FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä f(x) = c + c 1 e ix + c 1 e ix + c 2 e 2ix +. Tästä nousee useita tärkeitä kysymyksiä, esimerkiksi suppeneeko sarja kohti funktiota f ja missä mielessä suppeneminen tapahtuisi? Lisäksi voidaan kysyä, määrääkö Fourier-sarja funktion f yksikäsitteisesti ja miten kertoimet c n kuvaavat funktion f ominaisuuksia? Nämä kysymykset ovat olleet keskeisiä (koko) analyysin kehityksessä. Tutkimme seuraavaksi, mitä voidaan Hilbertin avaruus-metodeilla tässä tapauksessa saada aikaan. Esitarkasteluja. Olkoon L 2 = L 2 (, ) ja f L 2. Kun n Z, on f:n n:s Fourier kerroin mukavinta määritellä kaavalla Nimittäin, jos f(x) = N n= N f(n) = 1 c n e inx = N n= N eli f on trigonometrinen polynomi, tällöin c n = 1 f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), f(x) e inx dx = f(n) kuten summauksen ja integroinnin järjestyksen vaihtamalla helposti huomaa. Fourier-kertoimet liittyvät tietysti myös ortonormaaliin jonoon (5.1) e n (x) = 1 e inx, n Z. Nimittäin f(n) = 1 f(x) e inx dx = 1 ( f e n ) Tässä sisätulo ( f g ) = f(x) g(x) dx on otettu avaruudessa L2 (,). Jos f L 2 (tai jos f L p (, ), 1 p < ), sen n:s Fourier-osasumma on s n (x) s n (f; x) := n f(k) e ikx, x [,], Huomaa, että summafunktio s n (f; x) on pisteittäin määritelty, koska funktio e ikx on jatkuva kaikilla k Z.
74 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5.2. Lemma. Fourier-osasummalle s n on integraaliesitys missä s n (f; x) = 1 D n (x) = n on n:s Dirichlet n ydin, kun n N. f(t) D n (x t) dt, e ikx = sin (( n + 1 2 sin (x/2) ) x ) Todistus. Fourier-kertoimen f(n) määritelmän nojalla n n ( ) s n (f; x) = ˆf(k) e ikx = f(t) e ikt dt kun merkitään = 1 ( n f(t) D n (x) = n e ik(x t) ) dt = 1 e ikx = e inx 2n k= ( e ix )k. e ikx f(t) D n (x t) dt, Soveltamalla geometrisen summan kaavaa saadaan ( ) 1 e D n (x) = e inx i(2n+1)x = e inx e i(n+1)x, 1 e ix 1 e ix joten kertomalla edellinen identiteetti puolittain termillä e ix/2 (e ix 1), saadaan ( e ix/2 e ix/2) D n (x) = e i(n+ 1 2)x e i(n+ 1 2)x. Eulerin kaava e iz e iz = 2i sin z antaa lopuksi 2i sin(x/2)d n (x) = 2i sin ( (n + 1 2 )x). 5.3. Lemma. Olkoon Tällöin i) kaikilla n N 1 K n (x) = 1 n + 1 K n (x) dx = n D k (x). k= D n (x) dx = 1 ii) funktio K n (x) kaikilla x [, ]. Lisäksi kun < δ < x < δ. K n (x) 2 (n + 1)(1 cos δ), ja
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 75 Huomautus. Aritmeettinen keskiarvo K n on n:s Fejérin ydin. Ominaisuus (ii) kertoo, että Fejérin ytimet K n ovat positiivisia ja K n tasaisesti, kun n, kunhan x ei ole lähellä päätepisteitä tai. Dirichlet ytimillä D n ei ole näitä ominaisuuksia. Tästä syystä Fourier-sarjojen pisteittäisen suppenemisen teoria on vaikeaa! Todistus. i) Koska on 1 e int dt = δ n,, 1 D n (x) dx = n 1 e ikx dx = 1 kaikilla n N. Siispä sama väite pitää paikkaansa Dirichlet n ytimien aritmeettiselle keskiarvolle K n. ii) Edellä osoitimme, että (e ix 1)D n (x) = e i(n+1)x e inx. Tämän vuoksi (n + 1)K n (x)(e ix 1)(e ix 1) = (e ix 1) n ( e i(k+1)x e ikx). Yhtälön oikean puolen summa on kaksi geometrista summaa, joten edelleen hieman sieventämällä saadaan (n + 1)K n (x)(e ix 1)(e ix 1) = e i(n+1)x + 1 e i(n+1)x + 1 k= = 2 2 cos ((n + 1)x). Koska (e ix 1) (e ix 1) = 2 (1 cos x), saamme lopuksi K n (x) = 1 cos ((n + 1)x) (n + 1)(1 cos x) Huomaa, että koska cos(t) 1 kaikilla t, Fejérin ydin on tosiaankin positiivinen. Edelleen, Fejérin ytimelle löydetystä esityksestä seuraa että K n (x) kun < δ < x < δ <. 2 (n + 1)(1 cos δ)
76 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 16 12 y = D 8 (x) 8 y = K 8 (x) 8 6 4 4 2-4 -3-2 -1 1 2 3-3 -2-1 1 2 3 Kuva 8. Dirichlet n ja Fejérin ytimet (n = 8) Seuraavaksi tutkimme Fejérin ytimien käyttäytymistä konvoluutioissa. 5.4. Lause. Olkoon f : [, ] C jatkuva, f() = f(), sekä K n f(x) := 1 kun x [, ] ja n N. Silloin K n f f = eli K n f(x) f(x) tasaisesti, kun n. f(t) K n (x t) dt sup K n f(x) f(x), x [,] Todistus. (vrt Reaalianalyysi I) Oletuksen nojalla f on tasaisesti jatkuva ja se voidaan jatkaa -periodisena koko reaalilukujen joukkoon R. Myös K n on periodinen ja jatkuva, joten muuttujanvaihtoa u = x t soveltamalla saadaan K n f(x) = 1 = 1 f(t) K n (x t) dt u=x t = f(x t) K n (t) dt 1 x x ( = f K n (x)) f(x u) K n (u) du Olkoon ε > annettu. Koska f on tasaisesti jatkuva, niin löytyy sellainen δ >, että f(x u) f(x) < ε 2 kaikilla u < δ ja x [, ]. Merkitään M = sup f(u) <. u (,) Lemman 5.3 kohdan ii) nojalla on olemassa sellainen n N, että K n (u) < ε 4M,
