1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa ja yksikäsieisyyä koskeva perusulos: Alkuarvoehävän olemassaolo- ja yksikäsieisyyslause n n Oleeaan, eä funkio f: on jakuva piseen (x, ) ympärisössä U I ja eä derivaaamariisi f on olemassa ja jakuva x siellä (derivoini muuujan x suheen). Silloin alkuarvoehävällä x'() = f(x(),), x( )=x on olemassa yksikäsieinen rakaisu jollakin välillä J I, J. Jos lisäksi mariisin f alkio ova rajoieuja, niin ämä rakaisu on x olemassa koko välillä I.
2 Lineaarise syseemi. Seuraavassa arkasellaan ns. auonomisen vakiokeroimisen homogeenisen differeniaalisyseemien rakaisemisa analyyisesi (numeerisiin meneelmiin ei ässä ny puuua). Syseemi on muooa (1) x'() = Ax() ja haeavana on yleinen rakaisu ai alkuehdon x()=x oeuava rakaisu. Mariisi A on kokoa n n oleva vakiomariisi (siis ajasa riippumaon) ja ilavekori x() n. Koska ny oikean puolen derivaaa on vakiomariisi A, olemassaolo- ja yksikäsieisyyslause on voimassa koko avaruudessa (U= n, I= ). Kun n=1 eli syseemi on yksiuloeinen x'( ) = ax( ), yleiseksi rakaisuksi a saaiin aiemmin x() = e c ja alkuehdon x() = x oeuavaksi rakaisuksi x() = e a x. Osoiauuu, eä ämä muoo rakaisuille päee myös korkeammissa dimensioissa n. Silloin a:n ilalla on mariisi A ja e A on mariisin A (=A) mariisiarvoinen funkio. Mariisieksponenifunkio e A voidaan määriellä e x :n sarjakehielmän avulla sijoiamalla luvun x paikalle neliömariisi A (ks. sarjaeorian osuus). Mua ässä vaiheessa yydymme yksinkeraisempaan apaukseen ja oleamme A:n olevan reaalisen diagonalisoiuvan mariisin. Diagonalisoiuvalle mariisille A on olemassa ei-singulaarinen mariisi Q =[v 1,...,v n ] sien, eä (2) A = QDQ -1, missä lävisäjämariisin D=diag(λ 1,..., λ n ) lävisäjällä on A:n ominaisarvo. Aikaisemmin olemme osoianee, eä ällöin A k = QD k Q -1.
Edelleen ämä avulla voidaan osoiaa, eä vasaava päee jokaiselle polynomille p: p(a) = Qp(D)Q -1, missä p(d) = diag(p(λ 1 ),...,p(λ n )). Kuen sarjaeoriassa odeaan, sarja ova polynomien (osasummien) raja-arvoja. On siis luonevaa määriellä diagonalisoiuvan mariisin A eksponenifunkio yheydellä () e A = Qe D Q -1, missä e D = diag(exp(λ 1 ),...,exp(λ n )). Tämä määrielmä voidaan osoiaa sarjaeorian avulla esieävissä olevaan yleisempään määrielmään yheensopivaksi. Alkuarvoehävän (4) x'() = Ax(), x() = x rakaisuksi saadaan ny vekorifunkio (5) x() = e A x. Derivoimalla odeaan, eä kyseessä on rakaisu: x'() = d/d (Qe D Q -1 )x = Q(d/de D )Q -1 x = Q(De D )Q -1 x = QDQ -1 Qe D Q -1 x =Ae A x =Ax(). Koska ämä oeuaa myös alkuehdon x()=x, on se olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseen mukaan alkuarvoehävän yksikäsieinen rakaisu.
