800346A Differentiaaliyhtälöt II. Martti Kumpulainen

8346A Differentiaaliyhtälöt II Martti Kumpulainen 6. maaliskuuta 214

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT II Kesto: 3 op. Luentoja 3 h, harjoituksia 16 h. Opintojaksossa tarkastellaan erikoisfunktioita, ortogonaalikehitelmiä ja integraalimuunnoksia, sekä sovelletaan niitä mallintamisessa käytettävien lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Sisältö: Erikoisfunktioista, esimerkkeinä Gammafunktio ja Besselin funktiot. Funktioavaruuksista, funktioiden sisätulo, ortogonaalisuus, ortogonaalipolynomit ja ortogonaalikehitelmät. Sovelluksina funktioiden esittäminen Fourier- sarjoina ja Sturm-Liouvillen reunaarvoprobleemat. Integraalimuunnoksista, mm. Laplace- ja Fourier-muunnokset. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, esim. lämpö- ja aaltoyhtälöiden sekä Laplacen yhtälön ratkaiseminen ortogonaalikehitelmien ja integraalimuunnosten avulla. Tarvittavat esitiedot: Lineaarialgebra I & II, Analyysi I & II sekä Differentiaaliyhtälöt I. i

Sisältö 1 Frobeniuksen menetelmä 1 1.1 Frobeniuksen menetelmä............................. 2 1.2 Ratkaisut säännöllisen erikoispisteen tapauksessa............... 3 1.2.1 Indeksiyhtälön ratkaisut reaaliset ja erisuuret............. 4 1.2.2 Indeksiyhtälön ratkaisut reaaliset ja yhtäsuuret............ 4 1.2.3 Indeksiyhtälön ratkaisut kompleksisia.................. 4 2 Erikoisfunktioista 6 2.1 Gammafunktio.................................. 6 2.2 Betafunktio.................................... 7 2.3 Besselin funktioista................................ 8 2.3.1 Besselin differentiaaliyhtälön ratkaisu.................. 8 2.3.2 Besselin funktioiden rekursiokaavat................... 11 2.3.3 Besselin funktioiden generoiva funktio.................. 12 2.3.4 Besselin differentiaaliyhtälön toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu 14 3 Ortogonaalikehitelmät funktioavaruudessa 16 3.1 Funktioavaruus.................................. 16 3.2 Funktioiden sisätulo ja normi.......................... 19 3.3 Ortogonaalisuus, suppeneminen......................... 2 3.4 Ortogonaalikehitelmät.............................. 22 ii

3.5 Ortogonaalipolynomeista............................. 23 3.5.1 Legendren polynomit........................... 23 3.5.1.1 Legendren polynomien generoiva funktio........... 26 3.5.2 Hermiten polynomit........................... 28 3.5.3 Lisätieto: ensimmäisen lajin Chebyshevin polynomit.......... 3 4 Fourier n sarjat 31 4.1 Määritelmiä.................................... 31 4.2 Fourier n kosini- ja sinisarjat........................... 33 4.3 Kompleksiarvoisen funktion Fourier n sarja................... 36 5 Sturm-Liouvillen ominaisarvo-ongelma 37 5.1 Sturm-Liouvillen differentiaaliyhtälö....................... 37 5.2 Singulaarisia Sturm-Liouvillen ominaisarvo-ongelmia............. 39 5.3 Besselin yhtälön reuna-arvo-ongelma...................... 4 6 Laplace-muunnos 41 6.1 Esimerkkejä ja olemassaololauseita....................... 41 6.2 Laplace-muunnoksen ominaisuuksia....................... 42 6.3 Käänteismuunnos ja konvoluutio......................... 43 6.4 Sovellutus lineaarisiin differentiaaliyhtälöihin.................. 45 7 Fourier-muunnos 46 7.1 Määritelmä ja ominaisuuksia........................... 46 7.2 Konvoluutio ja käänteismuunnos......................... 47 8 Toisen kertaluvun lineaarisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä 49 8.1 Johdanto...................................... 49 8.2 Lämpöyhtälö................................... 52 iii

8.2.1 Lämpöyhtälön johto........................... 52 8.2.2 Yksiulotteinen lämpöyhtälön ratkaiseminen muuttujien erottamismenetelmällä................................. 54 8.2.3 Kaksiulotteinen lämpöyhtä1ö...................... 57 8.3 Laplacen yhtälö.................................. 58 8.3.1 2-ulottoinen tapaus alueena suorakulmio................ 58 8.4 Aaltoyhtälö.................................... 6 8.4.1 Aaltoyhtälön johtaminen......................... 6 8.4.2 Värähtelevän kielen liikeyhtälön ratkaisu muuttujanerottamismenetelmällä.................................... 62 8.5 Aaltoyhtälön toinen ratkaisumenetelmä..................... 63 8.5.1 d Alembertin ratkaisu aaltoyhtälölle................... 63 9 Laplace- ja Fourier-muunnoksien käytöstä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa 67 9.1 Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Laplace-muunnoksen avulla........................... 67 9.2 Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Fourier-muunnoksen avulla............................ 7 1 Liite 73 iv

Luku 1 Frobeniuksen menetelmä Määritelmä 1.1. Funktio f on analyyttinen pisteessä a, jos sillä on muotoa f(x = a n (x a n = a o +a 1 (x a+a 2 (x a 2 +. n= oleva potenssisarjaesitys eräällä välillä (a r, a + r, r >. Määritelmä 1.2. 1. Piste a on yhtälön (1.1 y +p(xy +q(xy = säännöllinen piste, jos kerroinfunktiot p, q ovat analyyttisiä pisteessä a. 2. Piste on yhtälön (1.1 säännöllinen (heikko erikoispiste, jos funktiot P(x = (x ap(x, Q(x = (x a 2 q(x ovat analyyttisiä pisteessä a ts. jos yhtälö (1.1 voidaan esittää muodossa missä P ja Q ovat analyyttisiä pisteessä a. (x a 2 y +(x ap(xy +Q(xy =, 3. Ellei a ole yhtälön (1.1 säännöllinen piste, eikä säännöllinen erikoispiste, sanotaan sitä vahvaksi erikoispisteeksi. Esimerkki 1.3. Piste on Eulerin yhtälön säännöllinen erikoispiste. Esimerkki 1.4. Piste on yhtälön vahva erikoispiste. x 2 y +axy +by = x 2 y y by = Suorittamalla muuttujan vaihto x a = t eli x = a + t, saadaan a:n sijasta säännölliseksi erikoispisteeksi. Jatkossa voidaan siis olettaa, että a =. 1

1.1 Frobeniuksen menetelmä Oletetaan, että on yhtälön (1.2 x 2 y +xp(xy +Q(xy =, säännöllinen erikoispiste. Tällöin on olemassa sellainen R >, että (1.3 P(x = p n x n, Q(x = q n x n, x I = ( R,R. n= n= Frobeniuksen menetelmä yhtälön 1.2 ratkaisemiseksi Frobeniuksen menetelmä on seuraava 1. Valitaan yritefunktioksi y yleistetty potenssisarja (1.4 y = x r c n x n = c n x n+r, c, n= n= 2. sijoitetaan yritefunktio y ja yhtälön (1.3 sarjat yhtälöön (1.2, 3. määrätään eksponentti r ja kertoimet c n niin, että yhtälö (1.2 toteutuu. Koska funktioilla y ja y on potenssisarjaesitykset y = (r+nc n x n+r 1 = x r 1 (r+nc n x n, y = n= (r+n(r+n 1c n x n+r 2 = x r 2 (r+n(r+n 1c n x n, n= n= n= niin x 2 y = x r (r +n(r +n 1c n x n, n= ( n xp(xy = x r (r +nc n x n p n x n = x r (r+kc k p n k x n, n= n= n= k= ( n Q(xy = x r c n x n q n x n = x r c k q n k x n. n= n= n= k= Sijoittamalla nämä esitykset yhtälöön (1.2 saadaan [ ] n ( x r (r+n(r +n 1c n + (r+kpn k +q n k ck x n =. n= k= 2

Tämä yhtälö pätee kaikilla x (,R jos ja vain jos n ( (1.5 (r +n(r +n 1c n + (r +kpn k +q n k ck =, n =,1,... Kun n = ja yhtälö (1.5 jaetaan kertoimella c, saadaan (1.6 = r(r 1+p r +q = r 2 +(p 1r+q. k= Yhtälöä (1.6 kutsutaan yhtälön (1.2 indeksiyhtälöksi ja se määrää ne luvun r arvot, joilla yritefunktio (1.4 saattaa olla yhtälön (1.2 ratkaisu. Määritellään f kaavalla f(z = z(z 1+p z +q. Tällöin indeksiyhtälö (1.6 on yhtäpitävä yhtälön f(r = kanssa. Merkitsemällä lisäksi c n = c n (r, n =,1,..., saadaan yhtälö (1.5 muotoon eli (r+n(r+n 1c n (r+ ( n 1 ( (r+np +q cn (r+ (r+kpn k +q n k ck (r =, n 1 ( (1.7 f(r+nc n (r = (r+kpn k +q n k ck (r. k= Antamalla kertoimelle c (r määrätty arvo, saadaan muut kertoimet kaavasta (1.7, mikäli f(r + n kaikilla n = 1,2,... Voidaan osoittaa, että näin saatu sarja suppenee, kun < x < R. k= 1.2 Ratkaisut säännöllisen erikoispisteen tapauksessa Olkoon a yhtälön (1.8 (x a 2 y +(x ap(xy +Q(xy =, säännöllinen erikoispiste, ts. on olemassa sellainen R >, että P(x = p n (x a n, Q(x = q n (x a n, x I = (a R,a+R. n= n= Kappaleen 1.1 tuloksista seuraa: jos funktio y(x,r = (x a r c n (r(x a n c (r c, n= on differentiaaliyhtälön (1.8 ratkaisu, on r indeksiyhtälön (1.9 f(r = r(r 1+p r +q = ratkaisu, ja kertoimet c n (r, n = 1,2,... saadaan ns. palautuskaavasta n 1 [ ] n [ ] (1.1 f(r+nc n (r = (r+kpn k +q n k ck (r = (r+n kpk +q k cn k (r. k= k=1 3

1.2.1 Indeksiyhtälön ratkaisut reaaliset ja erisuuret Olkoot r 1 ja r 2 indeksiyhtälön (1.9 ratkaisut. Tällöin 1. funktio y 1 (x = y(x,r 1 on yhtälön (1.8 ratkaisu välillä (a,a+r ja yhtälön toinen ratkaisu y 2 voidaan määrittää seuravien ohjeiden perusteella 2. funktio y 2 (x = y(x,r 2 on y 1 :stä lineaarisesti vapaa (ei y 1 :n vakiokerrannainen differentiaaliyhtälön (1.8 ratkaisu välillä(a, a+r, jos toinen seuraavista ehdoista toteutuu (a r 1 r 2 ei ole kokonaisluku, (b r 1 r 2 = N on kokonaisluku ja palautuskaavan (1.1 oikea puoli on, kun r = r 2 ja n = N. 3. funktio y 2 (x = r (r r 2y(x,r r=r2 on yhtälön (1.8 ratkaisustay 1 lineaarisesti vapaa ratkaisu välillä(a,a+r, josr 1 r 2 = N on kokonaisluku ja palautuskaavan (1.1 oikea puoli ei ole, kun r = r 2 ja n = N. Edellä mainituissa tapauksissa y 1 ja y 2 muodostavat differentiaaliyhtälön (1.8 ratkaisujen perusjärjestelmän välillä (a, a + R. 1.2.2 Indeksiyhtälön ratkaisut reaaliset ja yhtäsuuret Olkoon r 1 indeksiyhtälön r(r 1+p r +q = kaksinkertainen juuri. Tällöin funktiot (1.11 y 1 (x = y(x,r 1 = (x a r 1 ja c n (r 1 (x a n, n= y 2 (x = r y(x,r r=r 1 = y 1 (xln(x a+(x a r 1 c n(r 1 (x a n muodostavat differentialiyhtälön (1.8 ratkaisujen perusjärjestelmän välillä (a,a+r. n= 1.2.3 Indeksiyhtälön ratkaisut kompleksisia Olkoon r 1 = α+iβ ja c n (r 1 = α n +iβ n, n N. Sijoittamalla nämä y(x,r 1 :n lausekkeeseen (1.11 saadaan y = y 1 +iy 2, missä [ y 1 (x = (x a α cos ( βln(x a α n (x a n sin ( βln(x a ] β n (x a n n= 4 n=

ja [ y 2 (x = (x a α cos ( βln(x a β n (x a n +sin ( βln(x a α n (x a ]. n n= n= Funktioty 1 jay 2 muodostavat differentiaaliyhtälön (1.8 ratkaisujen perusjärjestelmän välillä (a,a+r. 5

Luku 2 Erikoisfunktioista Matematiikan sovelluksissa esiintyviä (transkendenttifunktioita, jotka määritellään joko alkeisfunktioiden integraaleina tai 2. kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina sanotaan erikoisfunktioiksi. 2.1 Gammafunktio Määritelmä 2.1. Gammafunktio Γ määritellään ns. 2. lajin Eulerin integraalin avulla seuraavasti: (2.1 Γ(z = t z 1 e t dt, z C, Rez >. Kuva 1. Gammafunktion kuvaaja. Huomautus 2.2. Kaavassa (2.1 on positiivinen reaaliluku t korotettuna kompleksiseen potenssiin z 1, ja tällaisille lausekkeille pätevät tutut potenssin laskusäännöt (paitsi potenssin 6

potenssi. Yleensä kompleksisille potensseille eivät päde tutut potenssin laskusäännöt, sillä kompleksiluvun kompleksinen potenssi on moniarvoinen. Lause 2.3. Gammafunktiolle on voimassa 1. Γ(z +1 = zγ(z, Rez >, 2. Γ(z +n = (z +n 1(z +n 2 zγ(z, Rez >, n = 1,2,..., 3. Γ(n+1 = n!, n =,1,..., 4. Γ( 1 2 = π. Esimerkki 2.4. Laske Γ(n+ 1 2 Esimerkki 2.5. Esitä ( x n Gamma-funktion avulla. Lauseen 2.3 1-kohdasta seuraa, että (2.2 Γ(z = Γ(z +1. z Yhtälön (2.2 oikea puoli on määritelty myös, kun 1 < Rez <. Valitaan (2.2 Gammafunktion määritelmäksi edellä mainitussa yhdensuuntaisvyössä, sitten yhdensuuntaisvyössä 2 < Re z < 1 jne. (ks. Kuva 1, jossa x on reaalimuuttuja. Gammafunktiolle on voimassa Stirlingin kaava: (2.3 Γ(x+1 = ( 1 2πxx x e (1+ǫ x x, missä ǫ( 1 kun x. Lisäksi voidaan osoittaa, että x (2.4 Γ(zΓ(1 z = π sinπz, kun yhtälön molemmat puolet ovat määritellyt. 2.2 Betafunktio Määritelmä 2.6. Betafunktio määritellään kaavalla B(z,w = 1 Lause 2.7. Kun Rez > ja Rew >, niin t z 1 (1 t w 1 dt B(z,w = Γ(zΓ(w Γ(z +w. Todistus. Harjoitustehtävä. 7

2.3 Besselin funktioista Kaksi-ulotteinen aaltoyhtälö napakoordinaatteissa on (2.5 u tt = c 2 (u rr +r 1 u r +r 2 u θθ. Sijoittamalla u = R(rΘ(θT(t aaltoyhtälö (2.5 tulee muotoon T c 2 T = R R + R rr + Θ r 2 Θ. Koska edellisen yhtälön vasen puoli on muuttujan t funktio ja oikea puoli muuttujien r ja θ funktio, niin molempien puolien täytyy olla sama vakio, jota merkitään termillä µ 2. Tällöin sen oikea puoli voidaan kirjoittaa muotoon r 2 R R + rr R +µ2 r 2 = Θ Θ, joten edellisen yhtälön molempien puolien täytyy olla sama vakioν 2. Näin päädytään kahteen tavalliseen differentiaaliyhtälöön T +c 2 µ 2 T = ja Θ +ν 2 Θ =, jotka ovat tuttuja DYI-kurssilta, sekä yhtälöön (2.6 r 2 R (r+rr (r+(µ 2 r 2 ν 2 R(r =. Yhtälöä (2.6 voidaan yksinkertaistaa muuttujan vaihdolla sijoittamalla x = µ r. Tällöin sijoitetaan R(r = y(µr, R (r = µy (µr, R (r = µ 2 y (µr ja r = x µ yhtälöön (2.6 ja saadaan ( x 2µ 2 y (x+ x µ µ µy (x+(x 2 ν 2 y(x =, josta sieventämällä tulee yhtälö (2.7 x 2 y (x+xy (x+(x 2 ν 2 y(x =. Yhtälö (2.7 on ν:n kertaluvun Besselin differentiaaliyhtälö. Tämä yhtälö ja sen variantit esiintyvät monissa fysiikan ja insinööritieteiden ongelmissa, joihin liittyy ympyräsymmetria tasossa (annetun kiinteän pisteen suhteen symmetria tasossa. Tästä syystä sen ratkaisuja kutsutaan sylinterifunktioiksi, mutta niistä käytetään nimitystä Besselin funktiot. 2.3.1 Besselin differentiaaliyhtälön ratkaisu Tarkastelemalla Besselin yhtälöä (2.8 x 2 y +xy +(x 2 ν 2 y = 8

