Vii Vii Vii 1
2 1. Mariisiksponnifunkio Hikki Apiola Sisälää Pkka Alsalon ja Timo Eirolan mariaalia myös. Viiiä TE Timo Eirola: Linaarialgbra, lunomonis EN EirolaNvanlinna: Diyhälösysmi, lunomonis LAODEGolubiskyDllniz: Linar Algbra and Dirnial Equaions, Ma-laioksn käsikirjaso: mona kappala. NaSa NaglSa: Sysms of di. qu. Suraavassa A on raalinn n n-mariisi, jonka alkio ova vakioia. Tarkoiuksnamm on rakaisa alkuarvohävä y Ay, y(0) y 0. Tavallisn dirniaaliyhälön y ay, y(0) y 0, rakaisu saadaan ksponnifunkion avulla muodossa y() y 0 a. Hrää kysymys, voiaisiinko myös dy-ryhmän y Ay rakaisu kirjoiaa suoraan muodossa y() X()y 0 sopivan ajasa riippuvan n n-mariisin X() avulla. Täsä olisi mm. s u, ä alkuarvohävän rakaisu saadaan samalla vaivalla kuin ylinn rakaisu. Sijoiaan ällainn yri yhälöön y Ay, jolloin saadaan X ()y 0 AX()y 0. Tämä ouuu, jos mariisill X() pä X () AX(). Alkuhdosa y(0) y 0 suraa lisäksi, ä X(0) I yksikkömariisi. Yhälön X () AX() ouavaan mariisiin X voidaan pääyä monlla ri avalla. Eräs mahdollisuus on siä mariisia X ponssisarjan avulla: kirjoiaan (formaalisi li ilman huola suppnmissa) X() X 0 + X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 +..., missä n n-mariisi X 0, X 1,... ivä riipu ajasa. Koska X(0) I, äyyy olla X 0 I. Lisäksi jon sijoiamalla yhälöön X () AX() saadaan X () X 1 + 2X 2 + 3 2 X 3 +..., X () X 1 + 2X 2 + 3 2 X 3 + A(I + X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 +... ) A + AX 1 + 2 X 2 +.... Vraamalla lauskkidn n (mariisi)kroimia, nähdään ä X 1 A, 2X 2 AX 1, 3X 3 AX 2 jn. Rakaismalla saadaan siis X 1 A, X 2 1 2 A2, X 3 1 3! A3 jn. Mariisin X() äyyy siis olla muooa X() I + A + 1 2 (A)2 + 1 3! (A)3 +.... Koska yhys avallisn ksponnifunkion sarjakhilmään on slvä, asaan suraava määrilmä. Määrilmä 1. Olkoon B n n-mariisi. Mariisiksponnifunkio B määrillään sarjakhilmällä B I + B + 1 2 B2 + 1 3! B3 +.... Ensimmäinn onglma on s, miä ämä sarjakhilmä arkoiaa. Jos khilmä kakaisaan (k + 1). rmin jälkn saadaan lausk I + B + 1 2 B2 + 1 3! B3 + + 1 k! Bk, joka on määrily kaikill nliömariisill B. Sarjakhilmän suppnminn arkoiaa yksinkraissi siä, ä jokainn ylläolvan mariisin alkio lähsyy iyä lukua, kun k. Voidaan osoiaa, ä näin odlla käy kaikill nliömariisill, ja sin B on hyvin määrily n n-mariisi. Tämä on harjoius 8 AV h. 6: Osoia, ä mariisiksponnifunkion sarjan suppn kaikilla nliömariisilla A. Tarvis kaha asiaa: 1) x 1 + x + x2 +... + 2! xn +... suppn kaikilla x R. n!
