Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja suppenee. Jos tämä summa ei ole olemassa, sarja hajaantuu. Sarja hajaantuu esimerisi silloin, un yllä oleva summa on ääretön eli Näin äy esimerisi sarjoille n= n= a n = n= n = + 2 + 3 + 4 + n = + 2 + 3 + 4 + On selvää, että näistä sarjoista ylemmän summa on ääretön. Yllättävämpää on, että myös alemman sarjan summa on ääretön. Näin on siis siitäin huolimatta, että sarjan n:s summattava termi /n lähestyy nollaa un n asvaa rajatta. Tässä vaiheessa annattaa siis huomata, että se että sarjan n:s termi a n lähestyy nollaa ei taaa sarjan suppenemista. Aiemmin tutittiin geometrisia sarjoja aq = a + aq + aq 2 + aq 3 + =0 Tällainen geometrinen sarja suppenee aina silloin, un suhdeluu q on yhden ja miinus yhden välissä eli < q <. Täten esimerisi sarja ( ) 2 = 2 ( ) 2 2 ( ) 2 3 ( ) 2 4 3 3 + + + + 3 3 3 = ja
suppenee. Geometrisen sarjan summa on a/( q) eli yllä (2/3)/( 2/3) = (2/3)/(/3) = 2. On vielä syytä huomata, että jos miä tahansa sarja leiataan jostain ohdasta poii siten, että lasetaan ainoastaan j:n ensimmäisen termin summa j a n = a + a 2 + + a j + a j n= niin tämä summa on aina äärellisenä olemassa, osa siinä on summattavana äärellinen määrä termejä. Tästä seuraa, että sarjan hajaantuminen tai suppeneminen riippuu ainoastaan sen hännästä eli loppusummasta a j + a j+ + a j+2 +. Tästä seuraa, että esimerisi sarja n = j + j + + n=j hajaantuu riippumatta siitä, uina suuri luu j:si valitaan. Nyt on hyvä määritellä sarjojen suppeneminen taremmin uin että summa = a on olemassa. Ajatellaan nyt jäsenten osasummia eli n:n ensimmäisen termin summaa S n = n a i = a + a 2 + + a n i= Esimerisi sarjan n= n ensimmäiset osasummat ovat S = S 2 = + 2 S 3 = + 2 + 3 Nyt saadaan sarjojen suppenemiselle ja hajaantumiselle tara määritelmä: Määritelmä.. Oloon a i = a + a 2 + i= 2
sarja. Meritään S n :llä sen n:ttä osasummaa. Eli esimerisi S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 Muodostetaan näistä osasummista S, S 2, S 3,... jono (S, S 2, S 3,... ). Nyt sarja a i = a + a 2 + a 3 + i= suppenee jos sen osasummien jono suppenee ja hajaantuu jos sen osasummien jono hajaantuu. Eli a i on äärellisenä olemassa (S, S 2, S 3,... ) suppenee i= Esimeri. (Hajaantuva sarja) Sarja i= i = + 2 + 3 + 4 + hajaantuu, sillä sen osasummien jono on muotoa (, 3, 6, 0,... ) eiä selvästi lähesty mitään tiettyä reaaliluua, joten sarja hajaantuu. Esimeri.2 (Suppeneva sarja) Sarja i= ( ) i = 2 2 + 4 + 8 + suppenee, sillä sen osasummien jono on muotoa ( 2, 3 4, 7 8,... ) ja lähestyy luua. Huomaa uitenin, että osasummien irjoittaminen uten yllä ei ole todistus suppenemisesta. Näistä osasummista on uitenin se hyöty, että niiden avulla saadaan pääteltyä ysi riteeri sarjojen suppenemiselle. Ensinnä oletetaan, että meillä on sarja, jona termit ovat positiivisia eli a i > 0 aiilla i. Tästä seuraa se, että osasummat (S, S 2, S 3,... ) muodostavat asvavan jonon. Tämän näee irjoittamalla aleain perättäiset osasummat S j ja S j : S j = a + a 2 + + a j S j = a + a 2 + + a j + a j Täten S j S j = a j > 0 eli osasummien jono on asvava. Eli siis: 3