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 77 kun δ u δ ja n n. Lemman 5.3 kohdan ii) ja konvoluutiokaavan K n f = f K n avulla saadaan nyt K n f(x) f(x) = 1 (f(x u) f(x)) K n (u) du 1 = δ f(x u) f(x) K n (u) du +... } δ {{ } =I 1 δ +... δ } {{ } =I 2 Käsittelemme erikseen integroinnit yli edellä määrättyjen välien. Nyt Lemman 5.3 kohdan i) ja vakion δ määritelmän nojalla nojalla δ δ f(x t) f(x) K n (t) dt ε 2 δ δ K n (t) dt < ε 2. Koska f ja K n ovat -periodisia, niin tästä seuraa, että I 1 ε/2. Vielä tulee käsitellä termi I 2. Nyt 1 δ δ f(x t) f(x) K n (t) dt ( ) 2 f(x) K n (x) 2M sup [,] sup [ δ, δ] ε 4M = ε 2. Siispä jokaisella x [, ] on voimassa K n f(x) f(x) I 1 +I 2 < ε + ε = ε, 2 2 joten väite seuraa. Huomautus. Lemmojen 5.2 ja 5.3 sekä integraalin lineaarisuuden nojalla ( 1 n ) K n f(x) = D k f(x) = 1 n D k f(x) = 1 n s k (f; x) n + 1 n + 1 n + 1 k= kun x [, ] ja n N. Lause 5.4 tunnetaan Fejérin lauseen nimellä. Lauseen 5.4 perusteella jatkuvan -periodisen funktion f Fourier-osasummien aritmeettinen keskiarvo suppenee tasaisesti kohti f:ää välillä [, ] ja siten myös pisteittäin kaikilla x [, ]. Seurauksena tästä saadaan tärkeä yksikäsitteisyysominaisuus. 5.5. Seuraus. Jos f C (, ) on -periodinen ja f(k) = kaikilla k Z, niin f. Todistus. Jos f(k) = kaikilla k Z, niin s n (f; x) = f(k) e ikx = kaikilla n N. Lauseen 5.4 jälkeisen huomautuksen nojalla f(x) = lim K n f(x) = kaikilla x [, ]. k= k=
78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siis jatkuvien funktioiden tapauksessa Fourier-kertoimet määräävät funktion eli jos f ja g ovat jatkuvia ja -periodisia, niin f(k) = ĝ(k) kaikilla k Z = f = g. Todistamme seuraavaksi keskeisen approksimaatiotuloksen L p -funktioille. 5 Tämä tulos kertoo sen, että sileät funktiot ovat tiheässä avaruudessa L p [, ], kun p. 5.6. Lause. Olkoon f L p [, ], kun 1 p <, ja ε >. Tällöin on olemassa -periodinen C -funktio g, jolle (A) f g p = ( f(x) g(x) p dx) 1 p < ε. Todistus. Havaitaan, että K n g on C -funktio, sillä se on Lauseen 5.4 jälkeisen huomautuksen nojalla äärellinen summa trigonometrisistä funktioista, jotka ovat C -funktioita. Lauseen 5.4 nojalla riittää siis löytää jatkuva funktio g, jolle (A) on voimassa, sillä missä g K n g p = f K n g p f g p + g K n g p, ( g(x) K n g(x) dx kun n. Etsitään haluttu jatkuva funktio g asteittain : ) 1 p c g K n g, 1.) Olkoon f = χ F suljetun joukon F [,] karakteristinen funktio. Asetetaan 1 g n (x) =, kun x [, ] ja n N. 1 + n dist(x, F ) Etäisyysfunktio x dist(x, F ) on jatkuva (tarkista!), joten g n : [, ] R on jatkuva kaikilla n N. Lisäksi g n (x) = 1 kaikilla n N, jos x F ja g n (x), kun x / F ja n, sillä tällöin dist(x, F )) >. Siis g n χ F pisteittäin, kun n. Koska g n (x) 1 kaikilla x [, ] ja n N, niin Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen nojalla, lim g n χ n F p p = lim = n g n (x) χ F (x) p dx lim g n(x) χ n F (x) p dx =. Lisäksi muuttamalla funktiota g n pienessä välissä [, 1 n] voi olettaa että g n () = g n (). 5 Vertaa Reaalianalyysi I
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 79 tähän tulee kuva!! 2.) Olkoon f = χ A avoimen joukon A [, ] karakteristinen funktio. Tämä seuraa kohdasta 1.), koska komplementti A c = [, ] \ A on suljettu ja χ A = 1 χ A c. 3.) Olkoon f = χ A, kun A [, ] Lebesgue-mitallinen joukko. Tällöin Lebesguen mitan määritelmä nojalla löytyy sellainen jono avoimia joukkoja G n [, ], että G n A kaikilla n N ja lim µ(g n \ A) =, n kun µ on Lebesguen mitta. Olkoon ε >. Valitaan n N niin suureksi, että µ(g n \ A) < (ε/2) p. Edelleen kohdan 2.) nojalla löytyy sellainen jatkuva -periodinen funktio g, jolle g χ Gn p < ε. Siispä 2 g χ A p g χ Gn p + χ Gn χ A p ε 2 + µ(g n \ A) 1 ε p < 2 + ε 2 = ε 4.) Olkoon f L p (, ) mielivaltainen. Tällöin Lebesguen integraalin määritelmä nojalla löytyy sellainen yksinkertainen funktio n g = a j χ Aj, j=1 että f g p < ε. Soveltamalla kohtaa 3.) kuhunkin karakteristiseen funktioon χ Aj löydetään sellainen jatkuvat -periodiset funktiot g j, että χ Aj g j p < ε nm, missä M = max{ a 1,..., a n }. Siispä kolmioepäyhtälön nojalla n p n f a j g j f g p + a j g j χ Aj p j=1 < ε + j=1 n ε a j nm 2ε. j=1 Koska a j g j on myös -periodinen jatkuva funktio, väite seuraa.