4 Lähdeään sien oisa kaua hakemaan yleisä rakaisua. Todeaan ensin, eä jos x 1,..., x k ova lineaarisen syseemin x'()=ax() rakaisuja, niin myös niiden jokainen lineaarikombinaaio x() = c 1 x 1 () +...+ c k x k () on siä. (Operaaori L(x)=x'-Ax on lineaarinen.) Funkioia x 1,..., x k sanoaan välillä I lineaarisesi riippumaomiksi, jos yhälö c 1 x 1 () + cnxn() = oeuuu välillä I vain, kun c = = c n =. 1 Jos funkio x i ova lineaarisen syseemin rakaisuja, riippumaomuua selvieäessä ei kuienkaan arvise ukia jokaisa, vaan yksikin 1 riiää. Jos nimiäin vekori x 1 (),..., x k () ova riippuvia hekellä 1, niin silloin on joillakin keroimilla c i voimassa yhälö c 1 x 1 ( 1 ) +...+ c k x k ( 1 ) = ( 1 ) jolloin molemmilla puolilla esiinyy alkuarvoehävän x'()=ax(), x( 1 )= rakaisu. Ne ova siis sama kaikilla, joen funkio x 1,..., x k ova lineaarisesi riippuvia. Lineaarisen syseemin x'()=ax() yleinen rakaisu muodosuu misä hyvänsä n:sä lineaarisesi riippumaomasa rakaisusa x 1,..., x n niiden lineaarikombinaaiona: (6) x() = c 1 x 1 () +...+ c n x n (). Tämä seuraa olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseesa ja siiä, eä mielivalainen alkuila x saadaan sopivilla keroimilla c i yhälösä c 1 x 1 () +...+ c n x n () =x. (Vekori x1 (),, x n () ova lineaarisesi riippumaomia ja niiä on n n kappalea, joen ne muodosava avaruuden kannan.)
5 Kerroinyhälö on mariisimuodossa [x 1 (),...,x n ()]c =x, missä c=[c 1,...,c n ] T. Kerroinmariisi on ei-singulaarinen, koska sen sarakkee ova lineaarisesi riippumaomia. Siis kerroinyhälöllä on yksikäsieinen rakaisu c. Täsä saadaan sen lineaarikombinaaion c 1 x 1 () +...+ c n x n () keroime, joka on alkuilan x määräämää rakaisu differeniaaliyhälösyseemille. Mariisia X() = [x 1 (),...,x n ()] sanoaan differeniaaliyhälösyseemin fundamenaalimariisiksi. Siä käyäen yleinen rakaisu(6) voidaan esiää muodossa (7) x() = X()c. Fundamenaalimariisi ei ole yksikäsieinen, sehän rakenuu valiuisa n:sä lineaarisesi riippumaomasa rakaisusa. Usein kuienkin aseeaan eho X()=I. Silloin alkuehdon x()=x oeuava rakaisu on (8) x() = X()x. Näemme siis, eä diagonalisoiuvan mariisin apauksessa yksikäsieisyyslauseen nojalla e A on fundamenaalimariisi: (9) X() = e A, X()=I. Yleinen rakaisu (7) voidaan siis esiää myös muodossa (1) x() = e A c.
6 Jos A on diagonalisoiuva ja Q =[v 1,...,v n ] rakenuu sen lineaarisesi riippumaomisa ominaisvekoreisa (joia siis on äysi määrä n), niin alkuarvoehävän rakaisuksi saaiin x() = e A x = Qe D Q -1 x, joka voidaan kirjoiaa muooon (11) x() = [exp(λ 1 )v 1... exp(λ n )v n ] T Q -1 x. Merkisemällä c = Q -1 x = [c 1,...,c n ] T saadaan (12) x() = c 1 exp(λ 1 )v 1 +...+ c n exp(λ n )v n, joka on yleisen rakaisun (6) muooa, jos keroime c i ova mielivalaisia ja x i () = exp(λ i )v i. Jokainen ällainen x i () odella on rakaisu: derivoidaan ja käyeään ominaisvekorin ominaisuua Av i =λ i v i x'() = d/d(exp(λ i )v i ) = λ i exp(λ i )v i =exp(λ i )Av i = A(exp(λ i )v i ) =Ax(). Siis yleinen rakaisu (1) on "aukikirjoieuna" lauseke (12). Alkuehdon x()=x oeuava rakaisu kaavasa (12) saadaan, jos c =Q -1 x eli yhälön Qc=x rakaisu.
