Piiriteoria II Lakuharjoituket yky 6 TkT Marko Neitola marko.neitola@oulu.fi TS3 Siällyluettelo... ivu Harjoitu... 3 Harjoitu... 5 Harjoitu 3... 3 Harjoitu 4... 4 Harjoitu 5... 5 Harjoitu 6... 63 Harjoitu 7... 8 Harjoitu 8... 93 Harjoitu 9... 3 Harjoitu... 3 Liämateriaalia, aikatauluja ja kurin ilmoitukia löytyy Optiman Piiriteoria II työtilata: http://optima.oulu.fi/ Optimaympäritö on: Oulun yliopito, TTK
VÄLIKOKEET Välikokeet eivät ole pakolliia, mutta niillä voi korvata lopputentin. Niitä pidetään joko lakarin tai luennon paikalla. Graafiet lakimet ovat allittuja välikokeea. LOPPUTENTTI Yliopitotenttiin pitää ilmoittautua tenttiä edeltävän viikon maanantaina. Opettajat eivät vataa tenttiin ilmoittautumieta. Lopputentiä aa olla graafinen lakin. HARJOITUSTYÖ Harjoitutyö on pakollinen ja e on ykilöuoritu. Työ kootuu Matlab ja LTpicetehtävitä. Matlab on erityieti numeerieen lakentaan ja eitygrafiikkaan tarkoitettu ohjelmito. Vuoden 6 aluta alkaen yliopiton Matlablieniin iältyy myö kotikäyttöoikeu opikelijoille. Ohjelman aennuohjeet löydät tietohallintopalveluiden ohjelmitojakeluta: http://www.oulu.fi/th/node/5834 LTpice on monelle tuttu kurita Piiriteoria, mutta Matlab on oalle uutta. Googlettamalla löydät paljon tietoa, mutta myö Matlabohjelmitopaketti iältää ohjeita aloittelijalle: Aja Matlab Commandikkunaa komento doc, jolloin aukeaa uui ikkuna "Help". Klikkaa Matlab ja itten Vaemmata valikota Documentation Getting tarted Suomenkielellä löytyy mm. lyhyt Matlabopa ooitteeta http://math.aalto.fi/~apiola/matlab/opa/lyhyt/ Hyödylliiä eimerkkejä luennoitijan wikiivuilta (eti linkki Matlab_kuri.zip): http://wiki.oulu.fi/diplay/stoftia/octave. Yhteityötä ja avun antoa emme voi kieltää. Mutta jo palautukia on elkeätä kopiointia tai identtiet virheet, bumerangi tulee ja tarkataja aattaa kutua tekijät kuuluteluun. Eli vertaituki on OK, mutta työ pitää tehdä kaikin puolin itenäieti. Olkaapa kriittiiä kaverin neuvoille, jo teette työtä porukalla.
Harjoitu. HARJOITUS. Harjoitu on valtaoin Piiriteoria kertauta. Ilman PT perutaitoja, kurin uorittaminen voi tuntua kovin takkuielta: piiriä kuvaavan yhtälön tekeminen on edelleen tärkeää aemaa. PT lakarimonite on ladattavia eim. Optiman kautta. Jo alla olevaa litaniaa on joitain kohtia mitä et ihan ymmärrä, kannattaa kerrata. Kirchhoffin virta ja jännitelaki (KCL & KVL) Conventional current Jo piirielementti kuluttaa/tuottaa tehoa, mikä on tehon etumerkki? ( ) Sarjaan ja rinnankytkentä Impedanin (admittanin) käite (UZI, IYU) Lähteenmuunnoket Ohjatut lähteet (miten lähteen tyyppi ja lähteen ohjau merkitään) Reitiivinen jännite ja virtajako (toimii myö impedaneilla) Miten ilmaiet piirielimen (impedanin tai admittanin) virran olmujännitteillä? Solmupite ja ilmukkavirtamenetelmä Atettuneen (teadytate) vateen lakenta jatkuvalle inimuotoielle herätteelle (Ooitinlakenta) 3
Harjoitu KYSYMYKSET Tehtäviä ja kirjoitellaan piirejä kuvaavia yhtälöitä. Impedanit ja admittanit ovat tuttuja Piiriteoria :tä. Nyt käytetään alla olevan taulukon (ja kurin hengen) mukaieti Laplacemuunnettuja impedaneja. Yhtälöiden kirjoittamiia ei ole muuta ihmeellitä, kun e että jϖ:n paikalla onkin. Taulukko : Piirielinten Laplacemuunnoket Impedani Z AdmittaniY L L / (L) C / (C) C R R / R. Kirjoita alla olevalle piirille ilmukkavirtayhtälöt matriiimuodoa. H H H ς ς V I I I 3 /F F. Kirjoita alla olevalle piirille olmupiteyhtälöt matriiimuodoa. ς H U U ς U 3 A F A F 4
Harjoitu 3. Lake kuvan verkon portia ab näkyvä impedani. /ς /ς a ς v v ς b kuva LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA TEHTÄVÄ: 4. Lake kuvaa olevan piirin portita ab näkyvä Thevenin ekvivalenttipiiri aettamalla tähän porttiin tetivirta v in a 4ς v in ς v 8v ς 3A b kuva VASTAUS: R Thev.ς, V Thev.57V 5
Harjoitu HARJOITUS. PT KERTAUSTA STEADYSTATE VASTEIDEN LASKEMINEN Fouriermuunno pyrkii eittämään aikataon ignaalin f(t) inimuotoiina komplekiooittimina exp(jϖt). Ooitinlakenta jatkuville inimuotoiille ignaaleille tuli tutuki PT:ä. Tää kuria tutuki tulevaa Laplacemuunnokea on Fouriermuunnokeen verrattuna liätty ekponentiaalinen vaimennu, mikä mahdollitaa ueampien funktioiden muuntamien. Laplacemuunno oveltuu erittäin hyvin jatkuvaaikaiten tranienttiignaalien vateen analyyiin. Laplacemuunnetuia funktioia on mukana aina taajuumuuttuja joka on muotoa ρjϖ. Tuo ρ kuvaa em. ekponentiaalita vaimennuta. Tätä taajuuvate aadaan ijoittamalla :n paikalle vakioamplitudita inivärähtelyä vataava jϖ. Impedanit ovat nyt taulukon (. 4) mukaiia. VIRTA JAKAANTUU ADMITTANSSIEN SUHTEESSA I in R I out C I ( out G / R Y C C I ( in C G C JÄNNITE JAKAANTUU IMPEDANSSIEN SUHTEESSA R V V C out ( in V out Z C / (C) V out ( V in ( C R C V in ( RC 6
Harjoitu EKVIVALENTIT JÄNNITE JA VIRTALÄHTEET Z V I V Y Z Z Z Y I Y V ZI Theveninin ekvivalentti tietylle piirille voidaan muodotaa aettamalla piirin tuloporttiin tetivirta I tet ja ratkaiemalla porttiin aiheutuva jännite muodoa: U in U Thev R Thev I tet. (k. PT harj. 4) Vataavati Nortonin ekvivalentti aadaan aettamalla tuloporttiin tetijännite U tet ja ratkaiemalla portin virta muodoa: I in I Nort G Nort U tet. R T I in U Thev U in I tet I Nort G Nort U tet 7
Harjoitu VERKKOYHTÄLÖIDEN MUODOSTAMINEN: Silmukkamenetelmä: Silmukkamenetelmää tuntemattomat virrat jaetaan verkon ilmukoita kiertäviin komponentteihin. Sen jälkeen kirjoitetaan Kirchhoffin jännitelain mukaiet yhtälöt jokaielle ilmukalle. Näin aadaan yhtälöryhmä, jota ilmukoita kiertävät virtakomponentit voidaan ratkaita. Solmupitemenetelmä: Solmupitemenetelmää valitaan tuntemattomiki jännitteiki eri olmujen ja yhden n. kantaolmun väliet jännitteet. Solmupiteyhtälöt kirjoitetaan kullekin olmulle Kirchhoffin virtalain mukainen yhtälö. Näin aadaan yhtälöryhmä, jota olmujännitteet voidaan ratkaita. Matriiimuotoiten verkkoyhtälöiden ratkaieminen: Silmukkavirta ja olmupiteyhtälöt voidaan kirjoittaa uoraan matriiimuotoon. Matriiiyhtälöitä voidaan ratkaita halutut virrat tai jännitteet eimerkiki Cramerin äännöllä, joa käytetään determinantteja. Eim. a 4a 5b 6c 8a b 3c Matriiimuodoa 456 83 A a b c x i y Ratkaitaan muuttuja b Cramerin äännöllä: Sijoitetaan herätevektori y matriiiin A ratkaitavaa muuttujaa b vataavan arakkeen paikalle. Jaetaan edellä muodotetun matriiin determinantti alkuperäien matriiin A determinantilla ja näin aadaan haluttu ratkaiu. b 4 3 6 8( 46 456 5 3 6 ( 83 83 3rivinen determinantti laketaan kaavalla: abc def ghi a ef hi b df c de gi gh 8