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5.7. Huomautus. 1) Lauseen 5.6 nojalla sileiden C -funktioiden muodostama aliavaruus on tiheä myös avaruudessa L p (a, b), kun a < b ja 1 p <, mikä seuraa lineaarisesta muuttujanvaihdosta [a, b] [, ]. 2) Lause 5.6 ei päde tapauksessa p = (HT). 3) Jos f L p (R), kun 1 p < ja ε >, niin on olemassa sellainen M >, että f(x) p dx < ε, J M kun J M = { x > M}. Siispä vektorialiavaruus C (R) L p (R) on tiheä avaruudessa L p (R), kun 1 p <. 4) Jos R on mitallinen, µ() > ja f L p (), niin asetetaan f = f χ eli f(x), x, f(x) =, x R \, jolloin f L p (R). Tämän avulla voidaan päätellä, että C on tiheä avaruudessa L p (), kun 1 p <. 5) Voidaan myös osoittaa, että p-integroituvat C (R n ) funktiot muodostavat tiheän aliavaruuden avaruudessa L p (R n ) (1 p < ), katso Reaalianalyysi I, luku 2.4. (n-ulotteinen tapaus on vähän hankalampi, koska käytimme edellä Fejérin ytimien K n = 1 n+1 n k= D k erikoisominaisuuksia). Saadaan yksikäsitteisyys myös L 2 -funktioiden Fourier-sarjoille: 5.8. Seuraus. Jos f L 2 (, ) ja f(k) = 1 niin f =. Erityisesti, jos f(t) e ikt dt = kaikilla k Z, e n (x) = 1 e inx, x [, ], n Z, niin (e n ) n on ortonormaali kanta avaruudessa L 2. Todistus. Olkoon ε > mielivaltainen. Lauseen 5.6 nojalla on olemassa sellainen jatkuva g C(, ), että g on -periodinen ja f g 2 < ε. Lauseen 5.4 sivulla 76 mukaan konvoluutio K n g g tasaisesti välillä [, ], kun n, joten g K n g 2 1 g K n g < ε
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 81 jollakin n N. Sivun 77 huomautuksen nojalla n K n g = a k e k (trigonometrinen polynomi), missä e k (x) = 1 e ikx. Koska (e k ) k ortonormaali jono, niin Huomautuksen 4.35 sivulla 66 nojalla n 2 n 2 f ( f e k ) e k f a k e k. Tästä kolmioepäyhtälön ja edellisten arvioiden nojalla seuraa, että n 2 n 2 f ( f e k ) e k f g 2 + g a k e k < 2ε. Oletuksen nojalla ( f e k ) = f(k) = kaikilla k Z, joten f 2 < 2ε. Koska ε > mielivaltainen, niin f =. Lauseen 4.39 sivulla 67 ehdon b ) nojalla jono (e n ) n on Hilbertin kanta avaruudessa L 2 (, ). Yhteenveto (Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta) Kokoamme lyhyesti saamamme tulokset Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta. 1.) Jos e n = 1 e inx, n Z, niin (e n ) n on ortonormaali jono avaruudessa L 2. 2.) Jos f L 2 ja f(n) = 1 ( f e n ) = kaikilla n Z, niin f =. (Seuraus 5.8) 3.) Jos f L 2, niin f = n= ( f e n ) e n = n= f(n)e inx, missä sarja suppenee L 2 -mielessä. Konkreettisesti n f(x) f(k)e ikx 2 dx =. lim n (Lause 4.39 sivulla 67 ja Seuraus 5.8) 4.) Parsevalin identiteetin eli Lauseen 4.39 sivulla 67 kohdan e ) nojalla 1 f(x) 2 dx = f(n) 2, kun f L 2, k= koska f(n) = 1 ( f e n ) kaikilla n Z.