Osasummat (S, S 2, S 3,... ) muodostavat asvavan jonon jos ja vain jos aii termit a i ovat positiivisia. Keseinen lause tällaisille asvaville jonoille on, että asvava jono suppenee, jos se on ylhäältä rajoitettu. Osasummien ohdalla tämä taroittaa seuraavaa: Lause.. Osasummien jono (S, S 2, S 3,... ) suppenee, jos. Nämä osasummat muodostavat asvavan jonon eli jos aii termit a i ovat positiivisia. 2. Tämä osasummien jono on ylhäältä rajoitettu eli on olemassa luu M siten että S n < M eli joainen osasumma on aina alle luvun M. Osasummien jonon suppeneminen taroittaa, että summa n= a n on äärellisenä olemassa. Täten yllä oleva lause antaa riittävät ehdot sarjan suppenemiselle. Esimeri.3 (Sarjan osoittaminen suppenevasi) Sarjan n:s osasumma on n=0 + + 2 + 2 3 + 2 3 4 + + 2 3 4 + n < + + 2 + 2 2 + 2 3 + < + n=0 ( 2 ) n = 3. n! 2 n Eli yllä näytettiin, että osasummat ovat ylhäältä rajoitettuja: S n on aina pienempi uin 3. Kosa lisäsi sarjan termit n! ovat positiivisia, niin sarja suppenee lauseen. nojalla. 2 Majorantti- ja minoranttiperiaate Tässä vaiheessa on syytä palauttaa mieleen, että sarja n= n hajaantuu ja että geometriset sarjat =0 aq suppenevat, un < q <. Näiden avulla voimme osoittaa useiden muiden sarjojen suppenemisen tai hajaantumisen vertailemalla näitä sarjoja sellaisiin sarjoihin, joiden tiedämme suppenevan tai hajaantuvan. 4
Tarastellaan esimerisi sarjaa n= 3 n + Tehtävänä on nyt osoittaa tämän sarjan suppeneminen. Kuina edetä? Ensinnä pitää huomata, että tämän sarjan termit ovat positiivisia, joten sarjan osasummat muodostavat asvavan jonon. Toisaalta pitää huomata, että vaia tämä sarja ei itse asiassa ole geometrinen sarja, niin se muistuttaa geometrista sarjaa n= 3 n Kirjoitetaan nämä asi sarjaa alleain: n= Huomataan, että paolla S j = j n= 3 n + = 4 + 0 + 28 + n= 3 n = 3 + 9 + 27 + j 3 n + < n= osa sarjojen joaiselle termille pätee 3 n + < 3 n 3 n < n= 3 n = 2, 3 n + Tässä sarja n= 3 on sarjan n n= 3 n + majoranttisarja. Täten sarja n= suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Tätä periaatetta voi soveltaa sarjoille, joiden termit a n ovat positiivisia ja joille löydetään suppeneva majoranttisarja ( suurempi sarja ). Tara matemaattinen perustelu tälle periaatteelle perustuu siihen, että osasummien jono on ylhäältä rajoitettu ja asvava:. Sarjan n= 3 n + yleinen termi 3 n + on positiivinen, joten tämän sarjan osasummat S j muodostavat asvavan jonon. 2. Osasummat ovat ylhäältä rajoitettuja: S j = j n= j 3 n + < n= 3 n < /2. 5
3. Täten sarja suppenee, osa sen osasummat muodostavat asvavan, ylhäältä rajoitetun jonon. Esimeri 2. (Majoranttiperiaate) sarja suppenee. n= Todista vastaavalla teniialla, että 2 n + Rataisu. Tällä ertaa tehtävän sarja muistuttaa geometrista sarjaa n= 2 n, joa suppenee: sen summa on. Kosa sarjojen termit ovat positiivisia ja joaiselle termille pätee 2 n + < 2 n, niin n= 2 on sarjan n n= 2 n + majoranttisarja. Täten sarja n= 2 n + suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Majoranttiperiaatteessa siis etsittiin positiivistermiselle sarjalle suppeneva, osasummiltaan suurempi sarja. Kun tällainen sarja löytyi, voitiin vedota siihen että aluperäisen sarjan osasummat muodostavat asvavan, rajoitetun jonon, jolloin tämä sarja suppenee. Minoranttiperiaatteen avulla puolestaan yritetään todistaa että join sarja n= a n hajaantuu. Tämä periaate on tavallaan majoranttiperiaatteen peiliuva, sillä nyt pyritään löytämään sarjaa n= a n pienempi sarja, joa hajaantuu. Idea avautuu esimerin autta Esimeri 2.2 (Minoranttiperiaate) Osoita, että sarja hajaantuu. n= n Rataisu. Sarjan n:s termi on n > n. Toisaalta sarja hajaantuu. Täten n < n= n= n n= n 6
Eli sarja hajaantuu, osa sillä on hajaantuva minoranttisarja n= n. Jos tehtävänä on todistaa jonin positiivistermisen sarjan suppeneminen, niin usein majoranttiperiaate auttaa: etsitään majoranttisarja, joa on. joaiselta termiltään suurempi uin tehtävän sarja ja 2. jona tiedetään suppenevan. Näissä tehtävissä hanaluutena on usein löytää tämä suppeneva majoranttisarja. Hyvä idea on tällöin atsoa muistuttaao tehtävän sarja jotain tunnettu sarjaa, uten geometrista sarjaa. Tämän jäleen osoitetaan, että sarjan joainen termi on pienempi uin tämän majoranttisarjan vastaava termi. Tämä taas tapahtuu esimerisi osoittamalla että tämän sarjan osoittaja on pienempi uin majoranttisarjan osoittaja ja/tai että tämän sarjan nimittäjä on suurempi uin majoranttisarjan nimittäjä. Huomaa että majoranttiperiaatetta äytettäessä saadaan ainoastaan tieto, että sarja suppenee. Tällä tavalla ei saada uitenaan tietoa siitä, miä tämä summa on. Minoranttiperiaatetta äytettäessä puolestaan on syytä tarailla, muistuttaao tehtävän sarja mitään tiettyä sarjaa joa hajaantuu. Jos muistuttaa, niin on osoitettava että tämän sarjan joainen termi on suurempi uin minoranttisarjan vastaava termi. Tämä tapahtuu esimerisi osoittamalla, että tämän joaisen termin osoittaja on suurempi tai nimittäjä on pienempi uin minoranttisarjassa. Kertausena: Majoranttiperiaatetta äytettäessä pyritään todistamaan, että join (positiivisterminen) sarja n= a n suppenee. Tällöin ideana on etsiä tälle sarjalle suppeneva majoranttisarja n= b n, jolle pätee a n < b n aiilla n. Minoranttiperiaatetta äytettäessä pyritään todistamaan, että join (positiivisterminen) sarja n= a n hajaantuu. Tällöin ideana on etsiä tälle sarjalle hajaantuva minoranttisarja n= c n, jolle pätee c n < a n aiilla n. Alla oleva esimeri valaisee sitä, että sopivan majoranttisarjan löytäminen vaatii josus useamman välivaiheen. Esimeri 2.3 (Majoranttiperiaate) Osoita, että sarja 2 n 4 n= n + 3 7
suppenee. Rataisu. Etsitään tälle sarjalle majoranttisarja. Majoranttisarja on joaiselta termiltään suurempi sarja, ja suuremman sarjan voi löytää ahdella tavalla:. Suurennetaan osoittajaa 2. Pienennetään nimittäjää Tehdään nämä asi toimenpidettä perääin. Suurennetaan ensin osoittajaa ja pienennetään sen jäleen nimittäjää: 2 n 4 n + 3 < 2n 4 n + 3 < 2n 4 n. Nyt sarja n= 2n 4 n = n= ( 2) n on haluttu majoranttisarja, joten tehtävän sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. 3 Osamäärätesti Osamäärätesti perustuu ahteen ideaan:. Geometrinen sarja suppenee, jos < q <. Jos positiivistermiselle sarjalle löydetään suppeneva geometrinen majoranttisarja, niin tämä sarja suppenee. 2. Sarjan suppeneminen määräytyy ainoastaan loppusumman a n = a j + a j+ + n=j perusteella, osa ensimmäisen (j ):den termin summa on äärellinen. Jos tälle loppusummalle löydetään suppenevat majoranttisarja, niin oo sarja suppenee. Tämän idean toimivuus perustuu siihen, että jos loppusummalle n=j a n = a j + a j+ + löydetään suppeneva majoranttisarja, niin tämä loppusumma suppenee ja on täten äärellisenä olemassa: n=j a n = M L, jossa meritään M L :llä tätä summaa. Toisaalta alusumma j n=0 a n on myös äärellinen: meritään tämä summaa M A. Täten oo sarjan summa on a n = n=0 j n=0 a n + n=j a n = M A + M L, joa on ahden äärellisen luvun summana äärellinen. 8
Tutitaan nyt positiivistermistä sarjaa n= a n, jolle pätee a n+ lim = q <. n a n Eli tämän sarjan termien suhde lähestyy jotain luua q <, un n asvaa rajatta. Oleellista on, että tämä luu q on alle yhden. Tästä seuraa, että jostain termistä a N lähtien suhde a N+ a N on paolla alle yhden. Täten voidaan valita join yöstä pienempi (mutta q:ta suurempi) luu c, siten että suhde a N+ a N on jostain termistä lähtien alle luvun c. Verrataan tämän sarjan loppusummaa geometriseen sarjaan jona yleinen termi on Ac n : n=n a n = a N + a N+ + a N+2 + a N+3 + Ac n = A + Ac + Ac 2 + Ac 3 + n=0 Nyt tämän alle olevan geometrisen sarjan summa on Ac/( c), miä on äärellinen osa c on alle yhden. Tästä geometrisesta sarjasta saadaan yllä olevalle loppusummalle majoranttisarja, osa:. Aina voidaan valita tarpeesi suuri luu A siten, että A > a N. 2. Kosa a N+ /a N < c, niin a N+ < ca N < ca. Täten tuon suppenevan geometrisen sarjan toinen termi ca on suurempi uin a N+. Vastaavalla päättelyllä nähdään, että sarjan n=0 Ac n termi Ac i on suurempi uin summan n=n a n vastaava termi a N+i. Täten tämän geometrisen sarjan joainen termi on suurempi uin tuon loppusumman vastaava termi. Täten tämä geometrinen sarja on tuon loppusumman majoranttisarja. Tässä tuli todistettua seuraava tulos: Lause 3.. Oletetaan, että positiivistermiselle sarjalle n= a n pätee, että a lim n+ n a n = q <. Tällöin sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Tulos johtuu siitä, että sarjan loppusummalle on mahdollista löytää geometrinen majoranttisarja, jona suhdeluu c on jossain yhden ja q:n välissä. Kosa loppusumman häntä määrää sen suppenemisen, niin tämä a toimii. Kun testataan osamäärän raja-arvoa lim n+ n a n, tehdään osamäärätesti. Jos tämä raja arvo lim n+ n a n a on alle yhden, sarja suppenee. Jos se on yli yhden, sarja hajaantuu. Jos se on tasan ysi, osamäärätesti ei erro 9
suppeneeo vai hajaantuuo sarja. Esimeri 3. (Osamäärätesti) Testaa, suppeneeo vai hajaantuuo sarja ( ) n n. 7 n= Rataisu. Lasetaan osamäärän raja-arvo: a n+ lim n a n ( (n + ) n+ = lim 7) n n ( ) n 7 ( ) ( ) n + = lim = n n 7 Täten sarja suppenee osamäärätestin nojalla. ( ) < 7 Esimeri 3.2 (Osamäärätesti) Osoita osamäärätestin avulla, että sarja suppenee. n 2 ( 3 4 Rataisu. Lasetaan osamäärän raja-arvo: a n+ (n + ) 2 ( 3 n+ lim = lim 4) n a n n n ( ) 2 3 n 4 ( n 2 + 2n + ) ( 3 n ( 3 ) = lim 4) 4 n n ( ) 2 3 n 4 ( n = 2 ) ( ) + 2n + 3 lim n n 2 = 3 4 4 < ) n Täten sarja suppenee osamäärätestin nojalla. 4 Potenssisarjat Joainen potenssisarja on muotoa a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0 Ysinertainen esimeri potenssisarjasta on a x x = = = 2, 0