Harjoitu OHJATUN LÄHTEEN ABSORPTIO: Ohjattu lähde voidaan muuttaa vataavaki impedaniki, jo ohjauuure vaikuttaa lähteen yli. trankonduktani g m : g m V x V x Z x V x Z x g m V x g m tranreitani r m : I x r m I r Z x V m I x x x Z x r m I x Ohjatun lähteen aborptiota ei käitelty Piiriteoria I kurilla, mutta e on ilmiönä varin helppotajuinen. Kun ohjauuure (virta tai jännite) vaikuttaa ohjatun lähteen yli, voidaan piirtää lähteen paikalle vatuken laatikkomalli. Reitanin (tai impedanin) arvon aat jännitteen ja virran uhteeta. Eimerkki aborptiota. Nyt virran I x uunta on eri, kun jännitteen. Niinpä lähteen ekvivalentti reitani on negatiivinen! 8ς I x I x 8,ς R tot < 7ς, 7ς < /ς 8ς I x 8ς I x 8ς I x I x I x Eli kertaukena PT ekata lakarita: Vatuken jännitteen ja virran uuntanuolet pitäiivät olla amanuuntaiia (conventional current). Jo ne ovat oikeati eriuuntaiia täytyy reitanin arvon olla negatiivinen (oikea vatu ei iihen kykene). I x 9
Harjoitu TEHTÄVÄ. H H H ς ς V I I I 3 /F F Impedanimatriiiin tulee ilmukan varrella olevat impedanit iten, että diagonaalielementille z ii tulee kaikkien ilmukan varrella olevien impedanien umma. Eidiagonaalilla ilmukoiden i ja j väliä olevat impedanit miinumerkkiinä (oletukena että ilmukkavirrat ovat kaikki amanuuntaiiki merkittynä). Kirjoita yhtälöryhmän (matriiin) oikealle puolelle ilmukkaan liittyvät jännitelähteet. Jo ilmukkavirta kiertää lähteen läpi niin että e tulee ulo plunavata, jännite laketaan poitiiviena, muutoin negatiiviena. z z z 3 I U z z z 3 I U z 3 z 3 z 33 I 3 U 3 I I I 3 Eli: kun lähteet ovat riippumattomia jännitelähteitä, ilmukkayhtälön voi kirjoittaa uoraan matriiimuotoon
Harjoitu TEHTÄVÄ. ς H U U ς U 3 A F A F Admittanimatriii: diagonaalielementeiki y ii tulee kaikkien olmuun i liittyvien konduktanien umma ja elementiki y ij tai y ji olmujen i ja j väliet admittanit miinumerkkienä. Kirjoita yhtälöryhmän (matriiin) oikealle puolelle olmuun liittyvät virtalähteet. Tuleva virta on plu ja lähtevä miinumerkkitä. U U U Eli: kun lähteet ovat riippumattomia virtalähteitä, olmuyhtälön voi kirjoittaa uoraan matriiimuotoon
Harjoitu TEHTÄVÄ 3. /ς /ς a ς v v ς b. tapa: Käytetään lähdeaborptiota Kahdennetaan aluki ohjattu virtalähde, jolloin aadaan ohjaujännite vaikuttamaan alemman lähteen yli: Monitu: Tää haaraa kulkee edelleen virta S v / / v v v Jo piirrät virtalähteiden välietä piteetä johtimen jonnekin muualle, e on allittua. Uuden johtimen virta on A: KCL: v Av / / A v v v Aborptio: ohjauuure v vaikuttaa alemman virtalähteen yli v z v ς (jännite per virta)
Harjoitu / / / v / v / {{ Seuraavaki muunnetaan jäljellä oleva ohjattu virtalähde ohjatuki jännitelähteeki. / / / / v o v Lähteenmuunno, jota jännitelähteen arvo: v zi v v i x v Alimmaa vatukea jännite on v ja virta on v /(ς). Samainen virta kulkee ohjetun lähteen läpi: z v x ς ς i x v v / 3/ 7/ς 3
Harjoitu TEHTÄVÄ 3 TOISIN.. tapa: Muodotetaan verkon Nortonekvivalentti ilmukkavirtamenetelmällä aettamalla tuloon tetijännite v tet. Muunnetaan piiriä oleva epäideaalinen virtalähde vataavaki jännitelähteeki /ς ς /ς I I N G N v tet ς v I v o I v tet Silmukkamatriiit: [ς] [A] [V] 5 3 I v I v tet v v lauuttuna I :n avulla on I ς Sijoitetaan ja iirretään ilmukkaviran kertoimet yhtälön vaemmalle puolelle: 5 3 I I v tet I 3 I I I v tet I v v tet tet ( v tet A 3 7 ( ( 7 v tet 4 3 A /7S 7/ς 4
Harjoitu. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Lake euraavien funktioiden Laplacemuunnoket. a) b) t c) e at d) co ϖt( e) e at in ϖt( f) u t a(, miä u(t) on ykikköakelfunktio. Olennaita on kuitenkin opetella, miten tehtävän muunnoket löytyvät ivun 9 taulukon avulla.. Lake euraavien funktioiden Laplacekäänteimuunnoket. a) b) c) d) 3 4 ( ( 3. Lake kuvan piirin jännitteen v (t) aikavate käyttämällä Laplacemuunnota. 4. Kirjoita kuvan piirille olmupiteyhtälö, joa kaikki mahdolliet alkutilat ovat mukana. LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVAT TEHTÄVÄT: 5. Kuvan 3 piiriä virran i in (t) Laplacemuunno on J/, miä J on vakio. Lake virta i out (t), kun t ja i out () A. (Oakoetehtävä 7) 6. Lake euraavien funktioiden Laplacekäänteimuunnoket. a) b) 3 c) 4 3 ( ( 3( ( Huom. c)kohdaa ei laketa oamurtoja, koka funktio voidaan muokata iten, että muunnotaulukkoa voidaan käyttää uoraan: G ( ( Vatauket teht. 5: a) ( ( R t L i out ( t J e teht. 6: a),5e t e t,5e 3t b) e t te t c) e t co ( t in t( ( 3e 3t 5
Harjoitu nf kς u(t) {, kun t <, kun t / kς 5u(t) v V Tranitorin ijaikytkentä: kollektori kanta αi b kollektori kanta < i b α emitteri emitteri Kuva L v in C R v Kuva i out (t) i in (t) R L Kuva 3 6
Harjoitu HARJOITUS. RATKAISUT LAPLACE MUUNNOS Määritelmä: Lft ( ( ft (e t dt F ( () Termi on komplekinen taajuumuuttuja, joten e t on komplekinen ekponentiaali. Muutujalla on reaalioa ρ ja imaginaarioa ϖ: ρjϖ. Fouriermuunnokea ei ole em. reaalioaa: Fmuunno mallintaa ignaaleja inimuotoiilla ignaaleilla. Reaalioan avulla Laplacemuunnokea mallinnetaan ignaaleja ekponentiaalieti kavavilla tai vaimenevilla iniignaaleilla. Laplacemuunnokea muunnetaan funkto aikataota komplekieen taajuutaoon (mm. verkkoyhtälöiden muodotaminen, taajuu ja tabiiliuutarkatelut) Käytännön lakutehtäviä kaavaa () ei käytetä, vaan turvaudutaan muunnotaulukkoon, ivu 9. LAPLACE KÄÄNTEISMUUNNOS Käyttö: differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen: muunnetaan Laplacemuunnettu (taajutaon) ratkaiu aikataoon. Merkintätapa: L F (( ft (. Lakutehtäviä Laplacemuunnetut muuttujat kannattaa elkeyden vuoki kirjoittaa iolla. Eim. muunnotaulukoa x(t):n Laplacemuuno on X(). Matemaattieti käänteimuunno on vaikeahko tehdä, joten käänteimuunno tehdään taulukoiden avulla, k. ivu 9. Uein käytetään oamurtokehitelmää, jotta käänteimuunno pelkityii mahdolliimman ykinkertaiiki ummatermeiki. OSAMURTOKEHITELMÄ Laplacemuunnoken lineaariuuominaiuu (k. muunnotaulukko.9) mahdollitaa en, että kun Laplacemuunnettu funktio jaetaan oamurtoihin, kullekin oamurtotermille voidaan hakea erikeen vataava käänteimuunno taulukon avulla. H ( Y ( Y ( G ( p ( p (... p n ( A A A n p ( p ( p n (, () 7