7 Esim. 1 x' = 1 1 4 1 x Mariisin A = 1 1 4 1 ominaisarvo ova ja -1, sekä vasaava ominaisvekori [1 2] T ja [1-2] T. Yleinen rakaisu on silloin x() = ce 1 1 + ce 2 2 1 2 (muooa 12) = e e e 2 2 e c (muooa 7 ) ce 1 + ce 2 = 2ce 1 2ce 2 (rakaisu komponeneiain). Edellä oleeiin, eä mariisi A on diagonalisoiuva. Tällainen on ilanne äsmälleen silloin, kun jokaisen ominaisarvon geomerinen keraluku on sama kuin algebrallinen. Täydenneään eoriaa seuraavilla uloksilla apauksisa, joissa moninkeraisen ominaisarvon geomerinen keraluku on yksi: Olkoon A:n ominaisarvon λ algebrallinen keraluku 2, geomerinen keraluku 1 ja vekori u λ:aa vasaava ominaisvekori. Silloin kaksi λ:aa vasaavaa lineaarisesi riippumaona syseemin x' = Ax rakaisua ova (1) e λ u ja e λ u + e λ v. missä vekori u ja v rakaisaan yhälöisä (14) (A-λI)u =, (A-λI)v = u.
8 (Todiseaan sijoiamalla (1) yhälöön x' = Ax. Ensimmäinen yhälö ilmaisee sen, eä u on A:n ominaisvekori.) Edelleen, jos λ:n algebrallinen keraluku on ja geomerinen keraluku 1, niin lineaarisesi riippuvia rakaisuja differeniaaliyhälösyseemille ova (15) e λ u, e λ u + e λ v ja ½ 2 e λ u + e λ v + e λ w, missä u, v ja w rakaisaan peräkkäin yhälöisä (16) (A-λI)u =, (A-λI)v = u, (A-λI)w = v. Esim. 2 Rakaisaan differeniaaliyhälösyseemi x'() = 5 4 1 2 x(). 2 5 Ominaisarvo: 5 λ 4 2 1 λ 2 = (5 λ)( λ(5 λ) 4) ( 4)(5 λ) = (5 λ)( λ 5 λ) = 2 5 λ λ = 5, λ = 1,2 Ominaisvekori ominaisarvolle 5: 4 1 5 2 1 2 1 5 2 1 1 2 2 x1+ 2x =, x2 =, vain yksi lineaarisesi riippumaon: esim. u =. 1 Toinen rakenneava kaavan (14) avulla (yleisey ominaisvekori): 4 2 1 5 2 1 2 5/2 ( A 5 I) v = u 1 5 2 1 ½ 1 ½ 2 1
9 5/2 2 x1+ 2x = 5/2, x2 = ½, v = ½ + s, valiaan esim. s = 1, jolloin 1 ½ v = ½. 1 4 Ominaisarvon ominaisvekoriksi saadaan vasaavasi w = 5. Siis yleinen 2 rakaisu on kaavan (1) mukaisesi: 2 2 ½ 4 5 5 5 x () = ce 1 + c2( e + e ½) + c 5. 1 1 1 2 Yleisemmä ilanee johava mariisien Jordanin kanonisen muodon käyöön. (Ks. kurssi Differeniaaliyhälö.)
1 Seuraavaksi arkasellaan (yksinkeraisen) kompleksisen ominaisarvon λ=α+iβ apausa. Mariisi A oleeaan reaaliseksi ja differeniaaliyhälösyseemille haeaan nimenomaan reaalisia rakaisuja. Reaalisen mariisin kompleksise ominaisarvo esiinyvä liiolukupareina λ 1,2 =α±iβ. Silloin yleensä myös vasaava ominaisvekori ova kompleksivekoreia, ja reaalimariisin apauksessa ne ova oisensa liiovekoreia. Suoralla sijoiuksella odeaan, eä jos v on vasaava ominaisvekori, niin (17) e (α+iβ) v on syseemin rakaisu (kompleksinen), ja sen reaali- ja imaginaariosa ova myös. Ne ova silloin kaksi ominaisarvoon λ 1 =α+iβ liiyvää reaalisa rakaisua. Koska ominaisarvoon λ 2 =α-iβ liiyvä sama reaalise rakaisu, saadaan näiä kaha kompleksisa ominaisarvoa vasaamaan lopula kaksi reaalisa rakaisua (18) Re(e (α+iβ) v) ja Im(e (α+iβ) v). Jos merkiään v=a+ib, saadaan silloin yhälöisä e (α+iβ) v=e α e iβ v = e α (cos(β)+isin(β))(a+ib) = e α (cos(β)a-sin(β)b +i(cos(β)b+sin(β)a)) rakaisujen muodoksi (19) x 1 () = e α (cos(β)a-sin(β)b) ja x 2 () = e α (cos(β)b+sin(β)a)). 2 8 Esim. Tarkasellaan alkuarvoehävää x' = 1 2 x, x()= 2 1. Kerroinmariisin ominaisarvo ova ±2i, ja vasaava ominaisvekori v= 2 + 2 i 1, josa 2 2 reaaliosa a = 1 ja imaginaariosa b =. Syseemin yleinen rakaisu on siis 2 2 2 2 x()=c 1 (cos2 1 -sin2 )+c 2 (cos2 +sin2 1 ). Alkuehdo oeuuva, kun vakioilla on arvo c 1 =1, c 2 =.
11 Tarkasellaan vielä epähomogeenisen yhälön alkuarvoprobleemaa: (2) x'() = Ax() + b(), x()=x. Tässä A on edelleen vakiomariisi ja funkio b jakuva. Olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseen mukaan yksikäsieinen rakaisu on olemassa. Todeaan ensin yleinen yheys homogeenisen ja epähomogeenisen lineaarisen differeniaaliyhälösyseemien välille: Epähomogeenisen yhälön yleinen rakaisu on homogeenisen yhälön yleinen rakaisu plus epähomogeenisen yhälön jokin yksiyisrakaisu. Eli jos x h on homogeenisen syseemin x'=ax yleinen rakaisu ja x p epähomogeenisen syseemin x'=ax+b yksiyisrakaisu, niin epähomogeenisen syseemin yleinen rakaisu on x=x h +x p. Haeaan vinkki rakaisun muodolle aas yksiuloeisesa apauksesa: Yhälön x'( ) = ax( ) + b( ) yleinen rakaisu on x()=e a c + e a e -a b()d ja alkuarvoprobleeman rakaisu alkuehdolla x() = x x()=e a a( s) x + e b() s ds. Kokeillaan siis n-uloeiselle syseemille alkuarvoehävän rakaisuksi (21) x()=e A x + ea(-s) b(s) ds, joka derivoimalla ja sijoiamalla odeaan rakaisuksi. Se on siis olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseen peruseella probleeman (2) yksikäsieinen rakaisu. Yleinen rakaisu saadaan korvaamalla x yleisellä vakiovekorilla c.
12 Esim. 4 Rakaisaan alkuarvoprobleema x'() = 1 2 4 x()+ e, x()= 2. A:n ominaisarvo ova -5 ja -2, vasaava ominaisvekori v 1 1 1 = & 2 = 2 v 1. Silloin A:n diagonalisoini anaa eksponenifunkion: e A 5 1 5 1 1 e 1 1 e 1 1 1 1 = 2 2 e =. e Siis alkuarvoehävän rakaisu on kaavan (21) mukaisesi () = A A( s) + ( ) x e x e b s ds 5 1 1 5( s) 1 1 e 1 1 1 1 e s = + ds 2 2( s) s e 2 e e 5 5s 1 4s e ( e s 5 e ) ds 5 1 1 e ( 4 2 ) e 2 2s 1 s e ( e 2 s+ e ) ds = + (mariisi yheisenä ekijänä) 5 5 1 1 1 7 5 1 1 e 5 ( 25 12 e + e = 4 1 1 2 ) + e 2 + e + 6e 1 1 1 57 5 1 1 5 25 ( 12 e + e 1 1 9 2 ) 2 e 6e = + + 6 27 1 79 5 5 5 + 4e + 2e + 1e = 21 1 79 2. 5 5 + 2e + 2e 5 e