TÄHTIEN RAKENNE JA KEHITYS Juhani Huovelin, Juho Schultz & Thomas Hackman Helsingin yliopiston fysiikan laitos, 2011
Etusivun kuva: Eta Carinae (HST Archive/NASA) 2
Esipuhe Tämä moniste on tarkoitettu pääasiassa aineopintotason kurssin Tähtien rakenne ja kehitys materiaaliksi. Paikoin asioita esitellään kurssin sisältöä laajemmin. Moniste soveltuu myös itseopiskeluun, mutta luennot ja laskuharjoitukset ovat hyödyllisiä asian ymmärtämisen ja soveltamisen kannalta. Lukijalla oletetaan olevan suunnilleen perusopintoja vastaavat tiedot fysiikassa ja tähtitieteessä sekä teoreettisen fysiikan perusopintoja vastaavat matemaattiset valmiudet. Tähtien rakenne ja energiantuotanto (luvut 1-6) on melko hyvin tunnettu. Mallit perustuvat suurelta osin hyvin tunnettuun fysiikkaan, joten yleensä havainnot pystytään selittämään havaintotarkkuuden rajoissa. Tähtien kehitys (luvut 7-11) sen sijaan on edelleen jossain määrin huonommin tunnettu, erityisesti kehityksen viimeiset vaiheet ja kaksoistähtien kehitys (luvut 10 ja 11). Perusasiat ovat osapuilleen kohdallaan, ja niiden osalta suuria muutoksia ei ole odotettavissa. Yksityiskohdat tarkentuvat kuitenkin koko ajan, mikä on pidettävä mielessä erityisesti monisteen viimeisiä lukuja luettaessa. Erityisesti kuvien ja taulukoiden numerot eivät ole ehdottoman tarkkoja. Tähtien rakenne ja kehitys monisteen ensimmäinen painos julkaistiin 2001. Tähtitiede kehittyy kuitenkin nopeasti, joten monistetta on tämän jälkeen uudistettu ja korjattu vuosina 2005 ja 2008. Monet ovat auttaneet tämän monisteen tekemisessä ja parantelussa. Erityiset kiitokset ansaitsevat Paavo Piironen kuvien skannaukseessa avustamisesta, Panu Muhli oikoluvusta sekä Jere Kahanpää ja Peter Johansson, joiden kommentit auttoivat ulkonäön parantamisessa. Vuodesta 2008 Thomas Hackman on ollut päävastuussa monisteen sisällön kehittämisestä. Tähän uusimpaan versioon vuonna 2011 ilmestyneeseen versioon on tehty sisällölisiä korjauksia lukuihin 7-10. Tässä työssä ovat auttaneet Maarit Mantere, Mika Juvela sekä Oskari Miettinen. Moniste ilmestyy ainoastaan PDF-versiona. Kirjallisuutta Tämä moniste sisältää kaikki olennaiset luennoilla ja laskuharjoituksissa läpikäytävät asiat. Alasta enemmän kiinnostuneille suositellaan kuitenkin luettavaksi: Bowers, Deeming: ASTROPHYSICS I, stars, part1/chapter1, part2, part3 Böhm-Vitense: Stellar Astrophysics, Vol 3: Stellar Structure and Evolution Clayton: Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis Kippenhahn, Weigert: Stellar structure and evolution ( Novotny: Introduction to stellar atmospheres and interiors ) ( Cox, Giuli: Principles of Stellar Structure ) ( Tähtitieteen perusteet, 5. laitos, 2010) 3
Sisältö 1 Perusasioita 7 1.1 Intensiteetti (I ν, I)................................... 7 1.2 Vuontiheys (F ν, F).................................. 7 1.3 Vuo ja kokonaisvuo eli luminositeetti (L ν, L)..................... 8 1.4 Energiatiheys (u)................................... 9 1.5 Säteilypaine (P r )................................... 9 1.6 Mustan kappaleen säteily: Planckin funktio..................... 10 1.7 Wienin siirtymälaki.................................. 10 1.8 Absorptio....................................... 10 1.9 Optinen syvyys.................................... 11 1.10 Emissio........................................ 11 1.11 Säteilynsiirtymisyhtälö................................ 12 2 Tähden rakenne: yksinkertaiset erikoisratkaisut 13 2.1 Massan säilyminen ja jatkuvuusyhtälö........................ 13 2.2 Liikemäärän säilyminen ja hydrostaattinen tasapaino................ 13 2.2.1 Arvioita Auringon olosuhteista........................ 14 2.3 Polytrooppinen laki ja Lane Emden yhtälö..................... 15 3 Energian siirtyminen tähden sisällä 20 3.1 Radiatiivinen lämpötilagradientti........................... 20 3.2 Luminositeettigradientti................................ 23 3.3 Konvektio ja konvektiivinen lämpötilagradientti................... 24 3.3.1 Energian siirtyminen ja sekoituspituus (mixing length)........... 24 3.3.2 Termodynaamisia käsitteitä: ominaislämmöt C V ja C P........... 24 3.3.3 Adiabaattinen lämpötilagradientti ja adiabaattinen kaasulaki........ 26 3.3.4 Konvektiokriteerit: Radiatiivinen ja konvektiivinen lämpötilagradientti... 27 4 Energian tuotanto 31 4.1 Gravitaatiokutistuminen ja viriaaliteoreema..................... 31 4.2 Terminen eli Kelvin - Helmholzin aikaskaala.................... 32 4.2.1 Laajenemisen tai kutistumisen vaikutus luminositeettiin.......... 33 4.3 Energian tuotanto ydinreaktioissa........................... 35 4.3.1 Vedyn reaktiot................................ 35 4.3.2 Heliumin reaktiot............................... 41 4.3.3 Hiilen ja hapen palaminen.......................... 41 4
4.3.4 Raskaampien aineiden palaminen...................... 42 4.3.5 Reaktioketjujen Q arvon laskeminen.................... 44 5 Kaasun ominaisuudet tähdissä 45 5.1 Ei degeneroitunut ideaalikaasu............................ 45 5.1.1 Maxwellin nopeus ja vauhtijakaumat.................... 45 5.1.2 Ideaalikaasun paine.............................. 47 5.1.3 Hiukkasten keskimääräinen kineettinen energia............... 48 5.2 Degeneroitunut kaasu................................. 49 5.2.1 Degeneraation käsite............................. 49 5.2.2 Täydellinen degeneraatio (elektronikaasu).................. 51 5.2.3 Relativistinen kaasu............................. 52 5.2.4 Osittain degeneroitunut elektronikaasu.................... 52 6 Tähtimallien laskeminen 54 6.1 Yhtälöt pallokoordinaatistossa............................ 54 6.2 Ratkaisujen yksikäsitteisyys ja Vogt Russell teoreema............... 57 6.3 Yhtälöiden ratkaisumenetelmät............................ 57 6.4 Kehityksen laskeminen................................ 58 7 Tähtien kehitys ennen pääsarjaa 60 7.1 Prototähdet...................................... 60 7.1.1 Tähtienvälisen pilven luhistuminen..................... 60 7.1.2 Prototähden rakenteeseen vaikuttavia tekijöitä................ 64 7.2 Pre-main Sequence tähtien kehitys......................... 65 8 Tähtien kehitys pääsarjan aikana 69 8.1 Tähtien rakenne pääsarjan alussa........................... 71 8.2 Pääsarjan kehitys 0.08 0.3 M :n tähdellä...................... 72 8.3 Pääsarjan kehitys 1 M :n tähdellä.......................... 72 8.4 Pääsarjan kehitys 5 M :n tähdellä.......................... 74 8.5 Pääsarjan kehitys 30 M :n tähdellä.......................... 74 8.6 Kehitysmallien vertaaminen havaintoihin...................... 76 5