Harjoitu Oamurtokehitelmä on mahdollita, jo ooittajan Y() ateluku < nimittäjän G() ateluku. Tällöin kertoimet A, A,..., A n voidaan määrittää joko: Laventamalla yhtälön oikean puolen termit amannimiiki ja merkitemällä ooittajat yhtäuuriki tai Heaviiden menetelmällä. Jo navat ovat moninkertaiia, käytetään mieluimmin jälkimmäitä. Jo Y():n ateluku G():n ateluku muokataan yhtälö käyttökelpoieen muotoon jakamalla kunne oamäärän ateluku < nimittäjän (vrt. tehtävä d) Huomaa kaavan () eitytapa. Kyeinen verkkofunktion eitytapa on n. nollanapa eity, joka oveltuu ivun 9 muunnotaulukon käyttöön. Liää verkkofunktioiden eitytavoita kannattaa lukea luentomateriaalita, kappale 5.3. OSAMURTOKEHITELMÄ HEAVISIDEN MENETELMÄ Lakueimerkeiä käytetään uein Heaviiden menetelmää. Nollanapamuodoa oleva verkkofunktio () kerrotaan ko. navalla ja tämän tulon arvo laketaan arvolla p i. A i H ( p i ( pi (3) Jo funktiolla H() on rkertainen napa /(p ) r, itä varten oamurtokehitelmään on kirjoitettava termit miä H ( Y ( G ( Y ( p ( r K K K r p p (... p ( r r n K n d Y ( r n(! d r n p G ( ( r p (4) Jo r : K K d d Y ( p G ( ( Y ( p G ( ( p p 8
Harjoitu Alla oleva taulukko on perinteieti ollut liitteenä lopputentiä Taulukko : Yleiimpia Laplacemuunnokia x(t) X() impuli χ(t) ykikköakel tai u(t) / ramppi t / n: poteni t n n! / n a: poteni (a>) t a /Φ(a) / a / (οt) / ekp.funktio e at / (a) e at a / ((a)) t n e at n! / (a) n ini in(ϖt) ϖ / ( ϖ ) koini co(ϖt) / ( ϖ ) inh inh(at) a / ( a ) coh coh(at) / ( a ) lineaariuu ax(t) by(t) ax() by() taajuuiirro e at x(t) X(a) aikaiirro x(tt) e T X() aikaderivaatta dx(t) / dt X() x() n: aikaderivaatta d n x(t) / dt n n X() n x() n x () ()... x (n) () aikaintegraali t xt ( dt X ( xt ( dt konvoluutio t xσ (gt σ( dσ o G()X() taajuuderivaatta (t) n x(t) d n X() / d n 9
Harjoitu Laplacemuuunnoken merkity Laplacemuunnoken merkittävimpiä ominaiuukia on, että muunnota käyttäen integrointi ja derivointi muuttuvat taajuumuuttujalla jakamieki ja kertomieki. Integrointia ja derivointia ei ii tarvita, vaan differentiaaliyhtälöt palautuvat lineaarieki yhtälöryhmäki, jota haluttu lähtöuure voidaan ratkaita matriiialgebran keinoin. Saatu tulo on taajuumuuttujan funktio, joka on itten pilkottava eim. oamurtokehitelmänä niin pieniin oiin, että jokaielle ummatermille löytyy käänteimuunno. AIKAVASTEIDEN LASKEMINEN ALKUEHTOINEEN Taulukon 3 kaavoja käyttämällä aadaan perukomponenttien virtajänniteyhtälöt alkuehtoineen muotoon, jotka voidaan ijoittaa uoraan ekä olmupite että ilmukkavirtayhtälöihin. Taulukko 3: Komponenttien virtayhtälöt alkuehtoineen U() I() R L R I ( G U ( L I ( Li ( U ( i ( L C I ( u ( C C U ( Cu ( Tentiä voi tarvita taulukon 3 kaavoja, mutta niitä ei tarvite opetella ulkoa. Kaavat aadaan johdettua helpoti edellien ivun taulukota aikaderivaatan Laplacemuunnokella: aikaderivaatta dx(t) / dt X x() Laketaan enin kapaitanin virtayhtälölle Laplacemuunno. i C ( t C du C ( t Laplacemuuunnetaan dt I C ( C Ζ U C ( u C ( C U C ( Cu C ( Vataava jänniteyhtälö aadaan ratkaiemalla U C () edellietä tuloketa: I C ( C U C ( Cu C ( U C ( I C ( u C ( C
Harjoitu Vataavat lakelmat induktanille, aloitetaan jänniteyhtälötä: u L ( t L di L ( t dt (ratkaie ite...) SINI JA KOSINIFUNKTIOT KOMPLEKSIOSOITTIMILLA (EULER) Toiinaan käänteifunktion ratkaiu aadaan elkeämpään muotoon, kun käytetään ini ja koinifunktion komplekiooitineitytä. Kyeiet kaavaat aadaan johdettua Eulerin kaavalla: e jϖt coϖt jinϖt inϖ t e jϖt e jϖt j coϖt e jϖt e jϖt TEHTÄVÄ. a) L ( e t dt b) Lt ( te t d t Käytetään oittaiintegrointikaavaa: uϒv uv uvϒ Nyt t v ja e t uϒ, joten e t e ( a)kohdaa on kyeeä n. ykikköakelfunktio, jota uein merkitään funktiolla u(t) ykköen aemeta. u(t) {, kun t <, kun t / Jo vaikkapa Laplacemuunnetaan vakio A, muunnokeki tulee A / eli A/.
Harjoitu TEHTÄVÄ. c) Le at( e at e td t e a (t dt Nyt kun < a, integraali ei uppene > a, integraali uppenee a e a (t () Oletetaan > a () a Ζ e e a a d) L co ϖt( (? Käytetään koinin komplekiooitin eitytä co ϖt( e jϖt e jϖt co ϖ t (e t dt Ζe j ϖ (t e jϖ ( t dt j ϖ e j ϖ (t jϖ e j ϖ ( t e:n potenien reaalioat ovat negatiiviet laueke uppenee j ϖ j ϖ j ϖ j ϖ j ϖ ( jϖ ( ϖ ( ϖ
Harjoitu TEHTÄVÄ. e) Le at in ϖt( ( e at in ϖt (e t dt Käytetään inin komplekiooitin eitytä in ϖt( e jϖt j e jϖt e a t e j ϖ t e j ϖ t j e td t e j ϖ a j dt e jϖ a (t e t ( t e t dt e j j ϖ a (t dt e jϖ a ( t dt j e jϖ a (t jϖ a e j ϖ a ( t vrt. d)kohta jϖ a ( j j ϖ a j ϖ a j j ϖ a ( j ϖ a ( j j ϖ a j ϖ a ϖ a ( j ϖ j ϖ a( ϖ a( ϖ f) L u t a( ( Kyeeä on viivätetty ykikköakelfunktio u t a( t; a t a a t L u t a( ( e t dt a a e t e e a e a vrt. a)kohta 3
Harjoitu TEHTÄVÄ. Jaetaan muunnolauekkeet oamurtoihin, joiden käänteimuunnoket nähdään taulukota a) L 4 F ( 4 4( A. tapa: Lavennetaan amannimiiki: B 4 F ( A 4( B A 4( B 4( A B 4A A B B A A 3 B 3 F ( 3 Joten 4 L F (( 3 e 4t vrt. a) ja c). tapa: Heaviiden kaavalla: A F ( 3 4 4 B 4( F ( 4 4 4 4 ft ( kuten edellä b) L Jaetaan oamurtoihin ( F ( A B C ( 4
Harjoitu Heaviiden kaavalla: A F ( ( B ( F ( C d ζ ( F ( d d d F ( ( ft ( L F (( te t e t c) L ( Oamurto: F ( ( Ζ j( j( j( j( Nähdään, että j ja j ovat kakinkertaiia nollakohtia, joten oamurtokehitelmäki tulee: F ( A B C D j( j j( j A j( F ( j j( j( j 4 B d Ζ j( F ( d d d j( j( 3 j( 3 j j j 4 j C j( F ( j j( j( j 4 D d Ζ j( F ( d d d j( j j j( 3 j j( 3 4 j F ( 4 4j 4 4j j( j j( j 5
Harjoitu ft ( te jt 4 e jt 4j 4 te jt e jt 4j t e jt e jt e jt e jt j Käyttämällä inin ja koinin komplekiooitin eitytä ft ( tcot int d) L Ooittajan ateluku > nimittäjän ateluku jaetaan 3 v in 3 3, Tehtävä 3. R, v V v in F ( ft ( χϒϒ t( χϒ ( t χt ( e t Käytetään tranitorin tilalla ykinkertaita ijaikytkentää C R i R C i b i c i b i v R V v in (t) 5u(t) Rkς Rkς v o ( t V R i i i b i c i b i b i i c CnF 5 C R t d v d o ( t, miä u(t) {, kun t <, kun t / Tarkatellaa oikeanpuoleita ijaikytkentää Kiinnotava uure on v, kun t, joten u(t):n voi aettaa ykköeki. v o ( t R 5 C d v R d t o ( t jota 5R v o ( t R R C d vo ( t dt 6
Harjoitu Differentiaaliyhtälö johdettiin kuten PT:ä pelkätään vertailun vuoki. Aloitetaan dctilanteen tarkkailulla, että aadaan alkutila elville. Tämä on tuttua puuhaa... Kondenaattorihan on dctilanteea avoin piiri, joten i c (). Myö i b, koka ini ja akefunktio ovat nollia kun t. Koka ii b, R on virraton ja v o () V i R i b i c i b i v R V Lähdetään alkuperäietä piirikaaviota eli muodotetaan yhtälö kuten edelliellä ivulla. Erona on e, että käytetään Laplacemuunnettuja virtoja ja jännitteitä. x(t) X() d v ( t V ( v ( dt o o Nämä uureet ovat ii komplekien taajuumuuttujan funktioita, ja ne kirjoitetaan elvyyden vuoki iolla. K (vakio) K DCjännitelähde on aikataoa vakio, ja Lmuunnettuna e on vakio jaettuna eli tulkitaan akelfunktioki. K v ( t K V ( V o ( I ( R I ( I b ( I c ( I b ( I b ( I ( I c ( L 5 C d vo ( t R d t 5 R C ΖV ( v ( alkutila, V V o ( V o ( R I b ( R 5 R C ΖV ( v ( 7
Harjoitu Käytetään kompenettien lukuarvoja ja ratkaitaan V (): V ( V ( v ( V ( 3 4 3 4 3 3 3 (3), v () akohdata Tehdään oamurto termille 4 3 3 ( 4 3 3 ( A B 3 4 3 A 3 4 4 3 B 4 (3) V ( 4 4 3 3 V ( 5 4 3 Lopuki Laplacekäänteimuunno: v ( t 5e t 4 X() x(t) 5 3 5e t 4 4 8
Harjoitu Tehtävä 4. Kuvan piirille olmuyhtälö alkuehtoineen. Solmupitemenetelmää kirjoitetaan kuhunkin tuntemattomaan olmujännitteeeen liittyvien virtojen umma. Alkutilat ovat kelan virran alkutila ja kondenaattorin jännitteen alkutila, i() ja v (). L v in C R v R L C G I() U ( U ( i ( L C U ( Cu ( vatau: V ( V in ( i ( V ( C V L ( Cv ( R Toiinaan tentiä on tehtäviä, joa piiriä on nollata poikkeava alkutila. Tällainen tehtävä ei ole vaikea, kun hokaat miten taulukon 3 (ivu ) virta ja jännitekaavat aadaan johdettua. Jo piiriä on nollata poikkeava alkutila, ratkaiua ei voida käyttää eim. jännitejaon tai virtajaoin kaavoja. Kirchhoffin lait eli olmupite ja ilmukkavirtamenetelmät toimivat tää tapaukea. Jo alkutilat ovat nollia, poita alkuarvoja iältävät termit. Nollaalkuarvoilla myö jännitejaon tai virtajaon kaavaa voidaan käyttää. Tätä eimerkkeina euraavan ivun laku ja tehtävä 6. Harjoitukea laketaan tehtävän 4 piirille jännitteeniirtofunktio. Siirtofunktioiden tapaukea alkutilat oletetaan automaattieti nolliki. Nyt aatua tulota voi käyttää apuna (aeta alkutilat nolliki). 9
Harjoitu YLIMÄÄRÄINEN ESIMERKKI RCpiirin akelvate lakettiin PT:n harjoitukea 6. Vataava laku käyttäen Laplacemuunnota menee näin: R u in (t) C u out (t) u c () V u ( t in E, kun t {, kun t < joten U ( E in U ( out U ( C E C E RC in R R C C RC E RC RC x(t) e at X() a a( t RC u out ( t E Ee Jännitejaon kaavaa voitiin käyttää, koka alkuehto oli nolla. (muutoin käytetään olmupite tai ilmukkavirtayhtälöitä) Ratkaiu löytyii myö oamurtokehitelmällä, mutta itä ei nyt tarvittu koka tarvittu muunnopari löytyi taulukota. Vataavanlainen Laplacemuunnopari oli myö tehtävää 3b. Siinä käytettiin oamurtokehitelmää, jotta Laplacemuunnettu verkkofunktio aataiiin mahdolliimman ykinkertaieki käänteimuunnota varten (ooittajaa 3 ). Entäpä jo u c () oliikin nollata poikkeava? Tällöin jännitejaon kaava ei toimi ja käytetään Kirchhoffin lakeja, kuten edelliellä ivulla ohjeitettiin. Kokeillaan molempia, eli kirjoitetaan yllä olevalle piirille ekä olmu että ilmukkayhtälö (piirrä kuvaan maaolmu JA ilmukkavirta I() myötäpäivään): Solmuyhtälö Silmukkayhtälö U out ( U in ( U R out ( C C u c ( R I ( I ( u c ( U C in ( Kumpaa yhtälöä kannattaa käyttää? Riippuu iitä mitä ollaan ratkaiemaa: jännitettä tai virtaa. Yllä olevata olmuyhtälötä pitäii aada ama tulo u out (t), kun u c () merkataan nollaki. 3
Harjoitu 3 3. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Lake kuvan piirille a) Yleinen tranienttivateen Laplacemuunno. b) acjänniteiirtofunktio V /V in. c) Lähtöjännitteen ooitin taajuukilla Hz ja khz, kun tulojännitteen ooitin on º. d) Jänniteiirtofunktion V /V in nollanapakartta.. Yhditä kuvan akelvateet ja nollanapakartat (a) (b) (c) (d) x x x x x /4 x /4 /4 x x ().8.6 ().6.5.4.4..3... (3).4 5 5.8.6.4...4.6.8 5 5 (4) 5 5.4..8.6.4. 5 5 Kuva LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA: 3. Lake kuvan 3 piirille lähtöjänniteen ooitin taajuudella ϖrad/ ja ϖrad/ ja piirrä jänniteiirtofunktion nollanapakartta. Tee tämä kumpaiellekin komponenttiarvoille a) ja b). Viime lakuharjoitukea lakettiin piirille 3 olmuyhtälö alkutiloilla. Tulota voidaan käyttää tää tehtävää (merkite alkutilat nolliki). 3
Harjoitu 3 nf kς v in kς v V kollektori kanta αi b kollektori kanta < i b α emitteri emitteri Kuva co(ϖt ο/4) L C R v a) b) C F L /H R /3ς C /F L /H R /ς Kuva 3 Vatauket: Teht. 3: rad/ rad/ a) V.63 7 V. 8 b) V.8 8 V.4 3
Harjoitu 3 HARJOITUS 3. RATKAISUT TEHTÄVÄ. a) Harj. tehtävää 3 aadaan herätteellä vin(t) piiriä kuvaavaki differentiaaliyhtälöki aikaalueea: v o ( t V R vint ( C d v d t o ( t R Lmuunnettuna: d v o ( t vo ( t dt R C V ( V ( v ( R C V R C v in ( t R C V R C 4 V in ( ijoitetaan: R kς R kς C nf ja v ()V V ( 4 4 V 3 in ( 3 ( 3 Tehdään oamurto termille 4 3 ( 4 A B 3 ( 3 4 A 3 4 B V ( 3 4 V in ( 3 3 4 V in ( 3 33
Harjoitu 3 TEHTÄVÄ b) Acjännitteeniirtofunktio a) kohdaa V ( v ( V V ( 3 V 4 V R C in ( Taajuuvateen analyyiä oletetaan, että piirin kaikki alkutranientit ovat vaimenneet ja vate on kokonaiuudeaan pakotettua acvatetta (n. teadytate tilanne). Poitetaan dcjännitelähteen vaikutu ekä alkuehto v o () V ( v ( V V ( 3 V 4 V R C in ( V o ( 3 4 V ( in V ( o V in ( V ( o 4 V in ( 3 4 jϖ 4 jϖ 34
Harjoitu 3 TEHTÄVÄ c) Tulojännitteen ooitin V o ο( 4 j ο( 4 8 ο( atan ο 4 8 8 47 47,9 8 3, V o ο( 4 8 4 8 57 99,9 j ο( ο( 8, d) V o ( V in ( 4 nollanapakartta Imag napa: (reaalinen) x Real nolla: (reaalinen) TEHTÄVÄ (a) x Navat piteiä j x H ( p( p) ( j ( j( 35
Harjoitu 3 Akelvateen Lmuunno: Lut ( ( R ( k k k 3 j j k R ( k j(r ( j j( j j( j( 4 k 3 j(r ( j j( j j( j (j j ( j j( 4 R ( j( j( 4 4 j j L R (( rt ( 4 j(e j(t j(e 4 j(t e 4 j (t j e 4 j (t e 4 j (t e t Ζ 4 e jt e jt j e t Ζ 4 e jt e jt e t Ζe jt e jt e t co t e t int e t j e 4 Ζe jt e jt j j (t e t Ζco t in t vataa akelvatetta () 36
Harjoitu 3 b) Muodotetaan aluki verkkofunktio (kuten akohdaa), jolle laketaan vate, kun tuloherätteenä on akelpuli. x /4 x Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j), nolla nollaa F ( j 4 j 4 6 Kerrotaan F() akelvateen Lmuunnokella / R ( F ( 6 Tehtävä on helpointa ratkaita kirjoittamalla R() ekponentiaalieti vaimenevan iniaallon Lmuunnota vataavaan muotoon (huom! komplekiet napaparit aiheuttavat aina inimuotoien vateen): Le at ϖ in ϖt( ( a( ϖ R ( jonka käänteimuunno on rt ( e 4 vataa akelvatetta () (vaimeneva inivärähtely, jonka vaiheiirto ) c) t 4 in t ( x /4 x 37
Harjoitu 3 Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j) F ( R ( j j 4 4 F ( 6 6 Tehtävän voi ratkaita kokonaan Heaviiden kehitelmällä, mutta tää tapaukea en käyttö vaatii paljon lakemita johtuen komplekiita navoita (ja inimuotoieta vateeta). Ratkaitaan tehtävä helpommin kirjoittamalla toien ateen termi yleitä vaimenevan iniaallon Lmuunnota vataavaan muotoon (myö edellien tehtävän voi lakea näin): R ( k a b 6 Laketaan vakio k Heaviiden menetelmällä: k 6 R ( 7 Laketaan euraavaki a ja b käyttämällä k :tä ja laventamalla amannimiiki: k k a b( k 6 a( 7k b 6 { k a k b { a k b k 6 7 8 7 Kirjoitetaan euraavaki. ateen termi inin ja koinin Lmuunnokia vataavaan muotoon (vrt. edellieen tehtävään): 6 8 7 7 6 k k 3 4 4 4 6 7 8 k 3 k 7 3 k 4 38
