Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0 sis = magneettivuon tiheys Ampèren silmukan kohdalla d l = pituusalkiovektori Ampèren silmukassa SS = suljetun silmukan läpi kulkevat virrat C = Ampèren silmukan pituus -kentän kenttäviivojen piirtäminen Alla olevassa kuvassa on pitkän suoran virtajohtimen aiheuttamia - kenttäviivoja. -kentän suunta on määritetty oikean käden nyrkkisäännön avulla: Kun puristetaan johdinta oikealla kädellä ja peukalo osoittaa virran suuntaan, muut sormet osoittavat magneettikentän suuntaan.
Sivusta katsottuna -kenttäviivat näyttävät tältä: Χ Ampéren silmukan valinta ja piirtäminen kuvaan. Pitkille suorille johtimille valitaan suljetuksi Ampéren silmukaksi ympyrä. Alla olevassa kuvassa on edellä esitettyyn kuvaan lisätty Ampéren silmukka, jonka on r-säteinen ympyrä. r
Pituusalkiovektoreiden piirtäminen an. Pituusalkiovektorit ovat (Ampèren) silmukan suuntaisia. Alla olevassa kuvassa on edellinen kuva, johon on lisätty pituusalkiovektori. r Huomataan, että pituusalkiovektorit ovat Ampèren silmukan joka kohdassa samansuuntaisia -kenttävektoreiden kanssa. Ampèren lain vasemman puolen laskeminen. Ampèren lain vasen puoli lasketaan seuraavasti: C C C 2r Ampèren silmukan kohdalla -kenttä ja ovat yhdensuuntaisia. Ampèren silmukan kohdalla on vakio. Tuo integraali tarkoittaa pelkkää Ampèren silmukan pituutta. Ampèren lain oikean puolen laskeminen. Ampèren lain oikealla puolella oleva SS tarkoittaa Ampèren silmukan läpi kulkevia virtoja eli tässä tapauksessa pitkän suoran johtimen virtaa. Oikea puoli saadaan muotoon µ 0 Yhdistetään Ampèren lain vasen ja oikea puoli ja ratkaistaan yhtälöstä -kenttä. 0 2r 0 2r
Esimerkki 8.2: Johda pitkän suoran solenoidin sisällä vaikuttavan magneettikentän lauseke. Solenoidin pituus on L ja siinä kulkee virta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia: 0 Piirretään magneettikentän kenttäviivoja pitkän suoran solenoidin sisälle sis Valitaan Pitkälle suoralle solenoidille valitaan Ampèren silmukaksi suorakaide, jonka sivut ovat esimerkiksi a ja b. Lisätään suorakaide edellä esitettyyn kuvaan. a b
Piirretään an pituusalkiovektoreita a Lasketaan Ampéren lain vasen puoli Paloitellaan integraali na toimivan suorakulmion eri sivuille. Huomaa kuvasta, että sivut on numeroitu. 4 a 3 2
Sivu : 2 3 4 0 0 0 koska ja ovat yhdensuuntaisia vektoreita. Sivu 2: 0 koska ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 2 Sivu 3: 0 koska magneettikenttä on nolla solenoidin ulkopuolella. 3 Oletimme, että solenoidi on hyvin pitkä, joten magneettikentän kenttäviivat kaartavat hyvin kaukaa takaisin solenoidin toisesta päästä sisään. Sivu 4: 0 koska ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 4 Voimme nyt unohtaa sivut 2, 3, ja 4 ja keskittyä sivuun. a voitiin ottaa integraalimerkin eteen, koska se on vakio pitkän solenoidin sisällä. ntegraali kuvaa sivun pituutta. Ampèren lain vasen puoli on nyt laskettu. Lasketaan Ampèren lain oikea puoli Yhtälön oikealla puolella µ0 on tyhjiön permeabiliteetti ja SS Ampèren silmukan sisään jäävät virrat. Jos solenoidissa kulkee virta, silmukan sisään jää virrat n missä n on Ampèren silmukan sisään jäävien johdinkierrosten lukumäärä. Jos koko solenoidissa on N johdinkierrosta ja solenoidin pituus on L, a :n pituisessa solenoidin pätkässä on n = a N johdinkierrosta. L Ampèren lain oikea puoli on siis µ 0 SS = µ 0 a L N Yhdistetään oikea puoli ja vasen puoli ja ratkaistaan a a = µ 0 L N = µ 0N L
Esimerkki 8.3: Johda toroidin sisällä vaikuttavan magneettikentän lauseke. Toroidin säde on R ja siinä kulkee virta. Toroidissa in N johdinkierrosta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia: 0 Piirretään kuva toroidista ja sen sisälle magneettikentän kenttäviivoja Toroidin sisällä magneettikentän kenttäviivat ovat toroidin suuntaisia ympyröitä. Toroidin ulkopuolelle magneettikenttä ei pääse. sis Valitaan ja lisätään se edellä esitettyyn kuvaan Valitaan toroidin tapauksessa Ampèren silmukaksi ympyrä, jonka säde on R eli toroidin säde. R
Piirretään an pituusalkiovektoreita R Lasketaan Ampéren lain vasen puoli = = = 2πR ja ovat yhdensuuntaisia, joten niiden pistetulosta tulee. Lisäksi on vakio toroidin sisällä, joten se vodaan ottaa integraalimerkin eteen. ntegraali tarkoittaa pelkästään toroidin pituutta, joka on tässä tapauksessa 2πR. Ampèren lain vasen puoli on nyt laskettu. Lasketaan Ampèren lain oikea puoli Yhtälön oikealla puolella µ0 on tyhjiön permeabiliteetti ja SS Ampèren silmukan sisään jäävät virrat. Silmukan sisään jäävät virrat N missä N on Ampèren silmukan sisään jäävien johdinkierrosten lukumäärä. Ampèren lain oikea puoli on siis 0 sis 0 N Yhdistetään oikea puoli ja vasen puoli ja ratkaistaan 0N 2R 0N 2R Tämä on toroidin sisään jäävän magneettikentän lauseke.
Esimerkki 8.4: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on R-säteinen ympyrä. Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä r j j0, R missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j0 on vakio. Laske -kenttä johtimen sisäpuolella ja ulkopuolella a) käyttäen Ampèren lain integraalimuotoa, b) käyttäen Ampèren lain differentiaalimuotoa. Ratkaisu: