SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä ja aine 15 Viikko 3 MagneeNken>ä 18 Viikko 4 Kertausta Viikko 5 Sähköken>ä johimissa 19 Viikko 5 sähköiset piirit, komponenit 20 Viikko 6 MagneeNnen voima 21 Viikko 7 Viikko 8 Kertausta tenn
TAVOITTEET Kerrata tasavirtapiirien ratkaisuperiaa>eet osata ratkaista RC- piirien toiminta Virtapiiri: virtalähteiden, johimien ja sähkölai>eiden muodostama sähkövirran kulkurein. Tasavirtapiiri (DC, Direct Current): sähköinen virtapiiri jossa virta kulkee kokoajan samaan suuntaa RC piiri (Resistor Capacitor): vastuksen ja kondensaa>orin muodosta virtapiiri. Käytetään esim. low/high pass fil>ereinä. (AC signaali, suoda>aa vain Ietyt taajuudet)
SÄHKÖINEN VIRTAPIIRI: ELEMENTTEJÄ Virtalähde (paristo): aiheu>aa virtapiiriin jänni>een joka kulje>aa elektroneja Johdin: missä virta kulkee vastus: vastustaa sähkövirran kulkua, vastuksen läpi kulkevien elektronien energia muu>uu lämmöksi. (komponennen suojaus, virran/jänni>een rajoitus). Kondensaa>ori: varastoi energiaa DC piireissä, ja tasaa AC piireissä. Kytkin Solmukohta (node) missä useampi virtapiirin elemenn kohtaa
SÄHKÖINEN VIRTAPIIRI: KYTKENNÄT Virtapiirin komponen>eja (kondensaa>ori, vastus) voidaan kytkeä virtapiiriin joko sarjaan tai rinnan Rinnan kytke>y Sarjaan kytke>y Sarjaankytke8y: sama virta I virtaa kaikkien komponennen läpi Rinnankytke8y: Sama jännite kaikkien komponennen läpi
KONDENSAATTORIEN RINNANKYTKENTÄ Kondensaa>orit on kytke>y rinnan, kun niiden saman- merkkiset levyt kytketään yhteen. Levyjen varaus jakautuu kaikkien kondensaa>oreiden kesken. (riippuu kapasitanssista) Mikä on vas'nkondensaa+ori joka vastaa ylemmän kuvan piirin kondensaa>oreita yhdessä? Sama jännite levyjen yli vaiku>aa sama jännite Q 1 =C 1 ΔV Q 2 =C 2 ΔV Q=Q 1 +Q 2
KONDENSAATTORIEN RINNANKYTKENTÄ à Rinnankytketyt kondensaa>orit voidaan siis korvata vasinkondensaa>orilla, jolla on sama jännite ja sama kokonaisvaraus kuin erillisillä kondensaa>oreilla. Eli jos meillä on N kpl rinnankytke>yä kondensaa>oria joille: Q 1 =C 1 V, Q 2 =C 2 V,, Q N =C N V à Q=Q 1 + Q 2 + + Q N = (C 1 + C 2 + + C N )V Entäs si+en vas'nkondensaa+orin kapasitanssi? Sijoita yllä oleva varauksen lauseke kapasitanssin määritelmään Q/V niin näet hei, e>ä C = C 1 + C 2 + C N
KONDENSAATTORIENSARJANKYTKENTÄ kondensaa>orit ovat ketjussa peräkkäin siten, e>ä erimerkkiset levyt on yhdiste>y. Jännite V koko systeemin yli on sama kuin pariston piiriin tuo>ama jännite: V=V 1 +V 2 + + V N sama Q à sama varaus ei ne>o- varausta V=V 1 +V 2 V = Q C = Q( 1 C 1 + 1 C 2 +...+ 1 C N ) 1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +...+ 1 C N
VIRTAPIIRIN KULUTTAMA TEHO Oheisessa virtapiirissä vastus on kytke>y paristoon, joka saa aikaan poteniaalieron vastuksen yli. Oletetaan e>ä varaus dq kulkee ajassa dt vastuksen läpi. à sen poteniaalienergia pienenee määrällä du = dqv ab = I dtv ab V=V X a Tämä poteniaalienergian muutos aikayksikössä on vastuksessa kuluva teho P du P= = IV dt ab V=0 b à Koska resistanssi on R=V/I, lai>een kulu>ama teho on P=I 2 R (tai P=V 2 /R)
VASTUKSET SARJASSA Kytketään kaksi vastusta sarjaan sama virta sama virta ΔV ab =ΔV 1 +ΔV 2 ΔV ab Kaikkien vastusten läpi kulkee sama virta. Erillisten vastusten piirin tehonkulutus P ab pisteiden a ja b välillä on summa.
VASTUKSET SARJASSA Voidaan nyt vastaavasi laskea vasinvastuksen ominaisuudet. Eli korvataan sarjaan kytketyt vastukset yhdellä. P ab = P 1 + P 2 +...+ P N = R 1 I 2 + R 2 I 2 +...+ R N I 2 Yhden vastuksen piirille pätee (muistele aikaisempaa) P=RI 2 tehonkulutuksien tulee olla samat eli RI 2 =(R 1 +R 2 + + R N )I 2 Eli saadaan R=R 1 +R 2 + + R N Kaksi sarjassa olevaa vastusta toimivat jänni>eenjakajana, sillä vastusten yli mita>ujen poteniaalierojen suhde on
VASTUKSET RINNAKKAIN Kuvassa on kolme vastusta on kytke>y rinnakkain. Paristosta tuleva virta I haarautuu virroiksi I 1, I 2 ja I 3 jotka kulkevat vastusten 1,2 ja 3 läpi. a b Iedämme, e>ä haarautumiskohdissa kokonaisvirta säilyy Eli yleisesi N:lle vastukselle: I=I 1 +I 2 + +I N Pisteiden a ja b välillä on poteniaaliero V ab =R 1 I 1 =R 2 I 2. = =R N I N à virrat vastusten läpi ovat siis I 1 = V ab R 1, I 2 = V ab R 2,...I N = V ab R N,
!# " + $# R 1 Virralle I pätee siis I =V AB 1 V ab R =V ab!# " $# 1 R 1 + VASTUKSET RINNAKKAIN 1 R 2 +... % & # '# Yhden vastuksen piirissä virta on I=V ab /R, joten saadaan 1 +... % & # 1 R 2 '# R = 1 + 1 +... R 1 R 2
Todellisuudessa paristolla on aina sisäistä resistanssia. Merkitään tätä pariston sisäistä resistanssi pienellä r- kirjaimella. Mikä onkaan siis pariston napojen välillä mita>u jännite, kun sillä on sisäinen resistanssi r ja kun piirissä kulkee virta I? Δ V = V V = ε Ir b a PARISTON NAPAJÄNNITE Tämä poteniaaliero on pariston tai jännitelähteen napajännite. Se on jännite, joka lähteestä voidaan o>aa piiriin, jossa kulkee virta I. ΔV b a b a
KIRCHHOFFIN SÄÄNNÖT TASAVIRTAPIIRILLE Sääntö 1 Piirin johimien haaraan tulevien virtojen summa on yhtä suuri kuin siitä lähtevien virtojen summa. (perustuu varauksen säilymiseen) Sääntö 2: Suljetussa virtapiirissä poteniaalien muutosten summa on nolla, kun poteniaalimuutosten suunnat otetaan huomioon etumerkeillä. (perustuu energian säilymiseen) Kierre>äessä vastuksen yli virran suuntaan pienenee poteniaali jännitehäviön verran: yhtälöön kirjoitetaan IR. Jos toiseen suuntaan, merkki vaihtuu. Kun ylitetään jännitelähde navasta + napaan kasvaa poteniaali ε :n verran: yhtälöön kirjoitetaan +ε. Jos toiseen suuntaan, merkki vaihtuu. Gustav Kirchhoff 1824-1887
KYSYMYS Mikä on virta I oikealla alhaalla olevassa johimen haarassa? 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A
KIRCHHOFFIN SÄÄNNÖT TASAVIRTAPIIRILLE Tehdään kierros virtapiirin ympäri jännitelähteestä alkaen. suljetun silmukan poteniaalierojen summa = jännitelähteen smv. Kirjataan poteniaalierot yhtälöksi kuvan suljetulla kierroksella myötäpäivään. Lähdetään V a : sta Pa>erin suunnasta näkee e>ä virta on myötäpäivään ε V + IR= V a a ε IR = 0 I = ε R a määritä jännite jokaiselle elemenille
Harjoitus 5, Tehtävä 2 Tasavirtapiirin paristojen napajänni>eet ovat V 1 = 3 V ja V 2 = 6 V, vastusten resistanssit R 1 = 10 Ω, R 2 = 20 Ω, R 3 = 10 Ω ja R 4 = 5 Ω. Määritä piirin eri osissa kulkevat virrat. Harjoitus Kirchoffin sääntöjen käy>ämisestä. Ei kannata liikaa alussa mienä mihin suuntaan virran menee. Tarkkana si>en etumerkkien kanssa. Jos huomaat e>ä vastus lisää poteniaalia niin vaihda merkki. Voi valita niin lenkit e>ä saa vain yhden jännitelähteen per lenkki.
Harjoitus 5, Tehtävä 3 Kun kytkin on auki kulkee virtami>arin kau>a 1.636 A virta, kun kytkin on sulje>u, virta on 1.565 A. Mikä on pariston a) smv b) sisäinen resistanssi r? (tämän saat ensin!) Tässä mieitään varsinkin pariston ominaisuuksia. Kirchhoffin sääntöjen harjoi>elua. Pariston sisäinen jännite voidaan ajatella siihen sarjaan kytketyksi.
Harjoitus 5, Tehtävä 4 Kondensaa>orin (C = 50 µf) jännite puretaan vastuksen yli kuvan mukaisesi. a) Mikä on vastuksen resistanssi? b) Mikä on virta vastuksen läpi ajan funkiona? c) Kuinka monta elektronia kulkee vastuksen läpi kunnes virta lakkaa?
KYSYMYS Mikä on poteniaaliero V määri>elemä>ömän virtapiirin elemenin (harmaa neliö) läpi? Kasvaako vai pieneneekö tämä kun kuljetaan tämän elemenin läpi virran suuntaisesi A. V pienenee 2 V B. V kasvaa 2 V C. V pienenee 10 V D. V kasvaa by 10 V E. V kasvaa by 26 V
RC- PIIRIT Piiri, jossa vastus ja kondensaa>ori on kytke>y sarjaan, ja jota ajaa virtalähde (esim. paristo). Käytetään mm. Low/high pass fil>ereinä (eli suoda>avat Ie>yjä taajuuksia) Yksinkertaisimmillaan piiri koostuu varatusta kondensaa>orista, joka puretaan vastuksen kau>a (esim. lamppu) Olkoon kondensaa>ori vara>u. Sen varaus on Q 0 ja kapasitanssi C Kondensaa>ori voidaan purkaa vastuksen kau>a sulkemalla kytkin kytkin auki kytkin kiinni ΔV R =0 ΔV R =-IR R R varaus Q 0, ΔV C0 =Q 0 /C varaus Q, ΔV C =Q/C virta vähentää varausta
RC- PIIRIT: KONDESAATTORIN PURKU Hajaken>ä (fringe field) on merki>ävässä osassa, ks. luku 20 ja 16. Puretaan vara+u kondensaa>ori vastuksen kau>a* à Alussa poteniaali on suuri levyjen välillä ja piirissä kulkee suhteellisen iso virta (I 0 =V 0 /R=Q 0 /RC), eli lamppu palaa kirkkaasi. Varausta poistuu pikkuhiljaa levyltä (Q(t)). Huomaa, e>ä negaiivisen levyn ulkopuolella hajakentän elektroniin kohdistuva voima kiihdy>ää nyt sitä poispäin levystä, eli se on samaan suuntaan kuin pinta- varausten aiheu>ama ken>ä johimessa à hajaken>ä pienenee à virta pienenee, lopulta varaus levyillä ja virta à 0 I R E +Q(t) E E -Q(t) hajaken>ä à *tässä siis kondensaa>ori tavallaan paristo, jonka emf pienee ajan mukana
RC- PIIRIT: KONDESAATTORIN VARAAMINEN piiri ilman kondensaa>oria (ideaalinen paristo): Kulkee virta I=V/R Laitetaan nyt si>en varaamaton kondensaa>ori piirin jossa on ideaalinen virtalähde (emf) ja vastus (lamppu, R). Ihan aluksi lamppu loistaa niin kuin kondensaa>oria ei ole à Si>en varausta kertyy pikkuisen levyille ja jännite alkaa kasvamaan levyjen välillä (nyt hajaken>ä on vastakkainen johimen kentän suunnalle, emf ansiosta varausta siis tuodaan tätä ken>ää vastaan, vrt. virran suuntaa lampun yli edellisessä kalvossa) à virta piirissä pienenee ja lamppu alkaa himmetä à lopulta virta menee nollaan ja tällöin V levyjen välillä = emf (Kirchhoff II) I R + E - E E