9 Tähtien kehitys punaisina jättiläisinä 78 9.1 Jättiläisvaihe 1 M :n tähdellä............................. 79 9.1.1 Helium leimahdus.............................. 80 9.1.2 Helium leimahduksen jälkeinen kehitys................... 81 9.1.3 Massan menetys jättiläisvaiheen aikana................... 82 9.2 Jättiläisvaihe 5 M :n tähdellä............................. 83 9.3 Jättiläisvaihe 15 M :n tähdellä............................ 87 10 Tähtien kehityksen loppuvaiheet 94 10.1 Pienimassaiset ja keskisuuret tähdet: valkoiset kääpiöt................ 94 10.1.1 Chandrasekharin massa............................ 94 10.1.2 Jäähtyminen ja kiteytyminen......................... 96 10.2 Suurimassaiset tähdet: supernova........................... 97 10.2.1 Yhteenveto kehityksen lopputuloksista.................... 99 10.2.2 Kaasun neutronisoituminen luhistuvassa tähdessä.............. 100 10.2.3 Mustat aukot................................. 101 11 Lähekkäisten kaksoistähtien kehitys 103 11.1 Kaksoistähtien radat.................................. 103 11.1.1 Rochen potentiaali.............................. 105 11.2 Massansiirto...................................... 107 11.3 Äkillinen massanmenetys............................... 110 11.4 Röntgenkaksoistähdet................................. 112 11.5 Novat......................................... 116 6
1 Perusasioita 1.1 Intensiteetti (I ν, I) d ω I ν θ 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 da Kuva 1: Avaruuskulma (dω), (ominais)intensiteetti (I ν ) ja pinta-alkio (da) Intensiteetti liittyy taajuusvälillä [ν, ν + dν] pinta alkion da läpi aikavälillä dt suuntaan θ, φ etenevään säteilyenergiaan E ν siten, että: missä dω = sin θdθdφ. de ν = I ν cosθdadνdωdt (1) I ν on ominaisintensiteetti taajuudellaνavaruuskulmaan dω, ja sen yksikkö on [I ν ]= W m 2 Hz 1 sterad 1. Kokonaisintensiteetti on I= I 0 νdν ([I]= W m 2 sterad 1 ). de (Toisaalta, I ν = lim ν ν, t, A, ω 0, jota käytetään emission ja säteilynsiirtymisyhtälön kohdalla ν t A ω myöhemmin). 1.2 Vuontiheys (F ν, F) Vuontiheys = säteilyenergia/(aikayksikkö pinta alayksikkö) = säteilyteho/pinta alayksikkö. Merkitään S :llä intergointia yli kaikkien suuntien (θ,φ), jolloin vuontiheys on F ν = ja kokonaisvuontiheys vastaavasti F= S I cosθdω Dimensiot: [F ν ]= W m 2 Hz 1, [F]= W m 2 1 de ν = I ν cosθdω (2) dadνdt S S Radioastronomiassa käytetään yleisesti yksikköä Jansky= Jy= 10 26 W m 2 Hz 1 Esimerkki. Jos säteily on isotrooppista eli I on riippumaton suunnasta (θ,φ), niin 7
dφ sinθ dθ θ dω φ Kuva 2: Pintaelementti yksikköpallon pinnalla (formaalisti sama kuin avaruuskulmaelementti) on dω=sinθdθ dφ F= S I cosθ dω = I cosθ dω (3) S Integroidaan kaikkien suuntien yli, jolloin saadaan (netto)vuontiheys isotrooppiselle säteilylle pintaelementin da läpi: F= I cosθ dω=i S 2π π φ=0 θ=0 cosθ sinθ dθ dφ=iπ π θ=0 sin2 θ=0 (4) Toisin sanoen pinta-elementistä da virtaa sisään sama energiamäärä kuin ulos. Toisaalta pinnan läpi ulos kulkeva vuontiheys on F out = I 2π π 2 φ=0 θ=0 cosθ sinθ dθ dφ=πi (5) Tämä pätee siis isotrooppiselle säteilylle. Jos säteily ei ole isotrooppista (I = I(θ, φ)) ei I:tä voi ottaa integraalin eteen, ja vuontiheyden laskeminen on monimutkaisempaa. 1.3 Vuo ja kokonaisvuo eli luminositeetti (L ν, L) Vuo pinnalla A on FdA, ja sen yksikkö on [L]= W. A Etäisyydellä r olevan tähden vuo pinnalla A, joka näkyy tähdestä katsottuna avaruuskulmassa ω, onωr 2 F, missä F on vuontiheys etäisyydellä r. Kokonaisvuo eli luminositeetti (L, L ν ) on vuo, joka kulkee säteilylähteen ympärillä olevan suljetun (pallo)pinnan läpi. Integrointi tehdään siis täyden avaruuskulman yli, eli L= 2π π φ=0 θ=0 Fr 2 sinθ dθ dφ (6) 8
Jos lähde säteilee isotrooppisesti, on L=F 2π π φ=0 θ=0 r 2 sinθ dθ dφ=4πr 2 F (7) Tähden pinnan ulkopuolella luminositeetti L ei siis riipu r:stä (vuontiheys F sen sijaan pienenee r 2 ). 1.4 Energiatiheys (u) Säteilyenergian määrä tilavuusyksikössä valitulla ajanhetkellä valitussa avaruuden pisteessä on u= 1 Idω (8) c Joskus u :n yhteydessä puhutaan säteilyn energiatiheyden sijasta pelkästään säteilytiheydestä. Isotrooppisella säteilyllä I ei riipu suunnasta, ja u= 1 c I 2π φ=0 π θ=0 sinθdθdφ= 4π c I (9) Energiatiheys u on käyttökelpoinen suure tähtien sisäosien tutkimuksessa, josta ei ole saatavissa suoria havaintoja, kun taas intensiteetti I ja vuontiheys F ovat parempia tähtien atmosfäärin ja kaasusumujen teoreettisissa malleissa. 1.5 Säteilypaine (P r ) Kvanttiteorian mukaisesti kullakin fotonilla on energia E = hν, ja siihen liittyvä liikemäärä hν/c kvantin etenemissuuntaan. Säteilypaine on valitulle pinnalle aika- ja pinta-alayksikköä kohden osuvien fotonien pinnan normaalin suuntaisten liikemääräkomponenttien summa. Pinnan normaalin suhteen suunnasta θ ja avaruuskulmassa dω tulevien fotonien energia (pinta-alaja aikayksikössä) on intensiteetin avulla lausuttuna I cos θdω, ja liikemäärä valon etenemissuuntaan I cos θdω/c. Pinnan normaalin suuntaisen komponentin suuruus on niin ollen (I cos θdω/c) cos θ. Säteilypaine saadaan integroimalla kaikkien suuntien yli, eli Jos säteily on isotrooppista, saadaan P r = 1 c I cos 2 θdω (10) P r = 1 c I 2π φ=0 π θ=0 cos 2 θ sinθ dθ dφ= 4π 3c I= u 3 (11) eli säteilypaine on numeerisesti kolmasosa säteilyn energiatiheydestä. Käytännön sovellutuksia ajatellen kannattaa muistaa, että säteilypaineen aiheuttama voima johonkin materiaaliin riippuu säteilyn absorboitumisesta (eli siitä kuinka suuri osa säteilyn liikemäärästä siirtyy aineeseen). 9
