MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 23
Esimerkki 1/2 Olkoot F : R 3 R 3 funktio F (x, y, z) = Ai + Bj + Ck ja S laatikko, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset. Lasketaan I = S F ˆN ds. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 2 / 23
Esimerkki 2/2 Saadaan I = = etusivu + + F i ds + F j ds + F k ds + oikea sivu kansi etusivu + + oikea sivu kansi takasivu pohja F ( i) ds vasen sivu F ( k) ds A ds + A ds takasivu B ds + B ds vasen sivu C ds + C ds = 0 pohja F ( j) ds Tulkinta: Laatikkoon tulee yhtä paljon nestettä kuin sieltä lähtee pois. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 3 / 23
Divergenssi ja roottori: motivaatio Kysymys: Miten derivoidaan funktio F : R 2 R 2 tai F : R 3 R 3 (eli vektorikenttä)? Aikaisemmin kurssilla on esiintynyt gradientti, joka vastaa funktion f : R 3 R derivaattaa: Tällöin: f = x f i + y f j + z f k. Funktio f kasvaa voimakkaimmin gradientin f suuntaan. Jos C on käyrä r : [a, b] R 3, niin ˆ f dr = f (r(b)) f (r(a)). C Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 4 / 23
Divergenssi Olkoon F : D R 3 funktio avaruudessa (vektorikenttä): F (x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k, tässä F j tarkoittaa F :n j:ttä komponettia, kun j = 1, 2, 3. Tällöin: Funktion F divergenssi on div F = F = x F 1(x, y, z) + y F 2(x, y, z) + z F 3(x, y, z). Huom. Funktion F divergenssi on skalaarifunktio, siis div F : D R. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 5 / 23
Roottori Funktion F roottori (engl. curl tai rotor) on i j k curl F = F = det x y z F 1 F 2 F 3 ( = i y F 3 ) ( z F 2 j x F 3 ) z F 1 Merkitään myös curl F = rot F = F. ( + k x F 2 ) y F 1. Huom. Funktion F roottori on vektorikenttä, siis curl F : D R 3. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 6 / 23
Tavoitteita Tulkinta divergenssille ja roottorille? Stokesin lause: Jos S R 3 on suunnistettu pinta ja C on sen reunakäyrä, niin ˆ curl F ˆN ds = F dr. S Gaussin (divergenssi-) lause: Jos D R 3 on kappale, jonka reuna on D = S, niin div F dv = F ˆN ds. D Greenin lause, joka vastaa Stokesin lausetta tasossa. S C Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 7 / 23
Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 funktio Lasketaan div F ja curl F : F (x, y, z) = xyi + (y 2 z 2 )j + yzk. div F = y + 2y + y = 4y. i j k curl F = det x y z xy y 2 z 2 yz ( = i y yz ) ( z (y 2 z 2 ) j x yz ) ( z xy + k x (y 2 z 2 ) ) y xy = i(z + 2z) j(0 0) + k(0 x) = 3zi xk. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 8 / 23
Divergenssin tulkinta 1/3 Olkoon F : R 3 R 3 nesteen nopeuskenttä ja B 3 (ε) pieni ε-säteinen, origokeskinen kuula, jonka reunapintaa merkitään S 2 (ε). Suunnistetaan S 2 (ε) ulkonormaalilla. Gaussin lauseesta saadaan F ˆN ds = S 2 (ε) B 3 (ε) F dv F (0) B 3 (ε) 1 dv, missä viimeinen integraali on nollaa suurempi, koska se on ε-säteisen pallon tilavuus. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 9 / 23
Divergenssin tulkinta 2/3 Jos div F (0) > 0, niin F ˆN ds > 0 kaikilla ε > 0. Tällöin origokeskisen pallon läpi virtaa nestettä ulos kaikilla ε > 0, ts. origossa on lähde. Vastaavasti, jos div F (0) < 0, niin 0:ssa on nielu. Jos div F (0) = 0, niin origoon tulee yhtä paljon nestettä kuin sieltä lähtee pois. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 10 / 23
Divergenssin tulkinta 3/3 Tulkinta: Divergenssi kuvaa vektorikentän lähteisyyttä pisteessä (x, y, z) R 3. Jos div F (x, y, z) = 0 kaikilla (x, y, z) D, niin F on lähteetön. Esim. F = Ai + Bj + Ck (vakiofunktio), niin div F = 0 + 0 + 0 = 0, eli F on lähteetön. Esim. Jos F : D R 3 on lähteetön ja S on suljettu pinta S D, niin F ˆN ds = 0 Gaussin lauseen nojalla. S Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 11 / 23
Roottorin tulkinta 1/3 Olkoon F : R 3 R 3 vektorikenttä, ja ˆN R 3, ˆN = 1. Olkoon D(ε) kiekko avaruudessa, jonka säde on ε, suunnistus ˆN ja reunakäyrä C. Stokesin lauseesta saadaan ˆ F dr = F ˆN ds F (0) ˆN 1 ds = F ˆNπε 2. C Saatiin D(ε) D(ε) curl F v ˆN 1 ˆ πε 2 F dr. C Esim. F pyörii vastapäivään (positiiviseen suuntaan) vektorin ˆN ympäri, jos ˆ ˆ 2π F dr = F (r(t)) dr dt > 0. dt C 0 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 12 / 23
Roottorin tulkinta 2/3 Esimerkki. Olkoon F (x, y, z) = j (vakio) ja C ympyrän kehä r(t) = i cos t + j sin t. Saadaan ˆ C F dr = ˆ = C ˆ 2π 0 F (r(t)) dr dt dt j ( i sin t + j cos t) dt = ˆ 2π 0 cos t dt = 0. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 13 / 23
Roottorin tulkinta 3/3 Integraali C F dr mittaa F :n pyörimistä ˆN-vektorin ympäri. Siten curl F (0) ˆN mittaa F :n pyörimistä ˆN-vektorin ympäri. Pistetulon määritelmästä seuraa, että curl F (0) ˆN saa maksiminsa, kun curl F (0) ˆN = curl F (0). Toisin sanoen: F pyörii voimakkaimmin curl F -akselin ympäri. Vertaa: Funktio f : R 3 R kasvaa voimakkaimmin f :n suuntaan. Jos vektorikentälle F : D R 3 pätee curl F = 0 (D:ssä), niin F on pyörteetön. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 14 / 23
Esimerkki Olkoon F vektorikenttä F (x, y, z) = Ω( yi + xj), Ω R. Tällöin div F = 0 + 0 = 0. Saadaan myös i j k curl F = det x y z Ωy Ωx 0 = 0i + 0j + 2Ωk = 2Ωk. Tulkinta: Jos Ω > 0 (vast. < 0), niin F pyörii z-akselin ympäri positiiviseen (negatiiviseen) suuntaan. Jos Ω = 0, niin F = 0 ja F ei pyöri. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 15 / 23
Esimerkki Olkoon F (x, y, z) = xi. Lasketaan divergenssi: div F = 1 + 0 + 0 = 1. Roottori: eli F on pyörteetön. i j k curl F = det x y z = 0, x 0 0 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 16 / 23
Gradientin roottori Olkoon D R 3, f : D R sileä funktio ja F : D R 3 sileä vektorikenttä. Lasketaan: f = x f j + y f j + z f k. curl f = det i j k x x f ( 2 f = i y z 2 f z y y y f z z f ) + 0j + 0k = 0. Saatiin: curl f = 0, eli konservatiivinen vektorikenttä on pyörteetön. Vastaavasti F = 0, eli vektorikenttä curl F on aina lähteetön. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 17 / 23
Laplacen operaattori Laplacen operaattori: div f = Merkitään f = 2 f = f. 2 f x x + 2 f y y + 2 f z z Jos f = 0, niin f on harmoninen funktio. Vektorikentälle määritellään F = F 1 i + F 2 j + F 3 k. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 18 / 23
Tulon derivoimissääntöjä Olkoot φ, ψ : R 3 R ja F, G : R 3 R 3 sileitä funktioita. Tällöin: (φψ) = ψ φ + φ ψ. div (φf ) = ( φ) F + φ div F. curl (φf ) = ( φ) F + φ curl F. div (F G) = (curl F ) G F (curl G). Esim. Olkoot F, G pyörteettömiä, eli curl F = curl G = 0. Saadaan div (F G) = curl F F F curl G = 0, eli F G on lähteetön. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 19 / 23
Gaussin lause Lause Oletetaan, että D R 3 on kappale reunana pinta S, jonka ulkonormaali on ˆN. Tällöin D div F dv = kun F : D R 3 on sileä vektorikenttä. Vertaa: Analyysin peruslause ˆ b a S F ˆN ds, f (x) dx = f (b) f (a). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 20 / 23
Todistus (idea) 1/3 Merkitään F = F 1 i + F 2 j + F 3 k. Tällöin Gaussin lause sanoo: x F 1 + y F 2 + z F 3 dv = (F 1 i + F 2 j + F 3 k) ˆN ds. D Riittää siis osoittaa, että: D x F 1 dv = S F 1i ˆN ds, D y F 2 dv = S F 2j ˆN ds, z F 3 dv = S F 3k ˆN ds. D Todistetaan ensimmäisen yhtälö, muut voidaan todistaa samaan tapaan. S Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 21 / 23
Todistus (idea) 2/3 Oletetaan, että D = [0, 1] [0, 1] [0, 1] eli yksikkökuutio. Tämä ei ole oleellinen rajoitus: yleisempi alue voitaisiin hajottaa kuutioiksi. Yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 Analyysin peruslauseen nojalla: ˆ 1 0 0 0 0 x F 1 dx dy dz. x F 1 dx = F 1 (1, y, z) F 1 (0, y, z). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 22 / 23
Todistus (idea) 3/3 Edelleen voidaan laskea (huomaa pinnan suunnistus): ˆ 1 ˆ 1 0 0 = F 1 (1, y, z) dy dz etusivu ˆ 1 ˆ 1 0 F 1 i ˆN ds + 0 takasivu + F 1 i ˆN ds + sivut = F 1 i ˆN ds, eli saatiin yhtälön oikea puoli. S kansi/pohja F 1 (0, y, z) dy dz F 1 i ˆN ds F 1 i ˆN ds Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 23 / 23