Eksponenttifunktio. Sanni Muotka. Matematiikan pro gradu

Ekspoettifuktio Sai Muotka Matematiika pro gradu Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos Kevät 203

Tiivistelmä: S. Muotka, Ekspoettifuktio, matematiika pro gradu -tutkielma, Jyväskylä yliopisto, Matematiika ja tilastotietee laitos. Alkeisfuktiot jaetaa algebrallisii ja trassedettisii alkeisfuktioihi. Algebrallisii alkeisfuktioihi kuuluvat polyomi-, ratioaali- ja juurifuktiot. Muut fuktiot ovat trassedettisia. Ekspoettifuktio kuuluu trassedettisii alkeisfuktioihi, eli sitä ei voida esittää äärelliseä polyomifuktioa tai polyomie ratioaalifuktioa. Tässä tutkielmassa perehdytää ekspoettifuktioo, joka katalukua o Neperi luku. Tutkielma aluksi tutustutaa Neperi luvu historiaa ja määritellää Neperi luku raja-arvoa e lim +. ) Neperi luvulle osoitetaa se irratioaalisuus ja trassedettisuus, eli että se ei toteuta mitää kokoaiskertoimista polyomiyhtälöä. Tämä jälkee määritellää ekspoettifuktio exp viidellä eri tavalla: ratioaalipotessi, potessisarjaesitykse, differetiaaliyhtälö, kääteisfuktio ja raja-arvo avulla. Jokaisesta määritelmästä lähtie osoitetaa ekspoettifuktiolle exp jatkuvuus, derivoituvuus, mootoisuus, additiivisuusomiaisuus expa + b) expa) expb), ja että ekspoettifuktiolla o kääteisfuktio. Tutkielma lopuksi osoitetaa, että ämä kaikki viisi määritelmää johtavat samaa fuktioo exp. i

Sisältö Johdato Luku. Neperi luku, e 3. Joh Napier 550-67 3 2. Neperi luvu historiaa 3 3. Neperi luvu määritelmä 4 4. Neperi luvu omiaisuuksia 8.4.. Irratioaalisuus 8.4.2. Trassedettisuus 9 Luku 2. Määrittely ratioaalipotessie avulla 3. Additiivisuus 4 2. Mootoisuus 5 3. Jatkuvuus 6 4. Derivaatta 6 5. Kääteisfuktio 8 Luku 3. Määrittely potessisarjoje avulla 20. Derivaatta ja jatkuvuus 2 2. Additiivisuus 22 3. Mootoisuus 22 4. Kääteisfuktio 23 Luku 4. Määrittely differetiaaliyhtälöitä käyttäe 24. Derivaatta ja jatkuvuus 25 2. Additiivisuus 25 3. Mootoisuus 25 4. Kääteisfuktio 26 Luku 5. Määrittely raja-arvoa käyttäe 27. Määrittely raja-arvoa käyttäe, ku x 0 28 5... Jatkuvuus 30 5..2. Derivaatta 30 5..3. Additiivisuus 3 2. Määrittely raja-arvoa käyttäe, ku x < 0 32 5.2.. Jatkuvuus 33 5.2.2. Additiivisuus 33 5.2.3. Derivoituvuus 34 5.2.4. Mootoisuus 34 5.2.5. Kääteisfuktio 35 ii

SISÄLTÖ iii Luku 6. Määrittely kääteisfuktio avulla 36. Derivaatta ja jatkuvuus 38 2. Mootoisuus 38 3. Kääteisfuktio 39 4. Additiivisuus 39 Luku 7. Kaikki määritelmät johtavat samaa fuktioo 40 Lähdeluettelo 43

Johdato Alkeisfuktiot ovat fuktioita, jotka sisältävät yhtee-, väheys-, kerto- ja jakolaskuja, potessii korotuksia, kääteisfuktio ottoa tai fuktioide yhdistämistä. Alkeisfuktiot jaetaa algebrallisii ja trassedettisii alkeisfuktioihi. Trassedettisia fuktioita ovat fuktiot, jotka eivät ole polyomi-, ratioaali- tai juurifuktioita. Näi olle ekspoettifuktio kuuluu trassedettisii fuktioihi. Tässä tutkielmassa perehdytää ekspoettifuktioo, joka katalukua o Neperi luku. Tämä työ tarkoituksea o aluksi tutustua Neperi lukuu e, joka tulee etee hyvi usei matemaattista kirjallisuutta lukiessa. Pääasiassa työ koostuu viidestä ekspoettifuktio exp määritelmästä. Ekspoettifuktio määritellää ratioaalipotessi, potessisarjaesitykse, differetiaaliyhtälö, kääteisfuktio ja raja-arvo avulla. Jokaisesta määritelmästä lähtie äytetää ekspoettifuktio jatkuvuus, derivoituvuus, mootoisuus, kääteisfuktio olemassaolo ja additiivisuusomiaisuus expa + b) expa) expb). Lopuksi äytetää, että kaikki määritelmät johtavat samaa ekspoettifuktioo exp. Tutkielma jakautuu seitsemää lukuu, joista esimmäie käsittelee Neperi lukua. Luvussa määritellää Neperi luku raja-arvoa e lim + ). Luvussa tutustutaa myös hiema Neperi luvu historiaa ja osoitetaa se irratioaalisuus ja trassedettisuus. Luvuissa 2-6 johdetaa kustaki määritelmästä lähtie ekspoettifuktio jatkuvuus, derivoituvuus, mootoisuus, kääteisfuktio olemassaolo ja additiivisuusomiaisuus. Luku 2 käsittelee ratioaalipotessimääritelmää, joka o ehkä tuetui määritelmä ekspoettifuktiolle. Määritellää siis expx) e x, ku x R. Luvussa 3 määritelmää käytetää potessisarjaesitystä expx) Luvussa 4 määritellää ekspoettifuktio yksikäsitteiseä differetiaaliyhtälö f f, f0) ratkaisua. Luvu 5 määritelmä mukaa ekspoettifuktio o raja-arvo lim + x. ) Viimeie määritelmä luvussa 6 ekspoettifuktiolle o logaritmifuktio logx) 0 x x!. t dt

JOHDANTO 2 kääteisfuktioa. Omiaisuuksie esitysjärjestys luvuissa vaihtelee hiema määritelmä luoteesta riippue. Viimeisessä luvussa äytetää potessisarjaesityksestä lähtie, että kaikki määritelmät johtavat samaa fuktioo. Tutkielmassa käytetty kirjallisuus o pääasiassa yleisteoksia matemaattisesta aalyysistä, tärkeimpää Robert S. Strichartzi The Way of Aalysis [7]). Esimmäisessä luvussa päälähteeä o ollut Eli Maori kirja e: The story of a umber [4]) ja viimeisessä luvussa jo maiittu Strichartzi teos. Muut luvut eivät varsiaisesti seuraa mitää teosta.

LUKU Neperi luku, e Tässä luvussa esitellää hiema Neperi luvu historiaa, määritellää Neperi luku raja-arvoa e lim + ) ja osoitetaa se irratioaalisuus ja trassedettisuus. Luvu päälähteeä o Eli Maori teos e: The story of a umber [4]).. Joh Napier 550-67 Neperi luvu isä, Joh Napier, sytyi vuoa 550 lähellä Ediburghia Skotlaissa. Häe vahempasa olivat Sir Archibald Napier ja tämä esimmäie vaimo Jaet Bothwell. Kolmetoista vuode ikäiseä Joh Napier lähetettii St. Adrewsi yliopistoo opiskelemaa uskotoa. Häe suuri kiiostuksesa oli uskoto, mutta maaomistajaa hä kehitteli myös laoitteita ravitaksee maaperää ja oli kiiostuut sotilaallisista toimista. Hä julkaisi uskoollisia äkemyksiää kirjassaa A Plaie Discovery of the whole Revelatio of Sait Joh593), jossa hä kritisoi katolista kirkkoa. Kirjaa julkaistii usealla kielellä ja häe eliaikaaa siitä tehtii kymmee laitosta, myöhemmi yhteesä 2. Kirjalla hä vakuutti itsesä siitä, että häe imesä säilyisi historiassa. Napieri imi jäi historiaa, ei tosi iikää uskoollisesta kirjastaa, vaa ideasta, jota hä kehitteli kaksikymmetä vuotta: logaritmeista. Tarkallee ei tiedetä, mite hä keksitöösä päätyi. Hä oli perehtyyt trigoometriaa, jote luultavasti ajatuksie pohjaa o ollut trigoometria ja geometriset lukujoot. [4], s. 3-9.) 2. Neperi luvu historiaa Ihmiset ovat vuosituhasia olleet kiiostueita taloudellisesta vaurastumisesta. Tämä o ollut pohjaa myös Neperi luvu löytymisessä. Jo Mesopotamiassa oi 700 ekr. o pohdittu, kauako kestää kaksikertaistaa pääoma, jos vuosittaie korko o 20 prosettia. Pääoma korkoje jälkee voidaa laskea kaavalla.) S P + ) r t, missä Palkupääoma, rvuotuie korkoprosetti, korkoerie määrä vuodessa, taika vuosia ja Skasvaut pääoma. Jos tarkastellaa epätodellista tilaetta, jossa pakki maksaisi sataprosettista korkoa yhde euro pääomalle yhde vuode, kaava.) tulee muotoo.2) S + ). Ku korkoerie määrää kasvatetaa, saadaa tulokset, jotka o esitetty taulukossa. Huomataa, että luvu kasvaessa lähestytää lukua e 2, 7828. Tarkallee ei tiedetä, kuka tämä havaio o esimmäiseä tehyt, mutta keksitö ajoittuu aikaa, jolloi Napier kehitti logaritmi. [4], s. 23-27.) 3

3. NEPERIN LUVUN MÄÄRITELMÄ 4 Taulukko ) + 2 2 2, 25 3 2, 37037 4 2, 444 5 2, 48832 0 2, 59374 00 2, 7048 000 2, 7692 0 000 2, 785 00 000 2, 7827 000 000 2, 7828 0 000 000 2, 7828 3. Neperi luvu määritelmä Neperi luvu löytämiseksi tutkitaa edellisessä alaluvussa pääomalle saatua lauseketta + ), ku. Seuraava Lemma. o Pascali kaava, jota käytetää lauseketta + ) avaava biomikaava todistamisee. Lemma.. Olkoo, k N. Tällöi pätee ) ) ).3) +. k k k Todistus. )! k k! k)! )! k )! k )! k k) )! k k )! k )! k k) + k ) k k) )! k )! k )! k) + ) k )! k )! k)! + )! kk )! k)! )! )! + k )! k + )! k! k)! ) ) +. k k Lemma.2 o biomikaava, joka avulla voidaa aukaista lukujooa + ).

3. NEPERIN LUVUN MÄÄRITELMÄ 5 Lemma.2. Olkoo x, y R ja N. Tällöi ) x + y) x p y p p p0 x +! x y + +! xy + y. ) x 2 y 2 + 2! Todistus. Todistetaa väite iduktiolla. Ku, ii x + y) x +! x y x + y. ) 2) x 3 y 3 +... 3! Oletetaa, että väite pätee, ku m eli m ) m x + y) m x m p y p. p Ku m +, pätee p0 x + y) m+ x + y)x + y) m x + y) m p0 m p0 m+ p0 m+ p0 m+ p0 ) m x m p+ y p + p ) m x m p+ y p + p ) m x m+ p y p + p [ ) m m + p p m + Nyt Lemma.2 avulla saadaa + ) ) p p p0 + + + ) 2! p ) p m p0 m+ p m+ p0 ) x m+ p y p. ) ) + 2! + ) 2 ) 3! m ) m x m p y p p p0 ) m x m p y p+ p ) m x m p+ y p p ) m x m+ p y p p )] x m+ p y p ) 2 +... + ) + +... + 2 +. )

3. NEPERIN LUVUN MÄÄRITELMÄ 6 Ku aetaa luvu kasvaa, toisi saoe, saadaa lim + ) + + 2! + 3! +... Merkitää tätä summaa kirjaimella e eli e : 2 + 2! + 3! +... [4], s. 35.) Osoitetaa seuraavaksi, että tällaie summa o olemassa. Palautetaa esi mielee geometrise sarja summa. Lemma.3. Jos q R o geometrise lukujoo suhdeluku ja q, ii geometrise lukujoo summa S saadaa kaavalla S a q ). q Seuraava lemma ataa ehdo lukujoo suppeemiselle. Muistetaa, että joukko E R o ylhäältä rajoitettu, jos o olemassa luku M site, että x M kaikille x E. Tällöi M o jouko E yläraja. Lemma.4. Kasvava reaaliarvoie lukujoo suppeee jos ja vai jos se o ylhäältä rajoitettu. Silloi se raja-arvo o piei lukujoo yläraja. Todistus. Todistus sivuutetaa. Katso [2], s. 99. Nyt voidaa osoittaa, että lukujoo +! + 2! + 3! +... +! suppeee. Lause.5. Olkoo N. Tällöi summa suppeee, ku. S +! + 2! + 3! +... +! Todistus. Summa kasvaa mootoisesti eli S < S + kaikille N. Ku 3, pätee myös! 2 3... > 2 2... 2 2, jote S < + + 2 + 2 2 +... + 2. Jälkimmäie summa o geometrie summa, joka suhdeluku o. Tällöi summalle pätee Lemma.3 2 mukaa S < + + 2 + 2 +... + 2 2 + 2 2 < + 2 3. Summa S o siis ylhäältä rajoitettu rajaa 3. Nyt Lemma.4 mukaa S suppeee kohti lukua S. Merkitää tutkittua lukujooa T :. + ) Näytetää, että joo T + suppeee kohti samaa lukua kui Lausee.5 joo S + + + +... +. Nyt! 2! 3!! )

3. NEPERIN LUVUN MÄÄRITELMÄ 7 Lemma.2 biomikaava) avulla saadaa + ) ) ) 2 ) + + +... 2! ) ) 2) +! + + ) +... + ) 2 ) ). 2!! Tästä ähdää, että T S, jote T o ylhäältä rajoitettu. Lukujoo T o myös mootoisesti kasvava. Tämä todistetaa Lemmassa.8. Siis summa T suppeee Lausee.4 ojalla kohti lukua T. Seuraavaksi osoitetaa, että S T. Lause.6. Ku N ja summa S +! + 2! + 3! +... +! suppeee kohti lukua S ja joo T + ) kohti lukua T, ii S T. Todistus. Koska S T kaikille N, ii S T. Näytetää siis, että pätee myös S T. Olkoot m, N site, että m <. Summa T esimmäiset m + termiä ovat + + ) 2! +... + ) 2 )... m ) Koska m <, ii tämä summa o pieempi kui T. Ku kasvaa rajatta ja m o kiiteä, lähestyy summa lukua S m ja T lähestyy summaa T. Näi olle S m T ja S T, mikä haluttii osoittaa. Näi olle luku T lim + ) + + 2! + +... e 2, 7828. 3! [4], s.20-202.) Myöhemmi tarvitaa tietoa joo lim ) käyttäytymisestä. Osoitetaa seuraavaksi, että joo raja-arvo o. e Lemma.7. lim ) e m!. Todistus. Koska e + + + +... >, ii 2! 3! eq < kaikilla q Q, q < 0. Beroulli epäyhtälö + x) a + ax ataa ) ) ) ) +. 2 2 ) Näi olle saadaa lim ) e, sillä o osoitettu, että e lim + ). Osoitetaa vielä lukujooje kasvavuus.

Lemma.8. Lukujoot ovat kasvavia. lim 4. NEPERIN LUVUN OMINAISUUKSIA 8 + ) e ja lim ) e Todistus. Osoitetaa, että lukujoo lim + ) e o kasvava. Joo lim + ) o kasvava, sillä Beroulli epäyhtälöä + x) a + ax käyttäe saadaa x + + + )+ x + + ) ) + + + ) + + ) ) + + ) 2 + ) ) + ) + ) 2 + ) ). + Vastaavasti lukujoo lim ) o kasvava, sillä Beroulli epäyhtälöä käyttäe saadaa x + + )+ x ) ) + + ) ) + ) + 2 ) ) + + ) 2 ) + ). 4. Neperi luvu omiaisuuksia Neperi luku o irratioaalie. Tämä tarkoittaa, että se ei toteuta mitää kokoaislukukertoimista lieaarista yhtälöä, joka o muotoa ax+b 0, missä a, b Z,a 0. Tiedetää lisäksi, että Neperi luku e ei toteuta mitää kokoaislukukertoimista polyomiyhtälöä c x + c x +... + c x + c 0 0. Tätä omiaisuutta kutsutaa luvu trassedettisuudeksi. Tässä alaluvussa osoitetaa ämä omiaisuudet..4.. Irratioaalisuus. Neperi luku e o irratioaalie, toisi saoe sitä ei voida esittää kahde kokoaisluvu osamäärää. Osoitetaa tämä. Lause.9. Neperi luku o irratioaalie. e +! + 2! + 3! +... +! +...