1.6 Mustan kappaleen säteily: Planckin funktio Musta kappale absorboi ja uudelleen emittoi säteilyn täydellisesti ja säteilyjakautuma energian (tai aallonpituuden) funktiona riippuu ainoastaan lämpötilasta. Mustan kappaleen (eli termisen) säteilyn intensiteetti taajuudellaνja lämpötilassa T on missä c=2.997 10 8 m s 1 (valon nopeus), k=1.380 10 23 J K 1 (Boltzmannin vakio), h=6.625 10 34 J s (Planckin vakio), B ν (T)= 2hν3 1 c 2 e kt hν 1 (12) ja yksikkönä on [B ν ]=[I ν ]= W m 2 Hz 1 sterad 1 Kirjoitetaan sama aallonpituuden funktiona : B ν dν = B λ dλ. Miinus merkki johtuu siitä, ettäλ pienenee, kunνkasvaa. Koskaν= c λ, on dν= dλ c λ 2 dν B λ = B ν dλ = B c 1 ν λ 2=2hc2 λ 5 eλkt hc 1 (13) Mittayksikkö on [B λ ]= W m 2 m 1 sterad 1 Kokonaisintensiteetti B(T) voidaan laskea tarpeen mukaan jokoν:n taiλ:n suhteen, eli 1.7 Wienin siirtymälaki B(T)= 0 B ν dν= 0 B λ dλ (14) Etsitään Planckin funktion maksimiarvoa vastaava aallonpituus lämpötilassa T olevalle mustalle kappaleelle. Maksimi löytyy derivaatan nollakohdasta, eli db λ dλ = 0, josta saadaan Wienin siirtymälaki λ max T= 2.89782 mm K (15) Se kertoo kuinka säteilyn väri muuttuu, kun kappaleen lämpötila muuttuu. 1.8 Absorptio Intensiteetin muutos z-akselin suuntaan on di ν = κ ν I ν dz, missäκ ν on absorptiokerroin, [κ ν ]= m 1. Tämä voidaan kirjoittaa muotoon missäκ ν on massa absorptiokerroin ja [κ ν ]= m 2 kg 1 di ν = κ ν ρ I ν dz (16) 10
I + di (di < 0) ν ν ν 000000000000000000000000 111111111111111111111111z + dz (dz > 0) 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 z I ν 1.9 Optinen syvyys Kuva 3: Säteilyn absorptio tasopintakerroksessa. Kaavasta (16) saadaan ensin di ν I ν = κ ν ρ dz. Integroidaan z 1 z 2 : ( ) z2 Iν,2 ln = κ ν ρ dz I ν,2 = I ν,1 e z2 κ z ν ρ dz 1 I ν,1 z 1 Olkoon z 2 > z 1. Valitaan z 1 = 0, ja z 2 = x, eli x= absorboivan kerroksen paksuus (syvyys). I ν (x)=i ν (0) e x 0 κ νρ dx (17) (18) Määritellään optinen syvyysτ ν s.e. dτ ν =κ ν ρ dx, jolloin τ ν = x 0 κ ν ρ dx (19) Tästä saadaan I ν (x) = I ν (0) e τ ν. Säteilyn intensiteetti siis heikkenee absorboivassa kerroksessa eksponentiaalisesti kerroksen paksuuden funktiona, ja eksponentti on verrannollinen massaabsorptiokertoimeen sekä aineen tiheyteen. 1.10 Emissio Oletetaan, että emittoituva säteily massaelementistä dm on isotrooppista (eiθtaiφriippuvuutta). Määritelmä: ajassa dt emittoituu välillä [ν,ν+dν] energiaa massayksikköä kohden s.e. missä j ν on emissiokerroin ([ j ν ]= m 2 s 1 ). Avaruuskulmaan dω emittoituu silloin de em = 4π j ν dν dt dω 4π, eli de em = 4π j ν dν dt (20) de em = j ν dν dt dω (21) 11
1.11 Säteilynsiirtymisyhtälö Lähdetään säteilystä joka siirtyy äärettömän pienen kartion läpi avaruuskulmassa dω. θ = 0 dω I ν dx ds θ 00 11 0000 1111 0000 1111 00000 11111 00000 11111 0000 1111 000 111 da Kuva 4: Säteilyn siirtyminen avaruuskulmaan dω. Intensiteetti I ν muuttuu s.e. di ν = emittoitunut intensiteetti absorboitunut intensiteetti Kaavasta (21) seuraa, että massa-alkiolleρda ds on de ν,em = j ν dν dt dω massa, eli de ν,em = j ν dν dt dω (ρ da ds) (22) de Aiemmin määriteltiin I ν = lim ν ν, t, A, ω 0, eli emissiolle di ν t A ω ν,em= j ν ρ ds Toisaalta absorboitunut intensiteetti on kaavan (16) mukaan di ν,abs =κ ν ρ I ν ds, joten saadaan Koska ds = dx cosθ = dx secθ on ja päädytään muotoon di ν = j ν ρ ds κ ν ρ I ν ds (23) di ν = j ν ρ dx secθ κ ν ρ I ν dx secθ (24) di ν cosθ κ ν ρ dx = j ν I ν (25) κ ν Kun muistetaan että dτ ν =κ ν ρ dx, saadaan yhtälö (25) muotoon cosθ di ν dτ ν = j ν κ ν I ν (26) Yhtälöä (25) (sekä yhtälöä (26)) kutsutaan säteilynsiirtymisyhtälöksi. 12
2 Tähden rakenne: yksinkertaiset erikoisratkaisut OLETUKSET: Tähdet ovat tasapainossa olevia kaasupalloja, jotka painovoima pitää koossa pallosymmetrisiä eivät pyöri ei magneettikenttää muuttuvat niin hitaasti, että tasapaino on vakaa (stabiili) kauan (miljoonia vuosia) 2.1 Massan säilyminen ja jatkuvuusyhtälö Merkitään M r = M(r) on r-säteisen pallon sisään jäävä tähden massa. Toisaalta massa=tilavuus tiheys eli joka on massan jatkuvuusyhtälö. dm r dr = 4πr 2 ρ (27) Jotta massan jakautuma saataisiin selville, on tunnettava tiheysjakautumaρ=ρ(r). 00 11 0000 1111 0000000 1111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 dm r 00000000 11111111 ρ(r) 0000000 1111111 000000 111111 M r = M(r) 000000 111111 000000 111111 00000 11111 00000 11111 r + dr 000000 111111 00000 11111 r 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Kuva 5: Ohuen (paksuus dr) pallokuoren massa, jonka tiheys onρ(r) on dm r = 4πr 2 ρdr 2.2 Liikemäärän säilyminen ja hydrostaattinen tasapaino Painovoima vetää tähden ainetta keskustaan, mutta toisaalta kaasuhiukkasten lämpöliikkeen aiheuttama paine työntää ainetta ulospäin. Tasapainossa nämä voimat ovat itseisarvoltaan yhtäsuuret. Tarkastellaan tilavuusalkiota etäisyydellä r tähden keskeltä. Kuvasta 6 nähdään: 13
01 01 01 P + dp 01 01 01 da 000000000000000000000 111111111111111111111r + dr 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 01 01 g dm 01 000000000000000000000 111111111111111111111 01 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 ρ (r) 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 r 01 da 01 01 01 P 01 Kuva 6: Massaelementtiin dm kohdistuvat voimat. dv dm df g Toisaalta paineen aiheuttama (netto)voima on Koska dp<0 on df p > 0. Voimatasapainossa = da dr (tilavuus=ala korkeus) = ρ da dr (massa=tiheys tilavuus) = GM rdm = GM rρ da dr(painovoima) (28) r 2 r 2 df p = PdA (P+dP)dA df p = dp da (29) 0=dF g + df p = GM rρ r 2 dadr dpda (30) josta saadaan hydrostaattisen tasapainon yhtälö 2.2.1 Arvioita Auringon olosuhteista V = 4 3 πr3, M = 1.989 10 30 kg, ja R = 6.96 10 8 m dp dr = GM rρ r 2 (31) joista saadaan keskimääräinen tiheys: ρ= M V 1410 kg m 3 = 1.41 g cm 3 Approksimoidaan ρ= ρ=vakio M r = 4 3 π ρr3 (32) Hydrostaattisen tasapainon yhtälöstä saadaan dp dr = GM rρ r 2 = 4 3 πg ρ2 r (33) Integroidaan puolittain: 0 P dp= 4 R 3 πg ρ2 rdr (34) R 14
P(r) =? T(r) =? R. ρ( r) = ρ R. 2 Kuva 7: Arvioita fysikaalisista parametreista Auringossa kun oletetaanρ= ρ=vakio. ja saadaan arvio paineelle: P(R) = 2 3 πg ρ2 R 2 ) (1 R2 R 2 2π 3 6.67 10 11 1410 2 (6.96 10 8 ) 2( 1 x 2) N m 2 P(x) 1.3 ( 1 x 2) 10 14 Pa (35) missä x=r/r Auringon kemiallinen koostumus: X= 0.71, Y= 0.27, Z=0.02 Keskimääräiselle molekyylipainolle saadaan arvio yhtälöstä µ= 1 2X+ 3 Y+ 0.61 (36) 1 Z 4 2 Ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan arvio lämpötilalle säteen funktiona (x=r/r ): T(x)= µm HP(x) kρ = 0.61 1.67 10 27 1.3 10 14 1.38 10 23 1410 ( 1 x 2 ) 6.8 ( 1 x 2) 10 6 K (37) 2.3 Polytrooppinen laki ja Lane Emden yhtälö Meillä on käytössä kaksi yhtälöä, massan jatkuvuusyhtälö (27) ja hydrostaattisen tasapainon yhtälö (31): dm r = 4πr 2 dp ρ, dr dr = GM rρ r 2 joissa on kolme riippuvaa muuttujaa M r, P(r) jaρ(r). Tarvitaan siis kolmas yhtälö, jotta yksikäsitteinen ratkaisu olisi mahdollinen. 15
Ideaalikaasun tilanyhtälö P= k µm H ρt ei käy, koska siinä tulisi yksi uusi muuttuja lisää, nimittäin T= T(r). Käytetään sen sijaan polytrooppista lakia, P=Kρ γ, missä K on ns. polytrooppinen vakio. Se on voimassa kun tähden sisäosissa on konvektiota eli energia siirtyy virtaavan massan mukana. Kaasu tähden keskusosassa olevassa konvektiivisessa kerroksessa noudattaa polytrooppista lakia hyvin tarkasti, mutta soveltuu myös ulko-osien konvektiiviseen kerrokseen, joskin huonommalla tarkkuudella. Meillä on siis ratkaistavana yhtälöryhmä: dp = GM r ρ dr r 2 (38) dm r dr = 4πr 2 ρ (39) P = Kρ γ (40) Derivoidaan (38) r:n suhteen: d dr ( r 2 ρ ) dp = G dm r dr dr (41) Sijoitetaan tulos (39):een, jolloin saadaan: ( ) d r 2 dp = G ( 4πr 2 ρ ) 1 d dr ρ dr r 2 dr ( r 2 ρ ) dp = 4Gπρ (42) dr Sijoitetaan polytrooppinen laki em. tulokseen, josta tulee ( ) 1 d r 2 d(kρ γ ) = 4Gπρ (43) r 2 dr ρ dr Lopputuloksena on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, ( K d r 2 r 2 dr ρ ) dρ γ = 4Gπρ (44) dr Yhtälön ratkaisemiseksi tarvitaan kaksi reunaehtoa. Koska kyseessä on tapaus, joka pätee parhaiten tähden keskusosassa olevassa konvektiivisessa alueessa, reunaehdot tähden keskellä (r = 0) tuntuvat luonnollisimmilta: (I): ρ c on tiheys keskellä tähteä. Reunaehto (I) on triviaali, eikä sen perustelemiseen tarvitse kuluttaa sen enempää aikaa. Toinen reunaehto voidaan johtaa lähtien fysikaalisesti luonnollisesta toteamuksesta, että gravitaatiovoima (ja sen aiheuttama kiihtyvyys) tähden (eli pallosymmetrisen massajakauman) keskellä on nolla: Sijoitus yhtälöön (38) antaa ( ) dp c = 0 dr Sijoitetaan edelliseen polytrooppinen laki (40), jolloin g= GM r r 2 = 0, (M r = 0) (45) ( ) dkρ γ dr c ( ) dρ γ = 0 K dr c = 0 Kγρ γ 1 c ( dρ = 0 dr) c 16
Toisaaltaρ c 0, K 0 jaγ 0 reunaehto II (II): Tiheyden gradientti keskipisteessä on nolla: ( dρ = 0 (46) dr) c Periaatteessa jokaiselle parametriyhdistelmälle K,γ,ρ c pitää olla erillinen ratkaisu, mutta muuttujien vaihdolla päästään tilanteeseen, jossa parametri γ (polytrooppinen eksponentti), tai n = (γ 1) 1 (polytrooppinen indeksi) kiinnittää ratkaisun. Tehdään muuttujan vaihto dimensiottomiin Emdenin muuttujiin, jotka määritellään seuraavasti: ξ r α ja θ T T c (47) missä T c on lämpötila keskipisteessä jaα:aa ei vielä kiinnitetä. Parametriαvalitaan myöhemmin s.e. Lane Emden yhtälö saadaan mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Seuraavaksi ratkaistaan ρ Emdenin muuttujien ξ ja θ funktiona: P=Kρ γ P c = Kρ γ c Toisaalta ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan P P c = Kργ Kρ γ c ( ) γ ρ = ρ ρ c = ρ c ( P P c ) ( 1 γ ) (48) Sijoitetaan kaava (49) kaavaan (48), ρ ρ c = P= k µm H ρt P c = k µm H ρ c T c P P c = ρ ρ c T T c = ρ ρ c θ ( ) 1 ρ γ θ ρ c ( ρ ρ c ) 1 1 γ =θ 1 γ ( ρ ρ c ) γ 1 γ =θ 1 γ P P c = ρ ρ c θ (49) ( ) ρ ρ c =θ 1 γ γ 1 γ ρ=ρ c θ 1 γ 1 (50) Merkitään n= 1 γ 1 ρ=ρ cθ n (51) Sijoitus tämä kaavaan, jolloin saadaan (49): P=P c θ n+1 (52) Seuraavaksi johdetaan muutamia differentioinnin kaavoja: ξ= r α r=αξ d dr = d d(αξ) = d dr d(αξ) dr d(αξ) dr d dr = d d(αξ) (53) 17
Toisaalta d dξ = d d(αξ) = d d(αξ) dξ d(αξ) α 1 d α dξ = d d(αξ) (54) Palataan kaavaan (44), josta muokataan tuleva Lane Emden yhtälö. n= 1 γ 1 γ=1+ 1 n (55) sijoitus (44):een antaa K d r2 dρ 1+ n 1 = 4Gπρ (56) r 2 dr ρ dr Sijoitetaan seuraavaksi kaavat (51), (52), (53) ja (54): K [ d (αξ) 2 d ( ) ] (ρc θ n ) 1+ 1 (αξ) 2 d(αξ) ρ c θ n n = 4Gπρ c θ n d(αξ) K [ 1 1 d α 2ξ 2 1 d ( )] ρ 1+ n 1 ξ 2 α 2 α dξ ρ c θ n C α dξ θn+1 = 4Gπρ c θ n K [ 1 1 d ξ 2 α 2ρ n ξ 2 d ( )] c θ (n+1) = 4πGρ dξ θ n c θ n dξ ( K ) [ ] 4πα 2 G (ρ c) 1 n 1 1 d ξ 2 dθ ξ 2 (n+1)θn = θ n dξ θn dξ ( ) [ K(n+1) 4πα 2 G (ρ c) 1 n 1 1 d ξ 2 dθ ] = θ n (57) ξ 2 dξ dξ Kaavassa (57) valitaan nytαsiten, että yllä olevan yhtälön edessä oleva vakio on 1 eli K(n+ 1) 4πα 2 G (ρ c) 1 n 1 = 1 α= K(n+ 1)ρ 1 n 1 C 4πG 1 2 (58) Kunαyhtälössä (57) määritellään kaavan (58) mukaisesti saadaan yhtälö (44) muotoon (59) on Lane Emden yhtälö. ( 1 d ξ 2 dθ ) = θ n (59) ξ 2 dξ dξ Reunaehdot Johdetaan vielä reunaehdot muuttujienξ jaθavulla lausuttuina: Keskellä tähteäξ= r= 0 jaθ= T α T c = 1, eli ensimmäinen reunaehto on θ ξ=0 = 1 (60) 18
Toisaalta dρ dr = d(ρ cθ n ) d(αξ) = ρ c dθ n α dξ =ρ c α nθn 1 dθ dξ Tähden keskellä on tiheyden maksimiarvo, eli dρ dr c = 0. Toisaaltaθ n 1 c = ( ) T c n 1= T c 1, jaρc 0, n 0, jaα 0, joten toiseksi reunaehdoksi saadaan ( dθ = 0 (62) dξ) ξ=0 Lane-Emdenin yhtälö ratkeaa analyyttisesti arvoilla n = 0, 1 ja 5. Fysikaalisesti mielenkiintoiset ratkaisut vaativat kuitenkin arvoja n = 1.5 tai 3, jolloin joudutaan käyttämään numeerisia ratkaisumenetelmiä. (61) 19
3 Energian siirtyminen tähden sisällä 3.1 Radiatiivinen lämpötilagradientti Oletukset: 1) Energia siirtyy vain säteilemällä 2) Säteilytasapaino on voimassa, eli tilavuusalkio säteilee ulos vastaanottamansa ja/tai tuottamansa energian. 3) Paikallinen termodynaaminen tasapaino (Local Thermodynamic Equilibrium = LTE) on voimassa. Tällöin lämpötila määrää yksikäsitteisesti hiukkasten nopeusjakautuman ja säteilyn intensiteetin (ja intensiteetti voidaan korvata Planckin funktiolla). Karkeasti ottaen LTE on voimassa, kun hiukkasen tai fotonin keskimääräinen vapaa matka on pieni verrattuna matkaan, jolla lämpötila muuttuu merkittävästi. Harjoituksen vuoksi tarkistetaan, onko LTE voimassa Auringossa. 1. Hiukkaset Ionisoituneelle vedylle r 2 10 15 m, joten yhden hiukkasen poikkipinta-ala A=π r 2 p 10 29 m 2. Tiheysρ 1000 kg m 3 ja protonin massa m p 1.7 10 27 kg ρ/m p 10 30 hiukkasta m 3. Tarkastellaan pallonkuorta jonka etäisyys keskipisteestä on r ja paksuus dr. Origosta lähtevä hiukkanen törmää toiseen hiukkaseen todennäköisyydellä, joka on verrannollinen muitten hiukkasten peittämään avaruuskulmaan sen ympäristössä. Tässä tapauksessa voidaan olettaa, etteivät hiukkaset peitä toisiaan (aine on harvaa), mikä antaa toisaalta ylärajan hiukkasten peittämälle alalle sekä törmäyksen todennäköisyydelle. r säteisellä pallonkuorella olevien hiukkasten peittämä avaruuskulma on siis hiukkasten ala dω(r)=4π (63) pallonkuoren ala Hiukkasten ala on toisaalta hiukkastiheys pallonkuoren tilavuus yhden hiukkasen poikkipintaala, ja pallonkuoren ala on 4πr 2, joten dω(r)=4π ρ m p 4πr 2 4πr 2πr2 pdr (64) Arvio törmäyksen todennäköisyylle p matkalla R saadaan integroimalla dω ja jakamalla se täydellä avaruuskulmalla 4π: p(r) 1 dω= ρ R πr 2 p dr= ρ πr 2 p 4π m p m R (65) p eli p(r) = (hiukkasten peittämä avaruuskulma)/(täysi avaruuskulma). Sijoittamalla numeroarvot saadaan 1 cm:n matkaa vastaavaksi todennäköisyydeksi 0 p(1 cm) 10 30 m 3 10 29 m 2 0.01 m=0.1 (66) Satunnaiseen suuntaan suoraviivaisesti liikkuva hiukkanen siis onnistuu etenemään 1 cm:n matkan törmäämättä toiseen 90% todennäköisyydellä (1 p = q = 0.9). Tätä arviota ei voi suoraan soveltaa kovin suurille etäisyyksille, sillä alkuoletukset eivät enää päde. Hiukkaset itse asiassa peittävät jossain määrin toisiaan jo 1 cm:n matkalla. Sijoittamalla esimerkiksi R=1 m saadaan p 10. Virhe ei ole kuitenkaan vielä kovin suuri, jos lähdemme arvosta 1 cm. 20
Parempi tapa arvioida törmäyksen todennäköisyys pidemmille matkoille on käyttää binomijakaumaa. Esimerkiksi 1 metrin matkalle törmäyksen todennäköisyys saadaan binomijakaumasta kaavalla p(1 m)=1 q(1 cm) 100 0.99997, ja törmäys on siis lähes varma. Auringossa keskimääräinen lämpötilan muutos 1 metrin matkalla on dt dr T c T sur f R 2 107 K 7 10 8 m 0.03 K m 1 (67) T R/2 10 6 K, joten keskipisteen ja pinnan puolivälissä T:n muutos 1 metrin matkalla on mitätön verrattuna vallitsevaan lämpötilaan. Edellytykset LTE:lle ovat siis olemassa hiukkasten välisissä vuorovaikutuksissa. 2. Fotonit di= κρidr di I missäκon (taajuuden suhteen) keskimääräinen massa-absorptiokerroin. = κρdr (68) Fotonin keskimääräinen vapaa matka on se matka, jonka aikana säteilyn intensiteetti on pudonnut 1/e:een osaan alkuperäisestä: Integroimalla ylläoleva yhtälö, di I = saadaan fotonin vapaalle matkalle lauseke: l phot 1 κρ κρdr ln I lphot 2 = κρdr (69) I 1 0 Tyypillisestiκ 0.1 m 2 kg 1. Auringossaρ 1000 kg m 3, joten Auringossa, sen säteen puolivälissä, l phot 1 cm. Samalla matkalla lämpötilan muutos on noin 3 10 4 K, joten LTE on voimassa. Jotta päästäisiin eteenpäin kohti radiatiivisen lämpötilagradientin lauseketta, meidän tarvitsee saada selville, miten säteily siirtyy. Tarkastellaan tilavuusalkiota pinta-alaltaan da ja paksuudeltaan dr, joka säteilee suuntaanθ intensiteetillä I ν (θ). Pallosymmetriselle tähdelle voidaan aiemmin johdettu säteilynsiirtymisyhtälö (25) lausua muodossa cosθ di ν dr = j νρ κ ν I ν ρ (70) Pyritään ensin eliminoimaan riippuvuudet muuttujistaθ jaνintegroimalla koko avaruuskulman ja kaikkien taajuuksien yli. Sopivaan muotoon päästään muokkaamalla säteilynsiirtymisyhtälöä ensin hieman. Kerrotaan yhtälön molemmat puolet tekijällä cosθ/(κ ν ρ), ja integroidaan täyden avaruuskulman yli: 1 d I ν cos 2 θdω= j ν cosθdω I ν cosθdω (71) ρκ ν dr S κ ν S S Yhtälön oikealla puolella ensimmäisessä termissä oleva integraali = 0, ja toinen termi on (netto)vuontiheys F ν. Sijoitetaan vielä vasemmalle puolelle intensiteetin paikalle Planckin funktio, jolloin päästään lausekkeeseen 21
Vasemmalla puolella Toisaalta joten saadaan lauseke S 1 d ρκ ν dr B ν(t) cos 2 θdω= F ν (72) S cos 2 θdω= 2π π φ=0 θ=0 d dr B ν(t)= B ν(t) dt T dr 4π B ν (T) 3ρκ ν T cos 2 θ sinθdθdφ=4π/3 (73) (74) dt dr = F ν (75) Integroidaan kaikkien taajuuksien yli, mistä tulee 4π dt 3ρ dr Kokonaisvuontiheys F voidaan lausua luminositeetin avulla, eli 0 1 B ν (T) dν= F (76) κ ν T F= L r 4πr 2 (77) missä L r on säteilyenergian vuo r-säteisen pallopinnan läpi (huom. että tähden sisällä, alueissa joissa tapahtuu energian tuotantoa, myös kokonaisvuo (L r ) riippuu säteestä r). Määritellään nyt ns. Rosselandin keskimääräinen absorptiokerroinκ, s.e. 1 κ 0 B ν (T) T dν= 0 1 B ν (T) dν (78) κ ν T Vaihdetaan integroinnin ja derivoinnin järjestystä, jolloin vasen puoli saadaan muotoon 1 κ 0 B ν (T) T dν= 1 κ d dt 0 B ν (T)dν= 1 κ d B(T) (79) dt Toisaalta tiedetään, että B(T)= B 0 ν (T)dν= B 0 λ (T)dλ. Integroidaan siis kaikkien aallonpituuksien yli, joka käy parhaiten tekemällä ensin sijoitus x= hc 1 hc, jolloin saadaan dλ= ktλ kt 1 dx. x 2 Kun nämä sijoitetaan integraaliin (harjoitustehtävä) ja katsotaan sitten integraalin arvo jostakin sopivasta taulukkokirjasta, saadaan tulokseksi B(T)= σ π T 4 (80) missä σ on Stefan-Boltzmannin vakio. σ muodostuu lausekkeesta, joka sisältää Planckin vakion (h), Boltzmannin vakion (k), valon nopeuden (c), sekä vakionπ(harjoitustehtävä). Palataan alkuperäiseen tehtävään, ja käytetään johdettua tulosta, jolloin saadaan d dt B(T)= d dt ( σ π T 4 ) 22 = 4 σ πt 3 = ac π T 3 (81)
missä a on ns. säteilytiheysvakio. Kun käytetään yhtälön (76) oikean puolen lauseketta L r :n avulla lausuttuna, ja ratkaistaan säteilyn lämpötilagradientti, saadaan sille lauseke dt dr = 3 4ac κρ T 3 L r 4πr 2 (82) Lausekkeesta nähdään heti, että esim. suuri opasiteetti (suuri κ) mahdollistaa suuren radiatiivisen lämpötilagradientin, ja toisaalta suuri lämpötilagradientti mahdollistaa suuren luminositeetin. Kommentteina ylläjohdettuun lausekkeeseen mainittakoon: 1) Tässä käytetty luminositeetin symboli L r viittaa vain säteilyenergiaan, kun taas jatkossa sama symboli edustaa kokonaisenergiavuota. Tästä muodollisesta moniselitteisyydestä ei kuitenkaan ole käytännössä haittaa, koska useimmissa tapauksissa energia siirtyy joko kokonaan säteilemällä tai kokonaan konvektion (ainevirtausten) avulla, ja L r kummassakin tapauksessa edustaa nettoluminositeettia. 2) Syy siihen miksi Planckin funktio sijoitettiin vain säteilynsiirtymisyhtälön vasemmalle puolelle on se, että se kuvaa vain keskimääräistä intensiteettiä jossakin avaruuden pisteessä, eikä sitä voi käyttää jossakin tilavuuselementissä yhtäaikaa sekä sisääntulevan että ulosmenevän intensiteetin laskemiseen (tuloksena on triviaalisti aina F = 0). 3) Implisiittisesti oletettiin, että j ν ei riipu suunnasta, mikä on totta, lukuunottamatta stimuloitua emissiota, jolloinκ on eri muotoa, ja sisältää ko. efektiä kuvaavan tekijän (1 e hν/kt ). 4) Käytetty säteilynsiirtymisyhtälö pätee muodollisesti vain tasokerroksiin, joissa koordinaatisto ei kaareudu. Tämä ei yleisesti ottaen ole totta varsinkaan tähtien keskusosissa, joissa pallonkuorten kaareutuminen suhteessa säteeseen on huomattavaa. Tarkka lauseke intensiteetin muutokselle olisi: di ν (θ)= I ν(θ) r dr+ I ν(θ) dθ (83) θ Säteilyn lämpötilagradientin lausekkeeseen kaareutuminen vaikuttaa kuitenkin hyvin vähän, ja se voidaan jättää huomiotta. 3.2 Luminositeettigradientti Tarkastellaan ohutta pallon kuorta säteen r etäisyydellä tähden keskeltä. Olkoon ensiksikin kuoren alapuolelta aikayksikössä tuleva energia E, ja E C tämän kuoren tuottama ydinenergia aikayksikössä. Oletetaan, että pallonkuoren tuottama energia siirtyy isotrooppisesti ympäristöön, jolloin E+E C /2 siirtyy ylöspäin ja E E C /2 siirtyy alaspäin. Luminositeetin muutos kerroksessa on silloin: ( dl r = E+ 1 ) 2 E C ( E 1 ) 2 E C = E C (84) Tässä oletetaan, että kerros on tasapainossa (ei laajene eikä kutistu). Jatkoa varten on hyödyllistä kirjoittaa kuoren tuottama nettoluminositeetti muotoon E C =ǫdm r, jossaǫ on kuoren tuottama energia aika ja massayksikköä kohden, ja dm r on kuoren massa. Koska toisaalta dm r = 4πr 2 ρdr, saadaan: dl r dr = 4πr2 ρǫ (85) Energian tuotantokerroin ǫ riippuu tiheydestä ρ, lämpötilasta T, sekä kemiallisesta kokoonpanosta. 23
E 1/2 E 000000 111111 C 0000000000000000 1111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000 111111 00000 11111 00 11 00 11 E 1/2 E C Kuva 8: Energiantuotanto pallonkuorella 3.3 Konvektio ja konvektiivinen lämpötilagradientti 3.3.1 Energian siirtyminen ja sekoituspituus (mixing length) Konvektiossa energia siirtyy tähden pintaa kohden massavirtauksen mukana. Tämä massavirtaus johtuu oleellisesti siitä, ettei säteily kyseisessä kerroksessa tähden sisällä pysty kuljettamaan kaikkea ulospäin virtaavaa energiaa. Tällöin ko. kerros ei enää ole säteilytasapainossa. Massavirtaus konvektiossa tapahtuu ns. konvektioelementtien (konvektiokuplien) mukana, joiden sisällä lämpötila (tai yleisemmin, kaasun kineettinen energia) on korkeampi kuin ympäristössä. Sitä matkaa, jonka konvektioelementti nousee ylöspäin ennen kuin se hajoaa ja sekoittuu ympäristöön, sanotaan sekoituspituudeksi l. Tavallisesti l ilmaistaan ns. skaalakorkeuden H avulla. H on se syvyysero konvektiivisessa kerroksessa, jossa paine (tai vaihtoehtoisesti tiheys) muuttuu kertoimella e (Neperin luku). Yleensä sekoituspituudelle käytetään arvoja 0.5 l/h 2.0. Kun massaa virtaa kuumempien elementtien mukana ylöspäin kohti pintaa, täytyy sen kompensoitua vastaavan suuruisella massavirtauksella alaspäin, mikä tapahtuu ympäristöään kylmempien elementtien mukana. Tämä lisää edelleen lämpöenergian nettovirtausta ylöspäin. Siten kumpaankin suuntaan tapahtuvat konvektiovirtaukset edesauttavat energian siirtymistä tähden sisältä. Tähtien konvektion teoria on varsin kvalitatiivinen, eikä konvektiovirtausten luonnetta tunneta vielä tarkasti. Tässä yhteydessä pitäydymmekin tutkimaan niitä kriteereitä, joiden perusteella tiedetään milloin konvektiota esiintyy. Sitä varten tarvitaan määritelmiä termodynaamisille suureille, joiden avulla aineen sisältämä lämpömäärä voidaan laskea. 3.3.2 Termodynaamisia käsitteitä: ominaislämmöt C V ja C P Ominaislämpö määritellään yleisesti lämpöenergiana, joka tarvitaan systeemin lämpötilan muuttamiseen lämpötilayksiköllä, ts. ominaislämpö C on C= dq dt Me olemme kiinnostuneita ominaislämmöistä vakiopaineessa, C P, ja vakiotilavuudessa, C V : C P = dq dt (87) P C V = dq dt (88) V 24 (86)
Näin määriteltyinä ominaislämmöt riippuvat kaasun määrästä. Myöhemmin tulee käymään ilmi, ettei tästä muodostu ongelmaa, sillä lämpötilagradientin lauseke voidaan ilmaista ominaislämpöjen suhteen avulla, joka on: γ= C P (89) C V Seuraava välitavoite on siis johtaa lausekkeet yllämainituille suureille. Lähdetään termodynamiikan ensimmäisestä pääsäännöstä, joka sanoo että systeemin sisäisen energian muutos du koostuu systeemiin tuodusta lämmöstä dq ja mekaanisesta energiasta dw on. Kun ilmaistaan dw on toisella tavalla, systeemin tekemänä (negatiivisena) työnä dw by, saadaan eli du= dq dw by (90) dq=du+ dw by (91) Sovelletaan tätä konvektioelementtiin laskemalla työ, joka tehdään kun konvektioelementin pinnan osa da laajenee pintaa vastaan kohtisuoraan suuntaan matkan dx. Paineen arvolla P on pinta alaa da kohden tehty työ PdAdx, ja integrointi koko konvektioelementin pinnan A yli antaa missä dv on elementin tilavuuden muutos. Pääsimme siis tulokseen dw by = PAdx=PdV (92) dq=du+ PdV (93) ja tästä edelleen derivoimalla lämpötilan T suhteen, ja pitämällä V vakiona, saamme C V = du dt Ylläoleva yksinkertainen tulos johtuu siis siitä että mekaanisen työn osuus koostuu yksinomaan laajenemisesta. Seuraava askel on johtaa lauseke kaasun sisäiselle energialle U. Pitäydymme edelleen yksiatomisessa kaasussa, ja oletamme ettei nettoenergiaa kulu ionisaatioprosesseihin. Tällöin U koostuu kaasun kineettisestä energiasta. Kun sovelletaan Maxwellin nopeusjakautumaa (ks. Novotny s. 119 124), saadaan kaasumolekyylien keskimääräiseksi kineettiseksi energiaksi partikkelia kohti 1 2 m v 2 = 3 kt (95) 2 missä k on Boltzmannin vakio. Systeemille, jossa on N partikkelia saadaan siis kineettiseksi energiaksi ja ominaislämmölle vakiotilavuudessa saadaan lauseke (94) U= 3 kt N (96) 2 C V = 3 Nk (97) 2 Seuraavaksi johdetaan lauseke ominaislämmölle vakiopaineessa: C P = du dt + P dv P dt = 3 kn+ PdV P 2 dt (98) P Ideaalikaasun tilanyhtälöstä PV= NkT saadaan toisaalta puolittain derivoimalla P dv dt + V dp dt 25 = kn (99)
mistä vakiopaineessa (dp = 0) tulee joten P dv dt = Nk (100) P C P = 5 Nk (101) 2 Ominaislämmöille saadaan siis relaatio ja niitten suhteelle C P = C V + Nk (102) γ= C P C V = C V+ Nk C V (103) mistä nähdään, että C P on aina suurempi kuin C V. Jos ominaislämmöt kasvavat hyvin suuriksi (verrattuna Nk:hon),γlähenee arvoa 1. 3.3.3 Adiabaattinen lämpötilagradientti ja adiabaattinen kaasulaki Johdetaan lauseke lämpötilagradientille ja siinä sivussa kaasun tilanyhtälölle adiabaattisessa systeemissä. Adiabaattisessa systeemissä lämpömäärä (ja entropia) pysyy vakiona, eli dq=0, joten mistä edelleen seuraa du+ PdV= 0 (104) du dt + PdV dt = C V+ Nk V dp dt = C P V dp dt = 0 (105) Ideaalikaasun tilanyhtälö voidaan esittää ominaislämpöjen avulla muodossa V= NkT P mikä edelliseen sijoitettuna johtaa lausekkeeseen = (C P C V ) T P (106) Tämä sievenee edelleen muotoon dt T C P (C P C V ) T P = C P C V C P dp dt = 0 (107) ( dp P = 1 1 ) dp γ P (108) eli lopulta päädytään toivottuun lämpötilagradientin lausekkeeseen d log P d log T = γ γ 1 (109) Josγ=5/3 (adiabaattivakio), on paineen lämpötilagradientilla vakioarvo d log P d log T = 5 2 (110) 26
