Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016
Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen sovellus: Elektronimikroskooppi
Bohrin atomimalli Tanskalainen Niels Bohr rakensi 1913 (Nobel 1922) vetyatomin mallin Elektroni kiertää protonia ympyräradalla Coulombin voiman turvin Klassisesti elektronin pitäisi säteillä energiansa pois ja romahtaa Bohrin postulaatit 1. Elektronit kiertävät protonia stationaarisilla tiloilla säteilemättä liikemäärämomentti L = n kvantittunut 2. Elektroni säteilee vain siirtyessään stationaaristen tilojen välillä hf = E i E f, missä E = me4 Z 2 2(4πɛ 0 ) 2 2 n 2 n = 0, 1, 2,... on pääkvanttiluku ja Z on protoniluku Sopii koetuloksiin, mutta ei selitä kaikkea
Johdanto Miksi atomia kiertävät elektronit voivat vastaanottaa ja luovuttaa energiaa vain tietyillä energioilla? Jos elektronit kiertävät atomia ympyräradalla, miksi ne eivät säteile energiaansa ulos? Aiemmilta kursseilta: jos aalto on rajoitettu/suljettu reunaehdoilla, se muodostaa seisovan aallon vain tietyt aallonpituuden/taajuuden arvot kelvollisia Valon aaltoluonne havaittiin kokeellisesti kaksoisrakokokeessa Rakojen mittasuhteet aallonpituuden suuruusluokkaa Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Johdanto Louis de Broglie v. 1924: jos valolla on aalto- ja hiukkasluonne, niin miksi aineella ei olisi vastaavasti hiukkas- ja aaltoluonne? Hypoteesissa aineaallon aallonpituus riippuu hiukkasen liikemäärästä Oletettavasti aallonpituus on erittäin pieni Jos elektronit käyttäytyvät kuin aalto, niin suljettaessa ne 1 nm 3 tilavuuteen, ne muodostavat seisovia aaltoja Nämä seisovat aallot selittäisivät atomien diskreetit energiatilat Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Davisson-Germerin koe 1927 Aineaaltojen ensimmäinen kokeellinen havaitseminen C. Davisson ja L. Germer törmäyttivät elektroneja nikkelikohteeseen Sirontakulmat joihin elektronit sirosivat mitattiin Havaittiin että elektroneja ei sironnut kaikkiin kulmiin, vaan löytyi kulmia joihin ne eivät sironneet. Kuvio oli selvä diffraktiokuvio. Röntgendiffraktiokokeiden perusteella tiedettiin nikkelin hilavakio (0.215 nm) Braggin laista 1 määritettiin aallonpituus Aallonpituus vastasi lähes täydellisesti 54 ev-elektronien de Broglie -aallonpituus! Lisäksi he havaitsivat, että diffraktiomaksimin kulma riippui kiihdytysjännitteestä V
De Broglien aineaallot Elektrodiffraktion tulkinta edellyttää elektronien kuvaamisen aalloilla de Broglien relaatiot λ = h p f = E h Aineaalloille f c/λ! tärkeä asia, palataan pian tarkemmin Liikemäärä keskiössä Aineaallot selittivät Bohrin atomimallin atomien spektrejä http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1929/broglie-facts.html
Mikä on aineaalto? Engl. Matter Wave Mekaanisia ja sähkömagneettisia aaltoja kuvaa aaltoyhtälö Hiukkasia voidaan kuvata kinematiikan yhtälöillä F = ma = m dp dt v = dx dt a = dv dt Hiukkasta voidaan luonnehtia mitattavilla suureilla sijainti, nopeus, liikemäärä Aallon tapauksessa relevantit käsitteet ovat aallonpituus, taajuus, amplitudi Mitä tarkoittaa aallon sijainti, aallon nopeus? Miten aineaalto voi kuvata hiukkasen suureita? jne. Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Todennäköisyystulkinta Mekaanisia ja sähkömagneettisia aaltoja kuvataan aaltoyhtälöllä + reunaehdot Ratkaisu on aaltofunktio joka kuvaa aallon tilaa kaikissa paikoissa ja ajanhetkillä Ratkaisu sitoo yhteen eri suureet Aineaaltoja kuvaa Schrödingerin yhtälö + reunaehdot ratkaisu aaltofunktio Tulkinta: aaltofunktio on todennäköisyysamplitudi Ψ( r, t) ja Ψ(x, t) 2 on todennäköisyystiheys 2 Aineaalto kuvaa todennäköisyyttä löytää hiukkanen tietystä paikasta s.e. Hiukkasen löytymistn. P väliltä x [a, b] = b a Ψ(x, t) 2 dx Schrödingerin yhtälön matemaattiseen muotoon tutustutaan tarkemmin myöhemmin
Aineaaltojen ominaisuuksia Määritellään k = 2π (aaltoluku tai paikkataajuus/spatial frequency), ω = 2πf λ (kulmataajuus) ja = h (h-bar / h-viiva) 2π Näiden avulla de Broglien relaatiot voidaan kirjoittaa p = k E = ω Entäpä hiukkasen nopeus? aallonnopeus v = f λ = E/p Fotonille E = pc = v = c, mutta hiukkaselle (E = pc + mc 2 ) tilanne on monimutkaisempi Hiukkasen aaltofunktio usean aallon superpositio eli aaltopaketti (tarkemmin luvussa 6)
