DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden suora rataiseminen. Impulssivasteen hödntäminen Tilamuuttujaesitsen muodostaminen DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Ysinertainen esimeri Sisäänmeno u =, Aluehto - = Ulostulo =? 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Lineaariset, vaioertoimiset differenssihtälöt b b... b n n u n:nen ertaluvun vaioertoiminen, lineaarinen differenssihtälö. Jos sisäänmeno u =, htälö on homogeeninen, muutoin epähomogeeninen. Epähomogeenisen htälön rataisu on ahden osarataisun summa (h) ( h) ( p) rite = r arateristinen htälö (KY) 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Karateristinen htälö (KY) r n b r... b n n.. Ysinertainen reaalijuuri r i i C r m-ertainen reaalijuuri r i i C r C r C r... i i i 3 i C m m r i 3. Komplesinen juuripari a±jb i C a jb C a jb 5 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
REVIEW QUESTION Veroa uvaa. ertaluvun differenssihtälö Miäli 5 = /6, ono vaio A) B) C) 3 D) 4 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Veroa uvaa. ertaluvun differenssihtälöpari u 7u u 4 Mitä raja-arvoa sisäänmenon ja ulostulon suhde lähenee, un disreetti muuttuja rajatta asvaa, ts. lim u? 7 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Epähomogeenisen htälön sitisrataisu Perustuu viime ädessä ritsen ja erehdsen menetelmään. Usein sitisrataisu samaa muotoa, uin epähomogeeninen termi. Epähomogeeninen osa Yrite, vaio ()= D, vaio, vaio () = D cos ( ), sin ( ) () = D cos ( ) + D sin ( ) :n m:n asteen polnomi P() () = D m + D m- + + D m 8 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Oheisessa piirissä lähdevirta J muuttuu seunnin välein htälön J.8 J.8J. muaisesti. Määritä uormavastusen R L virta ajanhetellä 3 s, un R s = ja R L =. Lähdevirran aluarvot ovat J = A ja J =.8 A. 9 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Fissioreatiossa neutroni indusoituu 35 U:iin, jolloin snt 36 U, miä hajoaa bariumisi ja rptonisi. Joa :ssa reatiossa menetetään neutronia. Hallitsematon tilanne snt, miäli :nnen reation jäleen neutronien määrä on suurempi uin 4 765. Ono tilanne hallittu? DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Case - Fuusio DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
5 MW:n fuusioreatori ITER DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Superconductivit No resistivit! = T < T c No magnetic B = in sc. induction! material Meissner effect 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Kaupalliset suprajohteet LTS B NbTi Nb 3 Sn HTS T Bi- Bi-3 YBCO J MTS Kriittiset suureet MgB 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen T c ~ K T c ~ 8 K T c ~ 85 K T c ~ K T c ~ 9 K T c ~ 4 K
NbTi-johtimen poiileiaus 5 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Suprajohtavuuden energiasovellutuset Superconductivit & Energ Applications Enabling Technolog Replacing Technolog Pre - commercial stage SMES Fusion LTS technolog & HTS technolog Current limiter Flwheel Power transmission Transformer Mainl HTS technolog Electric machiner SMES LTS technolog 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Suprajohtavuuden magneettisovelluset 7 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Magnetic Resonance Imaging (MRI).5 T Superconducting magnets W at 4 K Non-magnetic regenerators >7 4 K crocoolers since 995 Cumulative number of MRI superconducting magnets sold Tumor 8 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Disreetti siöimpulssi,, Kun järjestelmän sisäänmeno on { saadaan ssteemin ulostulosi ns. impulssivaste {h }. Mitä tahansa sisäänmenoa vastaten, ulostulo on määritettävissä seisen sisäänmenon ja impulssivasteen onvoluutiosummana. 9 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Konvoluutiosumma Veron ulostulo Kun Jolloin siis j j j h u j h j u j j,, j j j h u.... jne h u h u h u h u h u h u Siis DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Konvoluutiosumma - tauluomenetelmä Veron sisäänmeno on luujono {u } = {,, 3, } ja impulssivaste luujono {h } = {,,, 3, }. Määritä veron ulostulo. h / u 3 3 h / u 3 3 3 3 3 6 6 9 3 4 4 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Konvoluutio - tauluomenetelmä h /u 3 3 3 3 3 6 6 9 3 4 4 6,3, 7,3,4,4,9, DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Lineaarisen, aiainvariantin prosessin sisäänmeno {, -3, } on aiheuttanut ulostulon {, -. -4, 4}. Prosessiin sötetään uusi sisäänmeno {a, a, a }, jolloin uusi mitattu ulostulo on {, 4, 7, 6}. 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
REVIEW QUESTION 3 Lineaarista, aiainvarianttia disreettiaiaista veroa uvaa oheinen lohoaavio. Ono ssteemi esplisiittinen vai implisiittinen? Määritä veron impulssivaste ja sitä ättäen ulostulo, un sisäänmenona on luujono {,, 3,, }. 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Impulssivasteen etsiminen Lähtöhtälö b... Yhtälön rataisu on h jos sisäänmeno u =. Kosa =, un >, impulssivaste h saadaan homogeenisen differenssihtälön rataisusta. b n n u Siis h C C... Cn i missä määrät arateristisen htälön juuresta. Kausaaliselle järjestelmälle h =, un <. Aluehdot h h jne. b b h h...... b b n n h h n n n b 5 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Määritä oheisen järjestelmän impulssivaste seä ssteemin ulostulo, miäli sisäänmeno on u, 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Tilamuuttujaesits Veron ns. tilamuuttujien avulla ssteemin on uvattavissa ensimmäisen ertaluvun differenssihtälöillä. Veron stabiilisuussmset ja mahdolliset taaisintennät on hahmotettavissa tilamuuttujaesitsen avulla. 7 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Tilamuuttujaesits (Cont.) x ( ) A x ( ) Bu ( ) ( ) C x ( ) Du ( ) 8 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Muodosta tilamuuttujaesits disreettiaiaiselle järjestelmälle, jota uvaa differenssihtälö 3u.5.5.5 3 9 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Tilamuuttujaesitsen rataisu ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D u C x B A x x ) ( ) ( () ) ( ) ( () ) ( Du m Bu C A x C A m Bu A x A x m m m m 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Stabiilisuus Tilamatriisin A ominaisarvot araterisoivat ssteemin stabiilisuutta. Ssteemi on ilman ohjausta stabiili, joss i Harjoitus: Verifioi llä esitett stabiilisuusehto. 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Muodosta oheista lohoaaviota uvaavan disreettiaiaisen järjestelmän tilamuuttujaesits. Ono ssteemi ilman ohjausta stabiili? Mitä raja-arvoa ssteemin ulostulo () lähest, un ja sisäänmeno u() = 3,. 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Luu - hteenveto Disreettiaiaista järjestelmää uvaa seuraava toisen ertaluvun differenssihtälö 3 4 u 3 cos Määritä ulostulo 3 olmella eri tavalla (suoraan, impulssivaste, tilamuuttujaesits) 33 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen