Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille Aritmeettie kekiarvo, Biomijakauma, Etimoiti, F-jakauma, F-teti, F-tetiuure, Hylkäyvirhe, Hyväkymivirhe, Kekihajota, Kriittie raja, Luottamukerroi, Luottamutao, Luottamuväli, Merkitevyytao, Nollahypoteei, Normaalijakauma, Normaalijakaumaapprokimaatio, Odotuarvo, Oto, Otojakauma, Otokoko, Ototuuluku, p-arvo, Satterthwaite approkimaatio, Stadardipoikkeama, Suhteellie ouu, t-jakauma, t-teti, t-tetiuure, Teti, Tetiuure, Tilatolliet taulukot, Vaihtoehtoie hypoteei, Vapauateet, Variai, Voimakkuu Tehtävä 3.. Pakkaukoe täyttää laatikoita, joide paio vaihtelee atuaieti joki verra. Täytettyje laatikoide kekipaio pitäii olla.5 kg, mutta toiiaa pakkaukoe joutuu tilaa, joa laatikoita tulee kekimääri liia kevyitä. Oletetaa, että laatiko paio o atuaimuuttuja, joka oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ), joa σ = 0.8 kg. Oko laatikoide kekipaio µ oikea vai pieempi, tutkitaa lakemalla 0 atuaieti valitu laatiko paioje aritmeettie kekiarvo x ja tetaamalla e avulla ollahypoteeia H 0 : µ =.5, ku merkitevyytaoa o 0.05 ja vaihtoehtoiea hypoteeia o H : µ <.5. (a) Millä x : arvoilla H 0 hylätää? (b) Mikä o teti voimakkuu, ku µ =.? (b) Tehtävää o ii lakea todeäköiyy ille, että H 0 hylätää, ku laatikoide kekipaio µ =.. Kuika uure otokoo o vähitää oltava, jotta teti voimakkuu olii vähitää 0.9, ku µ =.? Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa tilatollie tetauke perukäitteitä ollahypoteei ja vaihtoehtoie hypoteei, teti ja tetiuure, merkitevyytao ja hylkäyalue, hylkäyvirhe, hyväkymivirhe ja teti voimakkuu. Liäki tehtävää tarkatellaa tarvittava otokoo määräämitä, ku teti voimakkuude tao halutaa kiiittää etukätee. Tarkatelu tapahtuu ormaalijakauma odotuarvoparametria kokeva tetauogelma kautta. Tehtävä 3.. Ratkaiu: Määritellää atuaimuuttuja x i = Laatiko i paio TKK @ Ilkka Melli (005) /
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Oletuke mukaa x i N(µ, σ ) Valitaa pakkaukoee täyttämitä laatikoita kappaletta ykikertaiella atuaiotaalla ja puitaa laatikot. Tällöi laatikoide paioje aritmeettie kekiarvo otojakauma o ormaalijakauma parametrei µ ja σ / : σ x = xi N µ, i= jolloi tadardoitu atuaimuuttuja x µ σ / N( 0,) Tehtävää o oletettu, että paioje tadardipoikkeama σ = 0.8 kg o tuettu ja otokokoa o = 0 Nollahypoteeia o H 0 : µ = µ 0 =.5 ja vaihtoehtoiea hypoteeia H : µ <.5 Teti merkitevyytaoki o valittu α = 0.05 Käytetää tetiuureea paioje aritmeettita kekiarvoa x. Jo vaihtoehtoie hypoteei H pätee, paioje aritmeettie kekiarvolla x o taipumu aada kekimääri pieempiä arvoja kui.5 kg. Site poikkeukellie pieet kekiarvo x arvot viittaavat iihe, että vaihtoehtoie hypoteei H pätee. (a) Tetiä varte valitaa kriittie raja eli hylkäyraja r α ite, että todeäköiyy ille, että paioje aritmeettie kekiarvo x aa pieempiä arvoja kui r α, o α = 0.05, jo ollahypoteei pätee. H 0 : µ = µ 0 =.5 Teti muodotuu euraavata päätöääötä: Hylkää H 0, jo x < r α Teti hylkäyvirhee todeäköiyy (= todeäköiyy hylätä ollahypoteei, ku e o toi eli I laji virhee todeäköiyy) o tällöi α = 0.05 TKK @ Ilkka Melli (005) /
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Kriittie raja r α toteuttaa ii yhtälö () Pr( x < r α H 0) = α Yhtälö () o elväti yhtäpitävä yhtälö x µ 0 rα µ 0 () Pr < H 0 = α σ / σ / kaa. Nollahypoteei H 0 : µ = µ 0 pätieä atuaimuuttuja x µ 0 z = N(0,) σ / Site yhtälö () aa ollahypoteei H 0 : µ = µ 0 pätieä muodo rα µ 0 (3) Φ = α σ / joa Φ( ) o tadardoidu ormaalijakauma N(0, ) kertymäfuktio. Saamme kriittie raja r α ratkaiemieki yhtälö r 0 (4) α µ = z σ / α Pite z α toteuttaa yhtälö Pr(z z α ) = α joa z N(0, ) Yhtälötä (4) aadaa kriittieki rajaki r α = µ σ 0 zα / Hylkäämme ii ollahypoteei jo H 0 : µ = µ 0 x < r α ja jätämme ollahypoteei H 0 voimaa, jo x r α TKK @ Ilkka Melli (005) 3/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä tapaukea yhtälö () aa muodo () Pr x r0.05 0 ( < H ) = 0.05 ku taa yhtälö () aa muodo x.5 r.5 Pr < H 0 = 0.05 0.8/ 0 0.8/ 0 () 0.05 joa atuaimuuttuja x.5 z = N(0,) 0.8/ 0 jo ollahypoteei pätee. H 0 : µ = µ 0 =.5 Tehtävä tapaukea yhtälö (3) aa muodo r0.05.5 (3) Φ = 0.05 0.8/ 0 Normaalijakauma taulukoide mukaa Φ(.645) = Pr(z.645) = 0.05 Edellä eitetytä euraa, että yhtälö (4) aa tää muodo r0.05.5 (4) =.645 0.8/ 0 jote r 0.05 =.5.645 0.8/ 0.057 Hylkäämme ii ollahypoteei jo H 0 : µ = µ 0 =.5 x < r α =.057 ja jätetää ollahypoteei H 0 voimaa, jo x.057 (b) Kohdaa (a) kotruoidu teti hyväkymivirhee todeäköiyy (= todeäköiyy hyväkyä ollahypoteei, ku e ei ole toi eli II laji virhee todeäköiyy) voidaa ilmaita parametri µ arvoje µ fuktioa ehdolliea todeäköiyyteä β ( µ ) = Pr(H hyväkytää µ = µ ) 0 TKK @ Ilkka Melli (005) 4/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Teti voimakkuu o ehdollie todeäköiyy γ ( µ ) = β ( µ ) = Pr(H hylätää µ = µ ) 0 Hyvällä tetillä o piei hylkäyvirhee todeäköiyy β(µ * ) eli hyvä teti o voimaka. Kohdaa (a) kotruoidu teti voimakkuudeki aadaa γ ( µ ) = Pr(H hylätää µ = µ ) 0 ( x rα µ µ ) = Pr < = x µ rα µ Pr µ µ = < = σ / σ / rα µ =Φ σ / joa Φ( ) o tadardoidu ormaalijakauma N(0, ) kertymäfuktio. Tehtävä tapaukea γ ( µ ) = Pr(H hylätää µ = µ ) 0 ( x r0.05 µ µ ) = Pr < = x r = Pr < 0.8/ 0 0.8/ 0 r0.05 µ =Φ 0.8/ 0.057 µ =Φ 0.8/ 0 Koka olemme olettaeet, että µ =. µ 0.05 µ µ µ = ii teti voimakkuudeki aadaa.057. γ (.) =Φ =Φ( 0.5907) 0.7 0.8/ 0 (c) Kohda (a) mukaa merkitevyytaoa α = 0.05 vataava kriittie raja r α voidaa määrätä kaavata rα = µ 0 zα σ / =.5.645 0.8/ Kaavata ähdää, että kriittie raja r α läheee (alhaalta) pitettä µ 0 =.5, jo otokoo aetaa kavaa: r α µ 0, jo + TKK @ Ilkka Melli (005) 5/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Oletetaa yt, että laatikoide paio odotuarvo (kekipaio) o todelliuudea µ =. Kiiitetää teti voimakkuudeki 0.9. Kohda (b) mukaa kriittie raja r α toteuttaa tällöi yhtälö rα µ rα. Φ =Φ = 0.9 σ / 0.8/ Normaalijakauma taulukoide mukaa rα. =.8 0.8/ jota kriittie raja r α aadaa ratkaituki: r =. + α.8 0.8/ Site kriittie raja r α toteuttaa yhtälöpari rα =.5.645 0.8/ rα =.+.8 0.8/ Otokoko aadaa ratkaituki tätä yhtälöparita vähetämällä eimmäietä yhtälötä toie yhtälö: Site ja edellee ( ) 0 =.5.645 0.8/.+.8 0.8/ = 0.4.95 0.8/.34/ = 0.4 = 5.85 jota tarvittavaki otokooki aadaa (pyöritämällä ylöpäi) = 34.5 35 TKK @ Ilkka Melli (005) 6/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.. Olkoo tuotatoproeia viallite tuotteide uhteellie ouu p eli 00 p %. Haluamme määrätä uhteellielle ouudelle p 95 %: luottamuväli, joka pituu o korkeitaa 0.04. Kuika uuri atuaioto o tuotteide joukota o poimittava, jo (a) p: uuruudeta ei ole mitää eakkokäitytä, (b) voidaa pitää varmaa, että p < 0.. Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa luottamuväli määräämitä uhteellielle ouudelle ekä itä, mite otokoko pitää valita, jo luottamuväli pituude tao halutaa kiiittää etukätee. Tehtävä 3.. Ratkaiu: Haluamme määrätä viallite tuotteide uhteellielle ouudelle p 95 %: luottamuväli. Site luottamutaoa o jote ja α = 0.95 α = 0.05 α/ = 0.05 Suhteellie ouude p tavaomaie luottamuväli o muotoa pˆ ± z α / pˆ( pˆ) joa luottamukertoimet z α/ ja +z α/ toteuttavat ehdot Pr( z z ) = Pr( z + z ) = / joa z N(0, ). Tällöi α / α / α Pr( z z + z ) = Luottamuväli pituu o z α / α / α α / pˆ( pˆ) Jo haluamme, että luottamuväli o pituudeltaa korkeitaa a, aamme otokoo voidaa ratkaiemieki euraava ehdo: pˆ( pˆ) zα / a TKK @ Ilkka Melli (005) 7/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Site z α / Tehtävä tapaukea jote pˆ( pˆ) a pˆ( pˆ) a zα / z pˆ( pˆ) a α / zα / pˆ a = 0.04 a = 0.0 a ( pˆ) Normaalijakauma taulukoide mukaa aamme luottamuataoa 0.95 vataavaki luottamukertoimiki eli ja ite ±z 0.05 = ±.96 Φ(.96) = Pr(z.96) = 0.05 Φ(+.96) = Pr(z +.96) = 0.975 Pr(.96 z +.96) = 0.95 Site yllä oleva johto tarvittavalle otokoolle aa ite muodo pˆ( pˆ).96 0.0 pˆ( pˆ) 0.0.96.96 pˆ( pˆ ) 0.0.96 pˆ( pˆ) 0.0 TKK @ Ilkka Melli (005) 8/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit (a) Fuktio f( p) = p( p),0 p o alapäi aukeava paraabeli, joka aavuttaa makimia /4 piteeä p = / Site tarvittavalle otokoolle aadaa likiarvo.96 = 40 0.0 4 (b) Jo fuktio 0 p 0. f( p) = p( p),0 p aavuttaa makimia 0. 0.9 = 0.09 piteeä p = 0. Site tarvittavalle otokoolle aadaa (pyöritämällä ylöpäi) arvio.96 0.09 = 864.4 865 0.0 TKK @ Ilkka Melli (005) 9/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.3. Tehda väittää, että e valmitamita ähkölaitteita vähitää 90 % ketää opeutetua ketotetiä yli 000 h. Puolueeto tutkimulaito tetaa 00 atuaieti valittua laitetta ja toteaa, että 40 tetatuita laitteita keti alle 000 h. Voidaako tehtaa väitettä pitää tetautuloke peruteella oikeutettua? Tehtävä 3.3. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa tavaomaita z-tetiä uhteellielle ouudelle. Tehtävä 3.3. Ratkaiu: Olkoo p = Alle 000 h ketävie laitteide uhteellie ouu perujoukoa Poimitaa tehtaalla valmitettuje laitteide joukota atuaieti laitetta tetattavaki ja olkoo Jo ˆp = Alle 000 h ketävie laitteide uhteellie ouu otokea x = Alle 000 h ketävie laitteide lukumäärä otokea ja otokoko o piei verrattua perujouko kokoo, ii jolloi Koka ii x Bi(, p) E(x) = p Var(x) = p( p) x pˆ = E( pˆ ) = p Var( pˆ ) = p( p) Sii erityieti ˆp o parametri p harhato etimaattori. Kekeie raja-arvolauee (tai e erikoitapauke De Moivre ja Laplace rajaarvolauee) mukaa (uurille ) pätee z = pˆ p p( p) a N(0,) TKK @ Ilkka Melli (005) 0/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Muodotetaa teti ollahypoteeille H 0 : p = p 0 ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H : p p 0 Jo ollahypoteei H 0 pätee, ii tetiuure z = pˆ p0 p0( p0) a N(0,) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree z arvot viittaavat iihe, että ollahypoteei H 0 ei päde. Laketaa alle 000 h ketävie laitteide uhteellielle ouudelle p etimaatti otoketa: x 40 pˆ = = = 0. 00 Laketaa tetiuuree z arvo: 0. 0. z = = 4.74 0. ( 0.) 00 Normaalijakauma taulukoide mukaa aadaa arvio Pr(z 4.74) < 0.000 Kakiuutaie teti p-arvo o ormaalijakauma ymmetria peruteella Pr( z 4.74) < 0.000 = 0.0004 Voimme ite hylätä ollahypoteei H 0 kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla (0.05, 0.0 ja 0.00). Johtopäätö: Tehtaa väitettä ei voida pitää oikeutettua. TKK @ Ilkka Melli (005) /
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.4. Tutkimuke kohteea o ollut iiöörie taidot kirjoittaa tutkimuraportteja. Kirjoitutaitoa o mitattu tekti luettavuutta mittaavalla ateikolla, joa matala pitemäärä tarkoittaa korkeata luettavuutta. Aieitoa o atuaieti valitut artikkelit ala lehdiä ja atuaieti valitut julkaiemattomat tutkimuraportit vuodelta 979: Artikkelit lehdiä Julkaiemattomat raportit.79.75.67.65.39.5.86.4.87.74.94.59.9.49.6.69.33.36.58.33.96.69.70.6.4.94 Merkitää x = Luettavuu lehtiartikkelia x = Luettavuu julkaiemattomaa raportia Oletetaa, että atuaimuuttujia x ja x voidaa pitää riippumattomia ja ormaalijakautueia atuaimuuttujia ja olkoo (a) E(x i ) = µ i, i =, Muodota 90 %: luottamuväli erotukelle (b) µ µ Tetaa ollahypoteeia H 0 : µ = µ 0 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H : µ µ Valite teti e mukaa, voiko otovariait olettaa yhtä uuriki vai ei. Tehtävä 3.4. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa luottamuväli määräämitä kahde ormaalijakautuee perujouko odotuarvoje erotukelle ekä kotruoidu luottamuväli oveltamita odotuarvoje yhtäuuruutta kokeva ollahypoteei tetaamiee. TKK @ Ilkka Melli (005) /
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.4. Ratkaiu: Laketaa havaioita tavaomaiet ototuuluvut: Artikkelit lehdiä = 3 x =.73077 = 0.0553 Julkaiemattomat raportit x = 3 =.43846 = 0.05376 Tetataa ee tehtävie (a) ja (b) ratkaiemita ollahypoteeia H : σ = σ 0 ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H: σ σ ja valitaa luottamuväli kaava ja tetauproeduuri tämä teti tuloke mukaa. Tetiuureea voidaa käyttää F-tetiuuretta Tetiuure F = F F(, ) jo ollahypoteei H 0 pätee. Tetiuuree arvoki aadaa 0.05376 F = =.08735 0.0553 F-jakauma taulukoide mukaa joa Site Pr( F >.687) = 0.05 F F(,) Pr( F >.08735) > 0.05 ja -uutaie teti p-arvolle aadaa arvio p= Pr( F >.08735) > 0.05 = 0. Site voimme jättää ollahypoteei H 0: σ = σ voimaa. TKK @ Ilkka Melli (005) 3/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Huomautu: Jo yllä eitety F-tetiuuree arvo o c, ii kakiuutaie teti p-arvo o { F c F c } mi Pr( < ),Pr( > ) Tätä euraa, että jo tetiuureeki valitaa max, ii kakiuutaie teti p-arvo o Pr( F > c) Koka ollahypoteei H : σ = σ 0 jätettii voimaa, voidaa otokie ja variait yhditää luottamuväliä muodotettaea. Yhditetty variai aadaa kaavalla Koka tää ( ) + ( ) p = + ii ja ite = + p = 0.0553 + 0.05376 = = 0.039399 p (a) Määrätää 90 %: luottamuväli erotukelle µ µ. Site luottamutaoa o α = 0.90 jote α = 0.0 ja α/ = 0.05 TKK @ Ilkka Melli (005) 4/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Erotuke µ µ luottamuväli o muotoa x x ± tα / p + joa luottamukertoimet t α/ ja +t α/ toteuttavat ehdot Pr( t t ) = Pr( t + t ) = / α / α / α joa t t( + ). Tällöi pätee Pr( t t + t ) = α / α / α Vapauateide lukumäärä o tää + = 3 + 3 = 4 t-jakauma taulukoide mukaa aamme luottamuataoa 0.9 vataavaki luottamukertoimiki ±t 0.05 = ±.7 Erotuke µ µ luottamuväliki tulee ite.73077.43846 ±.7 0.039399 + 3 3 = 0.700769 ± 0.3309 = ( 0.834, 0.568) (b) Koka olla ei kuulu erotuke µ µ 90 %: luottamuvälii, ii voimme päätellä, että voimme hylätä ollahypoteei H 0 : µ = µ 0 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H : µ µ Johtopäätö: Lehdiä julkaituje artikkeleide ja julkaiemattomie raporttie kekimääräiellä luettavuudella vaikuttaii oleva eroa. TKK @ Ilkka Melli (005) 5/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Statitix-ohjelma tuottaa tehtävä 3.4. aieitota euraava tulotuke: TWO-SAMPLE T TESTS FOR ARTIKKELI VS RAPORTIT SAMPLE VARIABLE MEAN SIZE S.D. S.E. --------- ------- ------ -------- --------- ARTIKKELI.73 3 0.598 0.0443 RAPORTIT.438 3 0.308 0.0640 DIFFERENCE -0.7008 NULL HYPOTHESIS: DIFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: DIFFERENCE <> 0 ASSUMPTION T DF P 95% CI FOR DIFFERENCE ----------------- ----- ---- ------ ------------------ EQUAL VARIANCES -9.00 4 0.0000 (-0.865, -0.540) UNEQUAL VARIANCES -9.00.4 0.0000 (-0.865, -0.5390) F NUM DF DEN DF P TESTS FOR EQUALITY ------ ------ ------ ------ OF VARIANCES.09 0.084 CASES INCLUDED 6 MISSING CASES 0 Huomaa, että tää odotuarvoje erotuke luottamuväli perutuu 95 %: luottamutaoo. Huomautu: Luottamuväli kotruktio perutuu iihe, että toiitaa riippumattomie ykikertaite atuaiotokie tapaukea x x x x,,,, j N( µ, σ ) x, x,, x, x N( µ, σ ) j x x N µ µ, σ + TKK @ Ilkka Melli (005) 6/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.5. Strotium-90 o kaliumille ukua oleva radioaktiivie alkuaie, jota ytyy ydikokeia. Sitä aattaa joutua maitotaloutuotteiii lehmie yömä ruoho mukaa. Tuotteita auttivilla ihmiillä trotium-90 keräätyy luutoo ja aattaa aiheuttaa yöpää. Vuoa 959 tehdyä tutkimukea verrattii trotium-90: keräätymitä luutoo lapilla ja aikuiilla. Työhypoteeia oli, että late luuto kekimääräiet trotium-90- pitoiuudet aattaiivat olla korkeampia kui aikuiilla, koka late luuto oli vata muotoutumaa. Tutkimukea trotium-90: keräätymietä late ja aikuite luutoo tutkittii mittaamalla luuto radioaktiiviuu (mittaykikköä oli picocurie/gramma). Tulokea tutkimuketa aatii euraavat tiedot: Lapet = x =.6 =.44 Aikuiet x = 6 = 0.4 = 0.0 (a) (b) Formuloi tetauaetelmalle opiva ollahypoteei ja vaihtoehtoie hypoteei. Tetaa kohdaa (a) määrittelemääi ollahypoteeia. Mikä o johtopäätö tetitä? Tehtävä 3.5. Mitä opimme? Tehtävää tarkatellaa tavaomaita kahde riippumattoma otoke t-tetiä. Tehtävä 3.5. Ratkaiu: (a) Oletetaa, että late ja aikuite joukota o poimittu toiitaa riippumattomat ykikertaiet atuaiotoket ja x i = Luuto radioaktiiviuu lapella i, i =,,, x j = Luuto