jossa siis a = / 2. Toinen esimeri on 4 x, =0 jossa puolestaan a = 4. Yleisesti ottaen on hyvä oppia tunnistamaan, miä on potenssisarjan yleinen termi a. Potenssisarjasta teee potenssisarjan se, että siinä esiintyy x:n potensseja. Tämä x voidaan tulita muuttujasi, jolloin voidaan tutia miten potenssisarjan suppeneminen tai hajaantuminen riippuu luvusta x. Meritään nyt potenssisarjan summaa f (x):llä. Eli f (x) = a x =0 Tämä potenssisarja selvästi suppenee joillain x:n arvoilla ja mahdollisesti hajaantuu toisilla x-arvoilla. Se suppenee varmasti ainain silloin, un x = 0 osa tällöin sen summa on a 0. Kiinnostusen ohteena on löytää aii ne x-arvot joilla sarja suppenee. Tämä olisi huomattavan haastava tehtävä, jos potenssisarja f (x) = =0 a x suppenisi vaiapa arvoilla x {, 3, 6, π}. Onnesi potenssisarjat suppenevat uitenin aina tietyllä välillä. Eli x-arvot, joilla f (x) = =0 a x suppenee (eli joilla yseinen summa on äärellisenä olemassa) muodostavat suppenemisvälin x ( R, R). Sarja siis suppenee välillä x ( R, R). Se hajaantuu, un x > R. Kun x = R tai x = R, sarja voi joo supeta tai hajaantua eli tapauset x = ±R pitää taristaa eriseen. Tämän välin päätepiste R on potenssisarjan suppenemissäde. Tämä saadaan äytännössä lasettua helposti seuraavan lauseen avulla: Lause 4.. Sarjan n=0 a n x n suppenemissäde saadaan lasemalla raja-arvo: lim a n = R, n miäli tämä raja-arvo on olemassa. a n+ Esimeri 4. (Potenssisarjan suppeneminen) Sarjassa yleinen termi a = / 2. Siten lim a = lim a + x = 2, / 2 /( + ) 2 = lim ( + ) 2 2 =
Täten sarjan suppenemissäde on R =. Täten sarja suppenee ainain välillä x (, ). Päätepisteet x = ± pitäisi vielä taristaa eriseen, ja itse asiassa voitaisiin todistaa, että un x =, sarja suppenee ja = 2 = π 2 /6. Tämän nojalla un x =, sarja ( ) n = 2 suppenee itseisesti, joten se suppenee. Täten sarjan suppenemisjouo on suljettu väli [, ]. Sarja suppenee tällä välillä ja hajaantuu sen ulopuolella. Esimeri 4.2 (Potenssisarjan suppeneminen) Tarastellaan nyt sarjaa (x + ) = 2. Tässä ongelmana on se, että siinä esiintyy termin x asemesta termi x +. Tällaisessa tapausessa tehdään sijoitus y = x +, jolloin sarja palautuu muotoon y = 2. Yllä todettiin, että tälläisen sarjan suppenemisjouo on y [, ]. Sijoitetaan taaisin x + = y: un y [, ] niin x = y [ 2, 0]. Täten sarjan (x + ) = 2 suppenemisjouo on x [ 2, 0]. Potenssisarjojen suppenemisessa hämärintä lienee se, että aiheeseen liittyy useita lähes samaa taroittavia termejä: Suppenemissäde on luu R. Suppenemisväli on avoin väli ( R, R) Suppenemisjouo muodostuu aiista niistä arvoista, joilla potenssisarja suppenee: se sisältää suppenemisvälin ja mahdollisesti sen päätepisteet R:n ja R:n. Suppenemisjouo voi olla siis neljää eli lajia: ( R, R) [ R, R] [ R, R) ( R, R]. tai tai tai 2
Eli jos tehtävässä ysytään millä arvoilla sarja suppenee, pyydetään suppenemisjouoa. Tällöin täytyy lasea suppenemissäde yllä esitellyllä tavalla ja tämän jäleen taristaa päätepisteet R ja R eriseen. 3