3 2) Yläraja-arvioa mariisin A k alkioill,joa pääs käyämään dllä olvaa sarjaa vrailusarjana kullkin alkiosarjall. Voi rajoiua mariisiin, jonka alkio ova samoja, koska sillkin asian ul pää, ja oisaala milivalaisn mariisin apauksssa saadaan yläraja-arvio korvaamalla kaikki mariisin alkio isisrvolaan suurimmalla. Käsil nsin mariisia E, jonka kaikki alkio ova ykkösiä, ylinn apaus palauuu ähän hlposi. Kooaan yhn A :n ominaisuuksia. Laus 1 1. O I, jos O on nollamariisi 2. I I, sillä I n I kaikilla n 3. jos D on lävisäjämariisi diag(λ 1,..., λ n ), niin D diag( λ1,..., λ n ). Syy: D k diag(λ k 1,..., λ k n ) d 4. d A A A A A (johdiin alussa!) 5. Alkuarvohävän y Ay, y(0) y 0, yksikäsiinn rakaisu on y() A y 0 6. Dirniaaliyhälöryhmän y Ay ylinn rakaisu on muooa y() A c, missä c c 1,..., c n T on vapaisa paramrisa c 1,..., c n muodosu vkori 7. A+B A B, jos AB BA, mua i ylnsä muulloin 8. A on aina käänyvä ja ( A ) 1 A. Tod: Kohda 1,2,3 ova varsin slviä. Kohdan 4. od. myös suoraan drivoimalla: EN Laus 2.2 s. 6. 5 ja 6 suraava suoraan drvoimiskaavasa 4. Huom! Rakaisun yksikäsiisyys voidaan odisaa samanin, arvismaa nojauua ylisn rakaisujn olmassaolo- ja yksikäsiisyyslaussn. (Ks. EN Laus 2.2) Koha 7 voidaan odisaa aivan kun sarjojn krominn raaliluvuilla (TE Laus 4.20). Vaihohoinn odisus kohaan 7: Funkio y() (A+B) y 0 on alkuarvohävän (lyh. AA-hävän) y (A + B)y, y(0) y -käs. rakaisu. Toisaala z() A B y 0 on saman AA-hävän rakaisu, sillä z () A A B y 0 + A B B y 0. Koska AB BA, niin A B B A, kun nähdään kromalla A :n sarjakhilmä vasmmala ja oikala B:llä. (Kysymys palauuu siihn, ä AB BA A k B BA k.) Niinpä z () (A + B) A B y 0 (A + B)z(). Lisäksi z(0) A0 B0 y 0 y 0. Yksikäsiisyyslausn pruslla (A+B) y 0 A B y 0 y 0 R n. Valismalla y 0 k, k 1... n, missä k on R n :n k : s yksikkövkori, nähdään kummankin mariisin k:s sarak samaksi kaikilla k:n arvoilla, li mariisi (A+B) ja A B ova samoja. 7 Koha 8: A ja A kommuoiva, jon I E O (A A) A A. Huom! Tarkkaavainn lukija huomaa khäpäälyn ainksia, jos sauu lukmaan myös EN-prujusa yksikäsiisyysodisuksn. Siinä arviaan kohdan 8 ulosa, joka odisaan kohdan 7 avulla. No, EN/TE-prujuissa i ol khäpäälyä, koska sillä odisaan ominaisuus 7 ri avalla. Yllä olva puhdisuu voamalla ylisn (linaarisn sysmin) olmassaolo- ja yksikäs. laussn. Min A käyännössä laskaan? Diagonalisoiuva mariisi: Hlpoin apaus on jälln diagonalisoiuva mariisi. Jos A XDX 1, missä A:n ominaisarvo ova mariisin D lävisäjällä ja ominaisvkori mariisin X sarakkina, niin
4 nsinnäkin A k (XDX 1 )(XDX 1 )... (XDX 1 )(XDX 1 ) XD k X 1, sillä välissä olva rmi X 1 X supisuva pois! Tämän pruslla A I + A + 1 2 2 A 2 + X(I + D + 1 2 2 D 2 +... )X 1 X D X 1. Ny D diag( λ1,..., λn ) ja vasaus saadaan kromalla nämä kolm mariisia ksknään. Eriyissi on huomaava, ä vaikka A:n ominaisarvo ja -vkori olisiva komplksisia, niin loppuulos on ällöinkin raalinn, koska kaikki sarjakhilmän ponssi A k ova raalisia mariisja! Esimrkki 2. Olkoon A 0 2. Tällöin A XDX 1, missä D 1 0 0 2 ja X ; ämä li räs aikaismpi simrkki diagonalisoinnisa. Ny X 1 A 1 0 2 1 1, jon 2 0 2 Esimrkki 3. 1 3 Olkoon A. Tällöin ominaisarvo ova 1 ± 3i ja niiä vasaava ominaisvkori 3 1 x (1) 1, i T ja x (2) 1, i T. Edlln on voimassa A XDX 1, jossa 1 + 3i 0 D ja X. 3i i i 1/2 i/2 Ny X 1 ja siis 1/2 i/2 A (1+3i) /2 i/2 i i 0 (1 3i) 1/2 i/2 1 2 (1+3i) + 1 i 2(1 3i) 2 (1+3i) + i 2 (1 3i) sivnnysn jälkn.. i 2 (1+3i) + i 2 (1 3i) 1 2 (1+3i) + 1 2 (1 3i) cos(3) sin(3) sin(3) cos(3) Kun huomaamm, laskujn välivaih saaava näyää himan hankalila, mua una on joka apauksssa s, ä alkuarvohävin rakaisu saadaan hi. Esimrkki 4. Rakais dllisiin mariisihin liiyvä alkuarvohävä y Ay, y(0) 1, 2 T. Esimrkissä 2 rakaisu on li y 1 () 2 2 ja y 2 () 2 2. y() A y(0) 2 1 2 0 2 2 2 2 2,
Esimrkissä 3 rakaisu on muooa y() cos(3) sin(3) 1 sin(3) cos(3) 2 li y 1 () cos(3) + 2 sin(3) ja y 2 () 2 cos(3) sin(3). cos(3) + 2 sin(3) 2 cos(3), sin(3) Mariisi, joka ivä diagonalisoidu: Kaikki mariisi ivä kuinkaan ol diagonalisoiuvia, ja niidn kohdalla on mnlävä oislla avalla. Esimrkki ällaissa mariisisa on A, jolla on kaksinkrainn ominaisarvo λ 1 λ 2 1. Kun yriämm laska ominaisvkoria, saamm yhälöparin x1 0, josa i millään avalla saada kaha LRT ominaisvkoria. 0 0 x 2 0 Tällaisill mariisill A on laskava jollakin muulla avalla, ja simrkiksi yllä olvall mariisill on 1 k A k, jon A 1 0 + 1 + + 1 + 1 1 2 2 2 2 2 +... + 2 + 1 2 3 +... + + 1 2 2 +... Alkuarvohävän y Ay, y(0) 1, 2 T rakaisu on ässä apauksssa y() 1 0 + 2 2 2. + 1 1 3 3! 3 +... 0. Huom. Toinn apa laska A yllä olvassa simrkissä on kirjoiaa A I + B ja käyää kaavaa A I B, joka on voimassa yhälön IB BI pruslla. Ylinn apaus voidaan slviää priaassa samalla avalla, mua diagonalisoinnin sijasa on käyävä ns. Jordan-hajolmaa. Yllä olva simrkki liiyykin yksinkraisimman Jordan-lohkon mariisiksponnifunkion laskmisn, ja vasaava pääly ylisyy suurmmill mariisill. Malabin avulla mariisiksponnifunkio A saadaan kmällä nsin :sää symbolinn muuuja käskyllä syms ja kirjoiamalla sin xpm(a*). Epähomognisn yhälöryhmän rakaisminn. Suraavassa siään, kuinka myös pähomogninn dirniaaliyhälöryhmä y Ay + g() voidaan rakaisa mariisiksponnifunkion avulla. Tässä A on n n-vakiomariisi ja g() g 1 (),..., g n () T on pysyvkori. Kirjoiaan yhälö aluksi muooon y Ay g() ja krroaan sn jälkn molmma puol vasmmala mariisilla A, jolloin saadaan yhälö A y A Ay A g(). Koska mariisill on voimassa ulon drivoimissäänö (XY ) X Y + XY (syy: (XY ) ij k x iky kj, misä väi suraa avallisn ulon drivoimissäännön avulla), niin yhälö ul muooon d d ( A y) A g(). Mariisja drivoidaan alkio krrallaan, jon niiä voidaan myös ingroida alkioiain. Näin olln saamm A y A g() d + c, missä ingroini kohdisuu riksn pysyvkorin A g() jokaisn komponniin ja c c 1,..., c n T on ingroimisvakioisa koosuva pysyvkori. Mariisin A käänismariisi on A, jon rakaisuksi saadaan y() A A g() d + A c. 5
6 Tässä rmi A c on vasaavan homogniyhälön ylinn rakaisu ja lausk A A g() d on puolsaan alkupräisn yhälön yksiäisrakaisu. Mariisiksponnifunkion avulla yksiäisrakaisull saadaan siis ksplisiiinn lausk. Ylnsä saaaa kuinkin olla hlpompi haka yksiäisrakaisua sopivan yrin avulla, sillä yo. kaava johaa usin osiaisingroinihin. Jos haluaan rakaisa yhälöryhmään y Ay + g() liiyvä alkuarvohävä y(0) y 0, niin voidaan käyää määräyä ingraalia välillä 0,. Koska d 0 ds ( sa y(s)) ds A y() O y(0) A y() y 0, niin alkuarvohävän rakaisuksi saadaan y() A y 0 + A sa g(s) ds. Esimrkki 5. Rakaisaan ryhmä y Ay + g(), missä A on simrkin 2 mariisi ja g() 1, T. Aikaismmin laskiin jon Tällöin jon A 2 0 2 0, A ( )A 2 0 2. A g() 2 1 0 2 A g() d Ryhmän yksiäisrakaisu on siis muooa y 0 () A A g() d (2 1) d d 2 1, 2. 2 2 0 2 jonka avulla ylisksi rakaisuksi saadaan { y 1 () (c 1 c 2 ) + c 2 2 1 y 2 () c 2 2. 1, Vasaavalla avalla saadaan simrkiksi alkuarvohävän y(0) 1, 2 T rakaisuksi y() 2 1 0 2 + 2 2 0 2 0 (2 s 1) ds 0 s ds 3 2 1 3 2 Sabiilisuus. Mariisiksponnifunkion avulla voidaan ukia myös asapainorakaisujn sabiilisuua ja yyppiä. Diagonalisoiuvill mariisill A X D X 1, jon yyppi ja sabiilisuus slviävä suoraan lävisäjämariisin D käyäyymisä ukimalla..
Vii 7