Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R.. reedman (Pearson, 212) 6. helmikuuta 217
Osa III Luku 11: Tasapaino ja elastuus
Tasapaino ja elastuus 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen 11.1 Tasapainoehdot kappaleessa käsitellään ehtoja, joilla kappale tai rakenne on tasapainossa (equilibrium). 11.2 Painopte Mitä tarkoitetaan kappaleen painopteellä ja miten se liittyy kappaleen vakauteen? 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Miten käsitellään tilanteita, josa kappale muuttaa muotoaan jännityksen, purtuksen, paineen tai leikkausvoiman vuoksi? Mitä tapahtuu kun kappaletta venytetään niin paljon, että sen muoto muuttuu tai se murtuu?
Tasapaino ja elastuus 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Laajempien rakenteiden, kuten erilaten rakennusten, siltojen, tikkaiden ja nostureiden pysyminen tasapainossa edellyttää voimien läksi vääntömomenttien vektorummien nollautumta kaiksa ossa kappaletta. Painovoiman aiheuttamaa vääntömomenttia käsitellään kohdtamalla se kappaleen painopteeseen. Todellet kappaleet eivät ole jäykkiä vaan elastia eli ne venyvät, taipuvat ja purtuvat voimien vaikutuksesta. Materiaalin sopiva elastuus on erittäin tärkeää sen sovellukselle (esim. lentokoneen siipi). Elastuuteen liittyvät suureet kuten rasitus, muodonmuutos ja kimmokerroin auttavat ennustamaan voimien aiheuttamia muutoksia oikesa materiaalesa. Ovatko roomalaen akveduktin holvikaaren kivet purtuneita vai venytettyjä vai kumpaakin?
11.1 Tasapainoehdot 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Hiukkanen on tasapainossa (equilibrium) inertiaalikoordinaattossa eli se ei ole kiihtyvässä liikkeessä, kun siihen kohdtuvien voimien vektorumma on nolla. Laajalla tai ojentuneella (extended) kappaleella se tarkoittaa, että massakeskipteellä ei ole kiihtyvyyttä, kun siihen kohdtuvien ulkoten voimien vektorumma on nolla. Tätä sanotaan ensimmäeksi tasapainoehdoksi (vektori- ja komponenttimuodossa): (11.1) x, y, z Kappaleella ei myöskään saa olla taipumusta pyöriä. ivan kuten ensimmäinen ehto perustuu Newton:in 1. lakiin, toinen ehto perustuu rotaatiodynamiikkaan. 11.1 taattet tasapainoehdot.
11.1 Tasapainoehdot 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Inertiaalikoordinaattossa tietyn pteen suhteen pyörimättömällä kappaleella ei ole impulssimomenttia tämän pteen suhteen. Jotta se ei myöskään ala pyöriä, impulssimomentin muutosnopeus pitää myös olla nolla eli kaikkien kappaleeseen vaikuttavien ulkoten vääntömomenttien vektorumman saman pteen suhteen pitää olla nolla. Koska jäykkä kappale ei saa alkaa pyöriä minkään pteen suhteen, kaikkien ulkoten voimien vääntömomenttien vektorumma minkä tahansa pteen suhteen täytyy olla nolla eli toinen tasapainoehto on: τ (11.2) Paikoillaan oleva kappale, jolle edellä mainitut kaksi tasapainoehtoa pätee, on staattessa tasapainossa (static equilibrium). Läksi nämä ehdot pätevät myös tasaessa, ei pyörivässä, translaatioliikkeessä olevalle jäykälle kappaleelle (esim. lentokone, jolla on vakio vauhti, suunta ja lentokorkeus). 11.1 taattet tasapainoehdot.
11.2 Painopte Luku 11: Tasapaino ja elastuus (Osa 1) 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Useimmsa tasapaino-ongelmsa yksi kappaleeseen vaikuttavta voimta on painovoima. Painon aiheuttama vääntömomentti voidaan aina laskea olettamalla, että koko gravitaatio kohdtuu kappaleen painopteeseen (center of gravity, cg). Tarkalleen ottaen gravitaation aiheuttama kiihtyvyys ja si painovoima pienenee korkeuden kasvaessa. Jos tätä ei huomioida painopte on sama kuin massakeskipte (center of mass, cm). Massakeskipteen koordinaatit hiukkasjoukolle m 1, m 2,... x cm m 1x 1 + m 2 x 2 +... m 1 + m 2 +... i y cm m iy i i m, z cm i jotka voidaan kirjoittaa vektoriyhtälönä: r cm m 1 r 1 + m 2 r 2 +... m 1 + m 2 +... i m iz i i m, i i m ix i i m i i m i r i i m i (11.3) (11.4) 11.2 Laajan kappaleen massakeskipte (center of mass, cm) ja painopte (center of gravity, cg).