82 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5.) Kääntäen, jos (λ k ) k l 2 (Z), niin tällöin on olemassa f L 2 (, ), jolle f(k) = λ k kaikilla k Z. Tämä on Riesz Fischerin lause eli Seuraus 4.37 sivulla 67. Pisteittäisen suppenemisen teoriasta esitämme seuraavan sovelluksen, joka toimii esimerkiksi jatkuvasti derivoituville funktioille. 5.9. Lause. Jos f : R R on -periodinen ja toteuttaa Lipschitz-ehdon f(x) f(y) L x y kaikilla x, y R, niin S n (f; x) = n f(k)e ikx f(x), kun n kaikilla x R. Todistus. Jos h L 2, niin Besselin epäyhtälön nojalla kun n. Samoin Valitaan nyt h(t) cos(nt) dt = 1 ( ( h e in ) + ( h e in ) ) 2 = 2 (( h e n ) + ( h e n )), lim n h(t) sin(nt) dt =. (*) h x (t) = f(x t) f(x). sin(t/2) L [, ] L 2 [, ]. Lem- Tällöin Lipschitz-ehdon nojalla funktio h x man 5.2 nojalla S n (f; x) f(x) = 1 = 1 D n (x t)f(t) dt f(x) D n (t)f(x t) dt f(x) = 1 D n (t) (f(x t) f(x)) dt. Toinen identiteeteistä seuraa Lauseen 5.4 sivulla 76 todistuksessa olevasta konvoluutiokaavasta ja viimeinen siitä, että Lemman 5.3 sivulla 74 nojalla Dirichletin ytimen intgraali Dn (t) dt = 1. Koska 1 D n (t) = sin ( (n + 1 2 )t) sin(t/2) = cos(nt) + sin(nt) cos(t/2), sin(t/2)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 83 niin soveltamalla edellisiä identiteettejä yhteen saadaan S n (f; x) f(x) = 1 + 1 cos(nt) (f(x t) f(x)) dt h x (t) cos(t/2) sin(nt) dt. Koska kiinteällä x R sekä f(x ) f(x) L 2 että h x (t) cos(t/2) L 2, niin todistuksen alkuosan kahden raja-arvokaavan perusteella lim S n(f; x) f(x) =. n Sobolev-avaruudet Olkoon f C 1 (, ) jatkuvasti derivoituva, f() = f(). Tällöin f (k) = 1 + ik f (t)e ikt dt = 1 / f(t)e ikt dt = ik f(k), f(t)e ikt kaikilla k Z. Joten Parsevalin identiteetin (Lause 4.39 sivulla 67) nojalla (5.1) 1 ( f(t) 2 + f (t) 2 ) dt = k= (1 + k 2 ) f(k) 2. Riesz Fischerin lause (Seuraus 4.37 sivulla 67) vihjaa, että kaava (5.1) voisi olla voimassa yleisemmille funktioille f ja että on olemassa avaruuden L 2 vastine derivoituville funktioille; siis avaruus, joka koostuu funktioista f L 2, joille f L 2. Ongelma. Mikä on derivaatta f, jos f L 2? Tarkastellaan aluksi testifunktioiden avaruutta D(), missä = (a, b) R on avoin väli (voi olla = R). Palautetataan mieleen, että jos ψ : R R on jatkuva, niin on ψ:n kantaja. Asetetaan nyt supp(ψ) := {x R : ψ(x) } D() = { ψ C (R) : supp(ψ) on kompakti }. Huomautus. Jos ψ D(), niin sen derivaatat ψ (k) D() kaikilla k N.
84 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Olkoon f C 1 () jatkuvasti derivoituva. Tällöin osittaisintegroinmalla saadaan (5.11) f ϕ dx = fϕ dx kaikilla ϕ D(). Edellisessä identiteetissä ei ole sijoitustermiä, sillä testifunktio ϕ on häviää joukon reunalla. Identiteetin (5.11) avulla voimme samaistaa derivaatan f ja sitä vastaavan lineaarikuvauksen L f : ϕ f(x)ϕ (x) dx, missä ϕ D() ja f C 1 (). Seuraavksi näytämme, että samaistus on järkevä (eli jos tunnemme lineaarikuvauksen L f, niin voimme selvittää funktion f yksikäsitteisesti -mittaista joukkoa vaille). 5.12. Lemma. Olkoon f C 1 () ja rajoitettu avoin väli. Jos g L 2 () ja g ϕ dx = f ϕ dx kaikilla ϕ D(), niin f (x) = g(x) m.k. x. Todistus. Oletuksen ja identiteetin (5.11) nojalla g ϕ dx = f ϕ dx = eli f ϕ dx, (f g)ϕ dx = ϕ D(). Siis (f g) D() avaruudessa L 2 (). Riittää siis näyttää, että D() = L 2 () normin 2 suhteen, sillä tällöin testifunktioiden ortokomplementti D() =, joten f = g avaruuden L 2 () alkioina. Olkoon = (, 1) (yleinen tapaus = (a, b) voidaan palauttaa tähän lineaarisella muunnoksella). Etsimme kiinteällä < ε < 1 2 funktion η ε C (), jolle pätee 1. kun x, niin η ε (x) 1, 2. nollan ja ykkösen ympäristöissä funktio η ε on identtisesti nolla, eli η ε (x), kun < x < ε tai 1 ε < x < 1, 3. funktio η ε (x) 1, kun 2ε < x < 1 2ε Tämän etsiminen jää harjoitustehtäväksi. Voit käytää apuna tietoa, että e 1/x2, x > h(x) =, x
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 85 on C -funktio, vrt. Reaalianalyysi I. Jos f C (), niin η ε f D() ja Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen nojalla f η ε f 2 = 1 η ε (x) 2 f (x) 2 dx, kun ε +. Koska Lauseen 5.6 sivulla 78 nojalla tiedetään, että C () = L 2 (), niin edellisen nojalla myös D() = L 2 (). Huomautus. Lemman 5.12 todistus toimii sellaisenaan vain, jos f L 2 (). Tämä lisärajoitus voidaan helposti kiertää, sillä jos j on kompakti, niin soveltamalla todistusta derivaatan f rajoittumaan kompaktiin joukkoon j nähdään, että f = g m.k x j. Siirtyminen kompakteihin joukkoihin takaa, että jatkuva funktio on neliöintegroituva. Valitsemalla jono kompakteja osajoukkoja 1 2 siten, että = j, niin edellisestä seuraa, että f = g m.k. x. 5.13. Määritelmä. Olkoon = (a, b) avoin väli ja f L 2 (). Funktio g L 2 () on f:n distribuutioderivaatta (eli heikko tai yleistetty derivaatta), jos L g (ϕ) := g ϕ dx = f ϕ dx = L f (ϕ ) kaikilla ϕ D(). 5.14. Huomautus. Jos distribuutioderivaatta g on olemassa, niin g on yksikäsitteinen L 2 -funktiona. Tämä seuraa soveltamalla Lemman 5.12 todistusta. Jos f C 1 (), niin identiteetin (5.11) nojalla g = f tavallisessa mielessä. Jos f:lla on distribuutioderivaatta, niin merkitään g = f. 5.15. Huomautus. Yllä olevien heikkojen derivaattojen tarkastelu johtaa distribuutioihin (eli yleistettyihin funktioihin). Näihin joudutaan esimerkiksi seuraavista vaatimuksista: (a) jokainen jatkuva funktio on distribuutio, (b) distribuutioilla on kaikkien kertalukujen derivaatat, jotka ovat edelleen distribuutioita. Jos f C 1, niin distribuutioderivaatta = tavallinen derivaatta. (c) derivaatan tavallisten laskusääntöjen tulee olla voimassa (distribuutioiden tulo on ongelma!). (d) distribuutioilla tulee olla riittävän hyviä konvergenssin ominaisuuksia (rajaprosesseja varten). Määritellään distribuutio lineaarikuvauksena Λ: D() K. Jokainen jatkuva f C() määrää lineaarikuvauksen Λ f (ϕ) = f(ϕ) dx. Jos asetamme
86 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI identiteetin (5.11) sivulla 84 motivoimana, että Λ (ϕ) = Λ(ϕ ), ϕ D(), niin ehdot (b) ja (c) tulevat täytetyiksi. Kohtaa (d) varten testifunktioiden joukko D() pitää varustaa sopivalla topologialla, jolloin distribuutiot ovat tarkalleen jatkuvat lineaarikuvaukset D() K. Tämän topologian määrittely sekä karakterisointi vaatii lisätarkasteluja, joten se sivuutetaan tällä kurssilla. 6 5.16. Esimerkki. Olkoon = ( 1, 1) ja, x < H(x) = (Heavisiden funktio). 1, x Tällöin H L 2 (), mutta kaikilla ϕ D() pätee 1 ϕ (x)h(x) dx = ϕ (x) dx = ϕ() ϕ(1) = ϕ() }{{} = eikä voi olla olemassa funktiota g L 2 (), jolle g(x)ϕ(x) dx = ϕ() kaikilla ϕ D(). 5.17. Huomautus. Heavisiden funktion H derivaatta distribuutiona on ns. Diracin deltafunktionaali δ, jolle δ(x) = kun x ja δ(x) dx = 1. Siis δ ei voi olla tavallinen funktio, vaan se on aito distribuutio. 5.18. Määritelmä. Olkoon = (a, b) avoin väli. Sobolev-avaruus H 1 = H 1 () koostuu niistä avaruuden L 2 funktioista f, joilla on distribuutioderivaatta f L 2 eli H 1 = { f L 2 () : funktiolla f on distribuutioderivaatta f L 2 () }. Huomautus. Merkintä H 1 viittaa derivaatan kertalukuun ja H Hilbertin avaruuteen. Usein merkitään myös H 1 = W 1 2 = W 1,2. 5.19. Lause. H 1 on Hilbert-avaruus varustettuna sisätulolla ( f h ) = f(x)h(x) + f (x)h (x) dx, f, g H 1. Todistus. HT 8/26. Tarvitsemme myöhemmissä esimerkeissä Sobolev-funktioiden perusominaisuuksia ja näitä varten tarvitaan seuraava versio analyysin peruslauseesta heikoille derivaatoille. 6 katso esimerkiksi Walter Rudin: Functional Analysis.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 87 5.2. Lemma. Jos f L 2 () ja f ϕ dx = kaikilla ϕ D(), niin f(x) C (vakio) m.k. x eli joukko { x : f(x) C } on -mittainen. Todistus. Olkoon ψ D() funktio, jolle ψ dx = 1. Jos w D() on mielivaltainen, niin asetetaan x ( ( ) ) ϕ(x) = w(t) w(y) dy ψ(t) dt. a Tällöin ϕ D(). Tämän havaitsemiseksi lasketaan ensin ϕ derivaatta, joka on ϕ (t) = w(t) ( w dx)ψ(t). Olkoon nyt väli [c, d] = (a, b) sellainen, että supp(ψ) supp(w) [c, d], niin kaikilla c [a, c] on ϕ(c ) = ja edelleen d ϕ(d ) = ϕ(d ) ϕ(c ) = ϕ (t) dt = c = w(t) dt ( ( ) ) w(t) w dx ψ(t) dt c ψ(t) dt w(x) dx = d kaikilla d [d, b], sillä ψ dx = 1. Siispä supp(ϕ) ja on kompakti. Oletuksen ja Fubinin lauseen 7 nojalla on siis ( ( ) ) = f ϕ dx = f(t) w(t) w dx ψ(t) dt ( ) = w(x) f(x) f(t)ψ(t) dt dx. Koska w D() on mielivaltainen ja D() = L 2 () (Lauseen 5.12:n todistus), niin tästä seuraa, että f(x) f ψ dt = m.k. x }{{} =C=vakio Analyysin peruslauseen (Lemma 5.2) avulla voimme osoittaa, että Sobolevfunktiot ovatkin hieman sileitä myös tavallisessa mielessä. Tarkemmin sanoen seuraava tulos on voimassa. 5.21. Lause. Jos = (a, b) on rajoitettu väli, f H 1 (a, b) ja f on sen distribuutioderivaatta, niin a) f on jatkuva (tarkemmin: on olemassa f C(a, b), jolle f(x) = f(x) m.k. x eli funktion f määräämä L 2 -luokka sisältää jatkuvan edustajan) 7 integroimisjärjestyksen vaihto, kts. Mitta ja integraali
88 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI b) Huomautus. f(x) = x x f (t) dt + f(x ) m.k. x, x (a, b) (1) Ominaisuus on olemassa jatkuva edustaja on vahvempi kuin ominaisuus m.k. jatkuva. Esimerkiksi välin [, 1] karakteristinen funktio χ [,1] on jatkuva m.k. x R, mutta ei ole olemassa sitä vastaavaa jatkuvaa edustajaa. (2) Jos f on jatkuva funktio, jolle löytyy f (x) m.k. x (tavallisessa mielessä) ja f L 2 (), niin tällöin b) ei aina päde (Reaalianalyysi I: on olemassa jatkuva ns. Cantorin funktio f : [, 1] [, 1], jolle f (x) = m.k. x [, 1], f() =, f(1) = 1). Lauseen 5.21 todistus. Voidaan vapaasti olettaa, että (a, b) = (, 1). Olkoon x (, 1). Määritellään funktio h(x) = x x f (t) dt, joka on hyvin määritelty, sillä f L 2 (, 1) L 1 (, 1) Schwarzin tai Hölderin epäyhtälön nojalla. Jos x, y (, 1), niin Hölderin nojalla (jos x < y) x y y h(x) h(y) = f (t)dt f (t)dt = f (t)dt x x x ( y ) 1 ( f (t) 2 2 y ) 1 2 dt 1dt f H 1 x y 1 2, x x }{{} = y x 1 2 eli h on tasaisesti jatkuva (, 1) K ja siten myös jatkuva välillä [, 1]. Väite: f(x) h(x) = C (vakio) m.k. x (, 1) (Huom: (a) ja (b) seuraavat tästä heti). Olkoon ϕ D(, 1) mielivaltainen ja olkoon x = (merkintöjen helpottamiseksi). Tällöin Fubinin lauseen, distribuutioderivaatan määritelmän sekä tiedon, että ϕ(1) =, saadaan ( x ) ϕ (x)h(x) dx = ϕ (x) f (t) dt dx Fub. = = ( f (t) f(t)ϕ (t) dt, t ) ϕ (x) dx }{{} =ϕ(1) ϕ(t)= ϕ(t) dt = f (t)ϕ(t) dt
joten FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 89 ϕ (t)(h(t) f(t)) dt = kaikilla ϕ D(, 1). Siispä Lemman 5.2 nojalla f(x) h(x) C m.k. x (, 1). Seuraavassa oletetaan aina, että Sobolev-funktio f H 1 (a, b) on jatkuva (siis edustajana Lauseen 5.21 kohdan a) mielessä) ja erityisesti f(a) = lim f(x) ja f(b) = lim f(x) x a+ x b ovat olemassa (katso Lauseen 5.21 todistus). Siis tässä mielessä H 1 (a, b) C(a, b) (= { f : [a, b] K : f on jatkuva }). Kirjoitetaan näkyviin pari seurausta Lauseelle 5.21. 5.22. Seuraus. Jos f H 1 (a, b) ja f C(a, b), niin f C 1 (a, b). Todistus. Lauseen 5.21 ja derivaatan f jatkuvuuden nojalla f(x) f(x ) = kaikilla x, x [a, b]. x x f (t) dt 5.23. Seuraus. Joukko H 1 (a, b) = { f H 1 (a, b) : f(a) = f(b) = } on avaruuden H 1 (a, b) suljettu aliavaruus (ja siis Hilbert avaruus). Todistus. HT 9/26 Huomautus. Koska avaruuden H 1 funktiot ovat jatkuvia, niin -periodisessa tapauksessa H 1 (, ) voidaan karakterisoida Fourier-kertoimien avulla: eli funktio f H 1 (, ) ja f() = f() jos ja vain jos f L 2 (, ) ja (1 + k 2 ) f(k) 2 <. k= Tämä seuraa sivulla 83 olevasta johdantotekstistä Sobolev-avaruuksiin, kun lisäksi yhdistämme tähän päättelyyn HT 9/26 tehtävässä 2 osoitettua tulosta. Sovelluksista differentiaaliyhtälöihin Hilbertin avaruus-metodeja voidaan käyttää apuna myös differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Tarkastellaan esimerkkinä Sturmin Liouvillen yhtälöitä: Oletetaan, että on annettu funktiot p C 2 (, 1), q C(, 1) ja etsitään funktiota u C 2 (, 1), joka toteuttaa seuraavat ehdot (p(x)u (x)) (x) + q(x)u(x) =, kun x (, 1) (SL) u() = α, u(1) = β.
9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Teemme seuraavat lisäoletukset: on olemassa sellainen δ >, että (5.24) p(x) δ ja q(x) δ aina, kun x [, 1] Seuraava tärkeä heikkon ratkaisun käsite kytkee yhteen differentiaaliyhtälöt ja Hilbertin avaruudet. 5.25. Määritelmä. Funktio u H 1 (, 1) on yhtälön (SL) heikko ratkaisu, jos u() = α, u(1) = β sekä p(x)ϕ (x)u (x) dx + kaikilla testifunktiolla ϕ D(, 1). q(x)ϕ(x)u(x) dx = Toisin sanoen, funktio u on Sturmin Liouvillen yhtälön (SL) heikko ratkaisu, jos funktion pu distribuutioderivaatta on qu. Todistamme nyt Hilbertin avaruusmenetelmillä seuraavan tuloksen, jonka tarkennuksiin palaamme myöhemmin kurssilla, kunhan olemme saaneet uusia ja tehokkaampia työkaluja. 5.26. Lause. Kun p ja q ovat alhaalta rajoitettuja (eli kun ehto (5.24) toteutuu), niin yhtälöllä (SL) on yksikäsitteinen ratkaisu u C 2 (, 1). Todistus. Todistamme väitteen useissa pienissä askeleissa. 1. askel: Ensimmäisenä askeleen osoitetaan, että Väite. Jos u C 2 on yhtälön (SL) klassinen ratkaisu 8, niin u on myös heikko ratkaisu. Todistus. Olkoon ϕ D(, 1). Nyt osittaisintegroimalla saadaan 1/ (p ϕ u + q uϕ)(x) dx = p(x)ϕ(x)u (x) + ϕ(x) ( (p u ) + q u ) (x) dx =. }{{} Sijoitustermi häviää, sillä ϕ() = ϕ(1) =. Siis u on Määritelmän 5.25 nojalla myös heikko ratkaisu. 2. askel: Asetetaan avaruuteen H 1 (, 1) uusi sisätulo u v = p(x)u (x)v (x) dx + q(x)u(x)v(x) dx. Selvästi u v on funktion u suhteen lineaarinen, u v = v u ja lisäksi on aidosti positiviinen, sillä p δ ja q δ. Siispä on todella sisätulo avaruudessa H 1 (, 1). 8 siis u C 2 ja toteuttaa reuna-arvotehtävän (SL)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 91 Väite. Joukko H 1 (, 1) varustettuna sisätulolla on Hilbertin avaruus. Todistus. On siis vielä näytettävä, että H 1 (, 1) on täydellinen normissa u := u u. Olemme olettaneet, että δ p, q ja koska p sekä q ovat jatkuvina funktioina rajoitettuja välillä [, 1], niin jollakin vakiolla M > on Nyt u v 2 = < δ p(x) M <, < δ q(x) M <. M p(x) u (x) v (x) 2 + q(x) u(x) v(x) 2 dx u (x) v (x) 2 + u(x) v(x) 2 dx = M u v 2 H 1. Samoin nähdään, että δ u v 2 H u v 2. Siis, jos (u 1 n ) on Cauchyn jono avaruudessa (H 1, ), niin se on Cauchyn jono myös avaruudessa (H 1, H 1). Koska (H 1, H 1) on täydellinen (Lause 5.19 sivulla 86), niin löytyy sellainen u H 1, että u n u H 1, kun n. Tällöin u n u M u n u H 1, ja siis myös avaruus (H 1, ) on täydellinen. 3. askel: Seuraava askel on näyttää, kuinka yhtälölle (SL) löydetään heikko ratkaisu. Väite. Yhtälöllä (SL) on heikko ratkaisu. Todistus. Olkoon E = (H 1, ), missä sisätulo on sama kuin askeleessa 2. Nyt toisen askeleen mukaan avaruus E on Hilbertin avaruus. Valitaan nyt jokin f E, jolle f() = α ja f(1) = β, esimerkiksi funktio f(x) = α + x(β α) kelpaa. Seurauksen 5.23 sivulla 89 nojalla H 1 on avaruuden H 1 suljettu aliavaruus ja edelliseen askeleen todistuksen nojalla H 1 on myös avaruuden E suljettu aliavaruus. Siispä voimme soveltaa luvun 4 normin minimoijatuloksia ja siten Seurauksen 4.18 sivulla 6 nojalla on olemassa yksikäsitteinen g H 1, jolle f g = inf{ f h : h H 1 }. Edelleen Lauseen 4.2 sivulla 61 nojalla (f g) H 1 sisätulon suhteen. Jos nyt merkitään u = f g, niin u() = f() g() = α = α ja u(1) = f(1) g(1) = β.
92 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Koska selvästi D(, 1) H 1 (, 1), niin jokaisella ϕ D(, 1) on = f g ϕ = eli funktio u on yhtälön (SL) heikko ratkaisu! p(x)u (x)ϕ (x) + q(x)u(x)ϕ(x) dx Huomautus. Edellä esitetty heikon ratkaisun konstruointi voidaan tulkita myös Dirichlét n periaatteena: Jos I(u) = p(x) u (x) 2 + q(x) u(x) 2 dx, niin yhtälön (SL) heikko ratkaisu on funktio u H 1 (, 1), joka toteuttaa reunaehdot u () = α, u (1) = β ja jolle pätee I(u ) = inf{ I(u) : u() = α ja u(1) = β }. 4. askel: Tässä askeleessa osoitamme, että yhtälöllä (SL) on korkeintaan yksi ratkaisu. Yhdessä edellisen askeleen kanssa tämä takaa sen, että yhtälöllä on tarkalleen yksi heikko ratkaisu. Tätä varten tarvitsemme seuraavan lemman, joka osoittaa, että testifunktiot ovat tiheässä avaruudessa H 1 (mutta eivät siis koko Sobolev-avaruudessa H 1!!). 5.27. Lemma. Testifunktioiden sulkeuma D() = H 1 (), kun on rajoitettu väli ja sulkeuma otetaan H 1 -normin suhteen. Todistus. Oletetaan seuraavassa laskujen yksinkertaistamiseksi, että = (, 1). Ensiksi, sillä D() H() 1 ja avaruus H() 1 on suljettu, niin D() H(). 1 Kääntäen, jos f H(), 1 niin Lauseen 5.21 sivulla 87 nojalla f(x) = x f (t) dt. Edelleen Lemman 5.12 sivulla 84 todistuksessa osoitettiin, että D() = L 2 (), joten löytyy sellainen g D(), jolle f g 2 < ε. Koska väli [, 1] on rajoitettu, niin tiedämme, että f g 1 f g 2 < ε. Siten ( ) g(x) dx = g(x) f (x) dx g f 1 < ε. Ensimmäinen identiteetti seuraa siitä, että = f(1) = f (t) dt. Väitteen osoittamiseksi haluaisimme nyt konstruoida funktion h D(, 1), jolle sekä f h 2 ja f h 2 olisivat pieniä. Hyvä kandidaatti vaikuttaisi
olevan funktion g integraalifunktio ( ) h(x) := FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 93 x g(t) dt. Onko tämä integraalifunktio h kuitenkaan D(, 1):ssä? Jotta se olisi, on oltava h(1) =, mikä tarkoittaa, että vakio β := g(x) dx =, mutta me tiedämme vain arvion ( ). Korjataksemme tämän puutteen, valitsemme jonkin kiinteän testifunktion ϕ D(, 1), joka toteuttaa ehdot ϕ, ϕ 1 = 1. Olkoon nyt funktio g := g βϕ. Nyt g D(, 1), sen integraali on nolla ja lisäksi arvion ( ) nojalla g g 2 = β ϕ 2 < ε ϕ 2. Voimme nyt vaihtaa funktion g funktioksi g, joten voimme siis olettaa, että kaavan ( ) määräämä integraalifunktio h D(, 1). Nyt loppuosoitus on suoraviivainen, sillä f h 2 H = f(x) h(x) 2 dx + 1 = x f (t) g(t) dt 2 dx + f (x) h (x) 2 dx f (x) g(x) 2 dx ( x ) 2 f (t) g(t) dt dx + f g 2 f (t) g(t) 2 dt + f g 2 2 2(1 + ϕ 2) 2 ε 2. Toiseksi viimeinen arvio seuraa Cauchy Schwarzin (tai Hölderin) epäyhtälön nojalla. Siispä H() 1 D(). Edeltävän lemman avulla voimme nyt osoittaa askeleen 4. väitteen: Väite. Yhtälön (SL) heikko ratkaisu on yksikäsitteinen. Todistus. Osoitimme 3. askeleessa, että jos g H 1 on se yksikäsitteinen alkio, jolle f g H 1, niin u = f g toteuttaa yhtälön (SL). Kääntäen, jos u 1 toteuttaa yhtälön (SL), niin reunaehdon nojalla u 1 = f g 1, missä g 1 H 1(, 1). Heikon ratkaisun määritelmän nojalla u 1 ϕ = jokaisella ϕ D(, 1) eli f g 1 D(, 1). Mutta Lemman 5.27 mukaan D(, 1) = H 1, joten f g 1 H 1. Siispä Lauseen 4.2 sivulla 61 nojalla f g 1 = dist(f, H), 1 joten Lauseen 4.17 sivulla 59 nojalla u 1 = f g 1 = f g = u, joten ratkaisu on yksikäsitteinen. 2
94 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. askel: Viimeisenä askeleena osoitamme, että edellisissä askeleissa konstruoitu yksikäsitteinen heikko ratkaisu on lisäksi klassinen. Väite. Yhtälön (SL) heikko ratkaisu u on klassinen ratkaisu eli u C 2 [, 1]. Todistus. Alkujaan tiedetään, että u H 1, joten u L 2 (, 1). Koska p C 2 (, 1), niin tulo pu L 2 (, 1). Koska tulon pu distribuutioderivaatta on qu L 2, niin tiedämmekin siis, että pu H 1 (, 1), joten Lauseen 5.21 nojalla funktio pu on jatkuva. Edelleen, koska p δ >, niin u C(, 1), joten olemme johtaneet, että itse asiassa u C 1 (, 1). Nyt (pu ) = qu C(, 1) myös klassisessa mielessä, joten pu C 1 (, 1), mistä seuraa edellleen, että u C 2 (, 1). Yhdessä kaikki askeleet osoittavat Lauseen 5.26 väitteen. Lisätietoja: 1. Sama koneisto voidaan rakentaa korkeammissakin dimensioissa ja L p -avaruuksissa: kun R n on alue ja 1 p <, voidaan myös määritellä Sobolev-avaruus W 1 p () = {f Lp () : f:n heikot osittaisderivaatat 1 f,..., n f L p ()}. Vastaavasti vaatimalla, että L p -funktion f kaikkien korkeintaan astetta 9 k olevat heikot distribuutioderivaatat α f L p, voimme myös määritellä Sobelev-avaruudet Wp k() sekä Hk () W2 k (). Tällöin voidaan osoittaa Lauseen 5.21 sivulla 87 vastine eli erikoistapaus Sobolevin upotuslauseesta: Jos k > n ja 2 Rn on riittävän sileäreunainen, niin H k () C(). 2. Edellä esitetty Sturmin Liouvillen yhtälöiden ratkaisumenetelmää voidaan soveltaa korkeammissa dimensioissa ns. elliptisiin yhtälöihin, joiden prototyyppi on u + u =, u = f, missä R n on alue. Ratkaisumenetelmä toimii kuten edellä: i) Klassinen ratkaisu on heikko ratkaisu ii) On olemassa heikko ratkaisu iii) Heikko ratkaisu on yksikäsitteinen (joten myös klassinen ratkaisu on yksikäsitteinen) iv) Heikon ratkaisun u säännöllisyys, eli u C 2 9 sanomme, että α f = α1 1... αn n f on astetta k, jos α 1 + α 2 + + α n = k
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 95 Tästä yhtälöstä päästään Laplacen yhtälöön u = Fredholm-operaattoreiden tai Fredholmin teorian avulla. Siis tässä luovumme oletuksesta, että q δ >!! 3. Historiallisesti, Bernhard Riemann (1826 1866) ratkaisi yhtälön u = f juuri edellä mainitun Diriclét n periaatteen avulla. Karl Weierstraß (1815 1897) aiheutti suuren sensaation kriittisellä artikkelillaan Über das Sogerannte Dirichletsche Princip, jossa hän esitti seuraavan vastaesimerkin: Jos J(u) = 1 x 2 u (x) 2 dx, niin ei ole jatkuvaa funktiota u, jolle u (1) = 1, u ( 1) = 1 ja J(u) = inf{ J(u) : u( 1) = 1, u(1) = 1 } Todistus. Jos niin joten kun ε +. ϕ(x) = arctan x ε arctan 1, ε >, ε ϕ (x) = J(ϕ) < ε (arctan 1 ε )(x2 + ε 2 ), 2ε arctan 1 ε, Missä Vika!? Miksi Dirichlét n periaate ei toimikaan? Syy (joka ymmärrettiin vasta paljon myöhemmin 19-luvulla) on se, ettei H 1 (tai H 1) ole täydellinen normissa u = 1 x 2 u (x) 2 dx. Tästä samasta syystä oletettiin, että p, q δ yhtälössä (SL). 1 Weierstrassin kritiikillä on ollut huomattava merkitys differentiaaliyhtälöiden teorialle ja variaatiolaskennalle, vaikka Dirichlét n periaate nyt pystytään perustelemaan täsmällisesti Hilbertin avaruuksien teorian avulla. 1 tämä normi vastaa Sturmin Liouvillen yhtälöiden normia, kun q ja p(x) = x 2!! Koska aikaisemmin totesimme, että oletuksesta q δ voidaan luopua, niin se, että funktiolla p on vain yksi nollakohta muuttaa tilanteen radikaalisti!!