Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus
Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio f: A B olisi hyvin määritelty, tulee sen kuvata jokainen lähtöjoukon A alkio yksikäsitteisesti arvojoukkoon V f B Funktiotyyppejä Polynomifunktio f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n Potenssifunktio f: R R, f x = x n Eksponenttifunktio f: R R +, f x = a x, missä a > 0, a 1 Logaritmifunktio f: R ++ R, y = f x = log a x, missä a > 0, a 1 2
Tällä luennolla Käänteisfunktio f 1 : Funktio f: A B, y = f x kuvaa y :n riippuvuutta x :stä Mikä on funktio f 1 : B A, x = f 1 y, joka kuvaa x :n riippuvuutta y :stä? Yhdistetty funktio g f : Funktio g: B C, z = g y, Jonka muuttuja y on jokin toinen funktio f: A B, y = f x, Voidaan esittää yhdistettynä funktiona g f: A C, z = g f (x) Raja-arvot ja jatkuvuus 3
Käänteisfunktio Esim. Kaukolämpölaskua y kulutuksen x funktiona kuvaa f: R + 20.30,, f x = 16.10x + 20.30 = y Jos lasku on 200, mikä oli kulutus? 16.10x + 20.30 = 200 x = 200 16.10 20.30 16.10 = 11.16 MWh Sama kysymys voidaan esittää mille tahansa laskulle y [20.30, ), jolloin saadaan kulutus x laskun y funktiona g: 20.30, R +, g y = y 16.10 20.30 16.10 = x Funktiota g kutsutaan funktion f käänteisfunktioksi, ja siitä käytetään merkintää f 1 4
Käänteisfunktion olemassaolo Luennolta 3: Jotta funktio f: A B olisi hyvin määritelty, tulee sen kuvata jokainen määrittelyjoukon alkio yksikäsitteisesti arvojoukkoon, eli 1. Jokaiselle x A pitää löytyä kuva y = f(x) V f 2. Jokaisen x A pitää kuvautua täsmälleen yhdelle arvojoukon alkiolle y = f(x) V f Jotta käänteisfunktio f 1 on olemassa, tulee samojen ehtojen toteutua myös sille 1. Jokaiselle y B pitää löytyä lähtöjoukon alkio x = f 1 y A f :n maalijoukon B on oltava arvojoukko V f 2. Jokaisen y B pitää liittyä täsmälleen yhteen lähtöjoukon alkioon x = f 1 (y) A f :n on kuvattava kaikki lähtöjoukon alkiot x A eri alkioiksi y o A o o f f 1 o V f o o o B o 5
Injektio, surjektio ja bijektio f: R R, f x = x 2 Funktio f on surjektio (onto), jos sen kuvat y täyttävät maalijoukon (eli arvojoukko = maalijoukko) Funktio f on injektio (one-to-one), jos se kuvaa kaikki lähtöjoukon alkiot maalijoukon eri alkioille. f: R + R +, f x = x 2 Funktio f on bijektio, jos se on sekä surjektio että injektio Käänteisfunktio on olemassa jos ja vain jos f on bijektio 6
Käänteisfunktion olemassaolo f: R R, f x = x 2 Esim. Funktiolla f: R R, y = f x = x 2 ei ole käänteisfunktiota, koska se ei ole Injektio: jotkin lähtöjoukon alkiot kuvautuvat samalle maalijoukon alkiolle, esim. f 1 = f 1 = 1 Surjektio: maalijoukkoon R kuuluu alkioita (kaikki negatiiviset luvut), joille mikään lähtöjoukon alkioista ei kuvaudu. f: R + R +, f x = x 2 Esim. Funktio f: R + R +, y = f x = x 2 on bijektio, eli sillä on käänteisfunktio 7
Tuttuja sovelluksia käänteisfunktiosta Esim. Kimmo lainaa 5000 5% nimellisellä vuosikorolla siten, että korkoa lisätään kuukausittain. Mikä tällöin efektiivinen vuosikorko p e? Efektiivinen vuosikorko nimellisen vuosikoron funktiona: p e = f p = 100 1 + p/12 12 100 100 f 5 = 100 1 + 5/12 100 12 100 = 5.116 Mikä nimellisen vuosikoron olisi oltava, jotta efektiivinen vuosikorko olisi 5%? Funktio f: R + R +, f p = 100 1 + p/12 100 Nimellinen korko efektiivisen koron funktiona saadaan käänteisfunktiolla p = f 1 p e : p = f 1 p e = 1200 12 100 on bijektio. 12 1 + p e 100 1 f1 5 = 4.889 8
Tuttuja sovelluksia käänteisfunktiosta Lääkeen valmistuksessa käytettävän bakteerikannan suuruutta B (kpl) ajan x (h) suhteen kuvaa funktio f: R R +, B = f x = 10 000 2 x. Kuinka paljon bakteereja on kolmen tunnin kuluttua? f 3 = 10 000 2 3 = 80000 Kauanko kestää, että bakteereja on 100 000 kpl? f: R R +, f x = 10 000 2 x on bijektio Kulunut aika bakteerien lukumäärän funktiona on käänteisfunktio f 1 B : R + R: B = f x = 10 000 2 x x = f 1 ln B ln 10000 B = ln 2 x = f 1 ln 100000 ln 10000 ln 10 100000 = = 3h 19min ln 2 ln 2 9
Käänteisfunktiopareja Lineaarinen & lineaarinen: y = f x = ax + b x = f 1 y = 1 a y b a Potenssifunktio & potenssifunktio (juurifunktio) y = f x = x n x = f 1 y = y 1 n = n y Eksponenttifunktio & logaritmifunktio y = f x = a x x = f 1 y = ln y ln a y = f x = a x Laitoksen nimi 10
Yhteenveto käänteisfunktiosta Funktio f: A B, y = f x kuvaa y :n riippuvuutta x :stä käänteisfunktio f 1 : B A, x = f 1 y kuvaa x :n riippuvuutta y :stä Käänteisfunktio f 1 on olemassa, jos f on injektio (one-to-one), eli kuvaa kaikki lähtöjoukon alkiot maalijoukon eri alkioille. f on surjektio (onto), eli f:n maalijoukko B on arvojoukko V f Käänteisfunktiopareja: Lineaarinen & lineaarinen: y = f x = ax + b x = f 1 y = 1 a y b a Potenssifunktio & potenssifunktio: y = f x = x n x = f 1 y = y 1 n = n y Eksponenttifunktio & logaritmifunktio: y = f x = a x x = f 1 y = ln y ln a 11
Presemo-kysymys Määritä funktion y = f x = 2x + 7 käänteisfunktio. 1. f 1 y = 1 y 7 2 2 2. f 1 y = 2y 7 3. f 1 y = 7 2 y 1 2 12
Yhdistetty funktio Esim. Kiinteistöyhtiö ostaa kaukolämpöeriä samaan konserniin kuuluvalta tehtaalta maksamalla kiinteän kuukauksimaksun 20.30 ja sen lisäksi 16.10 / MWh. Yhtiö myy kaukolämmön edelleen kuluttajille 50% korotettuun hintaan ja veloittaa käsittelymaksuna 25.00 kuussa. Kuinka paljon kuluttaja maksaa kuussa x MWh:n kulutuksesta? 1. Kiinteistöyhtiön tehtaalle maksama hinta y ostetun määrän x funktiona: f: R + 20.30,, y = f x = 16.10x + 20.30 2. Kuluttajan maksama hinta z kiinteistöyhtiön maksaman hinnan y = 16.10x + 20.30 funktiona: g: 20.30, 25,, z = g y = 1.5y + 25.00 Esimerkiksi 5 MWh:n kulutuksesta 1. Yhtiö maksaa tehtaalle f 5 = 16.10 5 + 20.30 = 100.80 ja 2. Kuluttaja maksaa yhtiölle g 100.80 = 1.5 100.80+ 25.00 = 176.35. 13
Yhdistetty funktio Kuluttajan maksama hinta z muodostuu vaiheittain: Ensin sisempi funktio f kuvaa määrän x muuttumisen kiinteistöyhtiön maksamaksi hinnaksi y, ja Sitten ulompi funktio g kuvaa yhtiön maksaman hinnan y kuluttajan maksamaksi hinnaksi z. Jos halutaan oikaista yhtiön maksaman hinnan y ohi, voidaan käyttää yhdistettyä funktiota g f x = g f(x) (Luetaan g pallo f ) Tässä esimerkissä g f x = g f(x) = 1.5f x + 25.00 = 1.5 16.10x + 20.30 + 25.00 = 24.15x + 55.45 f g Tehdas x R + (MWh) Kiinteistöyhtiö y = f x 20.30, ( ) Kuluttaja z = g y 25.00, ( ) g f 14
Yhdistetyn funktion käyttö 1. Sovelluksissa monet funktiot muodostuvat vaiheittain 2. Monet funktiot voidaan hahmottaa kahden tai useamman funktion yhdistettynä funktiona, mikä helpottaa esimerkiksi derivointia ja integrointia 15
Raja-arvot Esim. Funktiota f: R\ {0} R, f x = 1+x 2 1 ei ole määritelty x pisteessä x = 0, mutta Nollan välittömässä läheisyydessä näyttäisi pätevän f x = 2 Merkitään lim x 0 f(x) = 2: Funktion f raja-arvo pisteessä x = 0 on 2 16
Raja-arvo pisteessä x 0 Yleisesti: jos funktion f arvot f(x) lähestyvät arvoa a, kun x lähestyy arvoa x 0, Merkitään: lim f(x) = a x x0 Sanotaan: Funktion f raja-arvo pisteessä x = x 0 on a Esim. Määritä 2x lim 2 +x x 0 x 42x lim. x 2 2x. Ratkaisu: 2x2 +x = 2x + 1 1, kun x 0. x Ratkaisu: 42x = 2(2x) = 2, kun x 2. 2x 2x 17