mikä on hyödyllistä painaa mieleen myöhempää käyttöä varten. Adiabaattiseen tilanyhtälöön päästään integroimalla adiabaattisen lämpötilagradientin lauseke, eli mistä saadaan ja edelleen P P o d log P = γ T d log T (111) γ 1 T o log P log P o = γ γ 1 (log T log T o) (112) ( P= ( ) γ/(γ 1) P T = P o T o ) (113) T γ/(γ 1) K T γ/(γ 1) (114) P o T γ/(γ 1) o missä K on vakio. Ideaalikaasun tilanyhtälö PV= NkT saadaan tiheydenρ, keskimääräisen molekyylipainonµ ja vetyatomin massan m H avulla (N/V =ρ/(µm H )) muotoon T =µm H P/(kρ). Sijoittamalla T paineen lausekkeeseen, saadaan T:stä riippumaton yhtälö ( ) γ/(γ 1) P ρo P = (115) P o P o ρ missä on oletettu, ettäµpysyy vakiona välillä, jossa tiheys muuttuu arvostaρ o arvoonρ. Sieventämällä päästään edelleen muotoon ( ) Po P= ρ γ Kρ γ (116) ρ γ o Tämä on adiabaattinen tilanyhtälö. Yhtälö on siis voimassa ainakin tähtien konvektiivisissa sisäosissa joissa kaasu on täysin ionisoitunutta ja γ = 5/3. Kaikkien tähtien sisäosat eivät ole kuitenkaan konvektiivisia, joten ennen adiabaattisen tilanyhtälön soveltamista on tutkittava, onko ko. kerros konvektiivinen. 3.3.4 Konvektiokriteerit: Radiatiivinen ja konvektiivinen lämpötilagradientti Lähdemme tutkimaan kaasukerroksen mahdollista konvektiivisuutta seuraavalla tavalla. Tarkastellaan materiaelementtiä, jonka paine, tiheys ja lämpötila ovat P 1 = P 1,ρ 1 =ρ 1, ja T 1 = T 1. Pilkulliset suureet kuvaavat materiaelementin, ja pilkuttomat samalla korkeudella olevan ympäristön arvoja, joten aluksi elementti on tasapainossa ympäristönsä kanssa. Poikkeutetaan elementtiä ylöspäin, minkä jälkeen sen tilaa kuvaavat arvot P 2,ρ 2, ja T 2. Emme tässä puutu tarkemmin siihen, mikä todellisessa tilanteessa aiheuttaisi alkusysäyksen liikkeelle. Esimerkiksi pieni lisäys elementtiin kohdistuvassa paineessa alhaalta päin riittää tähän. Oletetaan, että materia on ideaalikaasua, ja ettei elementin ja ympäristön välillä tapahdu lämmönvaihtoa (adiabaattinen kaasu). Tutkitaan, jatkaako elementti liikettään, vai pyrkiikö se palautumaan takaisin alaspäin. Elementti vajoaa takaisin alkukorkeudelle jos se painaa enemmän kuin vastaava tilavuus ympäristönsä ainetta (vrt. Arkhimedeen laki), eli tiheydenρ avulla lausuttuna: ρ 2 >ρ 2 ρ 2 ρ 2 > 1 (117) 27
00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 P P 2 = P 2 Uusi korkeus 00000000000000000000 11111111111111111111 ρ 2 ρ 2 00000000000000000000 11111111111111111111 2 00000000000000000000 11111111111111111111 T2 T 2 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 P P 1 = P 1 1 00000000000000000000 11111111111111111111 ρ ρ = ρ 1 1 1 Alkuperäinen korkeus 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 T 1 T 1= T1 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 Ympäristö Siirtyvä materia Kuva 9: Konvektioelementin siirtyminen väliaineessa. Tällöin konvektio ei siis käynnisty. Pyrimme lausumaan yo. ehdon muodossa, joka sisältää lämpötilagradientin d log P/d log T Koska siirtynyt elementti pyrkii muuttamaan paineensa samaksi kuin ympäristössä, on P 2 = P 2 (118) mikä on ideaalikaasun (P ρt) tapauksessa sama kuin eli ρ 2 T 2 =ρ 2T 2 (119) Jotta konvektio ei käynnistyisi, on siis oltava voimassa T 2 /T 2 =ρ 2 /ρ 2 (120) T 2 > T 2 (121) Otetaan ensin tapaus, jolloin lämpötila pienenee ulospäin. Vähennetään puolittain (positiivinen) alkulämpötila T 1, jolloin saadaan (T 2 T 1 )>(T 2 T 1) (122) Koska edelläoleva tarkastelu on riippumaton siitä kuinka lyhyen matkan elementtiä poikkeutetaan, voidaan väli supistaa infinitesimaaliseksi (dr), jolloin T 2 T 1 dt ymp, ja T 2 T 1 dt elem ja epäyhtälöstä seuraa dt dr > dt ymp dr (123) elem Koska lämpötilagradientti on tässä tapauksessa negatiivinen (T laskee ulospäin), merkitsee ehto sitä, että elementin lämpötilan on laskettava enemmän kuin ympäristön, jotta konvektiota ei syntyisi. 28
Jos lämpötila nousee ulospäin (positiivinen lämpötilagradientti), mikä on kuitenkin harvinaisempaa (esim. 5 M tähden rakenne heliumin loputtua ytimestä, jos neutriinojen osuus otetaan huomioon, Novotny s. 339) on ehdon T 2 > T 2 oltava edelleen voimassa, joten stabiilisuusehto pysyy samana kuin negatiivisen lämpötilagradientin tapauksessa, mutta tulkinta muuttuu: elementin lämpötilan on noustava vähemmän kuin ympäristön. Pyrimme edelleen lausekkeeseen, joka sisältää paineen lämpötilagradientin, mihin tarvitaan derivaatta dp/dr, joka on sama elementille ja ympäristölle, koska P 2 = P 2. Koska paine laskee ulospäin, on dp/dr<0, joten paineen derivaatalla jaettuna epäyhtälö tulee muotoon dt dp < dt ymp dp (124) elem ja kääntämällä saadaan: dp dt > dp ymp dt (125) elem Määritetään derivaatta korkeudella 1, jolloin T 1 /P 1 = T 1 /P 1 ja kerrotaan yo. epäyhtälö T 1/P 1 :llä, josta seuraa (alaindeksit voidaan pudottaa pois, koska ne ovat samat kaikissa suureissa) T dp P dt > T dp ymp P dt (126) elem Sama logaritmimuodossa: d log P d log T > d log P (127) ymp d log T elem Koska liikkuvan elementin ympäristö on radiatiivisessa tasapainossa, ja lisäksi tilanne on adiabaattinen (ei lämmönvaihtoa), voidaan ehto kirjoittaa muodossa: d log P > d log P d log T (128) rad d log T ad Ominaislämpöjen suhteenγavulla lausuttuna yo. ehto on d log P > γ d log T rad γ 1 (129) Yksiatomisen ja täysin ionisoituneen tai neutraalin kaasun tapauksessa (γ = 5/3) saadaan ehto mukavaan muotoon, joka sanoo siis, että kerros on radiatiivinen, mikäli paineen lämpötilagradientti on suurempi kuin vakioarvo 2.5, eli d log P d log T Tämä on hyvä muistaa myöhempää käyttöä varten. > 2.5 (130) rad Miten tulos on sitten ymmärrettävä, ja millaisissa olosuhteissa konvektiota esiintyy? Koska lämpötila tavallisesti laskee ulospäin tähden sisäosissa, gradientit dt/dr ja dp/dr ovat molemmat negatiivisia, mutta niiden suhde eli paineen lämpötilagradientti on positiivinen. Kun lämpötilan lasku ulospäin jyrkkenee, paineen radiatiivinen lämpötilagradientti pienenee, kunnes se saavuttaa saman arvon kuin paineen adiabaattinen lämpötilagradientti, ja radiatiivisessa alueessa satunnaisesti liikkunut aine saa nosteen ansiosta preferoidun suunnan ylöspäin. Kaikki satunnaisesti ylöspäin liikkuvat elementit ovat ympäristön nopean lämpötilan laskun seurauksena keventyneet ja jatkavat 29