huomataan, että piste x = on sen säännöllinen erikoispiste (P(x = 1 = p ja Q(x = ν 2 +x 2 = q +q 2 x 2. Yhtälö ratkaistaan Frobeniuksen menetelmällä valitsemalla yritteeksi sarjan y = x r a k x k = a k x r+k, a. k= Sijoittamalla tämä yrite yhtälöön (2.8 ja sieventämällä saadaan k= (2.9 [(r +k 2 ν 2 ]a k x r+k + a k 2 x r+k =. k= k=2 Jotta sijoitettu yrite on ratkaisu, täytyy kerrointen toteuttaa seuraavat yhtälöt (2.1 (2.11 (2.12 (r 2 ν 2 a o = (k =, [(r+1 2 ν 2 ]a 1 = (k = 1, [(r+k 2 ν 2 ]a k +a k 2 =, kun k = 2,3,... Koska oletuksen mukaan a o, niin r = ±ν. Valitaan juuri r = ν. Tällöin yhtälö (2.11 tulee muotoon (2ν+1a 1 =, joten a 1 =, paitsi kun ν = 1/2. Vaikka ν = 1/2, voidaan valita a 1 = ja tämä ei aiheuta ongelmia jatkossa. Yhtälöstä (2.12 saadaan palautuskaava a k 2 (2.13 a k = (ν +k 2 ν = a k 2 2 k(k +2ν, k = 2,3,... Koska a 1 =, kaikki parittomat kertoimet ovat nollia eli a 2k+1 =, k =,1,2,... Parilliset kertoimet saadaan a :n avulla seuraavasti: a o a 2 = 2(2+2ν, a 2 a 4 = 4(4+2ν = a 2 4(2+2ν (4+2ν, ja yleisesti parillinen kerroin saadaan laskettua muotoon a 2k = ( 1 k a 2 4 (2k(2+2ν(4+2ν (2k +2ν (2.14 = ( 1 k a 2 2k k!(1+ν(2+ν (k +ν. Edellä esitetyssä ratkaisumentelmässä joudutaan hankaluuksiin vain tapauksessa ν on negatiivinen kokonaisluku tai puolikas negatiivisesta kokonaisluvusta. Jos ν = n, niin kertoimia a 2k ei voida laskea kaavasta (2.14, kun k n (nolla nimittäjässä, ja emme saa ratkaisua. Jos ν = n/2 ja n on pariton, niin kaavan (2.13 nimittäjässä termi k + 2ν on nolla, kun k = n. Tällöin kertoimia a 2k+1 ei voida laskea siitä, kun k (n 1/2. Jos yhtälöön (2.12 sijoitetaan ν = n/2, niin kertoimille a 2k+1 tulee arvo nolla, kun k =,1,...,(n 2/2 (a 1 =, ja lisäksi yhtälö a n = a n 2 pätee. Koska a n 2 =, niin voidaan valita a n = (jos valitaan a n, niin saadaan toinen ratkaisu. Tällöin y(x = a k= ( 1 k x 2k+ν 2 2k k!(1+ν(2+ν (k +ν 9

on Besselin differentiaaliyhtälön (2.8 ratkaisu, kun ν ei ole negatiivinen kokonaisluku. Valitaan vielä kerroin a. Gammafunktion ominaisuudesta Γ(z + 1 = zγ(z seuraa, että Γ(k +ν +1 = (k +ν (1+νΓ(ν +1. Valitsemalla ratkaisu y(x tulee muotoon a = 1 2 ν Γ(ν +1 (2.15 J ν (x = k= ( 1 k x 2k+ν. k!γ(ν +k +1( 2 Suhdetestin avulla voidaan osoittaa, että tämä sarja suppenee kaikilla x (ja myös, kun x = tapauksissa ν. Funktio J ν (x on 1. lajin Besselin funktio kertalukua ν. Kun ν = n N, niin k! = Γ(k +1 ja J n (x = k= ( 1 k!(n+k!( k x 2k+n. 2 MääritelläänJ n (x sijoittamallaν:n paikalle n kaavassa (2.15 (huom!1/(k+n! = 1/Γ(k+ n+1 =, k +n <, koska lim z m Γ(z = ±, m Z {}: J n (x = k= ( 1 k!( n+k!( k x 2k n ( 1 k+n x 2k+n. = 2 (k +n!k!( 2 k= Seuraus: J n (x = ( 1 n J n (x. Kuva 2. Besselin ensimmäisen lajin funktioiden J n (x kuvaajia, kun n =,1,...,5. Edellä tarkastellun perusteella seuraava lause pätee. 1

Lause 2.8. Besselin funktio y = J ν (x, ν, on Besselin yhtälön ratkaisu. x 2 y +xy +(x 2 ν 2 y = Edellinen lause voidaan todistaa myös suoraan Besselin funktion määritelmän (2.14 avulla. 2.3.2 Besselin funktioiden rekursiokaavat Lause 2.9. Besselin funktiot (2.16 J ν (x = toteuttavat seuraavat rekursiot (2.17 (2.18 (2.19 (2.2 (2.21 (2.22 aina, kun x ja ν R. k= ( 1 k x 2k+ν k!γ(ν +k +1( 2 d dx [x ν J ν (x] = x ν J ν+1 (x d dx [xν J ν (x] = x ν J ν 1 (x xj ν(x νj ν (x = xj ν+1 (x xj ν(x+νj ν (x = xj ν 1 (x xj ν 1 (x+xj ν+1 (x = 2νJ ν (x J ν 1 (x J ν+1 (x = 2J ν(x Todistus. Kaava (2.17. Koska k= d dx [x ν J ν (x] = d dx = k=1 k= ( 1 k x 2k 2 2k+ν k!γ(ν +k +1 = ( 1 k (2kx 2k 1 2 2k+ν k!γ(ν +k +1 k=1 ( 1 k x 2k 1 2 2k+ν 1 (k 1!Γ(ν +k +1, niin vaihtamalla summausindeksi k viimeisessä sarjassa k +1:ksi saadaan ( 1 k+1 x 2k+1 2 2k+ν+1 k!γ(ν +k +2 = ( 1 k x 2k+ν+1 x ν 2 2k+ν+1 k!γ(ν +k +2 = x ν J ν+1 (x. Kaavan (2.18 todistus on samanlainen: d dx [xν J ν (x] = d dx = k= k= k= ( 1 k x 2k+2ν 2 2k+ν k!γ(ν +k +1 = k= ( 1 k x 2k+2ν 1 2 2k+ν 1 k!γ(ν +k = xν J ν 1 (x, 11 ( 1 k (2k +2νx 2k+2ν 1 2 2k+ν k!γ(ν +k +1

koska Γ(ν +k +1 = (ν +kγ(ν +k. Poistamalla sulut kaavoista (2.17 ja (2.18 (suorittamalla derivointi kaavojen (2.17 ja (2.18 vasemmalla puolella saadaan νx ν 1 J ν (x+x ν J ν(x = x ν J ν+1 (x, νx ν 1 J ν (x+x ν J ν(x = x ν J ν 1 (x. Kertomalla ensimmäinen näistä yhtälöistä puolittain termillä x ν+1 ja toinen yhtälö puolittain termillä x ν+1 saadaan kaavat (2.19 ja (2.2. Vähentämällä kaavat (2.19 ja (2.2 puolittain saadaan kaava (2.21. Lopuksi laskemalla kaavat (2.19 ja (2.2 yhteen puolittain seuraa kaava (2.22. Harjoitustehtävän 2 nojalla (ν 2 = 1/4 J1(x = 2 2 πx sinx ja J 1 (x = 2 2 πx cosx. Kuva 3. Besselin funktioiden J n+ 1(x kuvaajia, kun n =,1,...,5. 2 Näiden ja lauseen 2.9 yhtälön (2.21-kohdan avulla voidaan määrätä J n+ 1(x, kun n Z. 2 Esimerkki 2.1. Määrää J5(x alkeisfunktioiden avulla. 2 2.3.3 Besselin funktioiden generoiva funktio Lukujonon (a n n= jäsenten a n generoiva funktio on potenssisarja a n z n. Esimerkiksi jonon (a n n=, a n = 1 aina, kun n N, generoiva funktio on ääretön geometrinen sarja f(z = z n = 1, z < 1. 1 z n= 12

Jos b n = 1/n!, kun n N, niin f(z = n= z n n! = ez on lukujonon (b n n= generoiva funktio, ja sitä esittävä potenssisarja suppenee kaikilla z:n arvoilla. Vastaavasti kahden muuttujan funktiota G : C R C sanotaan funktiojonon (g n n= generoivaksi funktioksi, jos on olemassa sellainen reaaliluku r > ja väli I R, joille (2.23 G(z, x = n= g n (xz n ja ko. sarja suppenee, kun < z < r, missä r on positiivinen vakio, aina, kun x on välin I piste. Toisin sanoen G(z, x voidaan kehittää Laurentin sarjaksi muuttujan z suhteen ja z n :n kerroin on funktiojonon (g n n= alkio g n (x aina, kun n = ±1,±2,. Jos (g n n= on polynomijono, niin G(z,x on Taylorin sarja muuttujana z. Lause 2.11. Besselin funktioiden jonolle (J n (x n= pätee (2.24 G(z, x = n= [ x J n (xz n = exp z 2( 1 ] z kaikilla x ja z. Todistus. Soveltamalla eksponenttifunktion sarjakehitelmää saadaan exp ( xz = 2 j= z j!( j x j ja exp 2 ( x = 2z k= ( 1 k ( x k. z k k! 2 Koska nämä sarjat suppenevat itseisesti (eksponenttifunktion suppenemissäde R =, niin ne voidaan kertoa keskenään ja tuloksena saatavassa tuplasarjassa summaus voidaan suorittaa järjestyksestä välittämättä, joten [ x exp z 2( 1 ] = exp z ( xz exp 2 ( x = 2z j,k= ( 1 k z j k ( x j!k! 2 j+k. Summataan nämä sarjat summaamalla ensi kaikki ne termit, joissa onz n eli asetetaanj k = n (j = k +n. Tällöin saadaan [ x exp z 2( 1 ] = z n= [ k= ( 1 k x ] 2k+n z k!(k +n!( n = 2 n= J n (xz n, koska 1/(k + n! = 1/Γ(k + n + 1 =, kun k + n < (huom! lim z m Γ(z = ±, kun m Z {}. Esimerkki 2.12. Osoita generoivan funktion avulla, että Besselin funktioille J n (x pätee seuraavaa. J n (x on parillinen, kun n on parillinen, ja pariton, kun n on pariton ts. J n ( x = ( 1 n J n (x, n =,1,2,... 13

