MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen tulo. Laske tai sievennä 5 3 1 : + 8 6 b. 1 3 4 : 3 5 3. Laske tai sievennä b. 134 5 6x 4 ( x ) ( ) 5 57 16 4. Kuinka monta prosenttia luvusta 50 on 50? b. 5? c. 175? 5. Kuinka paljon 600 eurosta on 0% b. 5% c. 70% 6. Lukumäärä a kasvaa ensin 50%, mutta pienenee sitten 50%. Kuinka monta prosenttia lukumäärä a muuttuu kaiken kaikkiaan? 7. Ilmaise aritmeettisen lukujonon 5,, -1, yleisen jäsenen aa nn lauseke
8. Ilmaise geometrisen lukujonon 5,, 4 5, yleisen jäsenen aa nn lauseke 9. Jono alkaa 7, 13, 19, 5, Määritä jonon 5. jäsen. 10. Aritmeettisen jonon seitsemäs jäsen aa 7 = 59 ja kolmastoista jäsen aa 13 = 179. Mikä on jonon ensimmäinen jäsen. b. Määritä yleisen jäsenen aa nn lauseke c. Mikä on jonon 0. jäsen? 11. Laske log 3 81 b. log 4 64 B-osion tehtäviä: Saa käyttää laskinta ja taulukkokirjaa 1. Lukujono alkaa -14, -19, -4, -9, Laske jonon 90 ensimmäisen jäsenen summ 13. Tivoli oli kaupungissa kaksi viikko Ensimmäisenä päivänä kävijöitä oli 1869 ja kävijämäärä väheni päivittäin n. 5%. Kuinka paljon kävijöitä oli kahden ensimmäisen viikon aikana yhteensä? 14. Yrityksen liikevaihto on kasvanut viimeisen viiden vuoden ajan joka vuosi 1% ja on tällä hetkellä 1,6 miljoonaa euro Mikä oli liikevaihto viisi vuotta sitten? b. Jos oletetaan, että yhtiön liikevaihdon kasvu pysyy samana, niin paljonko liikevaihto on kymmenen vuoden kuluttua? 15. Laura ja Pekka päättivät jakaa 585 euron palkkion niin, että Pekan palkkio on 80 % Lauran palkkiost Kuinka palkkio jaetaan? b. Opiskelijaryhmässä on mukana 9 tyttöä. Kuinka monta poikaa ryhmässä on, kun poikien osuus on 4 %? 16. Eräässä vaiheessa tuotteen hintaa korotettiin 10 %, minkä jälkeen se pian myytiin 0 %:n kampanja-alennuksella hintaan euro Mikä oli tuotteen alkuperäinen hinta?
17. Eräässä ammattikorkeakoulussa oli kymmenen vuotta sitten tietotekniikkaa opiskelemassa 451 tyttöä. Tyttöjä oli koulun opiskelijoista 1,5%. Kuinka paljon koulussa oli opiskelijoita? b. Tällä hetkellä samassa koulussa on 4880 opiskelijaa, joista tyttöjä on 35%. Montako tyttöä opiskelijoiden joukossa on? c. Kuinka monta prosenttia tyttöjen määrä on lisääntynyt? 18. Lääkeaineen pitoisuus veressä mitataan kerran tunniss Alussa lääkettä on 00 mg, tunnin kuluttua 180 mg ja kahden tunnin kuluttua 16 mg. Lääkeaineen pitoisuus vähenee veressä joka tunti yhtä monella prosentill Kuinka monta prosenttia lääkeaineesta on jäljellä tunnin kuluttua? b. Muodosta lukujonon yleisen jäsenen aa nn lauseke, jonka avulla voidaan laskea lääkeaineen määrä minkätahansa tuntimäärän n kuluttu c. Kuinka paljon lääkeainetta on veressä jäljellä 1 tunnin kuluttua? 19. Kuinka moni geometrisen jonon 900, 300, 100, jäsenistä on suurempi kuin 1,8? 0. Palokunnan pitkissä pelastustikkaissa ensimmäinen askelma on 35 cm korkeudella ja 1 askelma on 3,65 m korkeudell Kuinka korkealla on tikkaiden 50. askel?
1. RATKAISUT: 1 + 3 = 5 3 = 0 9 = 11 3 4 3 4 1 1 1 b. 1 3 = 5 + 3 = 0 + 9 = 9 3 4 3 4 1 1 1 c. 1 3 3 4 = 5 3 3 4 = 5 4 = 1 1 4 d. 1 : 3 = 5 4 0 = = 3 4 3 3 9 9 e. 1 1 1 3 3 4 = 3 5 4 3 = 4 5. 5 3 1 : + 8 6 = 5 : 8 9 + 1 = 5 : 10 6 6 8 b. 1 3 4 : 3 5 6 = 5 8 6 10 = 30 80 = 3 8 = 14 3 4 : 3 5 = ( 1 81 5 3 ) = 5 43 = 5 43 = 5 59049 3. ( ) 5 57 16 134 = 57 80 134 = 137 134 = 3 = 8 b. 5 5 6x 6x 6 3 = = = ( x ) 16x 16x 8x 4 8 3 3 4. Prosentuaalinen osuus saadaan vertaamalla aina alkuperäiseen lukuun! Eli tässä tapauksessa 50!! b. 50 = 1 0% 50 5 5 = 1 10% 50 10 c. 175 = 7 70% 50 10 5. Prosenttiosuus saadaan kertomalla prosenttien määrällä sadasosina 1%=0,01!! 600 0,0 = 10 b. 600 0,05 = 30 c. 600 0,70 = 40 6. aa 1,50 0,50 = 0,75aa Ensin 50% kasvu, joten kerrotaan 1,50 (100% + 50% =150% => 1,50) ja sen jälkeen 50% lasku, joten jäljelle jää 50% => kerrotaan 0,5.
Nyt luvun 0,75a prosentuaalinen osuus luvusta a: 0,75aa (aa: tt ssssssssssssssssssss pppppppp!) = 0,75 75% jäljellä a:st Eli a on muuttunut kaiken kaikkiaan: vähentynyt 5%. aa 7. Ratkaisu: a) d= a a1 = 3, joten a = 5 + ( n 1) ( 3) = 8 3 nn, = 1,,3,... n 8. Ratkaisu: a) a n 1 q= =, joten an = 5 ( ), n= 1,,3,... a1 5 5 9. dd = 13 7 = 6, tttttt dd = 19 13 = 6, tttttt jjjjjj jjjjjj => dd = 6 aa 1 = 7, jjjjjjjjjj aa nn = 7 + (nn 1) 6 vvvvvvvvvvvvvv vvvvvvvvä ssssssssssssssää: aa nn = 7 + 6nn 6 = 1 + 6nn 10. aa 7 = 59 jjjj aa 13 = 179, vvällllllllä oooo 6 "loikkaa" eeeeee 6dd => 59 + 6dd = 179 6dd = 10 : 6 dd = 0 a) NNNNNN yyyyyyyyyyyyyy jjässssssssss kkkkkkkkkk oonn aa nn = aa 1 + (nn 1)dd jjjj 7. jjässssss ttttttttttttäänn, ssssssssssss dd, jjjjjjjjjj => aa 7 = 59 = aa 1 + (7 1) 0 Ratkaistaan tästä aa 1. 59 = aa 1 + (7 1) 0 59 = aa 1 + 6 0 59 = aa 1 + 10 61 = aa 1 b) aa nn = 61 + (nn 1) 0 vvvvvvvvvvvvvv vvvvvvvvä ssssssssssssssää: aa nn = 61 + 0nn 0 = 81 + 0nn c) aa nn0 = 61 + (0 1) 0 = 61 + 19 0 = 61 + 380 = 319 11. log 3 81 = tt 3 tt = 81. VVVVVVVVVVVVVV 81 eeeeeeeeeeää 3: nn pppppppppppppppppppp? VVVVVV, 81 = 3 4, jjjjjjjjjj nnnnnn 3 tt = 3 4 jjjjjjjjjj tt = 4. TTätttttt log 3 81 = 4 b. log 4 64 = tt 4 tt = 64. VVVVVVVVVVVVVV 64 eeeeeeeeeeää 4: nn pppppppppppppppppppp? VVVVVV, 64 = 4 3, jjjjjjjjjj nnnnnn 4 tt = 4 3 jjjjjjjjjj tt = 3. TTätttttt log 4 64 = 3 1. Kumpi lukujono? Koska -19-(-14)=-5 ja -4-(-19)=-5 eli jonon jäsenten välillä on koko ajan sama etäisyys d=-5 kyseessä on aritmeettinen jono.
Aritmeettisen summan kaava: SS nn = nn aa 1+aa nn. Jos halutaan laskea SS 90, tarvitaan summan viimeinen jäsen aa 90 = aa 1 + (nn 1)dd = 14 + (89 1) ( 5) = 454 Nyt : SS 90 = 90 14 454 = 1060 13. Vähenee 5%, joten kävijämäärästä jää aina 95% jäljelle => Kerrotaan 0,95:llä! aa 1 = 1869 aa = 1869 0,95 aa 3 = 1869 0,95 0,95 aa 4 = 1869 0,95 0,95 0,95 Jne jne, selkeästi geometrinen jono, missä seuraava jäsen saadaan koko ajan kertomalla edellisestä suhdeluvulla q=0,95. Kahdessa viikossa on 14 päivää. Geometrisen summan kaava: SS nn = aa 1 1 qq nn 19151 kkävvvvvvää. 1 qq, jjjjjjjjjj SS 14 = 1869 1 0,9514 1 0,95 = 19150,7 14. b. 5 1,6 M 1,1 (p.) 7,15 M (3p.) 10 1, 6 M 1,1 39 M (6p.) Jos ratkaistu kertomalla uudestaan ja uudestaan... (4,5 p) 15. a) Merkitään xx=lauran osuus. Tällöin Pekan osuus on 0,8xx xx + 0,8xx = 585 1,8xx = 585 : 1,8 xx = 35 Pekan osuus: 0,8 585 = 60 Vast: Lauralle 35 ja Pekalle 60 b) Merkitään xx=kaikkien opiskelijoiden lukumäärä. Tällöin tyttöjen osuus on 58 %. 0,58xx = 9 : 0,58 xx = 50 Poikien määrä on tällöin 50 9 = 1
16. Olkoon alkuperäinen hinta x euro Korotuksen jälkeen hinta oli 1,1x euroa ja alennuksen jälkeen 0,8 1,1 x = 0, 88x euro Yhtälöstä 0,88x = ratkeaa x = = 5. 0,88 17. Vastaus: 5 euro x = kaikkien opiskelijoiden määrä. xx = 3608 oppilasta b. 0,35 4880 = 1708 0,15xx = 451 :0,15 c. Verrataan alkuperäiseen tyttöjen määrään: 1708 451 = 3,787 3,787:sta 1 kokonainen 1,0 on 100%, joten sadan prosentin päälle on,787 sadasosaa, eli 78,7 prosentti Tyttöjen määrä on siis kasvanut 78,7 prosenttia! 18. aa 1 = 00, aa = 180, aa 3 = 16, SSSSSSSSässssssssäänn eeee aaaaaaaaaaaaaaaatttttttttt jjjjjjjj, kkkkkkkkkk aa 1 jjjj aa vvällll oooo 0 jjjj aa jjjj aa 3 vvällll oooo 18, eeeeee vvällllll. => pppppppppp oooooooo gggggggggggggggggggggg! a) Tunnin kuluttua lääkeainetta on jäljellä 180 = 0,9=> 90% 00 b) Geometrisen jonon yleisen jäsenen kaava aa nn = aa 1 qq nn 1 SSSSSSSSSSSSSSSSäänn mmmmmmä oooo kkkkkkkkkkkkkk qq = aa = 180 = 0,9 (yllätys yllätys ), joten kaava on aa 1 00 aa nn = 00 0,9 nn 1 c) aa 1 = 00 0,9 1 1 = 00 0,9 11 = 6,8 mmmm 19. aa 1 = 900, aa = 300, aa 3 = 100, SSSSSSSSSSSSSSSSäänn mmmmmmä oooo kkkkkkkkkkkkkk qq = aa = 300 = 1. Joten yleisen jäsenen kaava on: aa 1 900 3 aa nn = 900 ( 1 3 )nn 1 Nyt haetaan tuntematonta jäsentä numero n., joka olisi vähintään 1,8. Eli aa nn = 900 1 3 nn 1 = 1,8 PPPPPPPPPPPPPPPP nn: nn ttäyyyyyyyy oooooooo? 900 1 3 nn 1 = 1,8 : 900
1 3 nn 1 = 0,00 Pitää ratkaista tuntematon eksponentti => logaritmi!! log1 0,00 = nn 1 3 5,7 = nn 1 6,7 = nn eli tasan 6,7. jäsen olisi 1,8, eli 6. jäsen on isompi ja 7. jäsen on jo pienempi, kun on kysymys koko ajan pienenevästä jonosta lukuj Eli 6 jäsentä on suurempia kuin 1,8. 0. aa 1 = 35cccc, aa 1 = 365cccc Tikkaat, eli askelmat ovat tasavälein => aritmeettinen jono! Jäsenten aa 1 jjjj aa 1 välillä 11 loikkaa, joten saadaan pikku yhtälö aa 1 + 11dd = aa 1 35 + 11dd = 365 11dd = 365 35 11dd = 330 : 11 dd = 30 Yleisen jäsenen kaava aa nn = aa 1 + (nn 1)dd, jjjjjjjjjj aa 50 = 35 + (50 1) 30 = 1505cccc = 15,05 mm