RC- PIIRI: KIRCHOFFIN LOOPPISÄÄNTÖ Kirchhoff II (KII) kuvan RC- piirille: Q Δ V = emf RI = C 0 huomaa tässä nyt Q=Q(t) ja I=I(t) riippuvat ajasta
RC- PIIRIT: KONDENSAATTORIN PURKAMINEN Puretaan kondensaa>ori vastuksen kau>a, oleteaan, e>ä ei virtalähde>ä eli emf=0 KII à R dq(t) dt Ratkaisu on + Q(t) C = 0 Qt () = Qe trc e = Q t 0 Missä siis Q 0 on nyt kondensaann varaus alussa τ=rc on aikavakio, joka kertoo kuinka nopeasi kondensaa>ori purkautuu. Aika, joka kuluu kondensaa>orin purkautumiseen riippuu siis vastuksen resistanssista ja kapasitanssista. 0 1. kertaluvun differen'aaliyhtälö. τ
RC- PIIRIT: KONDENSAATTORIN VARAAMINEN Nyt loppublanne (final state, f) on Ilanne kun kondensaa>ori on latautunut. Tällöin virta I f =0 à Q f =emf C (varaus Q f riippuu siis vain pariston lähdejänni>eestä ja kondensaa>orin kapasitanssista, vastus ei vastuksesta) Virta kondensaa>oria vara8aessa on I(t) = emf Q(t ) C R AlkuBlanne, kun kondensaa>ori on varaamaton, Q(t=0)=0 ja virta piirissä sama kuin ilman kondensaa>oria eli I(t=0)=emf/R Nopeus, jolla varaus kerääntyy kondensaa>oriin on dq(t)/dt, eli ajassa dt kondensaa>ori saa varauksen dq=idt
RC- PIIRIT:KONDENSAATTORIN VARAAMINEN KII à " dq(t) = $ # emf Q(t ) C R % ' dt & Numeerinen integroini à saadaan eksponteniaalikäyrää muistu>ava tulos, arvata, ratkaisun muoto. Tai laskea ensin ratkaisu virralle di/dt=-(1/rc)i (emf on siis vakio) à ratkaisu I=(emf/R)e -t/rc muoto ja varaukselle saadaan tästä dq=idt ja integroi: Q(t) = C(emf )(1 e t τ ) Vara>aessa varaus kasvaa eksponen- IaalisesI nollasta arvoon Q f =(emf)c ja virta pienenee eksponeniaalisesi arvosta I(t=0)=emf/R nollaan. Taas τ=rc
RC- PIIRIT: KONDESAATTORIN PURKU/VARAAMINEN Mitenkähän lampun resistanssi vaiku+aa varaamiseen? - ohut lanka à iso R à pieni virta à kestää kauan - paksu lanka à pieni R à iso virta à nopeasi (miei tätä myös edellisten kalvojen kau>a) Entäpä purkakamiseen? R = ρl A ß langan paksuus vaiku>aa siis tänne
Harjoitus 5, Tehtävä 5 Kondensaa>ori, jonka kapasitanssi on C varataan, siten e>ä sen levyjen välinen jännite on V. Tämän jälkeen kondensaa>oriin kytketään toinen samanlainen kondensaa>ori ja vastus (ks. kuva). a) Kuinka suuria ovat kondensaa>oreiden jänni>eet kun tasapaino on saavute>u? b) Määritä piirissä kulkeva virta ajan funkiona Pohdi tarkkaan mikä nyt on tasapainoilanne ja miten kondensaa>ori varautuu ja purkautuu. b)- kohdassa joutuu mienmään differeniaaliyhtälön ratkaisua. Muista e>ä varaus säilyy.
Harjoitus 5, Tehtävä 6 Jatkoa edelliseen tehtävään. Määritä kondensaa>oreihin varastoitunut sähköstaannen energia alku- ja loppuilanteessa ja osoita, e>ä ero on yhtä suuri kuin vastuksessa lämmöksi muu>unut energia. Hyvä aina välillä tarkistaa, e>ä energia säilyy. Muistele aikaisempaa käsi>elyä kondensaa>orin energialle.