Ratkaisu Koska ja G(z, x = exp [ x ( z 1 ] = 2 z n= J n ( xz n [ x ( G(z, x = exp z 1 ] [ x = exp ( z 2 z 2( 1 ] = G(x, z ( z = J n (x( z n = ( 1 n J n (xz n, n= n= niin J n ( x = ( 1 n J n (x, n =,1,2,... Kaavassa (2.24 z voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Erityisesti, jos valitaan z = e iθ, jolloin 1 2 (z z 1 = isinθ, niin (2.25 e ixsinθ = n= J n (xe inθ. Koska edellisen yhtälön molempien puolien reaaliosat ovat yhtäsuuret ja imaginaariosat ovat yhtäsuuret, niin cos(xsinθ = n= J n (xcos(nθ ja sin(xsinθ = n= Näitä hyväksi käyttäen voidaan johtaa ns. Besselin integraalikaava (2.26 J n (x = 1 π π cos(xsinθ nθdθ. J n (xsin(nθ. Tämän kaavan avulla voidaan osoittaa, että J n (x 1 aina, kun x R. Sama epäyhtälö pätee myös funktion J n (x kaikille derivaatoille ts. J (k n (x 1, kun k = 1,2,... 2.3.4 Besselin differentiaaliyhtälön toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu Frobeniuksen menetelmällä saatu indeksiyhtälön juurta r = ν vastaava ratkaisu (2.27 J ν (x = m= ( 1 m x 2m ν m!γ(m ν +1( 2 on lineaarisesti riippumaton ratkaisusta J ν (x, kun ν / Z. Näin ollen {J ν (x,j ν (x} on Besselin yhtälön ratkaisujen perusjoukko, kun ν / Z. 14

Lemma 2.13. Besselin funktioiden J ν (x ja J ν (x Wronskin determinantti on (2.28 W[J ν,j ν ](x = 2 πx sin(νπ. Jos ν Z, niin funktiot J ν ja J ν ovat lineaarisesti riippuvat, ja Besselin yhtälön toinen ratkaisu joudutaan määrittelemään toisin. Oletetaan, että ν ei ole kokonaisluku. Besselin toisen lajin funktio määritellään kaavalla (2.29 Y ν (x = cos(νπj ν(x J ν (x. sin(νπ Kun ν on kokonaisluku n, niin toisen lajin Besselin funktio määritellään raja-arvona cos(νπj ν (x J ν (x (2.3 Y n (x = lim Y(ν,x = lim Y ν (x = lim. ν n ν n ν n sin(νπ Kuva 4. Besselin toisen lajin funktioiden Y n (x kuvaajia, kun n =,1,...,5. Lause 2.14. Yhtälöllä (2.3 määritelty funktio on Besselin differentiaaliyhtälön x 2 y +xy +(x 2 n 2 y = ratkaisu ja joukko {J n (x,y n (x} on lineaarisesti riippumaton. 15

Luku 3 Ortogonaalikehitelmät funktioavaruudessa Lineaarialgebrassa tutkittiin milloin annettu vektori voidaan esittää lineaariyhdistelynä jonkin saman vektoriavaruuden vektorijoukon avulla. Ongelma on aina ratkeava, jos vektorijoukko on kyseisen avaruuden kanta. Vastaavaa ongelmaa voidaan tutkia myös funktioiden tapauksessa. Jos meillä on välillä J määritelty reaaliarvoinen funktio f ja samalla välillä määriteltyjen reaaliarvoisten funktioiden joukko {ϕ 1,ϕ 2,...ϕ n }, niin voidaanko funktio f esittää muodossa n f = a k ϕ k, k=1 missä a k, k = 1,2,...n, on reaaliluku? Yleisessä tapauksessa, jossa funktioiden ϕ k joukko on ääretön funktiojono (ϕ k k=1 edellä oleva summa korvataa äärettömällä summalla f = k=1 a k ϕ k = lim n (a 1 ϕ 1 + +a n ϕ n. Tämä tehtävä on mielekäs sellaisessa funktioavaruudessa, jossa on määritelty funktioiden lineaariset yhdistelyt ja suppeneminen. 3.1 Funktioavaruus Tarkastellaan vain reaalimuuttujan reaaliarvoisten funktioiden muodostamaa funktiojoukkoa. Määritelmä 3.1. Funktioavaruus on sellainen funktiojoukko F, jolla on seuraavat ominaisuudet 1. joukon F funktioilla on sama määritysjoukko W, 2. af +bg F aina, kun f, g F ja a, b R, 16

missä (af +bg(x = af(x+bg(x x W. Esimerkiksi joukossa W määritellyt jatkuvat reaaliarvoiset funktiot muodostavat funktioavaruudenf. Tätä avaruutta merkitään symbolillac(w (C(W = {f : W R f on jatkuva}. Funktioavaruus on siten vektoriavaruus, jonka alkioina ovat funktiot. Seuraavassa J on reaalilukuväli (se voi olla avoin väli (a,b R tai suljettu väli [a,b] R. Määritelmä 3.2. Funktio f : J R on paloittain jatkuva, jos (i sillä on vain äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä x 1,x 2,...,x n ja (ii jokaisessa välin pisteessä x k,k = 1,2,...,n, sekä oikean- että vasemmanpuoleiset rajaarvot f(x k = lim h +f(x k h ja f(x k + = lim h +f(x k +h ovat olemassa äärellisinä. Jos päätepiste a (vast. b on epäjatkuvuuspiste, edellytetään vain oikeanpuoleisen (vast. vasemmanpuoleisen raja-arvon olemassaolo. Tällöin merkitään f PC(J = {f : J R f on paloittain jatkuva}. Määritelmä 3.3. Funktio f : J R on paloittain säännöllinen, jos (i se on paloittain jatkuva ja (ii derivaattaf on olemassa ja jatkuva paitsi äärellisessä pistejoukossax 1,x 2,...,x N, jossa ovat myös funktion f epäjatkuvuuspisteet, ja toispuoleiset raja-arvot f (a+, f (b, f (x k ja f (x k + (k = 1,...,N ovat olemassa äärellisinä. Tällöin merkitään f PS(J = {f : J R f on paloittain säännöllinen}. Kuvan avulla tulkittuna: f on paloittain säännöllinen, jos sen kuvaaja on sileä käyrä paitsi pisteissä, joissa se voi hypätä (epäjatkuvuuskohta tai sillä on taitos (derivaatan epäjatkuvuuskohta. Esimerkki 3.4. Tutki ovatko seuraavat funktiot paloittain säännöllisiä:, kun 2 x < 1, a f(x = 3 x, 2 x 2, b g(x = x, kun 1 x < 1 1 x, kun 1 x 2 x+4, kun 2 x < 1 c h(x = x 3 x, kun 1 x < 1 sin(4πx, kun 1 x 2. 17

Funktioiden kuvaajat alla. Kohta a Kohta b Kohta c Esimerkki 3.5. JoukotPC(J japs(j ovat funktioavaruuksia japs(j PC(J. Näiden ja jatkuvien funktioiden avaruuden C(J lisäksi joukot ovat funktioavaruuksia. C n (J = {f : J R f (n on jatkuva}, L 1 (J = { f : J R f on integroituva ja L 2 (J = { f : J R f 2 on integroituva ja b a b a f(x dx < } ja f(x 2 dx < } 18

3.2 Funktioiden sisätulo ja normi AvaruudestaR n voidaan valita luonnollinen kanta, jonka avulla jokainen vektori voidaan esittää yksikäsitteisenä summana kantavektoreista kerrotuna reaalilukuvakioilla. Kantavektorien valinta voidaan tehdä avaruuden R n sisätulon avulla (siis kohtisuoruuskäsitteen avulla ja tulokseksi saatu vektorijoukko on pienin mahdollinen. Herää kysymys: voidaanko funktioavaruudessa F määritellä vastaava operaatio (jota kutsutaan myös sisätuloksi, jonka avulla voidaan valita sellainen funktiojoukko avaruudesta F, että sen avulla mahdollisimman moni avaruuden F funktio voidaan esittää mielivaltaisen tarkasti summana näistä funktioista reaaliluvuilla kerrottuna? Käsitteeseen mielivaltaisen tarkasti palataan seuraavassa kappaleessa. Tätä varten yleistetään sisätulon käsite funktioavaruudelle. Määritelmä 3.6. Funktioavaruuden F sisätulo on kuvaus, joka liittää jokaiseen avaruuden F funktiopariin (f, g reaaliluvun (f g, ja sillä on seuraavat ominaisuudet. Kaikilla f, g, h F ja a, b R 1. (f f ja (f f = jos ja vain jos f = θ (θ on nollafunktio, 2. (f g = (g f, 3. (af +bg h = a(f h+b(g h. Sisätulon ominaisuuksista 2 ja 3 seuraa, että 4. (h af +bg = a(h f+b(h g. Esimerkki 3.7. Yhtälö (3.1 (f g = J f(xg(xdx määrittelee sisätulon funktioavuuksissa C(J ja C n (J. Jos ne funktiot samaistetaan, jotka saavat eri arvoja vain äärellisellä määrällä muuttujan arvoja, niin edellinen yhtälö määrittelee sisätulon myös avaruuksissa PC(J, PS(J ja L 2 (J. Seuraavassa oletetaan, että F on funktioavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Määritelmä 3.8. Normi funktioavaruudessa F määritellään yhtälöllä (3.2 f = (f f, f F. Esimerkiksi sisätuloa (3.1 vastaava normi on ( f 2 = f(x 2 dx J 19 1 2.

Lause 3.9 (Schwarz in epäyhtälö. Kaikilla f, g F on (f g f g. Lause 3.1. Yhtälöllä (3.2 määritelty normi toteuttaa kaikilla f, g F ja c R ehdot 1. f ja = jos ja vain jos f = θ(= -funktio 2. cf = c f 3. f +g f + g (kolmioepäyhtälö. Huomautus 3.11. Lauseen 3.1 ehdot 1 2 toteuttaava normi : F R voidaan määritellä myös ilman sisätuloa. Esimerkiksi yhtälö f = sup{ f(x x J} määrittelee normin jokaisessa esimerkin 3.5 funktioavaruudessa, sekä myös avaruudessa B(J = {f: J R f on rajoitettu}. Lause 3.12. Normi f = (f f toteuttaa suunnikassäännön: (3.3 f +g 2 + f g 2 = 2 f 2 +2 g 2. Kääntäen, jos normi toteuttaa yhtälön (3.3, niin yhtälö määrittelee sisätulon. Huomautus 3.13. Lauseke (f g = 1 4 ( f +g 2 + f g 2 f 1 = J f(x dx määrittelee normin avaruudessa L 1 (J, mutta normi ei toteuta suunnikassääntöä. Näin ollen L 1 (J varustettuna normilla f 1 ei ole sisätuloavaruus. (Valitse J = [,1], f(t = t ja g(t = 1 t. 3.3 Ortogonaalisuus, suppeneminen Olkoon F funktioavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Määritelmä 3.14. Sanotaan, että funktioavaruuden F funktiot f ja g ovat ortogonaaliset, merkitään f g, jos (f g =. Funktioavaruuden F funktiojonoa (f n n=1 sanotaan ortogonaaliseksi, jos (f j f k =, kun j k. Lause 3.15 (Pythagoraan teoreema. Jos f g, niin (3.4 f +g 2 = f 2 + g 2. 2

Huomautus 3.16. Induktiolla (3.4 yleistyy muotoon f 1 + +f n 2 = f 1 2 + + f n 2, jos f j f k, kun j k. Lause 3.17. Jos jono (g k k=1 on ortogonaalinen ja f = n k= a kg k, niin a k = (f g k (g k g k = (f g k g k 2, k =,1,...,n. Olkoon F funktioavaruus, jossa on määritelty normi. Jos tarkastellaan kahta avaruuden R k vektoria a ja b, niin a b on pisteiden a ja b euklidinen etäisyys. Tämän perusteella on luonnollista määritellä, että vektorijono (a n suppenee kohti vektoria a jos ja vain jos a n a, eli a n a. Tästä johtuen funktiojonojen suppeneminen määritellään seuraavasti. Määritelmä 3.18. Funktioavaruuden F funktiojono (f n n=1 suppenee kohti F:n funktiota f, jos lim n f n f =. Tällöin merkitään lim n f n = f. Avaruudessa L 2 (J tämä tarkoittaa, että f n n f normin suhteen joss f f n 2 2 = J f(x f n (x 2 dx n, eli erotus f n f menee nollaan sopivan keskiarvon suhteen välillä J. Tästä ei seuraa pisteittäinen suppeneminen, eikä pisteittäisestä suppenemisesta seuraa suppeneminen normin suhteen (ks. Analyysi I:n luennot. Esimerkiksi olkoon J = [,1]. Jos määritellään { 1, kun x 1 n f n (x =,, muutoin, n = 1,2,..., niin f n 2 2 = 1 f n (x 2 dx = 1/n dx = 1 n, joten f n normin suhteen. Toisaalta f n ( = 1 kaikilla n, joten f n ei suppene pisteittäin kohti nollafunktiota. Jos määritellään g n (x = { n, kun < x < 1 n,, muutoin, n = 1,2,..., niin g n pisteittäin (g n ( = kaikilla n, ja jos x >, niin g n (x = aina, kun n > x 1. Toisaalta g n 2 2 = joten g n normin suhteen. 1 g n (x 2 dx = 1/n 21 n 2 dx = n,

Lause 3.19. Jos f n f tasaisesti välillä J, niin f n f normin suhteen. Todistus. Tasainen suppeneminen tarkoittaa, että on olemassa sellainen positiivisten reaalilukujen jono (M n, että f n (x f(x M n kaikilla x J ja M n, kun n. Tällöin f n f 2 2 = f n (x f(x 2 dx Mndx 2 = l(jmn, 2 J missä l(j on välin J pituus, joten f n f 2 menee nollaan, koska M n menee nollaan, kun n. Esimerkki 3.2. Olkoon F = B(J, f = sup f(x. Silloin x J f n n f joss sup f n (x f(x n joss x J j f n n f tasaisesti välillä J. 3.4 Ortogonaalikehitelmät Seuraavassa oletetaan, että F on funktioavaruus, jossa on sisätulon indusoima normi f = (f f. Määritelmä 3.21. Funktioavaruuden F ortogonaalinen kanta on sellainen F:n ortogonaalinen funktiojono (g k k=, että jokainen avaruuden F funktio voidaan esittää muodossa n f = a k g k = lim a k g k. n k= Lause 3.22. Jos (g k k= on F:n ortogonaalinen kanta ja f F, niin (3.5 f = a k g k, missä a k = (f g k (g k g k = (f g k g k, k =,1,... 2 k= Lisäksi on voimassa Parsevalin yhtälö f 2 = a 2 k(g k g k = k= k= a 2 k g k 2. k= Huomautus 3.23. Esitys (3.5 tarkoittaa sitä, että n lim a k g k f =. n k= Tästä ei seuraa, että sarjan k= a kg k (x summa olisi f(x jokaisella x J, mutta "melkein"jokaisessa pisteessä (Tätä selvitetään Analyysi III:n kurssilla tarkemmin. Sen vuoksi merkitään kaavan (3.5 sijasta myös (3.6 f(x a k g k (x, x J. Yhtäsuuruuden voimassaolo kaavassa (3.6, on tarkasteltava erikseen. k= 22

3.5 Ortogonaalipolynomeista Aloitetaan ortogonaalipolynomien tarkastelu hyödyllisellä aputuloksella. Lemma 3.24. Olkoon (p n n= on sellainen polynomien jono, että polynomin p n aste (merkitään deg(p n on tarkalleen n, n =,1,2,... Tällöin jokainen k-asteinen polynomi, k =,1,2,..., on polynomien p,p 1,...,p k lineaariyhdelmä. Todistus. Jos f on k-asteinen polymomi, valitaan sellainen vakio c k, että polynomien f ja c k p k on potenssin x k kerroin on molemmissa sama. Tällöin polynomin f c k p k aste on k 1, ja voidaan valita sellainen kerroin c k 1, että polynomien f c k p k ja c k 1 p k 1 potenssin x k 1 kerroin on sama. Tällöin polynomin f c k p k c k 1 p k 1 aste on k 2. Jatkamalla samalla tavalla valitaan kertoimet c k 2,...,c, ja päädytään yhtälöön f k n= c np n =. Määritelmä 3.25. Painofunktio on välillä (a,b ( a < b määritelty jatkuva positiiviarvoinen funktio w, jolle b a w(xx n dx <, n =,1,2,... Määritelmä 3.26. Funktioavaruus PC 2 w(a,b on kaikkien välillä (a,b määriteltyjen ja sen jokaisella suljetulla osavälillä paloittain jatkuvien reaalifunktioiden f joukko, joille b a w(xf 2 (xdx <. Määritelmä 3.27. Painofunktion w suhteen ortogonaalinen polynomijono (ϕ n n= on sellainen joukko funktioita ϕ n, että ϕ n on n:nnen asteen polynomi ja (ϕ n ϕ m = b a w(xϕ n (xϕ m (xdx =, joss n m. Lause 3.28. Polynomijono (ϕ n n=, joka on ortogonaalinen painofunktion w suhteen äärellisellä välillä (a,b, on funktioavaruuden PC 2 w(a,b ortogonaalinen kanta. Lauseen 3.28 mukaan on jokaisella funktioavaruuden PCw(a,b 2 funktiolla f sarjakehitelmä f(x c n ϕ n (x, c n = (f ϕ b n (ϕ n= n ϕ n = w(xf(xϕ a n(xdx b w(xϕ a n(x 2 dx. Seuraavissa kolmessa kappaleessa on esimerkkejä ortogonaalisista polynomijonoista ja sarjoista. 3.5.1 Legendren polynomit Määritelmä 3.29. Legendren polynomit määritellään Rodriguesin kaavalla seuraavasti: (3.7 P n (x = 1 d n 1 n. 2 n n! dx n(x2 P n on n:s Legendren polynomi. 23

Funktio (x 2 1 n on 2n-asteinen polynomi, jonka johtotermi (korkeimman potenssin termi on x 2n. Täten P n on polynomi, jonka aste on n. Neljä ensimmäistä Legendren polynomia ovat P o (x = 1, P 1 (x = x, P 2 (x = 1 2 (3x2 1, P 3 (x = 1 2 (5x3 3x, ja P 4 (x = 1 8 (35x4 3x 2 +3. Kuva 1. Legendren polynomien kuvaajia. Polynomin P n kertoimet voidaan laskea soveltamalla binomikaavaa lausekkeeseen (x 2 1 n ja sitten derivoimalla n kertaa. Lause 3.3. Kun n 2 on luvun n kokonaisosa, on 2 (3.8 P n (x = n 2 k= 2 n ( 1 k (2n 2k! k!(n k!(n 2k! xn 2k. Seuraus 3.31. P n (x on n:nnen asteen polynomi ja (3.9 P n ( x = ( 1 n P n (x. Seuraaviin tarkasteluihin tarvitaan vain johtotermin kerrointa (x:n korkeimman potenssin kerroin (3.1 P n (x = 1 d n + = 1 2 n n! dx n(x2n 2 n n! [(2n(2n 1 (n+1xn + ] = (2n! +, 2 n (n! 2xn missä pisteet ovat alemman asteen termit. Tutkitaan Legendren polynomien ortoganaaliominaisuuksia avaruudessa L 2 ( 1,1 painofunktion w(x 1 suhteen. 24

Lause 3.32. Legendren polynomit {P n } n= ovat ortogonaalisia avaruudessa L 2 ( 1,1, ja (3.11 P n 2 = 2 2n+1. Todistus. Todistuksen avain on huomata, että jos f on C (n -luokan funktio, niin (3.12 2 n n!(f P n = = 1 1 1 1 1 f(x dn 1 n dx = ( 1 n dx n(x2 f (n (x(1 x 2 n dx. 1 f (n (x(x 2 1 n dx Tulos on saatu osittaisintegroimalla n kertaa ja huomioimalla, että sijoitustermi on nolla jokaisessa vaiheessa, koska termin (x 2 1 n = (x 1 n (x+1 n derivaatat häviävät sijoituksissa x = 1 ja x = 1 kertalukuun n 1 asti. Jos f on polynomi, jonka aste on pienempi kuin n, niin f (n, joten (f P n =. Erityisesti, tämä pätee polynomeille P,P 1,...P n 1, joten (P m P n =, kun m < n. Jos m > n, niin samasta syystä (vaihtamalla n ja m keskenään pätee (P m P n =, kun m > n. Täten Legendren polynomit P n ovat ortogonaalisia avaruudessa L 2 ( 1,1. Jos valitaan f = P n, niin kaavan (3.1 nojalla joten f (n (x = (2n!n! 2 n (n! 2 = 1 3 5 (2n 1, P n 2 = 1 3 5 (2n 1 2 n n! 1 1 (1 x 2 n dx. Sijoittamalla x = y Beta-funktion kaavan (Harjoitusehtävä 5 b avulla edellinen integraali voidaan laskea ja 1 1 (1 x 2 n dx = 2 1 (1 x 2 n dx = 1 (1 y n y 1/2 dy = Γ(n+1Γ(1 2 Γ(n+ 3 2 = n! π Γ(n+ 3 2 = n! ( 1 2 (3 2 (n+ 1 2 = 2 n+1 n! 1 3 5 (2n+1, joten P n 2 = 1 3 5 (2n 1 2 n n! 2 n+1 n! 1 3 5 (2n+1 = 2 2n+1. Legendren differentiaaliyhtälö (1 x 2 y 2xy +n(n+1y = voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon [(1 x 2 y ] +n(n+1y =. 25

Lause 3.33. Jokaisella n N (3.13 [(1 x 2 P n(x] +n(n+1p n (x =. Todistus. Olkoon g(x = [(1 x 2 P n(x]. Koska polynomin P n aste on n 1, niin polynomin x 2 P n asteluku on n+1, joten polynomin g asteluku on n. Yhtälön (3.1 nojalla polynomin g johtotermi on (2n! d [ ] ( x 2 (nx n 1 = n(n+1 (2n! 2 n (n! 2 dx 2 n (n! 2 xn. Näin ollen polynomin g+n(n+1p n aste on n 1, joten lemman 3.24 nojalla se on lineaariyhdelmä polynomeista P,...,P n 1 : n 1 g(x+n(n+1p n (x = [(1 x 2 P n(x] +n(n+1p n (x = c k P k (x. Kertoimet c k voidaan laskea sisätulon avulla käyttäen hyväksi polynomien P k ortogonaalisuutta, ja c k = (g +n(n+1p n P k = (g P k+n(n+1(p n P k P k 2 P k 2 Tällöin (P n P k =, kun k < n, ja (g P k = 1 1 [(1 x 2 P n(x] P k (xdx, joka saadaan kaksi kertaa osittaisintegroimalla muotoon (g P k = 1 1 P n (x[(1 x 2 P k(x] dx, koska reunatermit häviävät (x 2 1 =, kun x = ±1. Integraalin sisällä oleva lauseke [(1 x 2 P k (x] on k-asteinen polynomi ja siten lineaariyhdelmä polynomeista P,...,P k. Jokainen näistä polynomeista on ortogonaalinen polynomin P n kanssa, joten kaikki kertoimet c k ovat nollia, kun k =,1,...,n 1. Näin ollen väite pätee. k= 3.5.1.1 Legendren polynomien generoiva funktio Samalla tavalla kuin Besselin funktioilla (J n myös Legendren polynomeilla (P n n= on generoiva funktio. Lause 3.34. Funktio (1 2xt + t 2 1 2 on Legendren polynomien P n (x, n R, generoiva funktio, ts. aina, kun 1 x 1 ja t < 1, niin P n (xt n = (1 2xt+t 2 1 2 = F(x,t. n= 26

Todistus. Määrätään ensin funktion Taylorin sarja origossa. Derivoimalla saadaan Täten missä Siten f(y = (1+y 1 2 = 1 1+y f (k (y = ( 1 2 ( 1 2 1 ( 1 2 k +1(1+y 1 2 k, k =,1,2,... f(y = k= f (k ( y k = k! c k y k, c k = ( 1 2 ( 1 2 1 ( 1 k +1 2 = ( 1k 1 3 (2k 1 k! 2 k k! = ( 1k 1 2 3 (2k 2 k k!2 4 (2k = ( 1k (2k!. 2 2k (k! 2 (3.14 f(y = (1+y 1 2 = k= k= ( 1 k (2k! 2 2k (k! 2 y k. Tämä sarja suppenee, kun y < 1. Oletetaan, että x 1 ja t < 2 1. Tällöin 2xt t 2 2 x t + t 2 < 1. Sijoitetaan y = 2xt+t 2 = t(t 2x yhtälöön (3.14: F(x,t = (1 2xt+t 2 1 2 = k= Soveltamalla binomikaavaa termiin (t 2x k saadaan (1 2xt+t 2 1 2 = = = k= k i= [ n= 2i n [ n/2 n= i= ( 1 k (2k! 2 2k (k! 2 t k (t 2x k. ( 1 k (2k! 2 2k (k! 2 k! i!(k i! tk+i ( 2x k i n = k +i ] ( 1 n i (2n 2i!(n i!( 1 n 2i 2 n 2i x n 2i t n 2 2n 2i ((n i! 2 i!(n 2i! ( 1 i 2 n (2n 2i! i!(n i!(n 2i! xn 2i ] t n = P n (xt n. n= Esimerkki 3.35. Osoita, että P n (1 = 1, P n ( 1 = ( 1 n, n N. Lause 3.36. Legendren polynomeille on voimassa palautuskaavat 27

1. (n+1p n+1 (x = (2n+1xP n (x np n 1 (x, n 1, 2. xp n(x P n 1(x = np n (x, n 1, 3. P n+1(x P n 1(x = (2n+1P n (x, n 1. Lause 3.37. Jos f C[ 1,1], on funktiolle f voimassa kehitelmä f(x = n= a n P n (x, a n = 2n+1 2 1 1 P n (xf(xdx, n N. Huomautus 3.38. Jos f on paloittain säännöllinen, pätee lauseen 3.37 tulos muualla paitsi epäjatkuvuuspisteissä. Legendren polynomit ovat ortogonaaliset painofunktion w(x 1 suhteen välillä ( 1, 1. Lisäksi (P n P n = 2 2n+1, joten jokaisella f PC2 w( 1,1 on Legendren sarjakehitelmä (3.15 f(x n= c n P n (x, c n = 2n+1 2 1 1 f(xp n (xdx. Lause 3.39. Jos f P S[ 1, 1], pätee kaavassa (3.15 yhtäsuuruus funktion f jatkuvuuspisteissä. Epäjatkuvuuspisteissä f(x on korvattava lausekkeella f(x++f(x. 2 3.5.2 Hermiten polynomit Hermiten polynomit määritellään kaavalla Ensimmäiset viisi Hermiten polynomia ovat H n (x = ( 1 n dn x2 e. dx ne x2 H (x = 1, H 1 (x = 2x, H 2 (x = 4x 2 2, H 3 (x = 8x 3 12x, H 4 (x = 16x 4 48x 2 +12. Niiden kuvaajat ovat seuraavalla sivulla. Yleisesti pätee joten e x2 H n (x = ( 1 n dn = d dx ne x2 dx [e x2 H n 1 (x] = e x2 [2xH n 1 (x H n 1(x], (3.16 H n (x = 2xH n 1 (x H n 1(x. 28

Kuva 2. Hermiten polynomien kuvaajia. Lause 3.4. Hermiten polynomit {H n } n= ovat ortogonaalisia painofunktio w(x = e x2 suhteen reaalilukujoukossa R, ja (3.17 H n 2 w = 2 n n! π. Todistus. Jos f on mikä tahansa polynomi, niin (f H n w = = f(xh n (xe x2 dx = ( 1 n f (n (xe x2 dx. f(x dn dx dx ne x2 Viimeinen edellistä yhtälöistä saadaan osittaisintegroimalla n kertaa ja ottamalla huomioon, että reunatermit häviävät, koska P(xe x2, kun x ± aina, kun P on polynomi. Jos f on polynomi, jonka aste on pienempi kuin n, ja erityisesti kun f = H m, m < n, niin f (n, joten (f H n =. Toisaalta, jos f = H n, niin f(x = (2x n + alemman asteen termit, joten f (n = 2 n n!, ja H n 2 w = 2 n n! e x2 dx = 2 n n! π. Voidaan osoittaa, että (H n n= on avaruuden L 2 w(r ortogonaalikanta (Ks. Folland s.185, ja se on myös avaruuden PCw(R 2 kanta (huom! PCw(R 2 L 2 w(r. Lisäksi jokaisella f PCw(R 2 on Hermiten sarjakehitelmä 1 (3.18 f(x c n H n (x, c n = 2 n n! e x2 f(xh n (xdx, π n= kun edellinen integraali on äärellinen, ja seuraava lause pätee. 29

Lause 3.41. Jos f PS(R ja integraali e x2 f(x 2 dx on äärellinen, niin yhtäsuuruus pätee kaavassa (3.18 jos f on jatkuva pisteessä x. Epäjatkuvuuspisteissä sarjan arvo on f(x++f(x. 2 Hermiten polynomeilla on generoivafunktio. Lause 3.42. Kaikilla x R ja z C pätee (3.19 n= H n (x zn n! = e2xz z2. Todistus. Lauseen todistus on Harjoitustehtävä 18. 3.5.3 Lisätieto: ensimmäisen lajin Chebyshevin polynomit Ensimmäisen lajin Chebyshevin polynomit saadaan lausekkeesta T n (x = cos(n arccosx = n 2 n= n!x n 2k (x 2 1 k, x ( 1,1 (2k!(n 2k! ja ne ovat ortogonaaliset painofunktion w(x = (1 x 2 1 2 suhteen välillä ( 1,1. Lisäksi { 1 T 2 (T n T n = n(x dx = π, n =, 1 1 x 2 π, n = 1,2,..., 2 joten jokaisella f PC 2 w( 1,1 on Chebyshevin sarjakehitelmä (3.2 f(x c 2 T (x+ c n T n (x, c n = 2 π n=1 1 1 f(xt n (x 1 x 2 dx. Lause 3.43. Jos f P S[ 1, 1], pätee kaavassa (3.2 yhtäsuuruus funktion f jatkuvuuspisteissä. Epäjatkuvuuspisteissä f(x on korvattava lausekkeella f(x++f(x. 2 Esimerkki 3.44. Määrää Chebyshevin sarjakehitelmä funktiolle f(x = x, x < 1. 3

Luku 4 Fourier n sarjat Fourier-sarjoja käytetään jaksollisten funktioiden tutkimiseen. Niiden avulla voidaan ratkaista tietyn tyyppisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, jotka mallintavat erilaisia luonnonilmiöitä. Näitä esiintyy muunmuassa sähkötekniikassa, optiikassa, signaalin- ja kuvankäsittelyssä sekä datan pakkaamisessa. Fourier-sarjan vahvuus on, että useimmille käytännön sovelluksissa tarvittaville funktioille voidaan kehittää Fourier-sarja, joka approksimoi tarkasti alkuperäistä funktiota myös epäjatkuvassa tapauksessa. 4.1 Määritelmiä Määritelmä 4.1. Funktion f P C[ π, π] Fourier n sarjaesitys määritellään kaavalla (4.1 f(x 1 2 a + (a n cosnx+b n sinnx, missä a n = 1 π (4.2 b n = 1 π π π π π n=1 f(xcosnxdx, n =,1,... f(xsinnxdx, n = 1,2,... Voidaan osoittaa, että funktiot { 1 2, cosnx, sinnx n = 1,2,... } muodostavat funktioavaruuden PC[ π,π] ortogonaalisen kannan sisätulon suhteen ja että (f g = π π f(xg(xdx ( 1 2 1 = π, (cosnx cosnx = (sinnx sinnx = π, 2 2 31

joten sarjakehitelmä (4.1,(4.2 seuraa luvun 3 tuloksista. Tarkemmin: Jos f P C[ π, π], niin π π [ f(x 1 2 a N ] 2 (a n cosnx+b n sinnx dx N. n=1 Parsevalin yhtälöstä seuraa: Jos f PC[ π,π], niin 1 π f 2 (xdx = 1 π π 2 a2 + (a 2 n +b 2 n. n=1 Pisteittäiselle suppenemiselle pätee seuraava tulos: Lause 4.2. Jos f: R R on paloittain säännöllinen välillä [ π,π ja jos sen jakso on 2π, niin funktion f Fourier n sarjan (4.1 summa on 1. f(x, jos f on jatkuva pisteessä x; 2. f(x +f(x+, jos f on epäjatkuva pisteessä x. 2 Esimerkki 4.3. Määrää funktion Fourier n sarja. f(x = {, π x <, x, x < π Ratkaisu. Lasketaan ensin kertoimet a n ; ja joten a n = 1 π π a = 1 π π πf(xdx = 1 π πf(xcosnxdx = 1 π π π xdx = xcosnxdx = π 1 π x2 2 = π 2, = 1 1 πn2(cosnπ 1 = 1, kun n = 1,2,..., πn 2(( 1n π 1 [ xsinnx cosnx ] π n n 2 2 a 2n = ja a 2n+1 =, kun n =,1,2,... π(2n+1 Samalla tavalla osittaisintegroimalla saadaan b n = 1 π = π πf(xsinnxdx 1 π xsinnxdx = π 1 [ xcosnx + sinnx ] π π n n 2 = 1 [ πcosnπ ] = ( 1n+1, kun n = 1,2,..., π n n 32

Funktion f Fourier-sarja on (4.3 f(x π 4 2 π n=1 cos(2n 1x (2n 1 2 + n=1 ( 1 n+1sinnx n. Kuva 1. Funktion f ja sen Fourier-sarjan alun (n = 8 kuvaajat. Koska f(x ajatellaan jatketuksi koko reaalilukujoukkoon 2π-jaksolliseksi funktioksi, niin lauseen 4.2 nojalla sarja (4.3 suppenee pisteessä x = π kohti arvoa 1 2 [f(π +f(π+] = π 2. Kun sarjaan (4.3 sijoitetaan x = π saadaan parittomien positiivisten kokonaislukujen käänteislukujen nelöiden summa n=1 1 (2n 1 = 1+ 1 2 3 + 1 2 5 + 1 π2 + = 2 72 8. Sama summa voidaan laske sijoittamalla x = sarjaan (4.3. Lukijalle jätetään tehtäväksi 1 laskea sarjan (4.3 avulla summa (Vastaus π2 n 2 6. n=1 4.2 Fourier n kosini- ja sinisarjat Seuraavaksi tutkitaan miten funktion f yksinkertaiset symmetriaominaisuudet vaikuttavat sen Fourier-sarjaan. Määritelmä 4.4. Funktio f: R R on 33