11.2 Painopte Luku 11: Tasapaino ja elastuus (Osa 1) Kun oletetaan, että g on sama kaikille mielivaltaen muotoen kappaleen (kuva 11.2) hiukkasille, koko kappaleen kokonapaino on vektorumma suuresta määrästä samansuuntaia voimia w i m i g. Paikassa r i suhteessa origoon olevaan hiukkaseen kohdtuu si vääntömomentti: τ i r i w i r i m i g Ja kokonavääntömomentti saadaan summana kaikkien hiukkasten painovoiman vääntömomenteta: 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Eli painon kokonavääntömomentti saadaan kohdtamalla se massakeskipteeseen: τ r cm M g r cm w (11.5) Jos g on sama kaiksa kappaleen ptesä, kappaleen painopte on sama kuin massakeskipte. Tavallesti tämä on hyvä ja siksi yleensä käytössä oleva oletus (kuva 11.3). τ i τ i r 1 m 1 g + r 2 m 2 g +... (m 1 r 1 + m 1 r 1 +... ) g r cm ( ) {}}{ M i m i r i g m { i r i }}{ i i m m i g i i 11.3 Petronas tornin (452 m) alaosassa g on.14% suurempi kuin huipulla, joten painopte on 2 cm alempana kuin massakeskipte.
Painopteen löytäminen ja käyttö 11.2 Painopte 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Painopteen, kuten massakeskipteenkin, löytämeksi voidaan käyttää hyväksi kappaleen symmetriaa (esim. pallo, kuutio, sylinteri, jne.) Monimutkaempien kappaleiden tapauksessa ne voidaan määrittää erillten symmetrten osien (m 1, m 2,... ) painopteiden (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ),... kombinaationa. Kun kappale, johon graviteetti vaikuttaa, on tuettu tai riiputettu yhdestä pteestä, massakeskipte on aina suoraan tukipteen ylä- tai alapuolella. Jos painopte oli muualla, painovoimalla oli vääntömomentti tukipteen suhteen ja kappale ei oli pyörimen suhteen tasapainossa. Tätä voidaan käyttää määrittämään epäsäännöllen painopteen paikka kokeellesti (kuva 11.4). 11.4 Epäsäännöllen kappaleen painopteen määrittäminen.
Painopteen löytäminen ja käyttö 11.2 Painopte 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Myös useammasta pteestä tuetun kappaleen tasapaino edellyttää, että painopteen täytyy olla tukipteiden määräämään pinta-alan ylä- tai alapuolella (kuva 11.5). Mitä matalammalla painopte on ja mitä suurempi pinta-ala tukipteiden alla on, sitä vaikeammin kappale on kääntää. Esimerkiksi kaksijalkaet eläimet tarvitsevat suuremman jalkapinta-alan kuin nelijalkaet mutta myös erityyppiä tasapainoliikkeitä pystyssä pysyäkseen. 11.5 uton tasapaino.
Painopteen löytäminen ja käyttö 11.2 Painopte 11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Esimerkki 11.1: Lankulla kävely L 6. m pitkä ja M 9 kg massainen lankku lepää symmetresti kahden D 1.5 m etäyyydellä totaan olevan pukin päällä. Minkä massainen lapsi voi seoa lankun oikeassa päässä? Lankun painopte origossa x P, lapsi positiivella x-akselilla x T L ja oikea 2 pukki kohdassa x s D 2. Painopteen paikka: x cg M()+m(L/2) m L M+m M+m 2 Jotta systeemi pysyy juuri ja juuri tasapainossa, painopte täytyy olla oikean pukin päällä eli asetetaan x cg x s D 2 m L M+m 2 D ml (M + m)d 2 m M D 1.5 m (9 kg) 3 kg L D (6. 1.5) m Tulos ei riipu origon valinnasta, minkä voi testata asettamalle origon esim. oikean pukin kohdalle. Koska tasapainossa vääntömomenttien pitää olla tukipteen suhteen samat, aikuen, jolla on kaksinkertainen massa (6 kg), täytyy seoa tuen ja lankun pään puolivälsä. 11.6 Ongelman piirros.
11.1 Tasapainoehdot 11.2 Painopte 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmien ratkaeminen Jäykän kappaleen tasapainolle on vain kaksi perusehtoa: kappaleeseen kohdtuvien voimien sekä niiden minkä tahansa pteen suhteen laskettujen vääntömomenttien vektorummien pitää olla nollia. Ratkau helpottuu tapaukssa, josa voidaan käsitellä voimien kohdtumta yksittäeen xy-tasossa olevaan kappaleeseen. Tällöin z ehto voidaan unohtaa ja riittää tarkastella vain z-suuntaia vääntömomentteja: x, y τz (11.6) Vääntömomentti voidaan laskea minkä pteen suhteen tahansa mutta kaikki vääntömomentit on laskettava saman pteen suhteen. Referenssipte eli rotaatioakselin paikka kannattaa kuitenkin valita niin, että ratkau on mahdollimman yksinkertainen.