liikettään kohti konvektiokerroksen ulkorajaa, joka saattaa olla jossakin tähden sisäosissa (esim. raskaat pääsarjan tähdet), tai tähden pinnalla (esim. Aurinko). Fysikaalisia tilanteita, jotka saattavat indusoida konvektion, ovat esimerkiksi: 1) Aineen opasiteetti on jostain syystä korkea (voimakas absorptio), mistä syystä säteily ei pääse etenemään ulospäin. Tämä aiheuttaa suuren radiatiivisen lämpötilagradientin (dt/dr) ko. kerroksessa, ja sitä kautta konvektion. 2) Jos jokin alkuaine, jota on merkittävästi ko. kerroksessa, on osittain ionisoituneessa tilassa, se aiheuttaa ominaislämpöjen suhteen γ pienenemisen arvosta 5/3, jolloin γ/(γ 1) kasvaa ja radiatiivinen paineen lämpötilagradientti jää pienemmäksi kuin adiabaattinen gradientti. 3) Ydinenergian tuotannon voimakas riippuvuus lämpötilasta jyrkentää radiatiivista lämpötilagradienttia dt/dr, mikä taas voi johtaa konvektioon, koska radiatiivinen paineen lämpötilagradientti pienenee. Kohdissa 1) ja 2) mainitut syyt voivat aiheuttaa konvektion erityisesti tähden ulkokerroksissa (lämpötila ei kovin korkea, joten esim. vety ja helium eivät ole kokonaan ionisoituneita). Kohta 3) on syynä konvektioon raskaiden tähtien energiaa tuottavissa sisäosissa. 30
4 Energian tuotanto Radiatiivisessa tasapainossa olevassa kerroksessa, jossa L r ei ole vakio säteen r suhteen, meidän on tiedettävä energiantuotantokertoimen ǫ(r) lauseke, ennenkuin voimme ratkaista tähden rakennetta kuvaavat yhtälöt. Sitä varten tutkimme seuraavaksi kahta tärkeintä energian lähdettä tähdissä, gravitaatiokutistumista ja ydinreaktioita. 4.1 Gravitaatiokutistuminen ja viriaaliteoreema Tähden gravitaatiokutistuminen on seurausta siitä, ettei kaasun paine riitä vastustamaan gravitaation kokoonpuristavaa voimaa. Kokoonluhistuminen saattaa kestää miljoonia vuosia, varsinkin silloin, jos alkutilanteessa tiheys ei ole suuri. Näin esimerkiksi tähden syntyvaiheessa, jolloin koko tähti gravitaation vaikutuksesta kutistuu (ydinreaktiot eivät ole vielä alkaneet, ja kokoonluhistumisessa vapautuva gravitaatiopotentiaalienergia on tähden ainoa luminositeetin lähde). Kun tähden myöhäisemmissä kehitysvaiheissa esimerkiksi jokin ydinreaktio lakkaa polttoaineen loppumisen seurauksena jossakin kerroksessa tähden sisällä, kokoonluhistuminen saattaa rajoittua kyseiseen kerrokseen. Kokoonluhistumisessa vapautuvan potentiaalienergian on kanavoiduttava muihin energiamuotoihin, jotka ovat 1) kaasun (sisäinen) kineettinen energia ja 2) säteily eli tähden luminositeetin kasvu. Tutkimme nyt, miten vapautunut potentiaalienergia jakautuu näiden kahden energiamuodon kesken. Määritämme ensin lausekkeen vapautuvalle potentiaalienergialle ja sitten johdamme ko. potentiaalienergian muutosta vastaavan kaasun kineettisen energian muutoksen. Mikäli muutokset eivät ole yhtäsuuret, niitten erotus menee säteilyn tiliin. Tähden massajakautuman M r avulla lausuttuna koko tähden gravitaatiopotentiaaliωsaadaan integroimalla potentiaalienergia massayksikköä kohden etäisyydellä r tähden keskeltä, ( GM r /r), koko tähden massajakautuman yli: Ω= M 0 GM r dm r (131) r Seuraavaksi johdetaan lauseke termiselle energialle U. Koko tähden sisältämän kaasun kineettinen energia saadaan summaamalla kaikkien kaasuhiukkasten (lukumäärä N) kineettiset energiat tähdessä, eli integraalimuodossa esitettynä: U= star 3 ktdn (132) 2 jossa dn on hiukkasten lukumäärä pallonkuorella jonka lämpötila on T (oletetaan pallosymmetrinen lämpötilajakautuma). Seuraavaksi tietysti pyritään lausumaan U sellaisessa muodossa, joka sisältää samat muuttujat kuin Ω:n lauseke. Ensinnäkin dn on pallonkuoren massa jaettuna yhden hiukkasen massalla, eli dn= dm r = 4πr2 ρdr (133) µm H µm H Toisaalta, ideaalikaasun tilanyhtälö on P = kρt/µm H, joten taas integroimalla tähden keskeltä pintaan päästään lausekkeeseen U= R 0 3 2 kt 4πr2 ρdr = 3 µm H 2 31 R 0 4πr 2 Pdr (134)
Osittaisintegroinnilla saadaan toisaalta integraali, jossa dp on mukana: U= 3 2 [ ] R 4π 3 r3 P 3 0 4π 0 2 P c 3 r3 dp (135) Sijoituslauseke on=0, koska alaraja antaa tuloksen 0, samoin yläraja, sillä P=0 tähden pinnalla. Pienillä uudelleenjärjestelyillä sisäisen energian lauseke saadaan muotoon U= 3 2 R 0 4π 3 r3gm r ρdr= 1 M r 2 2 0 GM r dm r (136) r missä on käytetty hyväksi hydrostaattisen tasapainon yhtälöä dp/dr= GM r ρ/r 2, ja sen jälkeen massan jatkuvuusyhtälöä dm r = 4πr 2 ρdr. Ylläoleva lauseke johtaa siis koko tähden gravitaatioenergian ja kaasun sisäisen energian väliseen relaatioon U= 1 Ω 2U+Ω=0 (137) 2 joka on viriaaliteoreema. Potentiaalienergian muutoksille viriaaliteoreema voidaan kirjoittaa muodossa Ω = 2 U (138) joka sanoo siis, että puolet (= U) tähden kutistuessa vapautuvasta gravitaatioenergiasta kuluu kaasun sisäisen energian muutokseen (kaasun lämpötila nousee). Toisen puolen vapautuvasta energiasta täytyy siten säteillä tähdestä ulos. Tämä viriaaliteoreema pätee siis yksiatomiselle ideaalikaasulle silloin, kun säteilypaine voidaan jättää huomiotta. Koska käytimme hydrostaattisen tasapainon yhtälöä, oletimme implisiittisesti, että tähti on koko ajan hydrostaattisessa tasapainossa, ts. gravitaatiokutistumisen aikaaskaalan on oltava paljon pitempi kuin hydrostaattinen aikaskaala τ d (R 3 /GM) 0.5 (eli dynaaminen aikaskaala, tai vapaan putoamisen aikaskaala). Seuraavassa kappaleessa saadaan selko siitä, miten hyvin hydrostaattisen tasapainon ehto pätee termisissä muutoksissa. Yleisemmän esityksen viriaaliteoreemasta enemmän kiinnostuneille antaa esim. Kippenhahn & Weigert (s. 15-18). 4.2 Terminen eli Kelvin - Helmholzin aikaskaala Aikoinaan, kun lämpöydinreaktioiden ei vielä tiedetty olevan tähtien energialähteenä, gravitaatiokutistumista pidettiin tärkeimpänä luminositeetin aiheuttajana. Voimme melko helposti tarkistaa sen mahdollisuuden, että Auringon kirkkaus olisikin peräisin gravitaatioenergiasta, joka vapautui, kun Aurinko tiivistyi laajasta tähtienvälisestä pilvestä. Oletetaan ensin, että tämän alkupilven säde R o ajan hetkellä t o oli hyvin suuri. Voimme arvioida karkeasti Auringon potentiaalienergiaa ajan hetkellä t o käyttämällä keskimääräistä gravitaatiopotentiaalia, joka saadaan sijoittamalla potentiaalienergian lausekkeeseen massan ja säteen arvot M /2 ja R o /2. Gravitaatiopotentiaalilla massayksikköä kohden on siis (vakio)arvo ( GMr ) r ave G M /2 R o /2 = G M R o (139) Koko Auringon gravitaatiopotentiaali säteen arvolla R o saadaan integroimalla yo. potentiaali koko massajakautuman yli, ts. M Ω(R o ) G M dm = G M2 (140) 0 R o R o 32