1. parillinen, jos f( x = f(x kaikilla x R. 2. pariton, jos f( x = f(x kaikilla x R. Lemma 4.5. Oletetaan, että f : ( a, a R, a >, on integroituva. 1. Jos f parillinen, niin a f(xdx = 2 a a 2. Jos f on pariton, niin a f(xdx =. a Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 4.6. Olkoon f paloittain jatkuva ja 2π-jaksoinen. f(xdx. 1. Jos f on parillinen, on funktion f Fourier n sarja muotoa f(x 1 2 a + a n cosnx, a n = 2 π n= π 2. Jos f on pariton, on funktion f Fourier n sarja muotoa f(x b n sinnx, b n = 2 π n=1 π f(xcosnxdx. f(xsinnxdx. Jos f :], π] R on paloittain jatkuva, niin se voidaan jatkaa aina joko parilliseksi tai parittomaksi funktioksi välille [ π, π] (suorita funktion jatko parilliseksi ja parittomaksi välille [ π,π]. Tällöin sen kosinisarja on ja sinisarja f(x 1 2 a + f(x a n cosnx, a n = 2 π n=1 b n sinnx, b n = 2 π n=1 π π f(xcosnxdx, f(xsinnxdx. Esimerkki 4.7. Määrää funktion f(x = x, π x π, Fourier n sarja. Ratkaisu. Koska f(x on parillinen funktio, kertoimet b n ovat nollia ja sen Fourier-sarja on kosinisarja. Lauseen 4.5 kohdan 1. nojalla a n = 2 π π x cosnxdx = 2 π π xcosnxdx. Kertoimen a arvo on helppo laskea ja a = π. Osittaisintegroimalla saadaan a n = 2 2 πn2(cosnπ 1 = 1, kun n = 1,2,..., πn 2(( 1n 34

joten 4 a 2n = ja a 2n 1 = π(2n 1 2, kun n = 1,2,... Koska funktion f(x 2π-jaksollinen jatke on jatkuva koko reaalilukujoukossa R, niin f(x = π 2 4 cos(2n 1x = π π (2n 1 2 2 4 ( cosx+ cos3x + cos5x +. π 3 2 5 2 n=1 Kuva 2. Funktion f ja sen Fourier-kosinisarjan alun (n = 8 kuvaajat. Tarkastellaan miten funktion Fourier-sarja saadaan määrättyä, kun se on määritelty välillä [ L, L] ja L π. Jos g P C[ L, L], niin merkitsemällä (4.4 x = πt ( Lx L, f(x = g = g(t, π x π, π saadaan funktio f P C[ π, π]. Suorittamalla funktion f Fourier n sarjaan (4.1 ja sen kertoimien lausekkeisiin (4.2 muunnokset (4.4, saadaan (4.5 g(t 1 [ ( nπt ( nπt ] 2 a + a n cos +b n sin, L L missä a n = 1 L b n = 1 L L L L L n=1 ( nπt g(t cos L ( nπt g(t sin L dt, n =,1,... dt, n = 1,2,... Koska yhtälön (4.5 oikea puoli on määritelty ja 2L-jaksoinen koko R:ssä, voidaan g korvata koko R:ssä määritellyllä 2L-jaksoisella jatkeella. Jos g on parillinen (vast. pariton, on sitä myös yhtälöllä (4.4 määritelty f, joten sarja (4.5 supistuu kosinisarjaksi (vast. sinisarjaksi. 35

4.3 Kompleksiarvoisen funktion Fourier n sarja Jos f: [ π,π] C on paloittain jatkuva, ovat funktion f Fourier n sarjan (4.6 f(x 1 2 a + (a n cosnx+b n sinnx kertoimet a n = 1 π b n = 1 π π π π π n=1 f(xcosnxdx, n =,1,... f(xsinnxdx, n = 1,2,... kompleksilukuja, sillä funktio f on muotoa f = u + iv ja π π f(xdx = π π u(xdx+i π π v(x dx. Eulerin kaavoista seuraa, että e ±iϕ = cosϕ±i sinϕ cosnx = 1 2 einx + 1 2 e inx, sinnx = 1 2i einx 1 2i e inx. Sijoittamalla nämä kaavaan (4.6 saadaan (4.7 f(x c n e inx, n= missä c = a 2, c n = 1 2 (a n ib n, c n = 1 2 (a n +ib n, n = 1,2,... Kertoimet kehitelmässä (4.7 saadaan myös osoittamalla, että funktiot g n (x = e inx, n =,±1,±2,... muodostavat ortogonaalisen jonon sisätulon (f g = π π f(xg(xdx suhteen. Siten c n = (f g n (g n g n = 1 π f(xe inx dx, n =,±1,±2,... 2π π 36

Luku 5 Sturm-Liouvillen ominaisarvo-ongelma 5.1 Sturm-Liouvillen differentiaaliyhtälö Ominaisarvotehtävä on lukijalle tuttu lineaarialgebran kurssilta. OlkoonA : V V,V = R n tai C n, on lineaarinen kuvaus. Luku λ (reaali- tai kompleksiluku on operaattorin A ominaisarvo ja vektori v sen ominaisvektori, jos Av = λv. Kaikkien sellaisten vektorien joukko, joilleav = λv,λon kiinteä luku, on avaruudenv aliavaruus ns. invariantti aliavaruus. Ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö det(a λi =. Invariantin aliavaruuden dimensio on aina pienempi tai yhtäsuuri kuin juuren λ kertaluku. Ominaisarvo, jonka kertaluku on yksi on yksinkertainen (degeneroitumaton. Seuraavassa tutkitaan ominaisarvoprobleemaa, joka liittyy differentiaalioperaattoriin L : C 2 (a,b C 2 (a,b. Avaruus C 2 (a,b on välillä (a,b kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvien reaaliarvoisten funktioiden avaruus. Lisäksi oletetaan, että nämä funktiot toteuttavat tietyt reunaehdot. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen muuttujien erottamismismenetelmällä johtaa ominaisarvotehtävään, joka voidaan ratkaista tässä luvussa tarkasteltujen menetelmien avulla. Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä (5.1 a (xy +a 1 (xy +a 2 (xy =. Kun yhtälö (5.1 kerrotaan puolittain lausekkeella saadaan yhtälö 1 a (x ep(x, missä P(x = (5.2 Ly = (py +qy =, missä p = e P ja q = a 2 a e P. a1 (x a (x dx, Yhtälöä (5.2 kutsutaan yhtälön (5.1 itseadjungoiduksi muodoksi. 37

Esimerkki 5.1. Besselin yhtälön x 2 y +xy +(x 2 α 2 y = itseadjungoitu muoto on Määritelmä 5.2. (xy + (x α2 y =. x 1. Differentiaaliyhtälöä (5.3 Ly +λry = (py +qy +λry =. kutsutaan Sturm-Liouvillen differentiaaliyhtälöksi. 2. Yhtälö (5.3 yhdessä reunaehtojen { B 1 (y = αy(a+βy (a =, α + β >, (5.4 B 2 (y = γy(b+δy (b =, γ + δ > kanssa on Sturm-Liouvillen reuna-arvoprobleema. 3. Jos Sturm-Liouvillen probleemalla (5.5 Ly = λry, B 1 (y =, B 2 (y =. on annettua lukua λ R kohti ei-triviaali ratkaisu y, sanomme, että λ on Sturm- Liouvillen reuna-arvo-ongelman (5.5 ominaisarvo ja y ominaisarvoa λ vastaava ominaisfunktio. 4. Sturm-Liouvillen reuna-arvo-ongelman (5.5 ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien ominaisarvojen ja ominaisfunktioiden määräämistä. Määritelmä 5.3. Ongelmaa (5.3,(5.4 sanotaan säännölliseksi, jos funktiot p, q ja r ovat jatkuvia välillä [a,b] sekä p(x > ja r(x > kaikilla x [a,b]. Esimerkki 5.4. Ratkaise ominaisarvoprobleema { y +λy =, λ R, y( = y(c = c >. Lause 5.5. Säännöllisen Sturm-Liouvillen probleeman eri ominaisarvoja vastaavat ominaisfunktiot ovat ortogonaaliset sisätulon suhteen. (u v = b a r(xu(xv(xdx, u, v F 38

Lause 5.6. Säännöllisen Sturm-Liouvillen reuna-arvoprobleeman (5.3,(5.4 ominaisarvot muodostavat kasvavan jonon, joka kasvaa rajatta, ts. λ 1 < λ 2 < < λ n <, ja lim λ n =. n Vastaavat ominaisfunktiot y n, n = 1,2,... ovat vakiota vaille yksikäsitteisesti määrätyt. Huomautus 5.7. Jos reunaehdot (5.4 korvataan jaksollisuusehdoilla, pätevät lauseiden 5.5 ja 5.6 tulokset muutoin, paitsi että samaa ominaisarvoa voi vastata useampi lineaarisesti vapaa ominaisfunktio. Sturm-Liouvillen reuna-arvoprobleeman ominaisfunktiot (y n n=1 muodostavat ortogonaalijonon painofunktion r(x suhteen avaruudessa C 2 (a,b. Jokainen funktio f C 2 (a,b voidaan kehittää sarjaksi tämän ortogonaalijonon avulla f c n y n. n=1 5.2 Singulaarisia Sturm-Liouvillen ominaisarvo-ongelmia Jos Sturm-Liouvillen ominaisarvo-ongelmassa 1. väli (a,b on ääretön tai 2. väli (a,b on äärellinen ja p(x tai r(x saa arvon tai ei ole määritelty päätepisteessä a tai b, niin ongelman (5.3 ratkaisu ei välttämättä ole määritelty pisteessä a tai b. Silloin vastaava reunaehto (5.4 joudutaan korvaamaan ehdolla, että ratkaisulla y ja sen derivaatalla y on äärellinen raja-arvo ko. päätepisteessä. Tällöin joudutaan ns. singulaariseen Sturm-Liouvillen probleemaan. Lauseiden 5.5 ja 5.6 tulokset pätevät myös eräille singulaarisille probleemoille. Seuraavassa esimerkkejä. Legendren ominaisarvo-ongelma { ((1 x 2 y +λy =, 1 < x < 1, ratkaisulla y ja sen derivaatalla y on äärelliset raja-arvot pisteissä ±1. Ominaisarvot ja vastaavat ominaisfunktiot: λ n = n(n+1, y n = P n (x n =,1,... 39