Varsin usein todellille kappaleille jäykän kappaleen idealoitu malli ei riitä vaan joudutaan huomioimaan voimien aiheuttamia kappaleen venymiä, kasaan painumia ja vääntymiä. Erityyppiin kappaleen muodonmuutoksiin eli deformaatioihin (deformation) liittyy jännitys eli rasitus () suure, joka kuvaa muodonmuutoksen aiheuttavien voimien suuruutta. Rasituksen aiheuttamaa muodonmuutoksen suhteellta suuruutta kuvaavaa suuretta kutsutaan usein venymäksi (). Mitä enemmän kappaletta venytetään tai purtetaan, sitä enemmän se venyy tai kuttuu. Kun rasitus ja venymä ovat riittävän pieniä, ne ovat suoraan verrannollia toiinsa ja vastaavaa verrannolluuskerrointa kutsutaan kimmokertoimeksi (elastic modulus), jonka määrittää Hooke:n laki: Jännitys Kimmokerroin (11.7) Venymä 11.12 Kolmen tyypptä jännitystä: (a) sillan kaapelit kokevat venytysjännitystä (tensile ), (b) sukeltajaan kohdtuu bulkki- eli tilavuusjännitys (bulk ) ja (c) sakset kohdtavat nauhaan leikkausjännityksen (shear ).
Venytysjännitys ja venymä Yksinkertaimmillaan elastuutta nähdään esim. langan venymenä, kun sen pätä vedetään. Kuvan 11.13 kappale (poikkipinta-ala on ja pituus l ) on venytyksessä (tension), kun sen pätä vedetään vastakkaiin suuntiin samansuuruella voimalla (kohtuorassa poikkipinta-alaan). Venytysjännitys (tensile ) määritellään voiman ja poikkipinta-alan suhteena: Venymä (tensile ) on kappaleen suhteellinen pituuden muutos eli se on aina puhdas, yksikötön, luku: Venymä l l l l l (11.9) Venytysjännitys (11.8) Jännityksen I yksikkö on sama kuin paineella eli pascal (1 Pa 1 N/m 2 ). Paine auton renkaassa on n. 3 kpa, kun taas teräskaapelin odotetaan kestävän n. 1 MPa venytysjännityksiä. Venytyksessä kuvan 11.13 kappale venyy l l + l pitueksi. Pituuden muutos l ei tapahdu vain kappaleen päsä vaan kappale venyy tasaesti kaikkialta. 11.13 Venytetty kappale muuttaa muotoaan vaikka nettovoima on nolla.
Kokeellinen havainto on, että riittävän pienillä venytysjännityksillä venymä on suoraan verrannollinen jännitykseen. itä vastaavaa kimmokerrointa sanotaan Young:in moduuliksi (Young s modulus): Y Venytysjännitys Venymä / l/l l l (11.1) Koska venymä on puhdas luku, Youngin moduulin yksikkö on sama kuin venytysjännityksellä (Pa N/m 2 ). en tyypilliä arvoja materiaaleille on Taulukossa 11.1. Mitä suurempi Y, sitä suurempi voima tarvitaan saman venymän aikaan saameksi.
Jos vetämen sijasta kappale on purtukssa (compression) eli siihen kohdtuu purtusvoima (compressive ), sen suhteellinen purtusmuodonmuutos eli purtuma (compressive ) määritellään samoin kuin venymä mutta l on eri suuntaan (kuva 11.14). Pienille purtusvoimille Hooke:n laki on voimassa ja monilla materiaaleilla Youngin moduuli on sama purtukselle kuin venytykselle. Komposiitti- eli yhdtelmämateriaalit (composite materials), kuten betoni ja kivi ovat poikkeus, sillä ne kestävät purtusta paremmin kuin vastaavaa venytysvoimaa. Vanhojen sivilaatioiden (Babylonia, ssyria, Rooma) rakennelmat tehtiin kivestä, joten ne piti suunnitella niin, ettei rakenteessa ollut venytysvoimia. Tämän vuoksi holvirakenteita käytettiin esim. sillosa ja ovenkarmesa, sillä nisä yläpuolinen materiaali purtaa holvikaaren kivet yhteen eikä niihin kohdtu venytystä. 11.14 Kappale purtukssa.
Usein kappaleihin kohdtuu sekä purtus- että venytysjännityksiä. Esimerkiksi pätään tuetun palkin yläosa kokee purtusjännityksiä, kun taas alaosa on venytyksessä johtuen palkin omasta painosta (kuva 11.15a). Koska palkin keskiosa ei tunne kumpaakaan, sillä voi olla pienempi poikkipinta-ala. Vääntymää aiheuttavan painovoiman minimoimeksi kappale tehdään mahdollimman kevyeksi samalla maksimoiden palkin ylä- ja alaosien poikkipinta-ala. Tuloksena saadaan I-palkki, jota käytetään usesa rakentesa (kuva 11.15b). 11.15 (a) Pätään tuettu palkki vääntyy. (b) I-palkin poikkileikkaus minimoi sekä painon että jännityksen.
Esimerkki 11.5: Vetojännitys ja muodonmuutos. Teräspalkin (taulukko 11.1: Y 2 1 1 Pa) pituus on l 2. m ja poikkipinta-ala.3 cm 2. e roikkuu toesta päästään ja sen toeen päähän on ripustettu jyrsin m 55 kg. Lasketaan palkin jännitys ja siitä seuraava suhteellinen pituuden muutos eli venymä sekä pituuden absoluuttinen muutos eli pitenemä. Yhtälöstä (11.8): Venytysjännitys (55 kg)(9.8 m/s 2 ) 3. 1 5 m 2 1.8 1 8 Pa Yhtälöstä (11.1): Venymä l Venytysjännitys l Y 1.8 1 8 Pa 2 1 1 9. 1 4 Pa Pituuden muutos: Pitenemä Venymä l (9. 1 4 )(2. m).18 m 1.8 mm Eli yli puolen tonnin massa saa ohuen terästangon venymään vain pari milliä, mikä kertoo teräksen jäykkyydestä (stiffness).
Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos Toin kuin edellä venytyksessä tai purtuksessa, sukeltajaan kohdtuva jännitysvoima (kuva 11.12b) on tasainen joka puolelta ja sitä kutsutaan bulkki- tai tilavuusjännitykseksi (bulk or volume ). en aiheuttama deformaatio on suhteellinen tilavuusmuutos (bulk or volume ). Kaasu tai neste kohdtaa upotetun kappaleen pintaan kohtuoran voiman ja paine (pressure) määritellään tämän voiman suuruutena pinta-alayksikköä kohti: p (11.11) Vaikka paine (I: [P ] 1 Pa, myös 1 ilmakehä eli 1 atm 1.13 1 5 Pa) kasvaa mentäessä syvemmälle nesteessä tai kaasussa, sen voidaan olettaa olevan sama pienehkön kappaleen kaikilla pinnoilla. Paine ei ole, kuten voima, vektoruure eli se ei riipu kappaleen orientaatiosta. 11.16 Kappaleeseen kohdtuva bulkkijännitys ja siitä seuraava suhteellinen tilavuuden muutos.
Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos Paineen muutos si toimii tilavuuden muutoksia aiheuttavana bulkkijännityksenä. itä vastaava suhteellinen muodonmuutos on pienen tilavuuden muutoksen V ja alkuperäen tilavuuden V suhde: uhteellinen tilavuusmuutos V V (11.12) eli laaduton suhdeluku kuten suhteellinen venytys ja purtuskin. Hooke:n lain ollessa voimassa paineen kasvaessa p p + p suhteellinen tilavuus muuttuu paineen muutokseen p verrannollesti ja muutosta vastaava kimmokerroin on tilavuuskimmokerroin eli nesteen kimmomoduuli (bulk modulus) bulkkijännitys B suhteellinen tilavuusmuutos p (11.13) V/V 11.16 Kappaleeseen kohdtuva bulkkijännitys ja siitä seuraava suhteellinen tilavuuden muutos.
Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos Miinusmerkki yhtälössä (11.13) tarkoittaa, että tilavuus pienenee kun paine kasvaa ja päinvastoin. B on positiivinen ja kiinteille aineille ja nesteille käytännössä vakio, kun painemuutokset ovat pieniä (kts. taulukko 11.1). Kaasuilla B sen sijaan riippuu lähtöpaineesta p. Kimmomoduulin käänteluku on kokoonpurtuvuus (compressibility): k 1 B V/V p 1 V V p (11.14) eli pieni (fractional) suhteellinen tilavuusmuutos paineen yksikkomuutosta p kohti ja yksikkö on Pa 1 (tai atm 1 ) Taulukossa 11.2 on useiden nesteiden kokoonpurtuvuuksia k. Materiaaleja, joilla on pieni kimmomoduuli tai siten suuri kokoonpurtuvuus, on helpompi purtaa kokoon tai tiivtää. Taulukko 11.2 Nesteiden kokoonpurtuvuuksia.
Bulkki- eli tilavuusjännitys ja muodonmuutos Esimerkki 11.6: Bulkki- eli tilavuusjännitys ja tilavuusmuutos. Hydrauliprässi sältää.25 m 3 (25 L) öljyä. Lasketaan öljytilavuuden pieneneminen, kun paine kasvaa p 1.6 1 7 Pa ( 16 atm). Öljyn kimmokerroin on B 5. 1 9 Pa ( 5. 1 4 atm). Kokoonpurtuvuus on si: k 1 B 2 1 11 Pa 1 2 1 6 atm 1 Ratkataan absoluuttinen tilavuusmuutos yhtälöstä (11.13): V v p B 8. 1 4 m 3.8 L (.25 m3 )(1.6 1 7 Pa) 5. 1 9 Pa Voidaan käyttää myös yhtälöä (11.14) ja vaihtoehtoesti eri paineyksiköitä: V kv p (2 1 6 atm 1 )(.25 m 3 )(16 atm) 8. 1 4 m 3 Negatiivinen V :n arvo tarkoittaa, että tilavuus pienenee kun paine kasvaa. Vaikka 16 ilmakehän paine on suuri, suhteellinen tilavuuden muutos on hyvin pieni: V 8. 1 4 m 3 V.25 m 3.32.32%
Leikkausjännitys ja muodonmuutos Kolmas jännityksen muoto on leikkausjännitys (shear ) kuten nauhan leikkauksessa saksilla (kuva 11.12c): toinen osa nauhasta pakotetaan alas toinen ylös, mikä aiheuttaa nauhan muodonmuutoksen. Kuva 11.17 esittää kappaleen muodonmuutosta, kun siihen kohdtuu leikkausjännitys. iinä samansuuruet mutta eruuntaet voimat kohdtuvat pinnan tangentin suuntaesti, kappaleen vastakkasa päsä. Leikkausjännitys määritellään pinnan suhteen tangentiaalen voiman ja kyseen pinta-alan suhteena: Tällöin kappaleen vastakkaet sivut liikkuvat totensa suhteen matkan x voiman suuntaan. (Kimmoinen) leikkausmuodonmuutos (shear ) määritellään poikkeaman x ja kappaleen poikittaen dimension (paksuuden) suhteena: Leikkausmuodonmuutos x h (11.16) Leikkausjännitys (11.15) 11.17 Kappaleeseen kohdtuva leikkausjännitys.
Leikkausjännitys ja muodonmuutos Leikkausmuodonmuutos on suhteellinen eli laaduton suure ja todelluudessa x on aina paljon pienempi kuin h. Jos voimat ovat tarpeeksi pieniä, Hooke:n laki on voimassa ja leikkausmuodonmuutos on suoraan verrannollinen leikkausjännitykseen. Tällöin (kimmoinen) leikkausmoduuli (shear modulus) määritellään: Leikkausjännitys Leikkausmuodonmuutos / x/h h x (11.17) Taulukko 11.1 sältää useita leikkausmoduuleita. Yleensä tietylle materiaalille leikkausmoduuli on alle puolet venytysjännityksen Young:in moduulta Y. Leikkaussuureet ovat olemassa vain kiinteille aineille, joilla on jokin tietty muoto. Niitä ei si ole olemassa nesteille ja kaasuille. 11.17 Kappaleeseen kohdtuva leikkausjännitys.
Leikkausjännitys ja muodonmuutos Esimerkki 11.7: Leikkausjännitys ja muodonmuutos. Patsaan messinkinen (Taulukko 11.1: 3.5 1 1 Pa) neliömäinen aluslevy (sivunpituus.8 m ja paksuus.5 cm) kokee leikkausvoimia maanjärtyksessä. Mikä on levyn leikkausmuodonmuutos ja siihen kohdtuva leikkausjännitys ja -voima, jos levyn reuna liikkuu pituussuunnassaan x.16 mm? Pinta-ala, johon tangentiaalinen leikkausvoima kohdtuu on nyt sivun pituus kertaa paksuus eli (.8 m.5 m).4 m 2. Kappaleen poikittainen dimensio on nyt h.8 m. Yhtälöstä (11.16) saadaan suhteellinen leikkausmuodonmuutos x h 1.6 1 4 m.8 m 2. 1 4 Yhtälöstä (11.17) saadaan leikkausjännitys leikkausmuodonmuutos (2. 1 4 )(3.5 1 1 Pa) 7. 1 6 Pa Yhtälöstä (11.17): x h (3.5 1 1 Pa)(.4 m 2 )(1.6 1 4 m).8 m 2.8 1 4 N Maanjärtyksen leikkausvoima vastaa kolmen tonnin massan painoa. Messingin leikkausmoduuli on suuri, mikä tekee sen muokkaamesta vaikeaa. Läksi levy on suhteellen paksu (.5 cm), joten levyn leikkausala on melko suuri ja tarvitaan merkittävä voima aiheuttamaan riittävä leikkausjännitys /.
Hooke:n laki, eli jannityksen ja venymän suora verrannolluus elastsa muodonmuutokssa, on voimassa vain pienillä voimilla. Tarkempi määritelmä on esitetty kuvassa 11.18, jossa on tyypillinen metallin (esim. kupari) jännitys-venymä käyrä. Hooke:n laki on voimassa ensimmäellä lineaarella osalla, msä suhteellinen venymä < 1% ja kulmakerroin on Young:in moduuli. e loppuu pteessä a, jossa jännitys on verrannolluusrajalla (proportional limit). Pteestä a pteeseen b Hooke:n laki ei ole enää voimassa mutta voimat ovat konservatiivia eli energia, jonka materiaalin venytykseen on käytetty palautuu täysin ja muodonmuutos on reversiibeli eli muoto palautuu takain, jos jännitys potetaan. Materiaalin sanotaan käyttäytyvän elastesti ennen ptettä b, jota sanotaan myöntymrajaksi (yield point) ja pte on jännityksen elastinen raja (elastic limit). 11.18 Tyypillinen jännitys-venymä diagrammi joustavalle metallille jännityksessä.
Materiaali jatkaa venymtään pteen b jälkeen mutta ei palaudu alkuperäeen pituuteensa vaan on alkuperätä pidempi (punainen viiva kuvassa 11.18). Materiaali on käynyt läpi irreversiibelin eli pysyvän muodonmuutoksen (permanent set). Materiaalin venymä kasvaa b pteen jälkeen varsin paljon pienellä jännityksellä kunnes se saavuttaa pteen d, jossa alkaa materiaalin murtuminen (fracture). Välillä b d materiaali muuttuu plastesti (plastic flow or plastic deformation), joka on si irreversiibeli muutos. Joustavilla (ductile) materiaaleilla (esim. meltorauta, soft iron) plastta muutosta voi tapahtua paljon mutta haurailla (brittle) materiaaleilla (esim. teräskieli) murtuminen tapahtuu pian elasten rajan jälkeen. 11.18 Tyypillinen jännitys-venymä diagrammi joustavalle metallille jännityksessä.
Vaikka vulkanoidun kumin venymä ei ole verrannollinen jännitykseen, 7-kertaeksi venytetyllä kumilla (kuva 11.19) tapahtuu elastinen palautuminen lähtöpituuteen. Kumi ei kuitenkaan palaudu samaa tietä alkutilanteeseen, vaan tapahtuu elastinen hyster (elastic hysteres). Materiaalin tekemä työ on palautuessa pienempi kuin työ joka sen venyttämeen tarvittiin, joten energiaa kuluu materiaalin säeen kitkaan liittyviin ei-konservatiiviin voimiin. uuren elasten hysteresiksen vuoksi kumi on hyvä absorboimaan värähtelyjä. Varsinaen murtuman synnyttämeen tarvittavaa jännitystä sanotaan murtojännitykseksi (breaking ), murtolujuudeksi (ultimate strenght) tai vetolujuudeksi (tensile strenght). Kahdella materiaalilla, jolla on samankaltaet elastet vakiot voi olla hyvin erilainen murtolujuus (taulukko 11.3). 11.19 Kumin jännitys-venymä diagrammi. Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat Mekaniikka, kirjaan: osa 2 UniversityTaulukko physics, 11.3 13 th Interna
11 11 11 11 UMMRY UMMRY equilibrium, two conditions must be satfied. irst, (11.1) CHPTER T vector sum of forces must be zero. econd, sum of (11.2) about any1) point CHPTER a T! (Osa 11: Tasapaino jatoelastuus 11.4 Ja nnitys, muodonmuutos ja torques about any Luku point must be zero. The torque due Á w E r " m r " m r " m 1 1(Osa 2 2) 2 3 3 Luku 11.5 Elastuus ja muovailtavuus weight of a body can be11: foundtasapaino by assuming ja elastuus Conditions for equilibrium: or a rigid body to be in r cm! a x a z CHPTER CHPTER m 1 + m 2 +a m 3y+ Á entire weight concentrated at center of gravity, y equilibrium, two conditions must be satfied. irst, (11.1) T T Conditions equilibrium: or of a rigid to be in (11.4) which at samefor point as center massbody if g has x y z a a a vector sum of forces must be zero. econd, sum of (11.2) two conditions must be11.1 11.4.) satfied. irst, (11.1) a T! about any point T same equilibrium, value at all points. (ee Examples torques about any point must be zero. The torque due to Ty vector sum of equilibrium: forces must be zero. econd, Á w Ex E Conditions forfor afound rigid body to beto inbesum "(11.2) Conditions a rigid body in of a xa mz3 r3a r 1 " m Tx!m1a about any point y z x 2 ry 2" a weight ofequilibrium: a body canor beor by assuming a r cm! torques about anyconditions point must be zero. Theirst, torque equilibrium, two must satfied. due T Tx equilibrium, two must becenter satfied. irst, to T + m (11.1) Á (11.1) m + m + entire weight conditions concentrated atbe of gravity, w y Ey E 3 3 r3 " Á m 1 r 11" m 22r 2 " m weight aforces body canbebe by assuming of vector sum ofof forces must zero. econd, sum of w vector sum of must befound zero. econd, sum any point T ra which at same point as center of mass if g has (11.2)!about about any point(11.2)á(11.4) cmt! at! m + m + m + entire weight concentrated at center of gravity, torques about any point must be zero. The torque due to 1 2 3 torques point must(ee be zero. The torque due to y E sameabout valueany at all points. Examples 11.1 11.4.) w r " Á " m r "m Á w T E 3 m r "(11.4) weight ofof a body canpoint be found assuming Ty which at bycenter of mass if g hasr! m 1 r 1 m 1 r 12 "2 m 2 r 23 " 3 3 Ex weight a same body can beasfound by assuming cm r! Á UMMRY CHPTER UMMRY cm m 1 + m 2 + m 3 + x entire weight concentrated at (ee center of gravity, same value at all points. Examples 11.1 11.4.) Á tress tress,, and Hooke s law: Hooke s law states that m 1 + m 2 + m(11.7) y entire weight concentrated at center of gravity, 3 + yt Ty Tx Ex (11.4) at same point as per center of massif g ha Elastic modulus E in elasticwhich deformations, (force area) which at same point as unit center of mass if g has kimmokerroin UMMRY UMMRY 11. luvun yhteenveto Tasapainoehdot: 11 T y Tx Ex Ey w T y x Ex w Veto- ja purtusja nnitys: T (11.4) same value (fractional at all points.deformation). (ee Examples 11.1 11.4.) Conditions for equilibrium: or a rigid body to be in proportional to The proa x a y a z same value at all points. (ee Examples 11.1 11.4.) equilibrium, two conditions must be satfied. irst, (11.1) a rigid body to be in portionality a z modulus. a x constant aycalled elastic vector sum of forces must be zero. econd, sum of (11.2) a T! about any point ust be satfied. irst, (11.1) T torques about any point must be zero. The torque due to m1 r1 " m2 r2 " m3 r3 " Á tress tress,, and Hooke s law: Hooke s law weight of astates body canthat be found by assuming ero. econd, sum of r cm!modulus (11.2)! about any point Elastic (11.7) m1 + m2 + m3 + Á entire weight concentrated at center of gravity, at in elastic deformations, (forcewhich per unit area) as centertrain be zero. The torque due to (11.4) at states same pointthat of mass if g has, tress and compressive : tensile tress, and Hooke s law: Hooke s law > l Á w E!! m 1 r 1 " mto2 r same value at The all points. (ee Examples 11.1 11.4.) 2 " m(fractional 3 r3 " proportional und by assuming deformation). pro Elastic modulus (11.7) r cm in! elastic force per unit area, (force fractional m>.+ per unit area) Y tress train Á l>l l m 1 deformations, +! m 3+called t center of gravity, tress,, and2 Hooke s law: Hooke s lawmodulus. states portionality constant elastic y that Elastic modulus (11.7) change inproportional length,, l>lto TheHooke s elastic modulus called (fractional deformation). pro.and T traintress law: Hooke s law (11.1) (11.4) he center of mass if g has intress, elastic deformations, (force per unit area)states The that Elastic modulus (11.7) Young sproportional modulus Y.toCompressive and modulus. are portionality constant called elastic ee Examples 11.1 11.4.) (fractional deformation). The pro- y T Tx w w y Ty Tx w EEy Tx w T Initial Ex state x l x x Ey Ey Dl in elastic deformations, (force per unit area) train Ty E defined portionality in same way. (ee Example 11.5.) tress tress,, and Hooke s law:x Hooke s law states that called elastic modulus. proportional to (fractional deformation). proandconstant compressive : The tensile >!modulus l '!(11.7) x Elastic ' Initial in elastic deformations, (force per train Y unit area) Tx state portionality called elastic force per unitconstant area,!>. modulus. fractional proportional to (fractional The pro- Ey deformation). l>l l and compressive : tensile > l w called! Initial! portionality constant called elastic modulus. change in length, l>l. The elastic modulus Y (11.1) l force and per compressive unit >. l state : fractional tensile 11.1)! > l>l! l l T area,y.compressive! Initial Young s modulus and are Y > l Initial force perand unit area, l>l fractional change in length, The elastic modulus called.: and compressive : tensile state Dl! >.! l! l l>l compressive tensile (11.1) > Y! Initial! defined in same way. (ee Example 11.5.) l force per unit area,! >. fractional ' state tress l>l Hooke s law states that change in length, l>l The elastic modulus length, called Y called (11.1) l Young s modulus Y. and are '.Compressive Dl force per unitmodulus area, fractional >. change in l>l The elastic modulus. Elastic (11.7) state 11.2)! ll l>l (11.1) l (force per unit area) Bulk : train Young s modulus Compressive andarea. Young s modulusare Compressive and are defined in length, insame way. (ee Example 11.5.) Pressure ay.fluid force per unit Dl! change in l>l modulus Y.called 'Dl. The elastic defined in same way. p (ee Example 11.5.) ' al deformation). The pro(11.11) (11.1) ' defined in same way. (ee Example 11.5.) l' Bulk pressure change, bulk are p, and ' Young s modulus Y. Compressive and l 'Dl elastic modulus. w Volume E Pressure 5 p l fractionaldefined volumeinchange, V>V The Example elastic modulus same way..(ee 11.5.) Vl ' p ' Bulk called bulk modulus, B. Compressibility, k, l (11.13) B in tensile V>V xreciprocal Bulk inka fluid unit :e! > l of bulk modulus: (ee! ' Pressure in a fluid Bulk force per unitarea. y zbulk: Initial!1>B. ' : Pressure force per area. a a a! p (11.11) Y y l Bulk pressure change, p, andpbulk (11.11) state sile fractional Example 11.6.) Volume l>l change, l p,(11.1) Bulk pressure and bulk Pressure 5 p irst, fractional volume change,. The elastic modulus V T Bulk : Pressure a (11.1) fluid force per area. V>V Tin ainfluid p lastic modulus called Bulk Volume ' 11.4) called unit bulkmodulus modulus, B. Compressibility, ' p p! k,! (11.13) B Bulk : volume Pressurechange, force per unit area. Pressure Pressure 5 p 5 fractional V>V elastic. The l (11.11) V Volume Bulk V>V reciprocal of bulk modulus: 1>B. (ee ' ive sum ofand are T! Bulk ' (11.11) Bulkabout pressure change, and bulk pk p, p Dl Bulk (11.2) any point pressure change, and bulk p, 5 p 1 Dp V called bulk modulus, B. Compressibility, k, Example 11.6.) Volume a (11.13) B Pressure p ' Example 11.5.) Volume fractional volume change, V>V elastic modulus. The modulus Pressure 5 p p '5 Pressure 5 Bulk : Pressure in V>V a fluid per V 'unit area. ' fractional change, Bulk V>V e due to! 'Volume. The reciprocal of modulus: k force elastic 1>B. (ee ' V p (11.11) 5 p 1 Dp Bulk p bulk V Tvolume called called modulus, y w pbulk ' Bulk bulk pressure and bulkk, p, bulk k, B B ' Emodulus: " m " mb.3compressibility, rb.3compressibility, "Á mexample 11.6.) - E- V>V (11.13)(11.13) xchange, 1 r 1reciprocal 2 rmodulus, 2bulk Bulk Volume 1>B. (eemodulus ' Bulk V>V Pressure 5'p' l reciprocal of of bulk modulus: k xk1>b. (ee volume change, V>V elastic. The r cm! fractional ' V' Pressure 5 p Á p Volume Bulk Example 11.6.) m 1 11.6.) + m m 3 +B. Compressibility, k, Example avity, called bulk modulus, 2 + (11.13) By 5 p 1 Dp V T Œ> Œ h Pressure 5 Œ>, hear hear : hear force per unit area,bulk ' ' x bulk Initial Pressure p p '5 reciprocal of k (11.4) 1>B. ' ' Volume T V>V Volume Œ(ee hear : hear force area, >, hear Emodulus: if g has for a force applied tangent to a surface. hear Œ> Œ h x>h x state Initial hear h y per unit! 5 p 1 Dp 5 p 1 Dp d force per unit area. V V dplacement x of oneside divided by transverse Example 11.6.) (11.17) ' for a force applied tangent to a surface. heardimension h.the elastic modulushear p w (11.11) x>h x h x ' state called shear 1 11.4.) p, and bulk Pressure 5 p '' Volume. (ee Example 11.7.) dplacement x of one side divided by modulus, transverse Volume Ty (11.17) ' ' Pressure 5 p >V. The elastic modulus Ex V 5 xp 1 Dp V p h. The elastic modulus called shear Bulk x Compressibility, k, dimension (11.13) B ' Œ> modulus,hear. (ee Example 11.7.) Œ h : hear force per unit area, Œ>, ' Bulk V>V : k 1>B. (ee Initial ' hear x The limits of Hooke s law: The proportional for which and ' Tmaximum limit yvalid.x>h for a : force applied tangent to a surface. hearœ proportional h state are proportional. Beyond limit, Hooke s law not The E > xh hear hear force per per unit area, >, hear h limit Œ> Œelastic Initial hear :hear hear force unit area, >, hear Œ Initial beyond which irreversible breaking, strength, w'occurs. The orœ ultimate Œ ' deformation a dplacement x of onetoside divided by Pressure 5transverse p for applied tangent hear state x>h x>h x (11.17) h at which material breaks.hear for aforce force applied tangentatosurface. a surface. hear Volume state x hear h x 5 p 1 Dp shear dimension h. The modulus called V dplacement x ofelastic one side dividedby transverse 11.7) (11.17) dplacement x of one side divided by transverse Œ> Œ (11.17) Œ>, hear : hear force per unit area, x h ' Initial modulus,.the (ee Example 11.7.) dimension h. elastic modulus called shear The limits of Hooke s law: The proportional limit maximum forhear which and x dimension h. The elastic modulus called shear ' for a force applied tangent to a surface. hear state h limitx>h modulus,. (ee Example 11.7.) are proportional. Beyond proportional limit, Hooke s law not valid. hear The elastic x modulus,. (ee xexample 11.7.) tress tes that dplacement of one side dividedoccurs. by The transverse (11.17) beyond whichmodulus irreversible deformation breaking, or ultimate strength, x Elastic h. The elastic modulus (11.7) called shear ea) dimension at which material > breaks. ŒExample Œ h11.7.) 359 orce per unit area, train hear Œ>, Initial modulus,. (ee The limits of Hooke s The proportional limit maximum for which and law: MRY Bulkki- eli tilavuusja nnitys: Á Leikkausja nnitys: Ja nnitys, muodonmuutos ja Hooke:n laki: surface. hear The prodivided by transverse Lantto us. lus Perttu called shear state hear x>h xproportional limith maximum The of Hooke s law: The which and limit arelimits proportional. Beyond proportional limit, Hooke s law notfor valid. The elastic valid. The limits of Hooke s law: The proportional maximum which and are proportional. Beyond (11.17) proportional limit,limit Hooke s law not The for elastic limit strength, Luentokalvot Mekaniikka, x beyond which irreversible deformation occurs. Thebreaking, or ultimate Hooke:n lain rajat: Verrannolluusraja (proportional limit) on suurin ja nnitys, jolla ja nnitys ja muodonmuutos viela vastaavat toiaan. en ja lkeen Hooke:n laki ei ole ena a voimassa. Elastuusrajaa (elastic limit) eli kimmorajaa suuremmilla ja nnityksilla materiaalsa tapahtuu palautumattomia muodonmuutoksia (irreversible deformations). Murtoja nnitys (breaking ) tai murtolujuus (ultimate strenght) on ja nnitys, jossa materiaali hajoaa. ' '' ' ' ' perustuvat kirjaan: osa 2 University physics, 13th Interna