkeintaan kaksi joukon S pistettä (ks. [, s. 42]). Vastaesimerkiksi kelpaisi tällöin f = S. Emme kuitenkaan halua tämän syvemmin pohtia ei-mitallisten joukkojen eriskummallisuuksia.