radioaktiiviuu aikuiella j, j =,,, Oletetaa, että x N( µ, σ ), i =,,, i x N( µ, σ ), j =,,, j Otatameetelmätä tehdy oletuke mukaa atuaimuuttujat x i, i =,,, x j, j =,,, ovat riippumattomia kaikille i ja j. TKK @ Ilkka Melli (005) 7/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Kiiotuke kohteea oleva ollahypoteei o muotoa H 0 : µ = µ ja vaihtoehtoie hypoteei o muotoa H : µ > µ (b) Nollahypoteeia H 0 : µ = µ voidaa tetata kahde riippumattoma otoke t-tetillä. Tetitä o kaki muotoa, joide välillä tehdää valita e mukaa voidaako variait otokia olettaa yhtä uuriki vai ei. Tetataa iki ei ollahypoteeia H : σ = σ 0 ku vaihtoehtoiea hypoteeia o H: σ σ Tetiuureea voidaa käyttää F-tetiuuretta F = Tetiuure F F(, ) jo ollahypoteei H 0 pätee. Tetiuuree arvoki aadaa.44 F = = 9.0 0.0 Vapauateet ovat = = 0 = 6 = 60 F-jakauma taulukoide mukaa jote Pr(F >.76) = 0.0 Pr(F > 9.0) < 0.0 Kakiuutaie teti p-arvo o ite (k. tehtävää 3.4) p = Pr( F > 9.0) < 0.0 = 0.0 (Ite aiaa teti p-arvo o erittäi lähellä arvoa 0.) TKK @ Ilkka Melli (005) 8/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Voimme hylätä ollahypoteei H : σ = σ 0 jote variaeja ei voi olettaa yhtä uuriki. Site kahde riippumattoma otoke t- tetiä o yytä käyttää eriuurte variaie tapaukea käytettävää veriota. Käytämme iki tetiuureea t-tetiuuretta t = x x + Tetiuuree t jakaumaa ei ole ollahypoteei H 0 : µ = µ pätieä mitää tavaomaita tyyppiä. Siki kahde riippumattoma otoke t-tetii liittyvät kriittiet rajat tai p-arvot o tapaa määrätä käyttäe tetiuuree t approkimatiivita jakaumaa. Uei käytetää hyväki itä, että uuria otokia t a N(0, ) jo ollahypoteei H 0 : µ = µ pätee. Parempi approkimaatio tetiuuree t jakaumalle aadaa, jo approkimatiiviea jakaumaa käytetää t-jakaumaa: t a t(df) joa vapauateide lukumäärä df laketaa Satterthwaite kaavalla df + = + Määrätää ei tetiuuree t arvo: t x x = = =.44 0.0 +.6 0.4 + 6 Normaalijakauma taulukoide mukaa jote 0.00 Pr( z > 3.59) = Pr( z 3.59) =Φ(3.59) 0.000 Pr( z > 0.00) < 0.000 Site voimme hylätä ollahypoteei H 0 : µ = µ kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla. TKK @ Ilkka Melli (005) 9/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Saamme ama tuloke, jo käytämme Satterthwaite approkimaatiota. Tällöi.44 0.0 + + 6 df = = + + 6 6.44 0.0 Käytämme ii t-jakauma vapauateide lukumäärää arvoa 3. t-jakauma taulukoide mukaa Pr( t > 3.390) = 0.0005 = 3.96 jo t t(00) ja Pr( t > 3.340) = 0.0005 jo t t(00). Voimme ii päätellä, että Pr( t > 3.3) 0.0005 joa t t(3). Site Pr( t > 0.00) < 0.0005 joa t t(3). Site voimme hylätä ollahypoteei H 0 : µ = µ kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla yhtäpitäväti ormaalijakauma-approkimaatiota käyttävä teti kaa. Johtopäätö: Late luuto kekimääräie radioaktiiviuu o ollut uurempaa kui aikuite. TKK @ Ilkka Melli (005) 0/
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Tehtävä 3.4 lakutoimitute uorittamie Microoft Excel -ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 3.4. Tiedoto KHt3.xl > Ht3.4. Tehtävä 3.4 lakutoimitute uorittamie Statitix-ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 3.4. Tiedoto Sxdata34.x TKK @ Ilkka Melli (005) /