Harjoitu 3 { 6 k 3 7 R ( 4 k 7 4 6 6 7 7 7 4 4 4 rt ( t t 6 4 4 e ( t 6 4 in e co t ( 7 7 7 6 e 7 t 4 Ζ4 in ( t 6co t( 7 akelvate (4) (lähetyy T:n kavaea arvoa 6/7 ) d) x /4 x Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j), kakinkertainen nolla nollaa F ( j 4 j 4 R ( F ( 6 Kirjoitetaan R() jälleen vaimenevan inin ja koinin Lmuunnokia vataavaan muotoon: 4 4 4 rt ( e 4 6 k k 4 k R ( 4 k k 4 4 R ( t 4 in ( t co t( 4 { k k 4 39
Harjoitu 3 akelvate (3) (lähetyy t:n kavaea nollaa) 4
Harjoitu 4 4. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Yhditä kuvan piirien jännitteeniirtofunktiot V out /V in kuvan nollanapakarttoihin. Numero nollanapakartan kirjaimen perää kertoo, montako piiriä kyeieen karttaan liittyy. Kuvan komponenttiarvojen ykiköt ovat ohmeja, henryjä ja faradeja. Lukuunottamatta piirejä (6) ja (4) tulo on vaemmalla ja lähtö oikealla. a () () (3) / (5) (4) (8) v in (6) (7) v out / / (9) / / () () / / (4) /3 () (3) v in v out / Kuva 4
Harjoitu 4 nolla (ooittajan nollakohdat) x napa (nimittäjän nollakohdat) (a,) (b,3) (c,) x x x (d,) x x.6.38 (e,) x j x j (f,) x (g,) x j (h,) x j (i,) x j j x j x j x j j Kuva Piirien () ja () nollanapakartat ratkaitaan lakuharjoitukia. Liäki laketaan ylimääräinen tehtävä 4
Harjoitu 4 HARJOITUS 4. RATKAISUT OPERAATIOVAHVISTINKYTKENTÖJEN ANALYSOINTI Oletetaan operaatiovahvitin ideaalieki, jolloin. Tulonapojen impedani. Operaatiovahvitimen jännitevahvitu 3. Tulonapojen välinen jännite (eurau kohdata ) 4. Lähtöimpedani Analyoidaan piiri () näiden oletuten pohjalta V in I R I V I 3 C C I 4 R V x V out R /ς R ς C F C F Oletuken 3. peruteella jännite V x, koka poitiivinen tulonapa on maadotettu. Sovelletaan Kirchoffin virtalakia piteeeen V. I I I 3 () V in V V I V out V V x, I, I C ( 3 C ( R V C ( () V in V C V V out ( C V () R Oletuken. peruteella I 3 I 4, koka operaatiovahvitimen äärettömään tuloimpedaniin ei mene virtaa. V x V out V C V out V out V R C (3) R R () & (3) V in R V out R R C C V out C R C V out C V out R C 43
Harjoitu 4 V out V in R C R C C R R C C Sijoitetaan R /ς, R ς, C F, C F V out V in Nimittäjän nollakohdat: 4 4 j j V out V in j ( j( nolla nollaa navat j ja j Vataa kuvan nollanapakarttaa (e) Piiri () V out Z V out V V in in Z Jännitejaon peruteella V out V in Z Z Z R Z C R {{ R C, Z R R C R C V out R R R R C R R C R C V in R R R R R R C R R C R R R C R R C R C R C R C nolla napa vataa nollanapakarttaa (c) 44
Harjoitu 4 (3) C R ς C F V in R V out V out R RC kartta (b) V in R RC C RC (4) R R V I C C V V out /C * I in out I? I R ς C F Laketaan I V in R C C C R C I I, jota I R C V in V C C in R C C R 3R C C R C C CV in RC( 3RC I V out C V in RC( 3RC V out V in RC( 3RC 3,6(,38( kartta (d) 45
Harjoitu 4 (5) V in C R R R ς R ς C F I I I I V out V in V I out, I C R R R V in C V out R V out V in R R C RC R R kartta (b) (6) V in R a R v out b R C R ς R ς R ς C F R V a V, R R in V in V C b R C V V in RC in V out RC RC V in RC RC ( RC kartta (f),5 ( 46
Harjoitu 4 V in (7) R /ς R /ς I v I out C F V in R C I R I V in V I out V in, I C R V out V R in R C R C R V out R C V in CR R ( R R CR R ( R C R C R R C ( kartta (c) (8) V in C L V out C F L H _ V out V in L LC L LC C j j LC LC LC j( j( kartta (h) (9) V in R C L V out C /F L H R ς 47
Harjoitu 4 V out V in {{ L L C C L C R {{ L C R L L C C L RCL L R RC RC LC L C R C RL L C kartta (e) () Z V in Z R R C V out R ς R ς C F Piirin (5) pohjalta voidaan johtaa lakuääntö invertoivalle operaatiovahvitinkytkennälle: V out Z R {{ C R C( R C R R C R C R C V in Z R R kartta (a) R (3) V in R C V out R ς C F V out V in C RC R C RC RC kartta (a) 48
Harjoitu 4 (4) V in R a R v out R 3 b R R /3ς R ς R 3 ς R ς L H C /F L C V R a 3 Vin V R R 4 in V R L C b R 3 R L C V LC RC V in in LC C R R 3 ( R L LC R R V in V 3 L in LC V out V in V a 3 4 4 ( 4 V in V b V in j ( j ( 4 j ( j( kartta (i) 49
Harjoitu 4 H4 YLIMÄÄRÄINEN TEHTÄVÄ: TENTTITEHTÄVÄ 7.4. 6 Lake kuvan 3 piirin lähtöjännite v out (t), kun t ja v in (t) on ykikköakelfunktio. Piiriin ei ole varatoitunut energiaa hetkellä t (eli laketaan nollaalkuehdoilla). Voit käyttää apuna taulukkoa 4. λf vin ς λf kς vout Kuva 3 Taulukko 4: Joitain Laplacemuunnopareja x(t) X() ykikköimpuli χ(t) ykikköakel u(t) / ramppi t / ekp.funktio e at / (a) ekp.funktio t n e at n! / (a) n 5
Harjoitu 5 5. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Kuvaa on edellien harjoituken nollanapakartat ja niihin liittyvät piirit iirtofunktioineen. Kuvaa on kaikkien piirien taajuuvateet eli amplitudi (mag) ja vaihe (phae) taajuuden funktiona. Vaiheen ykikkönä on ate. Päättele iirtofunktion avulla, mitkä vateet ja piirit vataavat toiiaan. (a) () (3) x V out V in V out V in (b) (5) () / x V out V in V out V in,5 / (c) () (7) x / / V out V in Kuva V out V in ( 5
Harjoitu 5 (d) (4) x x.6.38 V out V in 3 (e) x j x j () / V out V in V out V in (9) / (f) (6) x V out v in v V out in,5 ( (g) x j () x j / V out V in (h) x j (8) V out V in x j (i) x j j (4) /3 v in v out V out V in,5 ( x j j / Kuva 5
Harjoitu 5 ().5 Mag ().5 Mag 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 8 35 Phae 9 45 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) (3) (4).5 Mag.5 3 4 5 6 7 8 9 45 Phae 9 35 8 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) Mag.5 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 45 9 Phae 45 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) Phae 35 8 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) (5) (6) Mag.5 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/).6.5.4.3 9 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) Mag. 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 8 35 Phae 8 35 9 Phae 9 45 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) Kuva 53
Harjoitu 5 (7) (8).4.3.5.. 8 9 9 Mag 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) Phae 8 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) (9) ().8.6.5.4 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 5 5 Mag Phae 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 5 Mag.5 Mag 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 8 35 Phae 9 45 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 5 5 Phae 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) ().5 Mag ().8.6.4 Mag 45 9 3 4 5 6 7 8 9 9 45 ϖ (rad/) ϖ (rad/) Phae 3 4 5 6 7 8 9 Kuva. 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 9 45 Phae 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) 54
Harjoitu 5 HARJOITUS 5. RATKAISUT TAAJUUSVASTE, SIIRTOFUNKTIO JA NOLLANAPAKARTTA: Taajuuvateella tarkoitetaan piirin teadytate vatetta (amplitudi ja vaihevate) inimuotoielle tuloignaalille. Sen voi aina lakea uoraan iirtofunktiota ijoittamalla :n paikalle jϖ ja lakemalla iirtofunktion iteiarvo ja vaihe eri ϖ:n arvoilla. Tehtäväpaperita nähdään, että amalla nollanapakartalla voi olla ueita eri piiritoteutukia ja iihen voi liittyä ueita iirtofunktioita riippuen vakiotermitä. Tämän vuoki tietyn piirin aboluuttita vaihe ja amplitudivatetta ei voi määrittää pelkätään nollanapakartan peruteella, vaan myö vakiotermi täytyy tuntea. Vakiotermin iteiarvon muuttuminen vaikuttaa vain amplitudivateeeen, kun taa vakiotermin merkin muuttuminen vaikuttaa ainoataan vaihevateeeen. Amplitudija vaihevateen perumuoto voidaan kuitenkin aina päätellä pelkän nollanapakartan peruteella, koka iihen vakiotermin muuttuminen ei vaikuta. Kuvaa 3on erä nollanapakartta ja itä vataava iirtofunktion H iteiarvo. Iteiarvokuvaaja on 3ulotteinen, koka nyt komplekiella taajuumuuttujalla on reaalija imaginäärioa. Navat ovat pinnan kohtia, joia H(ρjϖ) ja nollat kohtia, joia H(ρjϖ). Reaalioa vataa aikataoa ekponentiaalieti vaimenevaa tai kavavaa termiä. Nyt kun vate on jatkuva ja inimuotoinen, reaalioa on nolla. Siniherätteen graafinen taajuuvate iten on 3ulotteien pinnan leikkau jϖakelia pitkin (kuva 4a). Yleenä taajuuvatetta lakettaea käytetään vain poitiiviia ϖ:n arvoja, kuten kuvaa 4b. Tää harjoitukea etitään iirtofunktiota vataava taajuuvateen kuvaaja. Käytännöä tämä tapahtuu lakemalla iirtofunktiota valikoiduilla taajuukilla iteiarvo ja vaihe. Muitin virkitämieki euraavalla aukeamalla on kertauta ooitinlakennan äännöitä. 55
Harjoitu 5 jϖ navat nollat ρ jϖ H(ρ jϖ) ρ 5.5.5 jϖ eli Im akeli ρ eli Reakeli Kuva 3. (a) H() :n leikkau jϖakelin kohdalta jϖ (b) H() ϖ < ϖ <.5 ρ likimääräinen amplitudivate (iteiarvo) jϖ Kuva 4. 56
Harjoitu 5 z x jy A x y ε y arctan x komplekinen vektori (uorakulmainen muoto) vektorin pituu vektorin vaihekulma z Ae jε A ε A co ε( j A in ε( komplekinen vektori (ooitinmuoto) Imag j 8 o Reaalien ja negatiivien vektorin vaihekulma on 8 o. Imag 7 o j 7 o 9 o j 8 o Real 9 o Real j j Jo laketun vaihekulman iteiarvo on > 8 o, valitaan yleenä vatakkainen kiertouunta. z x jy A ε z x jy A ε Summau z z x x jy y( Erotu z z x x jy y ( Kertolakut z z A ε A ε A A ε ε ( jakolakut z z A ε A ε A ε ε ( A poteniin korottaminen z n A ε ( n n A n ε ( 57
Harjoitu 5 PIIRI () ϖ, ϖ ϖ / jϖ jϖ 8 o ϖ arc tan ϖ 8 o 74 o o 5 5 7 8 o 45 o,7 35 o 8 o 84 o, 96 o Nähdään, että ainoa lakettuja amplitudi ja vaihearvoja vataava tehtäväpaperin taajuuvate on numero (5). (5) Mag.5 4 6 8 ϖ (rad/) 8 35 Phae 9 4 6 8 ϖ (rad/) 58
Harjoitu 5 PIIRI (3) Jänniteiirtofunktio eroaa edellietä vain vakiotermin etumerkin oalta, joten en amplitudivateen täytyy olla ama, kuin piirillä (). Myö vaihevateen muoto on ama, mutta arvot ovat 8 :een vaiheiirroa edellieen. Näiden ehtojen peruteella piirin (3) taajuuvate on numero (4). (4).5 Mag 45 4 6 8 ϖ (rad/) Phae 9 4 6 8 ϖ (rad/) PIIRI (5) ϖ, ϖ ϖ > jϖ jϖ jϖ 8 o ϖ 9 o ϖ ϖ arc tan o 9 o 95 7 o 5 5 7 o 9 45 o,4 35 o o 9 84 o 74 o 59
Harjoitu 5 taajuuvate () ().5.5 Mag 3 4 5 6 7 8 9 45 9 Phae 35 8 3 4 5 6 7 8 9 ϖ (rad/) PIIRI (),5 Siirtofunktio eroaa piiritä (3) ainoataan vakiotermin oalta. Suurilla taajuukilla iteiarvo lähetyy arvoa.5. piiriä vataa taajuuvate () ().8.6 Mag.4. 4 6 ϖ (rad/) 8 9 Phae 45 4 6 8 ϖ (rad/) 6
Harjoitu 5 Laketaan loputkin tehtävät ijoittamalla ϖ:n paikalle,rad/, rad/ ja rad/. Iteiarvojen ja vaiheiden lakemien jälkeen etitään vataavat taajuuvatekuvaajat. Voit haluteai käyttää muitakin taajuukia. Voit kirjata tulokia euraavan taulukkoon, eimerkiki piirin () iteiarvot ja vaiheet em. taajuukilla on jo lakettu malliki. Ooitinlakenta on tärkeä apuväline monea kuria. Uein PT tentiä on tehtävä, joa piirretään taajuuvate käyttäen harjoitukea 6 opittavaa taajuuvateen viivaapprokimaatiota. Ooitinlakennalla voi tarkitaa tietyllä pitetaajuudella, onko oman approkimaation iteiarvo tai vaihe oikein. Lakaria 6 graafinen taajuuvate piirretään iten, että taajuuakeli on logaritminen (tää lakaria e on lineaarinen) ja iteiarvot ilmaitaan deibeleinä (tää e oli lineaariateikolla). 3 Eimerkki: verkkofunktio on H ( ja haluat tietää, mikä on iteiarvon ja vaiheen tarkka arvo taajuudella ϖ<///. Iteiarvo laketaan deibeleina, log tarkoittaa tää kantaita logaritmia. log Hjϖ ( 3 log jϖ log 3 ( log jϖ( ( ϖ ( log 3 ( log j( ( 6dB 6 4dB db H(jϖ):n vaihe taajuudella ϖ</// aadaan: Hjϖ ( 3 arctan 3 arc tan ϖ ϖ ( arctan ( arc tan o 84 894 o 84 3 o 6
Harjoitu 5 piiri () (7) (4) () ja (9) (6) () (8) (4) iirtofunktio Mag, ϖ, Mag, ϖ Mag, ϖ Phae, ϖ, Phae, ϖ Phae, ϖ (,5,63,99,85 8,43 5,6 3,5 (,5 ( h vate (8) () (3) () (6) () (9) (7) 6
Harjoitu 6 6. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Piirrä euraavien verkkofunktioiden Boden amplitudi ja vaihekuvaajat a) Hjϖ ( b) Hjϖ ( jϖ( Ζ jϖ ( jϖ jϖ( Ζ jϖ ( c) Hjϖ ( jϖ( jϖ( Ζ jϖ (. Eti kuvan Boden amplitudikuvaajia vataavat verkkofunktiot. 3. Eti kuvan Boden vaihekuvaajia vataavat verkkofunktiot 4. Piirrä euraavan verkkofunktion Boden amplitudi ja vaihekuvaajat Hjϖ ( Ζ jϖ 3 jϖ( Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( { H { db) (a) { H { db) (b) 6 6.. ϖ (rad/) ϖ (rad/) Kuva 63
Harjoitu 6 H (deg) 45 (a) H (deg) 9 (b) 9 8 35. ϖ (rad/) 7. ϖ (rad/) Kuva LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA: 5.a) Määritä kuvan 3 vaihekuvaajaa vataava verkkofunktio. (vertaa tehtävään 3) b) Piirrä akohdan verkkofunktiolle Boden amplitudikuvaaja, kun verkkofunktion vakiotermi K on. H(jϖ) (deg) 9 45 45 9. Kuva 3. ϖ (rad / ) 64
Harjoitu 6 BODEN KUVAAJAT Boden kuvaaja on taajuuvateen graafinen eity. Erona edellien harjoituken taajuuvateiden eitykeen on e, että taajuuakeli on Boden kuvaajaa logaritminen ja amplitudikuvaaja eitetään deibeliateikolla. Logarimien taajuuateikon käyttämien yy elvinnee alla olevata eimerkitä. Siinä on eitetty tehtävän b) verkkofunktion tarkka taajuuvate ekä lineaariilla että logaritmiilla ateikoilla. Lineaarinen taajuuateikko kätkee verkkofunktion kaitanpäätöluonteen, eli iteiarvo pienellä taajuudella ei olekaan, kuten vaemmata iteiarvokuvaajata voitaiiin tulkita. Myö vaihekuvaaja on paljon elkeämpi logaritmiella taajuuateikolla: nurkkataajuudet, joia vaihe taittuu, ovat helpommin havaittavia. Verkkofunktioiden iteiarvoilla voi olla eri taajuukilla uuria vahvitukia ja uuria vaimennukia, joten iteiarvokuvaajat eitetään deibeliateikolla. Eimerkiki 4dB on lineaariateikolla,, mikä on melko hankala havaita jo lineaarinen ateikko on vaikkapa nollata tuhanteen. Lineaariet ateikot Logaritmiet ateikot iteiarvo iteiarvo (db) 8 5 6 4 5 5 4 6 8 taajuu rad/ (lineaar.) 3 taajuu rad/ (logateikko) vaihe vaihe 9 9 45 45 45 45 9 4 6 8 taajuu rad/ (lineaar.) 9 3 taajuu rad/ (logateikko) 65
Harjoitu 6 BODEN KUVAAJIEN PIIRTÄMINEN Kuvaajia ei piirretä tarkan ooitinlakennan avulla, vaan n. viivaapprokimaatioiden avulla (traightline approximation), joiden avulla kuvaajien piirto ruutupaperille on mahdolliimman nopeaa. Piirtoäännöt ovat ivuilla 697, mutta itä ennen hiukan pohjututa. Kun kuvaajia aletaan piirtää, verkkofunktio kirjoitetaan muotoon Hjϖ ( K Ajϖ (,miä K on vakiotermi, A ja B ovat ooittaja ja nimittäjä. Bjϖ ( Jotta Boden kuvaajien piirtäminen menii oikein, reaaliet ja komplekiet nollat ja navat ovat kirjoitettuna tietyä tandardimuodoa, joka on muokattu verkkofunktion nollanapa eityketä. Reaaliet nollat ja navat. Jo H(jϖ) iältää vain reaaliia nollia ja napoja, e on muotoa: Ζ Hjϖ ( K jϖ ϖ z ( Ζ jϖ ϖ z ( Ζ jϖ ϖ zm ( Ζ jϖ ϖ p ( Ζ jϖ ϖ p ( Ζ jϖ ϖ pn (, (5) miä ϖ z...ϖ zm ja ϖ p...ϖ pn ovat nurkkataajuukia, joia amplitudivateen jyrkkyy muuttuu. Siirtofunktion nollanapaeitytä käytettiin edelliiä lakareia (eim. käänteimuunnoket). Eimerkiki H ( muokattaiiin tää lakaria muotoon ( ( ϖ K z ϖ p ϖ p, miä K, ϖ z rad/, ϖ p rad/ ja ϖ p rad/ Lakuohjeia eitetään jϖ, joten jϖ j ϖ ϖ K z j ϖ jϖ j ϖ jϖ ϖ p ϖ p 66
Harjoitu 6 Komplekiet nollat ja navat: Jo A(jϖ) ja B(jϖ) iältävät komplekiia nolla ja napapareja, niiden aiheuttamat termit ovat muotoa: jϖ( j ϖ ( Q z ϖ z ϖ z Hjϖ ( K jϖ( j ϖ ( Q p ϖ p ϖ p. (6) Qluku (eim. Q z ) on termi, jolla voidaan approkimoida amplitudivateen piikitytä ja vaihevateen jyrkkyyttä., Q z ja ϖ z aadaan verta Jo eimerkiki A(jϖ) on muotoa jϖ 3 jϖ( amalla kaavan (6) ooittajan muotoa: jϖ 3 jϖ( jϖ 3 j ϖ ( jϖ( j ϖ ( Q z ϖ z ϖ z Näin ollen ϖ z on ja Q z on 3/. Kun piirretään taajuuvatetta, reaaliet/komplekiet nollat ja navat on aina kirjoitettava kaavojen (6) ja (7) mukaieti Jo näin ei tehdä, vakiotermi menee erittäin todennäköieti pieleen. Eimerkkinä iirtofunktio, joa reaalinen napa: H ( Siirtofunktio H() muokataan ennen piirtämitä euraavati: H ( jϖ Eli vakiotermi K onkin eikä! 67
Harjoitu 6 DEKADI, DESIBELI Amplitudi ja taajuukuvaajia taajuuakeli on logaritminen, perutuen yleenä kantaieen logaritmiin. Tällöin taajuu kavaa taavälein kymmenkertaieki. Taajuuväliä, joa taajuu on kavanut kymmenkertaieki, kututaan dekadiki. 3 4 5 log ϖ 4 5 ϖ Ζrad/ Amplitudikuvaajaa verkkofunktion iteiarvo eitetään deibeleinä ( logζ{h(jϖ){ ) ja vaihekuvaajaa vaiheakeli on lineaarinen. Tehtäviä nurkkataajuudet, vakiokerroin, ja hyvyyluku (ϖ z, ϖ p, K ja Q) ovat numeeriia tunnulukuja, joiden mukaan iirtofunktion oatermit piirretään. Piirtoäännöiä pitää hokata yhditää numeeriet parametrit oikeaan piirtoääntöön, eim. nolla origoa reaalinen nolla jϖ jϖ jϖ jϖ j ϖ j ϖ ϖ K z jϖ jϖ ϖ p ϖ p vakiokerroin reaalinen napa Tehtävien iirtofunktioita näkee uoraan, onko nolla/napa reaalinen vai jopa origoa. Jo ooittajaa tai nimittäjää on toien ateen polynomi, kannattaa todeta lakemalla, ovatko nollat/navat komplekiia vai reaaliia. Jo reaaliia, eitä iirtofunktio kahden reaalien tekijän tulona. 68
Harjoitu 6 Vakiotermi ϑ: iteiarvo vaihe log{k{ kun K 8 kunk; {H(jϖ){ log K ϖ H(jϖ) 8 ϖ K < / K > / 8 K < / Reaalinen nkertainen nolla :a (origoa), tekijä (jϖ) n : iteiarvo nlog ϖ( vaihe n 9 {H(jϖ){ H(jϖ) ndb n9 jyrkkyy ndb/dek db / / ϖ ϖ ndb (lyhenne dek tarkoittaa dekadia eli taajuuden kymmenkertaitumita) Reaalinen nkertainen napa :a, tekijä /(jϖ) n : iteiarvo nlog ϖ( vaihe n 9 ndb {H(jϖ){ H(jϖ) jyrkkyy ndb/dek db / / ϖ ϖ ndb n9 69
Harjoitu 6 Reaalinen nolla, tekijä ( jϖ/ϖ z ) : db kun ϖ ; ϖ iteiarvo z vaihe db dek kun ϖ ϖ z ϖ ; ϖ z 45 dek ϖ z ; ϖ z ; ϖ z 9 ϖ z db jyrkkyy db/dek {H(jϖ){ 9 45 H(jϖ) jyrkkyy 45 /dek virhe 3dB db ϖ z./ ϖ z /ϖ z ϖ 45 ϖ z./ ϖ z /ϖ z (vaemman puolitaon nolla) ϖ 9 Reaalinen napa, tekijä /( jϖ/ϖ p ): db kun ϖ; ϖ p iteiarvo vaihe db dek kun ϖ ϖ p {H(jϖ){ db db ϖ p./ virhe 3dB ϖ p jyrkkyy db/dek 9 H(jϖ) 45 /ϖ p ϖ 45 9 ϖ ; ϖ p 45 dek ϖ p ; ϖ p ; ϖ p 9 ϖ ϖ p (vaemman puolitaon napa) ϖ p./ jyrkkyy 45 /dek ϖ p /ϖ p ϖ Reaalinen nolla ja napa kääntävät ii vaihetta 9 o. 7
Harjoitu 6 Komplekinen nollapari, tekijä : Q z ϖ jϖ( j ϖ ( z ϖ z iteiarvo {H(jϖ){ 4dB db kun ϖ; ϖ z vaiheen muuto 8 vaihe 4dB dek kun ϖ ϖ z muuto taajuudeta ϖ taajuuteen ϖ H(jϖ) 8. jyrkkyy 4dB/dek 9 (vaemman puolitaon kompl. nollapari) db ϖ z ϖ ϖ z ϖ ϖ z ϖ ϖ todelliea vateea on piikki rajataajuudella, piikin uuruu on log Q 4 Q db log ϖ ϖ 4Q( z, ϖ ϖ z log 4Q( Huomaa, että vaiheen muutojyrkkyy riippuu Qluvuta Komplekinen napapari tekijä : Q p ϖ jϖ( j ϖ ( p ϖ p db kun ϖ; ϖ p iteiarvo vaihe vaiheen muuto 8 4dB dek kun ϖ ϖ p muuto taajuudeta ϖ taajuuteen ϖ Kuten komplekiella nollaparilla, vaiheen muutojyrkkyy riippuu Qluvuta. {H(jϖ){ db todelliea vateea on piikki rajataajuudella, piikin uuruu on ϖ p ϖ p jyrkkyy 4dB/dek ϖ H(jϖ) 9 ϖ ϖ p log Q 4Q ϖ ϖ H(jϖ) db (vaemman puolitaon kompl. napapari) 4dB 8 log ϖ ϖ 4Q( p, ϖ ϖ p log 4Q( 7
Harjoitu 6 Lopullinen Bodenkuvaaja tehdään enin piirtämällä kunkin oatermin iteiarvo ja vaihe erikeen. Lopuki oatermien aiheuttamat kuvaajat ummataan. Kun piirrät Boden kuvaajia, noudata tarkkaan piirtoääntöjä. Kuvaa on eimerkki oatermien kuvaajien ummaamieta. Harmaalla on merkitty vakiotermin ja reaalien navan vaikutuket amplitudivateeeen. Muta käyrä on oatermien umma, eli lopullinen amplitudivate. (db) 4 4 6 log ()db ϖ JOITAIN LISÄKOMMENTTEJA Approkimointiääntöjä on helpotettu iten, että nollat ja navat ijaitevat aina vaemmaa puolitaoa. Tällöin toteututa kututaan minimivaiheieki, illä vaemman puolitaon nollien aiheuttama vaiheen editäminen kompenoi napojen aiheuttamaa vaiheen jätättämitä. Nollanapa formaatia komplekinen nolla tai napapari on muotoa ϖ ϖ. Tämä muoto pitää muitaa Suodattimetkuria. Piirtoäännön Q mukainen muokkau olii: ϖ ϖ Q ϖ, miä ulkulauekkeen kerroin ϖ vaikuttaa vakiokertoimen K arvoon. Ekan ateen termien piirtöäännöt viittaavat nurkkataajuuteen, eim. (ϖ p ). Nollanapakartan piirroa merkintätapa olii (p ), miä navan p ollea negatiivinen, napa on vaemmaa puolitaoa. Yhtey piirtoääntöön on ii ϖ p p (tai p ϖ p ). Kuten edelieä lakaria mainittiin, piirretyn Boden kuvaajan voi tarkitaa ooitinlakennalla ijoittamalla ϖ:n paikalle jokin piirretyä kuvaajaa oleva taajuu ja lakemalla todellinen iteiarvo ja vaihe. Huomaa, että jo laket tarkan taajuudella, jolla vaihe tai amplitudivate taittuu, tarkka arvo aattaa hieman poiketa viivaapprokimaatiota. 7
Harjoitu 6 HARJOITUS 6. RATKAISUT TEHTÄVÄ. a) Hjϖ ( A jϖ( Ζ jϖ ( B C vakiotermi reaalien navan aiheuttavat termit jϖ/ ja jϖ/. Eli ϖ p ja ϖ p. {H(jϖ({ (db) 4 4 3 4 A B C {H(jϖ({ (db) db/dek 4dB/dek H(jϖ) (deg) 4 45 9 35 8 45 H(jϖ) (deg) 9 35 8 3 ϖ (rad / ) A B C 3 45 o /dek 9 o /dek 45 o /dek 3 ϖ (rad / ) 73
Harjoitu 6 jϖ b) Hjϖ ( jϖ( Ζ jϖ ( vakiotermi nolla origoa: termi jϖ navat edelleen ( jϖ/) ja ( jϖ/) {H(jϖ({ (db) 4 B A A B C D C D 4 3 4 {H(jϖ({ (db) db/dek db/dek H(jϖ) (deg) H(jϖ) (deg) 4 9 45 45 9 9 45 45 9 3 ϖ (rad / ) B A C D 3 45 o /dek 9 o /dek 45 o /dek 3 ϖ (rad / ) 74
Harjoitu 6 jϖ( c) Hjϖ ( jϖ( Ζ jϖ ( vakiotermi kakinkertainen nolla origoa navat kuten edellä A B C D {H(jϖ({ (db) 4 B A C D {H(jϖ({ (db) H(jϖ) (deg) H(jϖ) (deg) 4 3 4 4 3 ϖ (rad / ) 8 35 9 45 45 9 8 35 9 45 45 db/dek 4dB/dek B A C D 3 45 o /dek 9 o /dek 45 o /dek 9 3 ϖ (rad / ) 75
Harjoitu 6 TEHTÄVÄ { H { db) (a) 6 6. ϖ (rad/) { H { db) (b). ϖ (rad/) a) : jyrkkyy db/dek, kun ϖ /jϖ termi : jyrkkyyden muuto db/dek, kun ϖ termi /( jϖ/) 3: jyrkkyyden muuto db/dek, kun ϖ termi ( jϖ/) 4: vakiotermi K: arvioidaan funktiota taajuudella ϖ., joa en arvo on 6dB: Hjϖ ( K jϖ ( jϖ jϖ ( ϖ, K, log K ( log ( log,( log ( 6 jϖ ( log K ( K Hjϖ ( jϖ jϖ ( b) : jyrkkyy db/dek, kun ϖ jϖ termi : jyrkkyy muuttuu db/dek, kun ϖ termi /( jϖ/) 3: jyrkkyy muuttuu db/dek, kun ϖ termi /( jϖ/) 4: vakiotermin täytyy olla Hjϖ ( jϖ jϖ( jϖ ( 76
Harjoitu 6 TEHTÄVÄ 3. H (deg) 45 9 H (deg) (a) 9 8 (b) 35. ϖ (rad/) 7. ϖ (rad/) a) : 9, kun ϖ <. termi /jϖ : jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ. termi /( jϖ/) 3: jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ termi ( jϖ/) Hjϖ ( K jϖ ( jϖ jϖ ( b) : jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ. termi /( jϖ/) : jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ termi /( jϖ/) 3: lopullinen arvo 7. Koka edelliet termit aiheuttavat yhteenä 8 vaiheiirron taajuuteen ϖ menneä, tarvitaan liäki termi /jϖ, joka aiheuttaa 9 :een vakiovaiheen Hjϖ ( K jϖ jϖ( jϖ ( 77
Harjoitu 6 TEHTÄVÄ 4, AMPLITUDIKUVAAJA Hjϖ ( jϖ( jϖ 3 Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( Jaetaan H(jϖ) tekijöihin: vakiotermi (kuvaaja A) Siirtofunktion nollat ovat komplekiet (lakemalla:.3333 j.948) komplekien nollaparin aiheuttava termi j ϖ j ϖ ( ϖ z < Q,5 (kuvaaja B) 3 5 j ϖ ( j ϖ ( reaalien navan. aiheuttava termi jϖ,( (kuvaaja C) reaalien navan aiheuttava termi jϖ ( (kuvaaja D) Lopullinen amplitudivate on piirretty harmaalla katkoviivalla. {H(jϖ){ (db) Iteiarvo 6 4 4 db/dek C Α db/dek db/dek 4dB/dek D db/dek 6 3 3 ϖ z ϖ (rad/) 78
Harjoitu 6 TEHTÄVÄ 4, VAIHEKUVAAJA (HAASTEELLINEN) Hjϖ ( Boden vaihekuvaaja jϖ( jϖ 3 Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( jϖ( jϖ 5 Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( poitiivinen vakiotermi : ei vaikuta vaiheeeen komplekien nollaparin nurkkataajuu ϖ z on. komplekien nollaparin Q on.5, joten ϖ on.39 ja ϖ on.57 (kuvaaja B) reaalien navan. aiheuttava termi jϖ,( (kuvaaja C) reaalien navan aiheuttava termi jϖ ( (kuvaaja D) Lopullinen vaihevate on piirretty harmaalla katkoviivalla. 5 Vaihe H(jϖ) (deg) 8 35 9 45 45 9 45 o /dek Α o /dek 75 o /dek C 45 o /dek 45 o /dek D 35 3 3 ϖ ϖ log ϖ ϖ 4Q( z ϖ ϖ z log 4Q( 8 o B: jyrkkyy log ϖ ( log ϖ ( o dek 79
Harjoitu 6 Kuvaaja B ja itä kautta käyrien umma on hankalahko piirtää ruutupaperilla. Kuvaajan taitekohten ϖ ja ϖ kaavoja ei tarvite muitaa tentiä. Jo tehtävänä oliikin Boden vaihekuvaajan uurpiirteinen luonnotelu (jollaieen voit törmätä vaikka uodattimetkuria), olennaita on tämä: komplekinen nollaja napapari kääntävät vaihetta 8º nurkkataajuuden molemmin puolin. 8
Harjoitu 7 7. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Synteoi taulukon avulla piirit, jotka toteuttavat alla olevat amplitudivateet. Suunnittele piirit, jo mahdollita, iten että tarvittavat kondenaattorit ovat nf:n uuruiia. Toteuta (a) ja (b)kohdia liäki piirit, jotka antavat aman vateen kertaiella taajuudella kuviin verrattuna. 3 4 (a) db ϖ db (b) 6dB db 6dB/oct 6dB/oct x 4x ϖ (c) db db/dec db/dec db 8 5 ϖ db 6dB/oct (d) 6dB db 3 db/oct 4 ϖ LASKUHARJOITUKSISA LASKETTAVAT:. Miten (d)kohta toteutetaan yhdellä operaatiovahvitimella? 8
Harjoitu 7 3. Tenttitehtävä 6..4: Kuvan piiritä: Lake Jännitteeniirtofunktio H() V out () / V in () ja piirrä H():lle Boden amplitudi ja vaihekuvaajat. mh mf V in ς V out Kuva Taulukko Nollanapakartta T() V () / V () piiri (ykiköt ovat ohmeja ja faradeja) /K p x z K z p toteuttaa mitkä tahana reaaliet nollan ja navan V /z K/p V /K p x K p V K/p V 3 /K p x p x K p ( p ( V /p K/p V 8
Harjoitu 7 HARJOITUS 7. RATKAISUT SIIRTOFUNKTIOIDEN REALISOINTI KASKADIKYTKENNÖILLÄ Kun iirtofunktion toteuttaminen ykinkertaiella perukytkennällä ei onnitu, voidaan näitä perumoduleja kytkeä peräkkäin eli kakadiin. Peräkkäiten ateiden iirtofunktiot voidaan kertoa kekenään, jo ne eivät kuormitta toiiaan. Tämä toteutuu jännitevahvitimea, mikäli ykittäien ateen tuloimpedani on ääretön tai lähtöimpedani nolla. Tällöin peräkkäiten ateiden iirtofunktiot voidaan kertoa kekenään, koka edellien ateen lähtöjännite kytkeytyy kokonaan euraavan ateen tuloon. Tarkatellaan eimerkiki kahden. ateen alipäätöuodattimen kakadikytkentää:. ateen alipäätöuodatin (iirtofunktio lakettu harj 4) V in R C V out V out V in RC RC. ateen alipäätöuodatin (iirtofunktio lakettu harj 4) V in R C R C V out V out V in RC( 3 RC( RC(. ateen alipäätöuodatin, joa ykittäiet ateet on erotettu ideaaliella operaatiovahvitimella, jonka tuloimpedani on ääretön ja lähtöimpedani nolla R V a V in C V b R C V out V out V in RC RC RC RC( RC RC( RC( Viimeieä piiriä käytetty operaatiovahvitinkytkentä voidaan analyoida harj. 4 ääntöjen pohjalta. Koka tulonapojen välinen jännite on nolla, V b V a. Ääretön tuloimpedani ja nolla lähtöimpedani ovat ideaalien operaatiovahvitimen ominaiuukia, joten operaatiovahvitin toteuttaa tää kytkennää ideaalien pukurin. Ykittäiten operaatiovahvitinkytkentöjen liittäminen peräkkäin toteuttaa aina kakadikytkennän ehdot, koka niiden lähtöimpedani on nolla (eim. tehtäväpaperin 83