4. NEPERIN LUVUN OMINAISUUKSIA 9 Todistus. Oletetaa, että e o ratioaalie. Olkoo e p, p, q Z. Tiedämme, q että 2 < e < 3 katso Lausee.5 todistus), jote e ei ole kokoaisluku eli o oltava q 2. Kerrotaa yhtälö e +! + 2! + 3! +... +! +... molemmat puolet kertoimella q! 2 3... q. Tällöi yhtälö vase puoli ataa ) p e q! 2 3... q p 2 3... q ) q ja oikea puoli ataa q! + q! + 3 4... q + 4 5... q +... + q ) q + q + ) + q + + q + )q + 2) +... Vasepuoli o selvästi kokoaisluku, samoi kui oikeapuoleise lausekkee sulkuje sisältö. Oikeapuoleise lausekkee jäljelle jäävät termit eivät ole kokoaislukuja, sillä q 2. Näytetää, että jäljelle jäävie termie summa ei ole kokoaisluku. Ku o q 2, ii geometrise sarja summa Lemma.3 avulla saadaa q + + q + )q + 2) +... 3 + 3 4) +... < 3 + 3 2 + 3 3 +... 3 3 ) 2. Lisäksi + +... > 0, ku q 2. Näi olle jäljelle jäävie termie summa q+ q+)q+2) ei ole kokoaisluku. Siirtämällä yhtälö oikea puole kokoaisluku termit vasemmalle puolelle päädytää tilateesee, jossa o kokoaisluku yhtälö vasemmalla puolella ja lukua yksi pieempi ei-kokoaisluku oikealla puolella. Luku e ei siis voi olla ratioaalie. [4], s. 202-203).4.2. Trassedettisuus. Neperi luvu trassedettisuude o todistaut Charles Hermite vuoa 873. Seuraava todistus o Hurwitz i yksikertaistus Hermite todistuksesta. Todistusta varte johdetaa aluksi aputuloksia. Oletetaa, että fx) o polyomi, joka aste o r ja F x) o summa se derivaatoista.4) F x) : fx) + f x) + f x) +... + f r) x). Määritellää fuktio Φ e x F x), jolloi Φ x) e x F x) F x)) e x fx). Nyt väliarvolausee, Lemma 5.4, ojalla välillä [x, x 2 ] saadaa Φx ) Φx 2 ) Φ x + ξx 2 x ))x x 2 ), missä 0 < ξ <. Olkoo x 0 ja x 2 k, k N, jolloi e k F k) F 0) e ξ kk fξ k k)k,

4. NEPERIN LUVUN OMINAISUUKSIA 0 missä ξ k riippuu luvusta k ja 0 < ξ k <. Kertomalla tämä termillä e k saadaa.5) F k) F 0)e k ke ξ k)k fξ k k). Tarkemmi esitettyä saadaa F ) F 0)e e ξ) fξ ) : ɛ F 2) F 0)e 2 2e 2 ξ2) f2ξ 2 ) : ɛ 2.6). F ) F 0)e e ξ) fξ ) : ɛ. Osoitetaa vielä aputuloksea Lemma.0, jota tarvitaa myöhemmi. Lemma.0. Olkoo Qx) b 0 + b x +... + b m x m, missä b k Z kaikilla k N ja fx) Qx) p )!. Jos i p, i, p N, ii f i) x) o polyomi, joka kertoimet ovat luvulla p jaollisia kokoaislukuja. Todistus. Laskemalla f i) x) saadaa m ) f i) x) b k kk ) k i + )x k i p )! ki m ) k! b k p )! k i)! xk i ki m k! i! b k k i)!i! p )! xk i ki m ) k i! b k i p )! xk i. ki Nyt b k, ) k i ja i! ovat kokoaislukuja, sillä i p. Tällöi siis f i) x) o polyomi, p )! joka kertoimet ovat kokoaislukuja. Osoitetaa vielä kertoimie jaollisuus luvulla p. Nyt f i) x) m ) k i! m ) k i! b k p p i p )! xk i b k i p! xk i, ki ki missä b k, ) k i ja i! ovat kokoaislukuja, sillä i p. Tällöi siis f i) x) o jaollie p! luvulla p. Nyt voidaa siirtyä Neperi luvu trassedettisuude todistuksee. Todistukse ajatuksea o olettaa, että yhtälölle c 0 + c e + c 2 e 2 +.. + c e 0 löytyy kokoaiskertoimiset ratkaisut c i, joista vähitää yksi eroaa ollasta. Tällöi päädytää kuiteki ristiriitaa. Lause.. Neperi luku ei toteuta mitää kokoaiskertoimista polyomiyhtälöä c 0 + c e + c 2 e 2 +.. + c e 0.

4. NEPERIN LUVUN OMINAISUUKSIA Todistus. Tehdää atiteesi. Väitetää, että o olemassa kokoaisluvut c i, c 0 > 0 site, että.7) c 0 + c e + c 2 e 2 +.. + c e 0. Voidaa olettaa, että c 0 > 0. Jos olisi c 0 0, voidaa yhtälö jakaa puolittai luvulla e, tai, jos olisi c 0 < 0, voidaa yhtälö kertoa puolittai luvulla, jolloi päästää yhtälöö.7). Kertomalla esimmäie yhtälöistä.6) luvulla c, toie luvulla c 2 ja ii edellee sekä summaamalla yhtälöt saadaa c F ) + c 2 F 2) +.. + c F ) F 0)c e + c 2 e 2 +... + c e ) c ɛ + c 2 ɛ 2 +... + c ɛ. Yhtälöstä.7) saadaa c e + c 2 e 2 +.. + c e c 0. Tämä avulla saadaa edellee.8) c 0 F 0) + c F ) + c 2 F 2) +.. + c F ) c ɛ + c 2 ɛ 2 +... + c ɛ. Muistetaa, että fuktio F x) o raketuut mielivaltaisesta polyomista fx). Valitaa polyomiksi fx) Hermite polyomi fx) xp p )! x)p 2 x) p x) p, missä p o mikä tahasa alkuluku site, että p > ja p > c 0. Nyt polyomi fx) avulla voidaa tutkia yhtälöä.8). Muokataa tämä polyomi muotoo.9) fx)!)p p )! xp + a 0x p p )! + a x p+ p )! +, missä a 0, a,... ovat kokoaislukuja. Lemmassa.0 o osoitettu, että kaikille kokoaisluvuille j pätee, että f i) j) o kokoaisluku ja luvu p moikerta, ku i p. Nyt määritelmä mukaa polyomilla f o p -kertaie juuri, ku x, 2,...,. Site, jos j, 2,...,, fj) 0, f ) j) 0,..., f p ) j) 0. Tällöi siis F j) fj) + f ) j) +... + f p ) j) + f p) j) +... + f r) j) f p) j) +... + f r) j) o kokoaisluku, joka o luvu p moikerta. Tutkitaa tapaus j 0 eli F 0). Yhtälöstä.9) ähdää, että polyomilla fx) o p ) -kertaie juuri pisteessä x 0, jote f0) f ) 0)... f p 2) 0) 0. Jos i p, f i) 0) o kokoaisluku, joka o luvu p moikerta. Toisaalta f p ) 0)!) p. Ku p > ja p o alkuluku, ii p!) p, jote f p ) 0) o kokoaisluku, joka ei ole jaollie luvulla p. Tällöi F 0) f0) + f ) 0) +... + f p 2) 0) + f p ) 0) + f p) 0) +... + f r) 0) o kokoaisluku, joka ei ole jaollie luvulla p, sillä termi f p ) 0) o aioa termeistä, joka ei ole jaollie luvulla p. Koska c 0 > 0, p > c 0 ja p F 0), ku taas p F ), p F 2),..., p F ), saadaa, että c 0 F 0) + c F ) + c 2 F 2) +.. + c F ) o kokoaisluku, joka ei ole jaollie luvulla p.

4. NEPERIN LUVUN OMINAISUUKSIA 2 Nyt siis tiedetää, että yhtälö.8) vase puoli o kokoaisluku, joka ei ole jaollie luvulla p. Tarkastellaa seuraavaksi yhtälö oikeaa puolta. Nyt ɛ i ei ξ ) iξ i ) p... iξ i ) p iξ i ) p i, p )! missä 0 < ξ i <. Tällöi ɛ i e p!) p p )!. Ku p, e p!) p p )! 0, koska tiedetää, että lim k m k k! 0 kaikilla m N. Voidaa siis löytää tarpeeksi suuri alkuluku p, p > c 0, p > site, että c ɛ +... + c ɛ <. Yhtälö.8) c ɛ +... + c ɛ c 0 F 0) +... + c F ) o voimassa, jote o oltava kokoaisluku, joka o pieeempi kui. Aioa mahdollisuus o, että c ɛ +...+c ɛ 0. Tällöi myös c 0 F 0)+...+c F ) 0. Tiedetää, että p c 0 F 0) +... + c F )), ku taas p 0. Tämä o ristiriita, jote luvu e o oltava trassedettie. [3], s. 76-78.)

LUKU 2 Määrittely ratioaalipotessie avulla Tässä luvussa määritellää ekspoettifuktio exp ratioaalipotessie avulla. Neperi luvu olemassaolo o osoitettu luvussa.3, e lim +. ) Oletetaa tuetuksi potessifuktio x, x > 0 ja Z. Tällöi ratioaalisille luvuille q m Q voidaa määritellä fuktioide xm ja x yhdistettyä fuktioa x q x m ), ku x o fuktio x kääteisfuktio. Oletetaa lisäksi tuetuksi ratioaalisia potessifuktioita koskevat seuraavat omiaisuudet: x p+q x p x q, ku p, q Q, x > 0. x q kaikilla q > 0, q Q, x. x q kaikilla q < 0, q Q, x. x q x p kaikille q < p, p, q Q, x. Erikoistapauksessa x e ratioaalisille potesseille q m e q : e m ). Q voidaa määritellä Tällöi edellä todetut omiaisuudet siirtyvät fuktiolle e q, sillä e. Fuktiolle e q siis pätee omiaisuudet ) e p+q e p e q, ku p, q Q. 2) e q kaikilla q > 0, q Q. 3) e q kaikilla q < 0, q Q. 4) e q e p kaikille q < p, p, q Q. Ekspoettifuktio yleie potessi Neperi luvu avulla saadaa seuraavasta määritelmästä. Määritelmä 2.. Jos x R, ii expx) : e x : sup{e q : q Q ja q < x}. Ekspoettifuktio o siis ratioaalipotessi potessifuktio piei yläraja. Merkitää joukkoa A : {e q : q Q ja q < x}. Jotta määrittely olisi järkevä, täytyy osoittaa, että joukko A o epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu. 3