Aineaaltojen ominaisuuksia Hiukkasen nopeus on aineaallon ryhmänopeus Aineaallon nopeus on vaihenopeus Massallisille hiukkasille v partikkeli f λ ja v partikkeli c Muut hiukkasen ominaisuudet pätevät Hitaille hiukkasille p = mv, E k = 1 2 mv 2 Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Elektronidiffraktio vs. röntgendiffraktio Kiihdytyksen tuoma kineettinen energia K = ev = p2 2m = λ = h p = h 2meVba Yllä λ = 71 pm röntgensäteiden diffraktio alumiinifoliosta Alla K = 600 ev elektronien diffraktiokuvio samasta foliosta Aallonpituus sama, entäpä energia? Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen sovellus: Elektronimikroskooppi
Diffraktion tuoma epämääräisyys Valon diffraktio kapeasta a-levyisestä raosta: ensimmäinen intensiteettiminimi, kun sin θ 1 = λ a = θ 1 = λ a, kun λ a Vastaava koe elektroneilla tuottaa samanlaisen diffraktiokuvion w p p y θ p x 85% hiukkasista Hiukkasen liikemäärä p raon jälkeen p x p y = tan θ 1 θ 1 = p x = p y θ 1 = p y λ w Ensimmäisten minimien sisällä kaikista 85 % hiukkasista Sirontakulmien väli ±λ/w, joten p x :n vaihteluväli ±p y λ/w
Yhteys paikan ja liikemäärän epävarmuudessa Symmetrian takia p x = 0, mutta px :n epätarkkuus vähintään λ p x p y w = p h y p y w = h w = p xw h Raon koko w kuvaa epävarmuutta mistä kohdasta rakoa hiukkanen kulki: epävarmuus x-koordinaatissa p x kuvaa liikemäärän epämääräisyyttä: samalle alueelle osutaan usealla eri liikemäärän arvolla Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Heisenbergin epätarkkuusperiaate Tilastolliset standardipoikkeamat (epätarkkuudet) x ja p x sijainnissa x ja liikemäärässä p x Tällöin pätee x p x ja E t 2 2 = Heisenbergin epätarkkuusperiaate, Nobel 1932 Yleinen aaltoliikkeen tulos, ei riipu aukon muodosta Kytkös kvanttimekaanisen tilan energiaan ja elinaikaan Toinen näkökulma: jos pulssilla on äärellinen kesto ajan suhteen, niin Fourier-muunnoksen kautta sillä on nollasta poikkeava spektrinen leveys Esim jos laserpulssin pituus t = 100 fs niin sen energiassa epämääräisyys E = / t = 6.6 10 3 ev
Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen sovellus: Elektronimikroskooppi
Epätarkkuusperiaate Fourier-muunnoksen näkökulmasta Fourier-analyysi 3 kertoo, että jotta voidaan konstruoida lokalisoitu aaltopaketti, täytyy summata useita eritaajuisia aaltoja Kvanttimekaniikassa peruspalikka aaltofunktiolle on tasoaalto Ψ(x, t) = A e j(kx ωt) (sellaisenaan ei käyttökelpoinen, ei toteuta kaikkia tarvittavia ehtoja) Tarkastellaan toistaiseksi vain paikkariippuvuutta: e jkx Mielivaltainen, mutta fysikaalinen ψ(x) voidaan esittää integraalina ψ(x) = A(k) e jkx dk A(k) on painofunktio, joka kertoo miten eri aaltoluvut vaikuttavat integraaliin Se on myös ψ(x):n Fourier-muunnos A(k) = 1 2π ψ(x) e jkx dx
Gaussinen aaltopaketti Heisenbergin epätarkkuusperiaatteessa "=" vastaa tilannetta jossa aineaallon aaltomuoto on Gaussinen ψ(x) = C e (x/2ɛ)2 e jk 0x missä ɛ kuvaa funktion leveyttä, k 0 = 2π/λ 0 kuvaa aaltopaketin keskiaallonpituutta Gaussin funktio lokalisoi siniaallon, mutta mitä muuta siitä nähdään? Ratkaistaan A(k) ottamalla ψ(x):n Fourier-muunnos A(k) = C 2π e (x/2ɛ)2 e jk 0x e jkx dx = Cɛ π e ɛ2 (k k 0 ) 2 ψ(x):n standardipoikkeama x = ɛ ja A(k):n k = 1/2ɛ, joten x k = 1/2 ja edelleen x p x = /2
Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja aineaallot Gaussinen aaltopaketti teoreettinen alaraja Heisenbergin epätarkkuusperiaatteelle VOE: kaikille muille aaltopaketeille x p x > /2 Epätarkkuus hiukkasen klassisissa suureissa seurausta hiukkasten aaltoluonteesta Aaltoluonne relevantti kun kappale rajoitettu muutamien aineaallonpituuden suuruisiin dimensioihin Loppukurssin ajan tarkastellaan aineaaltoja Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen sovellus: Elektronimikroskooppi
Mikroskoopin resoluutio Diffraktio asettaa alarajan mikroskooppien resoluutiolle Mikroskoopilla ei pystytä erottamaan alle käytetyn aallonpituuden olevia piirteitä Korvataan näkyvä valo elektronisuihkulla = de Broglie aallonpituus Esimerkiksi 15 kev elektronisuihku λ = vrt. näkyvä valo 500 nm h 2meVba = 10 pm = 0.0010 nm Aineen aaltoluonne Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 4
Elektronimikroskooppi Kiihdytettyä elektronisuihkua ohjataan magneettilinsseillä Pyyhkäisyelektronimikroskoopissa (SEM) näytteestä takaisinsironneiden elektronien virta mitataan Resoluutio < 2 nm Transmissioelektronimikroskooppi (TEM) mittaa ohuiden näytteiden läpimenneiden elektronien virtaa Resoluutio < 0.5 nm Elektronisuihkulla voidaan myös valottaa näytteitä
Elektronisuihkulitografialla valmistettu näyte ITO-substraatilla. Kuva: Maria Klonner.