Toispuoleiset raja-arvot pisteessä x 0 Esim. Funktiota f: R\ {0} R, f x = x ei ole x määritelty pisteessä x = 0, mutta se näyttäisi lähestyvän arvoa -1, kun x lähestyy nollaa vasemmalta puolelta 1, kunx lähestyy nollaa oikealta puolelta Merkitään lim f(x) = 1 f :n vasemmanpuoleinen raja-arvo on -1 x 0 f(x) = 1 f :n oikeanpuoleinen raja-arvo on 1 lim x 0+ Koska oikean- ja vasemmanpuoleiset raja-arvot ovat x erisuuret, raja-arvoa lim ei ole olemassa. x 0 x 18
Raja-arvot + ja pisteessä x 0 Esim. Funktio f: R\ {0} R, f x = 1 x 2 ei ole määritelty pisteessä 0, mutta Nollaa lähestyttäessä f x näyttäisi kasvavan rajatta kohti ääretöntä 1 Merkitään lim = x 0 x 2 19
Raja-arvot + ja pisteessä x 0 Esim. Funktiota f: R\ {0} R, f x = 1 x määritelty pisteessä 0, mutta ei ole Kun lähestytään nollaa vasemmalta puolelta, f x näyttäisi vähenevän rajatta kohti miinus ääretöntä 1 lim x 0 x = Kun lähestytään nollaa oikealta puolelta, f x näyttäisi kasvavan rajatta kohti ääretöntä 1 lim x 0+ x = + 20
Raja-arvo, kun x tai x Esim. funktio f: R\ {0} R, f x = 1 x Kun x, funktio näyttää lähestyvän 1 nollaa: lim = 0 x + x Kun x, funktio näyttää myös 1 lähestyvän nollaa: lim = 0 x x Yleisesti: lim x ± x 1 n = 0, kun n 1 21
Raja-arvojen määrittäminen Raja-arvon ja sen ominaisuuksien täsmällinen käsittely ja todistukset sivuutetaan tällä kurssilla Ns. selkeissä tapauksissa raja-arvo (ja sen olemassaolo) voidaan kuitenkin helposti määrittää Esim. Määritä lim 3x2 +1. x 2x 2 +2 lim 3x3. x 2x 2 +2 lim sin x. x Ratkaisu: 3x2 +1 Ratkaisu: = 3+ 2x 2 +2 3x 2+ 2 3 x 2 2 1 x 2 2+ 2 x 2 3 2, kun x x, kun x Ratkaisu: Raja-arvoa ei ole olemassa. 22
Raja-arvojen määrittäminen Hankalammissa tapauksissa kannattaa taulukoida funktion arvoja raja-arvoa koskevan hypoteesin tueksi Esim. Määritä lim x e 2x +8x 3 x +4x 2 e Taulukon ja kuvan perusteella lim 2x +8x = 0 x 3 x +4x 2 Täsmällisemmin: lim x e 2x +8x 3 x +4x 2 = lim x e x 1+ 8x e 2x 3 x (1+ 4x2 3 x ) e 3 x 0. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 23
Jatkuvuus Funktio on jatkuva, jos sen kuvaaja on katkeamaton, yhtenäinen käyrä. Täsämällisemmin: Oletetaan, että funktio f on määritelty pisteen x 0 ympäristössä. Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 2. Raja-arvo x 0 :ssa on olemassa 1. f on määritelty x 0 :ssa 3. Raja-arvo x 0 :ssa on sama kuin funktion arvo x 0 :ssa 24
Esimerkkejä pisteessä x 0 = 0 epäjatkuvista funktioista Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos 1. f on määritelty x 0 :ssa 2. Raja-arvo x 0 :ssa on olemassa 3. Raja-arvo x 0 :ssa on sama kuin funktion arvo x 0 :ssa 25
Jatkuvuus välillä (a,b) Funktio on jatkuva Avoimella välillä a, b, jos se on jatkuva kaikilla x (a, b) Suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva avoimella välillä a, b ja lisäksi lim f(x) = f(a) ja lim f(x) = f(b) x a+ x b lim x π tan x = 2 Esim. Funktio f: π 2, π 2 R, f x = tan x on Jatkuva avoimella välillä π, π 2 2 (määrittelyjoukossaan) lim x π tan x = 2 + Epäjatkuva suljetulla välillä [ π, π ], koska 2 2 funktiota ei ole määritelty pisteissä π, π. 2 2 26
Esimerkkejä määrittelyjoukoissaan jatkuvista funktioista Eksponenttifunktiot Polynomifunktiot Trigonometriset funktiot Potenssifunktiot Logaritmifunktiot 27
Yhteenveto raja-arvoista ja jatkuvuudesta Yleisesti: jos funktion f arvot f(x) lähestyvät arvoa a, kun x lähestyy arvoa x 0, Merkitään: lim f(x) = a x x0 Sanotaan: Funktion f raja-arvo pisteessä x = x 0 on a Toispuoleisia raja-arvoja merkitään lim f(x) = a ja lim f(x) = b x x 0 + x x 0 Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ), eli Funktio on määritelty pisteessä x 0 Raja-arvo x 0 :ssa on olemassa Raja-arvo x 0 :ssa on sama kuin funktion arvo x 0 :ssa 28
Presemo-kysymys Määritä raja-arvo lim x 2x 2 +x 2+3x 2. 1. 2/3 2. 1 3. 29