. ADDITIIVISUUS 4 Joukko o epätyhjä, sillä jos valitaa joki q Q site, että q < x, ii tällöi e q A ja joukko A o epätyhjä. Joukko o ylhäältä rajoitettu, sillä jos valitaa p Q site, että p > x, ii fuktiolle e q todetu omiaisuude 4) mukaa e p o jouko A yläraja. Osoitetaa, että Määritelmä 2. ja aiempi määritelmä e q e m ), ku q Q, johtavat samaa tuloksee. Tätä varte osoitetaa esi, että exp0). Lemma 2.2. exp0) sup{e q : q Q ja q < 0} ) Todistus. Koska Lemmassa.8 o osoitettu lukujoo lim e kasvavuus, pätee e ) ), jote e, e ku. Lisäksi omiaisuude 3) mukaa e q kaikilla q < 0. Tällöi siis exp0). Jos p Q ja tiedetää, että e p+q e p e q, ku p, q Q, ii expp) sup{e q : q Q ja q < p} sup{e q e p : q Q ja q < 0} e p sup{e q : q Q ja q < 0} e p exp0) e p.. Additiivisuus Osoitetaa, että Määritelmässä 2. esitellylle fuktiolle exp pätee ii saottu additiivisuusomiaisuus expx + y) expx) expy). Tämä todistamisessa käytetää tuetuksi oletettua tietoa, että luvuille p, q Q pätee e p+q e p e q ja e q e p kaikille q < p, p, q Q. Lause 2.3. Kaikille x, y R pätee expx + y) expx) expy). Todistus. Väite o siis e x+y e x e y. Nyt x, y R ja olkoo r Q sellaie, että r < x + y. Valitaa p, q Q site, että p < x, q < y ja p + q > r. Näi voidaa tehdä, sillä ratioaaliluvut ovat tiheässä. Nyt e r e p+q e p e q e x e y, jote otetaa supremum kaikista r Q, joilla r < x + y, ja saadaa e x+y e x e y.

2. MONOTONISUUS 5 Toisaalta luvut p ja q o valittu ii, että p + q < x + y. Tällöi e p e q e p+q e x+y. Otetaa supremum kaikista tällaisista luvuista p ja q. Näi saadaa e x e y e x+y, jote o oltava e x+y e x e y. 2. Mootoisuus Osoitetaa, että määritelty ekspoettifuktio exp o aidosti kasvava, eli jos x < y, ii fx) < fy). Osoitetaa esi kaksi aputulosta, Lemmat 2.4 ja 2.5. Lemma 2.4. Kaikilla x > 0 o expx) >. Todistus. Nyt expx) e x ja jos x > 0, ii expx) fuktio e q omiaisuude 2) ojalla. Jos olisi x 0 > 0 site, että e x 0, ii additiiviisuude ojalla olisi e kx 0 e x0 e x0... e x 0 }{{}... k kpl kaikilla k N. Jos valitaa k x 0 eli kx 0, saadaa e e e kx 0 e x 0 ) k. Tämä o ristiriidassa se kassa, että Lemmassa.8 o osoitettu lukujoo lim + o kasvavaksi. Tällöi pätee e lim + + ) 2) 2 >. Siis e x > kaikilla x > 0. Lemma 2.5. expx) > 0 kaikilla x R. Todistus. Lemmassa 2.2 o osoitettu, että exp0) > 0. Jos x > 0, ii Lemma 2.4 ojalla saadaa expx) > > 0. Jos taas x < 0, seuraa additiivisuudesta exp0) expx + x)) expx) exp x) eli expx) exp x) > 0, sillä tällöi exp x) > 0. Väite siis pätee. Palataa ekspoettifuktio aido kasvavuude osoituksee. Lause 2.6. expx) o aidosti kasvava. Todistus. Jos x < y, ii y x > 0 ja additiivisuude ojalla saadaa e y e y x+x e y x e x > e x, sillä Lemma 2.4 ojalla e y x > ja Lemma 2.5 ojalla e x > 0 kaikilla x R. Ehdosta x < y siis seuraa e x < e y, jote exp o aidosti kasvava. )

4. DERIVAATTA 6 3. Jatkuvuus Lauseessa 2.7 äytetää, että määritelty ekspoettifuktio exp o jatkuva koko reaaliakselilla. Lause 2.7. expx) o jatkuva, ku x R. Todistus. Koska joot lim + ) e ja lim o osoitettu kasvaviksi Lemmassa.8, saadaa + ) e ja ) e ) Ku yhdistetää ämä saadaa 2.) e. Ku siis, saadaa suppiloperiaattee ojalla jote myös lim e, ) e. lim e lim. e Koska ekspoettifuktio exp o osoitettu aidosti kasvavaksi, saadaa se jatkuvaksi pisteessä 0, sillä lim e lim e lim e x e 0. x 0 Edellee additiivisuude perusteella saadaa lim x x 0 e x lim x x0 e x x 0 e x 0 lim y 0 e y )e x 0 e x 0, jote exp o jatkuva pisteessä x 0 R. Näi olle se o jatkuva koko reaaliakselilla. 4. Derivaatta Tässä alaluvussa äytetää, että fuktio exp o derivoituva ja se derivaatta o fuktio itse. Fuktio derivoituvuus äytetää erotusosamäärä raja-arvo olemassaolo kautta. e x+h e x lim h 0 h Lause 2.8. Fuktio expx) e x o derivoituva kaikkialla, ja d dx ex e x. Todistus. Osoitetaa esi, että expx) e x o derivoituva, ku x R. Näi e o, jos erotusosamäärä raja-arvo lim x+h e x h 0 o olemassa jokaisessa pisteessä h e avoimella välillä x ], [. Erityisesti tämä tarkoittaa, että raja-arvo lim h h 0 h o olemassa, sillä e x+h e x lim h 0 h e x lim h 0 e h h,

koska e x+h e x e h. Osoitetaa tämä Lemmassa 2.9. Lemma 2.9. Raja-arvo o olemassa. Todistus. Näytetää, että lauseke 4. DERIVAATTA 7 e h lim h 0 h e h 2.2) h lähestyy jotaki raja-arvoa, ku h 0. Lähestyköö aluksi h ollaa oikealta. Näytetää seuraavaksi, että lauseke 2.2) o kasvava h: fuktio. Lauseke o alhaalta rajoitettu ollalla, sillä mootoisuude yhteydessä o äytetty, että e h >, ku h > 0. Näytetää seuraavaksi, että jos o u, v R site, että 0 < u v, ii pätee eli e u u ev, v ve u ue v v u. Riittää osoittaa tämä ratioaalisille u ja v, sillä approksimoimalla lukuja u ja v ratioaalilukuje jooilla u ) ja v ) saadaa fuktio expx) e x jatkuvuude ojalla limv e u u e v ) ve u ue v. Tällöi tilae palautuu ratioaalisii lukuihi u ja v. Oletetaa siis, että u p ja v q, ku, p ja q ovat kokoaislukuja, ja > 0, p < q, ku u < v. Tällöi jakamalla luvulla epäyhtälö tulee muotoo e u u e p/ p ev v Edellee, ku merkitää e / c >, saadaa 2.3) c p p eq/. q cq. q Tämä o lähtötilae, jossa p ja q ovat positiivisia kokoaislukuja. Olkoo yt c + d, ku d > 0. Tällöi biomikaava Lemma.2) avulla saadaa c p p p cp ) p ) ) p ) p k d k p k k0 d + p )d [2] + p )p 2)d [3] +... + p ) d [p]

5. KÄÄNTEISFUNKTIO 8 ja samalaie yhtälö termille cq. Jos p < q, selvästi termi d [k] dk kerroi q k! p ) p k )) o lausekkeessa cp pieempi kui lausekkeessa cq. Lisäksi p q termi cq lauseke sisältää eemmä termejä. Kaikki termit ovat positiivisia, jote q yhtälö 2.3) o todistettu ja samoi alkuperäie väite eu ev. u v O siis osoitettu, että lausekkeella 2.2) o raja-arvo, ku h lähestyy ollaa oikealta. 2 Käsitellää tapaus, ku h lähestyy ollaa vasemmalta. Olkoo siis h k, ku k > 0, jolloi e h e k e k e k e k ek. h k k k Tällöi h: lähestyessä ollaa vasemmalta e k lähestyy lukua ja koko lauseke lähestyy samaa lukua kui edellisessä tapauksessa. O siis löydetty oikea ja vase raja-arvo ja osoitettu, että e ovat samat. Näi e olle haluttu raja-arvo lim h h 0 o olemassa. [2], s. 339-34) h Halutaa vielä määrittää derivaatta d dx ex. Tehdää tämä erotusosamäärä rajaarvo avulla: d e x+h e x dx ex lim e x e h lim h 0 h h 0 h. Jatkuvuude yhteydessä o saatu yhtälö 2.): e. Tästä saadaa kertomalla luvulla > 0 e. Nyt jos h, ii eh e h, ku. Koska h 0, ii, jotta h 0. Siis lim h 0 eh tällöi d dx ex e x e h lim h 0 h 5. Kääteisfuktio e x. h ja Muistetaa, että bijektiivisellä fuktiolla o kääteisfuktio. Fuktio tulee siis olla ijektio ja surjektio. Fuktio f : A B o ijektio, jos se yhtä arvojouko arvoa vastaa tasa yksi määrittelyjouko arvo, toisi saoe jos x, y A site, että x y, ii fx) fy). Fuktio f o surjektio, jos se saa kaikki maalijoukkosa arvot, toisi saoe kaikilla y B o olemassa x A site, että fx) y. Tämä työ bijektiivisyystodistuksissa ijektiivisyys tulee suoraa fuktio aido kasvavuude kautta. Osoitetaa, että fuktio expx) e x o bijektio. Todistuksessa ja myöhemmiki tullaa tarvitsemaa Bolzao lausetta jatkuville fuktioille. Esitetää se seuraavaksi.

5. KÄÄNTEISFUNKTIO 9 Lemma 2.0. Bolzao lause. Jos f : [a, b] R o jatkuva fuktio site, että fa) c fb), ii tällöi o olemassa x 0 [a, b] site, että fx 0 ) c. Todistus. Todistus sivuutetaa. Katso [7], s. 30-3. Lause 2.. Ekspoettifuktio e x : R ]0, [ o bijektio. Todistus. Näytetää, että e x o ijektio ja surjektio. Lauseessa 2.6 o osoitettu fuktio e x aito kasvavuus, jote fuktio o myös ijektio. Riittää siis osoittaa, että ekspoettifuktio o surjektio. Nyt lim e +, sillä e kasvaa rajatta, ku ja lim e 0, sillä additiivisuude ojalla e e, jolloi e 0, ku. e Fuktio e x o Lausee 2.7 ojalla jatkuva koko reaaliakselilla. Olkoo c ]0, [. Koska lim e +, ii o olemassa N site, että e > c. Tiedosta lim e 0 puolestaa saadaa, että o olemassa 2 N site, että e 2 < c. Tällöi Bolzao lausee Lemma 2.0) ojalla o olemassa x 0 ] 2, [ site, että e x 0 c. Tämä voidaa tehdä kaikille luvuille c, jote fuktio e x o siis surjektio. Ekspoettifuktiolla e x o siis kääteisfuktio. Kääteisfuktio o luoollie logaritmi l x, joka o kasvava bijektio määrittelyalueeaa R + ja arvojoukkoa R.

LUKU 3 Määrittely potessisarjoje avulla Seuraavaksi määritellää ekspoettifuktio potessisarja avulla. Määritelmä 3.. Olkoo fuktio exp : R R + expx) Jotta määritelmä voidaa ottaa käyttöö, täytyy esi tutkia, suppeeeko kyseie sarja. Tätä varte palautetaa mielee seuraava suppeemista koskeva Määritelmä 3.2 ja Lemma 3.3. Määritelmä 3.2. Potessisarja 0 x!. a x x 0 ) suppeemissäde o 0 R sup{ x x 0 sarja a x x 0 ) suppeee}. 0 Jos potessisarja kaikki kertoimet eroavat ollasta, suppeemissäde voidaa määrittää seuraavasti: R lim a, jos tämä raja-arvo o olemassa. a + Lemma 3.3. Olkoo R > 0 sarja 0 a x x 0 ) suppeemissäde. Tällöi sarja 0 a x x 0 ) suppeee itseisesti suppeemisvälillää ]x 0 R, x 0 + R[ ja hajaatuu väli [x 0 R, x 0 + R] ulkopuolella. Lisäksi olkoo 0 < r < R. Tällöi sarja 0 a x x 0 ) suppeee tasaisesti välillä [x 0 r, x 0 + r]. Palataa Määritelmässä 3. esitettyy sarjaa suppeemissäde R: R lim a a + lim! +)! 0 x. Tutkitaa, mikä o sarja! lim +. Suppeemissäteeksi saadaa ääretö, jolloi siis sarja suppeee välillä ], [ eli koko reaaliakselilla. Sarja suppeemista o esitetty kuvassa 3.. Sarja x 0! käyttö fuktio exp määritelmää o siis mahdollista. 20

. DERIVAATTA JA JATKUVUUS 2 expx) suppeemie. Kuvassa o esi- k! x k suppeemista eri arvoilla. k! Kuva 3.. Sarja tetty osasummie k0 x k k0. Derivaatta ja jatkuvuus Osoitetaa, että myös äi määritelty ekspoettifuktio exp o derivoituva. Muistetaa, että potessisarjaa voidaa derivoida termeittäi se suppeemisvälillä. Potessisarja x 0 suppeemisväli o siis R.! x Lause 3.4. Fuktio expx) o derivoituva kaikkialla ja!. 0 d expx) expx) dx Todistus. Olkoo x R. Sarja x expx)! + x! + x2 x +... + 2!! +... 0 voidaa siis derivoida termeittäi, ja äi saadaa ) exp x x) D 0 + + x!! + x2 2! 0 0 +... + x )! +... x! expx).

3. MONOTONISUUS 22 Myös siis potessisarjaesitykse kautta löydetää ekspoettifuktio derivaatalle idettisyys itse fuktio kassa. Koska potessisarja o derivoituva kaikilla x R, ii se o myös jatkuva koko joukossa R. 2. Additiivisuus Fuktio expx) x 0 additiivisuus omiaisuude todistamiseksi tarvitaa! potessisarjoje Cauchy-tuloa. Cauchy-tulo o määritelty seuraavaksi. Määritelmä 3.5. Ku sarjat a ja b suppeevat, iide Cauchy-tulo o 0 ) ) a b 0 0 0 ) a k b k. Kahde itseisesti suppeeva sarja Cauchy tulosarja suppeee itseisesti. Tämä avulla voidaa todistaa seuraava lause eli ekspoettifuktio additiivisuus. Lause 3.6. Kaikille a, b R pätee 0 k0 expa + b) expa) expb). Todistus. Sarjat expa) a i i0 ja expb) b j i! j0 suppeevat itseisesti, j! jote Cauchy-tulo voidaa laskea. Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa käytetää biomikaavaa Lemma.2). ) a i ) b j expa) expb) i! j! i0 k k0 k0 i0 a i i! j0 b k i k i)! ) k ) k! k! i!k i)! ai b k i k0 i0 k ) k )a i b k i k! i k0 i0 k! a + b)k expa + b). 3. Mootoisuus Osoitetaa, että expx) o aidosti kasvava eli summa x 0 o aidosti kasvava.! Muistetaa, että fuktio o aidosti kasvava joukossa R, jos se derivaatta o aidosti positiivie kaikilla x R. Osoitetaa esi avuksi Lemma 3.7. Lemma 3.7. Kaikilla x R pätee expx) > 0.

4. KÄÄNTEISFUNKTIO 23 Todistus. Jos x > 0, ii jokaie potessisarja termi o positiivie, jote expx) > 0. Käsitellää tapaus x < 0. Sarjasta saadaa 0 exp0)! + 0! + 02 0 +... + +.... 2!! Nyt additiivisuude ojalla jote expx) exp x) 0 exp0) expx) exp x), o positiivie, ku x < 0. Lause 3.8. Fuktio expx) o aidosti kasvava. Todistus. O osoitettu, että fuktio exp x 0 derivaatta o! exp x x)! expx). 0 Koska Lemma 3.7 mukaa expx) exp x) > 0, o fuktio expx) x 0! aidosti kasvava. 4. Kääteisfuktio Fuktiolla expx) x 0 o kääteisfuktio, jos se o bijektio. Osoitetaa,! että expx) o bijektio. Lause 3.9. Ekspoettifuktio expx) : R R +, expx) x 0 o bijektio.! Todistus. Näytetää, että exp x o ijektio ja surjektio. Fuktio o osoitettu aidosti kasvavaksi Lauseessa 3.8, jote se o ijektio. Riittää siis osoittaa, että expx) o surjektio. Nyt lim x expx), ku x, sillä expx) 0 x! + x! + x2 x +... + +... + x, 2!! ku x > 0. Lisäksi lim x expx) 0, sillä Lemma 3.7 todistuksessa huomattii, että expx). Ku x < 0, ii expx) 0, ku x. Lausee exp x) exp x) 2. todistukse päättelyllä saadaa, että jatkuvaa fuktioa expx) saa Bolzao lausee Lemma 2.0) ojalla kaikki positiiviset arvot. Näi olle fuktio o myös surjektio. Tällöi siis ekspoettifuktiolla expx) o kääteisfuktio.

LUKU 4 Määrittely differetiaaliyhtälöitä käyttäe Tässä luvussa ekspoettifuktio expx) määritellää differetiaaliyhtälö avulla. Ee määritelmä käyttöä o oleellista äyttää, että määritellyllä differetiaaliyhtälöllä o olemassa yksikäsitteie ratkaisu. Määritellää ekspoettifuktio seuraavasti. Määritelmä 4.. Ekspoettifuktio expx) o yksikäsitteie differetiaaliyhtälö ratkaisu, ku x R. f x) fx), f0), O siis määritelty ekspoettifuktio expx) aioaksi fuktioksi, joka toteuttaa ehdot E) f x) fx) kaikille x R, ja E2) f0). Ee kui voidaa käyttää edellä olevaa määritelmää täytyy varmistaa, että ehdot E) ja E2) täyttävä fuktio o olemassa ja yksikäsitteie. Tähä tarvitaa differetiaaliyhtälö globaalia olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslausetta Lemmaa 4.2. Lemma 4.2. Olkoo A R väli, f : A R R jatkuva sekä olkoo f olemassa y joukossa A R. Lisäksi oletetaa, että f o rajoitettu jokaisessa joukossa [a, b] R, y missä [a, b] o väli A osaväli. Silloi jokaiselle x 0, y 0 ) A R alkuarvotehtävällä y fx, y), yx 0 ) y 0, o yksi ja vai yksi koko välillä A määritelty ratkaisu y : A R. Todistus. Todistus sivuutetaa. Katso [5], s. 83-85. Määritelmä 4. differetiaaliyhtälö o muotoa { y x) gx, yx)) y0), ku x R. Tarkastellaa tilaetta välillä A R. Määritelmä mukaa gx, y) y. Nyt gx, y) o derivoituvaa jatkuva. Fuktio g osittaisderivaataksi muuttuja y suhtee välillä A saadaa g y. Fuktio g osittaisderivaatta o siis kaikkialla rajoitettu ja äi olle Lemma 4.2 mukaa differetiaaliyhtälöllä o yksikäsitteie ratkaisu y : A R. Tällöi siis alkuarvotehtävällä f x) fx), f0) o yksikäsitteie ratkaisu ja Määritelmää 4. voidaa käyttää. 24

3. MONOTONISUUS 25. Derivaatta ja jatkuvuus Koska expx) o yhtälö f x) fx) ratkaisu, se täytyy olla derivoituva, eli sillä o olemassa derivaatta määrittelyjoukossaa. Edellee jokaie derivoituva fuktio o jatkuva. Omiaisuudet siis seuraavat suoraa määritelmästä. 2. Additiivisuus Osoitetaa ekspoettifuktio exp additiivisuusomiaisuus. Lause 4.3. Kaikille a, b R pätee expa + b) expa) expb). Todistus. Merkitää väitettä seuraavasti fa + b) fa)fb). Nyt siis fuktio f toteuttaa ehdot f f ja f0). Todistusta varte määritellää fuktio g seuraavasti fx + b) gx) fx)fb). Fuktio g o hyvi määritelty eli fx) 0 ja fb) 0. Näi o, sillä fuktiot, jotka toteuttavat ehdo f f, eivät voi differetiaaliyhtälö yksikäsitteisyyde ojalla leikata toisiaa. Ehdo f f toteuttavia fuktioita ovat fx) 0 ja fx) expx). Lisäksi tiedetää, että f0), jote määritelmässä oleva fuktio ei voi olla fx) 0. Fuktio fx) expx) ei voi siis leikata fuktiota fx) 0. Ehdosta f0) siis saadaa, että fuktio fx) expx) o aia fuktio fx) 0 yläpuolella. Derivoidaa fuktio g. Määritelmä ehdo f f ojalla saadaa g x) f x + b)fx)fb) f x)fb)fx + b) fx)fb)) 2 fx + b)fx)fb) fx + b)fx)fb) fx)fb)) 2 0. Fuktio g o siis vakio. Määritetää tämä vakio laskemalla g0). g0) f0 + b) f0)fb), sillä määritelmä ojalla f0). O siis saatu, että gx) kaikilla x R. Tällöi fx + b) fx)fb). fx + b) fx)fb) 3. Mootoisuus Osoitetaa, että exp o aidosti kasvava. Näytetää esi Lemmassa 4.4, että expx) > 0 kaikilla x R. Lemma 4.4. Kaikilla x R pätee expx) > 0. Todistus. Väite o todistettu Lausee 4.3 yhteydessä, sillä pääteltii, että fuktio expx) o aia fuktio fx) 0 yläpuolella.

Lause 4.5. Fuktio exp o aidosti kasvava. 4. KÄÄNTEISFUNKTIO 26 Todistus. Määritelmä 4. ja Lemma 4.4 ojalla saadaa, expx)) expx) > 0, eli derivaattafuktio o aia positiivie, jote siis exp o aidosti mootoie, erityisesti aidosti kasvava. 4. Kääteisfuktio Osoitetaa, että määritelty fuktio fx) expx) o bijektio, jolloi sillä o myös kääteisfuktio. Lemma 4.6. Fuktio expx) o bijektio. Todistus. Lauseessa 4.5 o osoitettu fuktio expx) aito kasvavuus, jote se o ijektio. Riittää siis osoittaa, että fuktio expx) o surjektio. Määritelmä ja Lemma 4.4 ojalla pätee f x) f x) fx) > 0, jote f o kasvava fuktio. Edellee derivaata f kasvavuus ja Määritelmä 4. ataa f x) f 0) f0), kaikilla x 0. Nyt Aalyysi peruslausee [], s. 88) avulla saadaa fx) f0) + x 0 f t)dt f0) + x + x kaikilla x 0. Näi olle siis lim x fx). Additiivisuude ja määritelmä f0) ) ojalla saadaa fx), jolloi siis lim f x) x fx) 0. Lausee 2. päättelyllä jatkuvaa fuktioa fx) expx) saa Bolzao lausee Lemma 2.0) ojalla kaikki positiiviset arvot. O äytetty, että määritellyllä fuktiolla fx) expx) o olemassa kääteisfuktio gx). Tarkastellaa fuktiota g. Kääteisfuktio derivoimissääö perusteella saadaa g x) exp gx)) expgx)) x, sillä määritelmä mukaa expx) exp x). Tällöi Aalyysi peruslause saoo, että itegroimalla voidaa löytää fuktio gx). Nyt siis x gx) gx 0 ) + g t)dt gx 0 ) + x o x o t dt. Koska määritelmä ojalla tiedetää f0), ii kääteisfuktio omiaisuuksie ojalla saadaa g) 0, koska fuktio g oli fuktio f kääteisfuktio. Valitaa yt x 0. Tällöi fuktio expx) kääteisfuktioksi saadaa gx) x g t)dt x t dt. x

LUKU 5 Määrittely raja-arvoa käyttäe Määritelmä 5.. Olkoo x R. Tällöi ekspoettifuktio o raja-arvo expx) lim + x ). Jotta määritelmää voidaa käyttää, tulee osoittaa, että fuktiojoo f x) + x ) suppeee tasaisesti joukossa R, jolloi o olemassa rajafuktio fx) expx). Fuktiojoo rajafuktiolle voidaa osoittaa halutut omiaisuudet: jatkuvuus, derivoituvuus, additiivisuus, mootoisuus, ja että sillä o kääteisfuktio. Tämä määritelmä kohdalla omiaisuudet osoitetaa kahdessa osassa, ku x 0, ja ku x < 0. Kuvassa 5. o esitetty fuktiojoo suppeemista. Kuvasta ähdää, että fuktiojoo o mootoie, ku x 0. Tällöi voidaa käyttää tasaise suppeemise päättelyy Dii lausetta, joka jälkee halutut omiaisuudet pystytää osoittamaa. Ku x < 0, fuktiojoo ei ole eää mootoie, jolloi omiaisuuksie osoittamista varte määritellää fuktio F : R ]0, [, { fx) jos x 0 F x) jos x < 0. f x) Tämä avulla ekspoettifuktiolle saadaa halutut omiaisuudet myös, ku x < 0. Kuva 5.. Fuktiojoo f + x ) suppeemie. 27

. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x 0 28. Määrittely raja-arvoa käyttäe, ku x 0 Tässä alaluvussa osoitetaa ekspoettifuktio jatkuvuus, derivaatta ja additiivisuus, ku x 0. Mootoisuus ja kääteisfuktio olemassaolo osoitetaa alaluvussa 5.2. Määritellää fuktiojoo f : [0, [ [0, [, f x) + ) x. Huomaa, että oletuksea o x 0. Nyt halutaa osoittaa, että f suppeee tasaisesti kohti fuktiota fx) expx). Tähä käytetää Dii lausetta 5.2. Lemma 5.2. Dii lause. Olkoo f mootoie joo jatkuvia fuktioita suljetulla välillä [a, b]. Jos f suppeee kohti fuktiota f pisteittäi, ja jos rajafuktio o myös jatkuva, ii f suppeee tasaisesti kohti fuktiota f välillä [a, b]. Todistus. Todistus sivuutetaa. Katso [8], s. 43-44. Dii lauseessa 5.2 o huomattava se tarkat oletukset. Fuktiojoo tulee olla mootoie. Fuktiojoo f lim + x ) kohdalla mootoisuus pätee: jos valitaa < m, ii pätee + x ) < + x m )m. Näi o, koska polyomissa + x m )m o suuremmat termit ja siiä o eemmä termejä kui polyomissa + x ). Tämä ähdää biomikaavasta + x k ) k k l0 ) k x k l l k ) l k l0 ) k x l l k l + x + ) k x 2 + 3 + 2 k 2! 3! k l ) l! k k l0 k 2 ) ) x l. x 3 +... + xk xk + kk k k Lisäksi kaikki termit ovat positiivisia, sillä x 0. O siis f x) < f m x). Dii lause vaatii myös, että fuktioide f tulee olla jatkuvia suljetulla välillä [a, b]. Potessifuktioia e ovat jatkuvia koko reaaliakselilla. Lisäksi vaaditaa vielä, että f suppeee kohti fuktiota f pisteittäi, ja rajafuktio tulee olla jatkuva. Osoitetaa ämä Lemmoissa 5.3 ja 5.5. Pisteittäisessä suppeemisessa fuktiojoo suppeee jossaki valitussa pisteessä x 0 R, toisi saoe se o lokaali omiaisuus. Tasaie suppeemie o globaalimpi ilmiö, ja siksi myös vahvempi kui pisteittäie suppeemie. Tasaisesta suppeemisesta tietyllä välillä seuraa fuktiojoo pisteittäie suppeemie samalla välillä, mutta pisteittäie suppeemie ei takaa suoraa tasaista suppeemista. Jotta voidaa käyttää Dii lausetta riittää osoittaa, että joo f + x ) suppeee pisteittäi. Tehdää tämä seuraavaksi. Lemma 5.3. Joo f x) + x ) suppeee pisteittäi kohti rajafuktiota f : [0, [ [0, [.

. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x 0 29 Todistus. Valitaa piste x 0 R site, että x 0 0. Biomikaava avulla saadaa f x 0 ) + x ) ) 0 k x0 ) k k Tehdää arvio k0 + x 0 + ) x 2 0 +... + x 0 2! + x 0. f x 0 ) + x 0 + x 0 2 +... + x 0 2! )! + x 0! k0 x 0 k k!. Sarjalle x k 0 k0 o osoitettu luvussa 3 potessisarjamäärittely yhteydessä se k! suppeemie. Saatu summa o siis ylhäältä rajoitettu rajaa x k 0 k0 k!. Nyt Lemma.4 mukaa f suppeee kohti fuktiota fx), ku x 0 0. O siis osoitettu, että f suppeee pisteittäi kohti fuktiota f jollaki arvolla x 0 0. Dii lausee 5.2 oletuksista o äytetty muut paitsi rajafuktio jatkuvuus. Tehdää se seuraavaksi, jotta voidaa todeta fuktiojoo f tasaie suppeemie kohti rajafuktiota f. Jatkuvuude osoittamisee tarvitaa Lemmaa 5.4. Lemma 5.4. Väliarvolause. Olkoo f : [a, b] R jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä ]a, b[. Tällöi o olemassa c ]a, b[ site, että fb) fa) f c)b a). Todistus. Todistus sivuutetaa. Katso [7], s. 60-62. Lemma 5.5. Olkoo f : [0, [ [0, [. Tällöi fx) lim + x ) o jatkuva. Todistus. Nyt fuktiot f ovat polyomifuktioia jatkuvia ja derivoituvia, jote voidaa käyttää Väliarvolausetta. Tutkitaa erotusta fb) fa) tiedolla, että f suppeee kohti fuktiota f ja käytetää Väliarvolausetta 5.4. Olkoo a, b R +. Väliarvolausee avulla voidaa löytää c ]a, b[ site, että fb) fa) lim f b) lim f a) lim f b) f a)) lim f c )b a) lim f c ) b a lim + c ) b a lim + c ) b a + c lim + c ) b a k0 M k k! ) b a : L b a,

. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x 0 30 kaikilla a, b [0, M]. Nyt L M k k0 0 o vakio, joka ei riipu luvusta, sillä o osoitettu, että k! kyseie sarja suppeee. O siis osoitettu, että Tällöi fuktio fx) o jatkuva. fb) fa) L b a, ku a, b [0, M]. Näi olle o osoitettu, että kaikki Lemma 5.2 oletukset toteutuvat, jote fuktiojoo f + x ) suppeee tasaisesti kohti fuktiota f jollaki välillä [a, b], ku a, b R +. Sama päättely voidaa kuiteki tehdä kaikilla väleillä joukossa R +, jote tulos voidaa yleistää koko joukkoo R +. Voidaa yt määritellä f : [0, [ [0, [, fx) expx). 5... Jatkuvuus. Fuktiojoo f + x ) rajafuktio expx) o osoitettu jatkuvaksi Lemmassa 5.5. 5..2. Derivaatta. Tässä alaluvussa äytetää, että fuktiojoo f + x ) rajafuktio fx) expx) o derivoituva välillä [0, [ ja että fx) f x) kaikilla x 0. Tähä tarvitaa Lemmaa 5.6. Lemma 5.6. Olkoot f :]a, b[ R jatkuvasti derivoituvia fuktioita. Jos f f tasaisesti välillä ]a, b[, ja jos derivaattoje f joo suppeee myös tasaisesti välillä ]a, b[ kohti fuktiota g, ii f o derivoituva ja f g. Todistus. Todistus sivuutetaa. Katso [2], s. 266-268. Osoitetaa yt rajafuktio f derivoituvuus. Lause 5.7. Fuktio fx) expx) o derivoituva välillä [0, [, ja f x) fx) kaikilla x 0. Todistus. Fuktiojoo f fuktiot ovat polyomifuktioia derivoituvia joukossa R, jote voidaa derivoida joo f. Saadaa f x) + x ) + x ) f x) + x + x f x). Olkoo h x) : toisi saoe h x) kaikilla r > 0. Nyt. Osoitetaa, että +x h x) + x +x sup h x) hx) sup x [0,r], ku, suppeee tasaisesti kohti vakiofuktiota välillä [0, r] x [0,r] + x x sup x [0,r] + x r r 0, ku. Fuktiojoo h x) suppeee siis tasaisesti kohti vakiofuktiota välillä +x [0, r]. Tämä pätee kaikilla väleillä [0, r], ku r > 0.

. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x 0 3 Aiemmi o osoitettu, että fuktiojoo f suppeee lokaalisti tasaisesti kohti fuktiota f, ku. Saadaa siis, että derivaattajoo f x) suppeee tasaisesti kohti jotaki fuktiota g, sillä kahde lokaalisti tasaisesti suppeeva joo tulo suppeee tasaisesti. Pätee siis f x) + x f x) gx). Nyt edellä o äytetty, että Lemma 5.6 oletukset ovat voimassa, jote rajafuktio fx) expx) o derivoituva välillä [0, [ ja se derivaatta o f x) gx), ku x > 0. Jos katsotaa derivaata lauseketta tarkemmi huomataa, että f x) + x f x) fx) fx) gx). Rajafuktio fx) expx) derivaatalle siis pätee f x) fx) expx), ku x > 0. 5..3. Additiivisuus. Additiivisuude osoituksessa käytetää kaavaa a b a b)a + a 2 b +... + ab 2 + b ) a b) a k b k. k0 Lause 5.8. Kaikille x, y 0 pätee expx + y) expx) expy). Todistus. Kirjoitetaa väite muodossa expx + y) expx) expy) 0. Tutkitaa väittee erotusta fuktiojooje avulla. f x + y) f x)f y) + x + y ) [ + x ) + y ] ) + x + y ) + x + y + xy ) 2 [ + x + y + x + y + xy 2 + + x + y ) 3 + x + y + xy 2 + + x + y ) + x + y + xy 2 ) ][ + x + y ) + + x + y ) 2 +... + + x + y ) 2 + + x + y + xy 2 ) 2 + x + y ) ] ) 2 + x + y + xy ) 3 2 + xy ) 2

2. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x < 0 32 xy 2 x y 2 k0 k0 x y 2 x y + x + y + x + y x + y + + x x y k0 ) k + x + y + xy ) k 2 ) k x + y + + x y ) + y ) x k k! k0 y k k! 2 ) ) ) 0, + x y ) k 2 ku. Tällöi siis f x + y) f x)f y) 0 ja ku edellee, ii tasaise suppeemise ojalla f f, jote fx + y) fx)fy) eli expx + y) expx) expy). 2. Määrittely raja-arvoa käyttäe, ku x < 0 Fuktiojoo f + x ) ei ole mootoie, ku x < 0. Dii lausetta Lemma 5.2) ei voida siis käyttää tasaiselle suppeemiselle koko alueesee R. Aiemmi määriteltii, että expx) lim + x ), ku x 0. Määritelmä 5. voidaa kuiteki osoittaa toimivaksi myös, ku x < 0. Määritellää tätä varte fuktio F seuraavasti. Määritelmä 5.9. Olkoo F : R ]0, [, { fx), jos x 0 F x), jos x < 0, f x) missä fx) lim + x ). Lemmassa 5.4 tullaa osoittamaa, että fx) expx) > 0 kaikilla x R. Näi olle Määritelmä 5.9 fuktio o hyvi määritelty. Määritelmässä 5. määriteltii expx) lim + x ). Määritelmä 5.9 fuktio o siis toteutettava ehto F x) lim + x ), ku x < 0, jotta Määritelmät 5. ja 5.9 olisivat yhtäpitäviä. Osoitetaa tämä seuraavaksi. Olkoo x < 0, jolloi x > 0 ja Tällöi + x ) lim + x + x ) lim f x) f x). ) [ + x ) x ) ] ) x2 kaikilla N. Lisäksi Beroulli epäyhtälö + x) a + ax ojalla ) x2 x2 2 x2 2, 2

2. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x < 0 33 ku. Näi olle suppiloperiaattee ojalla lim + x ) + x ). Edellee lim + x ) f x) F x). Näi o siis osoitettu, että Määritelmä 5.9 fuktio F x) täyttää Määritelmä 5. ehdo. 5.2.. Jatkuvuus. Osoitetaa Määritelmä 5.9 fuktio jatkuvaksi. Lause 5.0. Fuktio o jatkuva. { fx), jos x 0 F x), jos x < 0 f x) Todistus. Fuktio F x) o osoitettu jatkuvaksi Lemmassa 5.5 välillä ]0, [. Välillä ], 0[ fuktio o F x). Tällöi F x) o yhdistetty fuktio välillä f x) ], 0[ jatkuvista fuktioista ja f x) eli myös F x) o jatkuva välillä ], 0[. x Tutkitaa vielä fuktio F x) jatkuvuutta, ku x 0. lim F x) lim fx) f0) lim + 0 x 0+ x 0+ ) lim F x) lim x 0 x 0 f x) f0). Näi olle siis F x) o jatkuva myös pisteessä x 0. 5.2.2. Additiivisuus. Lause 5.. Kaikille x < 0 tai y < 0 pätee F x + y) F x)f y). Todistus. Huomaa, että Lemmassa 5.8 o osoitettu additiivisuus, ku x, y 0. Jos x, y < 0, ii F x)f y) f x) f y) F x + y). f x + y)) 2 Jos x < 0 ja y 0 site, että y + x 0, ii F x)f y) f x) fy) fy + x) x) fy + x)f x) F x + y). f x) f x) 3 Jos x < 0 ja y 0 site, että y + x < 0, ii F x)f y) f x) fy) f x + y) + y) fy) fy) F x + y). f x + y))fy)

2. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x < 0 34 5.2.3. Derivoituvuus. Osoitetaa, että Määritelmä 5.9 fuktio o derivoituva. Tehdää tämä osoittamalla, että fuktio o derivoituva, ku x > 0 ja x < 0. Tapauksee x 0 tarvitaa seuraavaa lemmaa. Lemma 5.2. Olkoo f : R R derivoituva, ku x 0 site, että f o jatkuva ollassa ja o olemassa raja-arvo L lim x 0 f x). Tällöi f o derivoituva ollassa ja f 0) L. Todistus. Väite voidaa todistaa Väliarvolausee Lemma 5.4 avulla. Nyt voidaa osoittaa Määritelmä 5.9 fuktio derivoituvuus. Huomaa, että luvussa 5..2. o jo osoitettu fuktio fx) lim + x ) derivoituvuus, ku x > 0. Lause 5.3. Fuktio o derivoituva ja F x) F x). { fx), jos x 0 F x), jos x < 0 f x) Todistus. Ku x > 0, ii fuktio F x) derivoituvuus ja F x) F x) o osoitettu luvussa 5..2. Ku x < 0, fuktio F x) f x) o yhdistetty fuktio fuktioista gx) ja f x). Ku x < 0, ii luvussa 5..2. x o osoitettu fuktio f x) derivoituvaksi ja, että f x) fx). Lisäksi fuktio gx) o derivoituva, ku x > 0, sillä erotusosamäärä raja-arvoksi saadaa lim h 0 x+h x h lim h 0 x 2 + xh x. 2 Nyt siis fuktio g o derivoituva arvolla f x) > 0. Tällöi F x) o derivoituva ja yhdistety fuktio derivoimissääö ojalla saadaa F x 0 ) g f) x 0 ) f x 0 ) f x 2 0 ) ) f x 0 ) f x 0) 2 f x 0 ) F x 0). O osoitettu, että fuktio F o derivoituva, ku x > 0 ja x < 0 ja tällöi F x) F x). Lisäksi Lauseessa 5.0 o osoitettu, että fuktio F o jatkuva kaikilla x R. Tällöi Lemma 5.2 ojalla fuktio F x) o derivoituva ollassa ja F 0) F 0). Fuktio F x) o siis osoitettu derivoituvaksi kaikilla x R ja F x) F x). 5.2.4. Mootoisuus. Tässä alaluvussasa osoitetaa, että fuktio exp o aidosti kasvava kaikilla x R. Ku 0 x y, fuktiojoo f o kasvava jokaiselle N, sillä + x ) + y )

2. MÄÄRITTELY RAJA-ARVOA KÄYTTÄEN, KUN x < 0 35 eli f x) f y). Tästä seuraa, että fx) fy), ku 0 x y. Huomaa kuiteki, että tällä päättelyllä ei saada aitoa kasvavuutta. Fuktiolle exp voidaa kuiteki osoittaa aito kasvavuus derivaata avulla. Tähä tarvitaa seuraavaa Lemmaa 5.4. Lemma 5.4. expx) lim + x ) > 0 kaikilla x R. Todistus. Jos x 0, ii + x ). Tällöi siis lim + x ). Jos taas x < 0, ii olkoo x y, ku y > 0. Nyt fuktio f additiivisuude ja tiedo exp0) lim + 0 ) ojalla saadaa sillä expy) > 0. Väite o siis todistettu. exp y) expy) > 0, Lause 5.5. expx) lim + x ) o aidosti kasvava kaikilla x R. Todistus. O saatu, että expx) exp x) > 0 kaikilla x R, jote derivaata ollessa aidosti positiivie, fuktio exp o aidosti kasvava. 5.2.5. Kääteisfuktio. Osoitetaa, että fuktio expx) lim + x ) o bijektio, jolloi seuraa suoraa, että sillä o olemassa kääteisfuktio. Lause 5.6. expx) lim + x ) o bijektio. Todistus. Lauseessa 5.5 o osoitettu, että expx) o aidosti kasvava, ku x R. Näi olle se o myös ijektio. Riittää siis osoittaa, että expx) o surjektio. Nyt expx) lim + x ) + x, ku x. Additiivisuude ojalla jo Lemma 5.4 todistuksessa saatii tulos, ku y > 0, ii exp y) expy). Nyt, jos y, saadaa lim exp y) lim y y expy) 0. Lausee 2. päättelyllä saadaa, että Bolzao lausee 2.0 ojalla jatkuvaa fuktioa expx) saa kaikki arvot positiiviset arvot ja o äi olle surjektio. Fuktio expx) o siis ijektio ja surjektio, jote se o myös bijektio.

LUKU 6 Määrittely kääteisfuktio avulla Ekspoettifuktio voidaa määritellä myös fuktio log x kääteisfuktioa. Määritellää fuktio log x seuraavasti: Määritelmä 6.. Olkoo f :]0, [ R, fx) log x x t dt. Jotta expx) voidaa määritellä fuktio logx) kääteisfuktioa, täytyy varmistua, että fuktiolla logx) o kääteisfuktio. Tehdää tämä mukaille Spivaki teosta Calculus [6], s. 35-37). Osoitetaa, että fuktio logx) o bijektio. Tähä tarvitaa Lemma 6.2 tuloksia. Lemma 6.2. Jos x, y > 0, ii 6.) logxy) log x + log y. Olkoo N ja x > 0. Tällöi 6.2) logx ) log x. Jos x, y > 0, ii 6.3) log ) x log x log y. y Todistus. 6.): Aalyysi peruslauseesta saadaa log x. Olkoo fx) x logxy). Tällöi f x) log xy) y xy y x. Siis f log x. Näi olle o oltava luku c site, että kaikille x > 0 pätee fx) logx) + c toisi saoe logxy) logx) + c. Määritetää luku c asettamalla x. Tällöi määritelmästä saadaa log) 0 ja log y) log + c c. Tällöi siis kaikille x, y > 0 pätee logxy) log x + log y. 36

6. MÄÄRITTELY KÄÄNTEISFUNKTION AVULLA 37 6.2): Todistetaa väite iduktiolla. Jos, ii logx ) log x. Olkoo k, jolloi iduktio-oletus o, että logx k ) k log x. Nyt jos k +, ii yhtälö 6.) ja iduktio-oletukse avulla saadaa logx k+ ) logx k x) logx k ) log x k log x log x k + ) log x. 6.3): Yhtälö 6.) ja tiedo log 0 avulla saadaa josta edellee saadaa log y Lemma 6.3. Fuktio o bijektio. 0 log logy y ) log y + log y, log y. Uudellee yhtälöä 6.) käyttämällä saadaa log x y ) logx y ) logx) + log ) logx) logy). y log x Todistus. Fuktio o aidosti kasvava, sillä aalyysi peruslausee ojalla log x ja > 0 kaikilla x > 0. Näi olle fuktio log x o myös ijektio. Yhtälöide 6.2 x x ja 6.3 avulla voidaa osoittaa, että fuktio ei ole ylhäältä tai alhaalta rajoitettu. Näytetää tämä. Olkoo N. Koska log 2 > 0, ii x t dt log2 ) log 2 o ylhäältä rajoittamato kaikille N. Saadaa myös, että ) log log log 2 log 2, 2 jote log x ei ole rajoitettu alhaalta välillä ]0, [. Koska log x o Aalyysi peruslausee ojalla derivoituva ja äi olle jatkuva, se saa Bolzao lausee Lemma 2.0) ojalla kaikki reaaliakseli arvot. Fuktio logx) o siis surjektio. Näi olle se o bijektio ja voidaa määritellä kääteisfuktio log x, joka o määritelty kaikilla x R. Määritellää ekspoettifuktio exp fuktio log x kääteisfuktioa. Määritelmä 6.4. Olkoo exp : R ]0, [, expx) log x).