ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V
Luentoviikko 2 Tavoitteet Sähkövaraus ja sähkökenttä Sähködipoli Gaussin laki Varaus ja sähkövuo Sähkövuon laskeminen Gaussin laki Gaussin lain sovelluksia Varatut johdekappaleet Sähköpotentiaali Sähköinen potentiaalienergia E q d A r 2 (31)
Luentoviikko 2 Tavoitteet Tavoitteena on oppia laskemaan sähködipoleiden ominaisuuksia miten määritetään pinnan sisällä olevan sähkövarauksen määrä tutkimalla sähkökenttää pinnalla mitä sähkövuo tarkoittaa ja miten vuo lasketaan miten Gaussin laki yhdistää suljetun pinnan läpi tulevan sähkövuon ja pinnan sisään jäävän varausmäärän miten Gaussin lakia käytetään symmetrisen varausjakautuman sähkökentän laskemiseen missä varatun johteen sähkövaraus majailee miten lasketaan varausjoukon sähköinen potentiaalienergia 3 (31)
Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF 21(7)) Sähködipoli Sähködipoli Sähködipolissa on kaksi yhtäsuurta mutta vastakkaismerkkistä pistevarausta (q ja q) etäisyydellä d toisistaan Tulo qd = p on dipolimomentti; dipolimomenttivektori p osoittaa [määritelmän mukaan] negatiivisesta varauksesta positiiviseen päin Dipoleilla voi mallintaa aineiden sähköistä vastetta Esim. vedellä on pysyvä dipolimomentti (p H2 O 6.13 10 30 Cm) = hyvä liuotin = vesiliuosten kemia mahdollinen (elämä) Jos dipoli asetetaan tasaiseen ulkoiseen sähkökenttään E, sähködipoliin kohdistuu voima F = F F = 0 (ei nettovoimaa) F = q E E E E q d q p = q d F = q E 4 (31)
Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF 21(7)) Sähködipoli Sähködipoliin kohdistuva vääntömomentti Voimapari F± ei vaikuta samaa suoraa pitkin, joten dipoliin kohdistuu vääntömomentti Kummankin voiman varsi on (d/2) sinφ, jos φ on sähkökenttävektorin ja dipolimomenttivektorin välinen kulma (φ = 0 = vektorit samansuuntaiset Kummankin voiman vääntömomentti dipolin keskikohdan suhteen on τ ± = r F± = (± d/2) (±q E) = 1 2 p E, joten kokonaisvääntömomentti τ = τ τ on τ = p E = τ = pesinφ Momentti pyrkii aina kääntämään dipolin sähkökentän suuntaiseksi 5 (31)
Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF 21(7)) Sähködipoli Sähködipolin potentiaalienergia Sähkökenttä tekee työn dw, kun dipoli kääntyy kulman dφ: dw = τdφ = pesinφdφ (miinusmerkki: kenttä kääntää dipolia pienenevän kulman φ suuntaan) Kokonaistyö φ2 ( ) W = pesinφ dφ = pecosφ2 pecosφ 1 φ 1 Työ on potentiaalienergian negatiivinen muutos: W = U 1 U 2 ; valitaan sähködipolin potentiaalienergiaksi U(φ) = pecosφ ja tunnistetaan lausekkeessa pistetulo = U = p E Esim. ruohonsiemenet ulkoisessa sähkökentässä polarisoituvat (saavat dipolimomentin) ja asettuvat pitkin kenttäviivoja (minimipotentiaalienergian asentoon) 6 (31)
Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF 21(7)) Sähködipoli Sähködipolin kenttä y-akselilla pisteessä P y d/2 y P y d/2 p x Sähkökenttä P:ssä on E = Ex î E y ĵ E z ˆk, nyt Ex = E z = 0 (miksi?): E y = q [ ] 1 4πɛ 0 (y d/2) 2 1 (y d/2) 2 [( q = 4πɛ 0 y 2 1 d ) 2 ( 1 d ) 2 ] 2y 2y 7 (31)
Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF 21(7)) Sähködipoli Sähködipolin kenttä y-akselilla pisteessä P (jatkoa) Jos y d, voidaan approksimoida = (1 x) n n(n 1)x2 = 1 nx 2 ( 1 d ) 2 1 d 2y y q = E y 4πɛ 0 y 2 ja ( 1 d 2y... ) 2 1 d y [( 1 d ) ( 1 d )] = 2p y y 4πɛ 0 y 3 Siis E y 1/y 3, ja yleisesti etäisyydellä r kaukana dipolista E 1/r 3 Vertaa: pistevarauksen E 1/r 2 8 (31)
Gaussin laki (YF 22) Varaus ja sähkövuo Sähkövarauksen määrittämisestä Aiemmin laskettiin sähkökenttä tunnetusta varausjakaumasta, esim. pistevarauksen q sähkökenttä E = 1 4πɛ 0 q r 2 ˆr Entä toisin päin: Miten otetaan selville varaus, jos sähkökenttä tunnetaan? (Ja voisiko taidosta olla hyötyä?) Ajatellaan, että tuntematon varaus on kuvitteellisessa suljetussa laatikossa Mitataan testivarausta q 0 käyttäen sähköistä voimaa eli sähkökenttää (vektoreita!) laatikon ympäristössä sen ulkopuolella Jos havaitaan, että 3D-kenttäkuva muistuttaa positiivisen pistevarauksen kenttää, laatikossa varmaankin on postiivista varausta Jos mittaamme kenttää pelkästään laatikon pinnalla, huomaamme kenttien suunnista nopeasti, onko laatikossa positiivista vai negatiivista varausta (varsinkin jos kenttä aina osoittaa vain ulos- tai sisäänpäin) 9 (31)
Gaussin laki (YF 22) Varaus ja sähkövuo Sähkövuo ja pinnan sisään suljettu varaus Ympäröidään tuntematon varaus kuvitteellisella pinnalla kokonaan Kuvitteellinen pinta ei vaikuta kenttään Jos kenttävektorit osoittavat pinnalla poispäin, sanomme, että sähkövuo pinnan läpi on positiivinen (kuin neste virtaisi tilavuudesta pois); jos kenttävektorit osoittavat pinnalla sisäänpäin, sähkövuo on negatiivinen (sisäänvirtaus) Jos tilavuudessa ei ole nettovarausta, sähkövuo on nolla Jos lähteet ovat pinnan ulkopuolella, sähkövuo pinnan läpi on nolla Sähkövuo on verrannollinen pinnan sisällä olevaan nettovaraukseen pinnan koko ei vaikuta (kunhan varausmäärä pysyy samana) q Ω E 10 (31)
Nettosähkövuo Useamman varauksen yhteiskenttä tai -vuo lasketaan superpositiolla (huom.: tässä nuolien määrä on tärkeä; suunnat ja pituudet ovat viitteelliset) q q q Kentän vuo ulospäin q q q q q = q q Kentän vuo sisäänpäin
Gaussin laki (YF 22) Sähkövuon laskeminen Nestevirtausanalogia Tilavuusvirta (engl. volume flow rate) pinnan A läpi A v Tilavuusvirta dv dt = va A φ A pinta-alavektori A = A ˆn ˆn v Tilavuusvirta dv dt = vacosφ = v A }{{} =A 12 (31)
Gaussin laki (YF 22) Sähkövuon laskeminen Sähkökentän vuo pinnan läpi Rinnastetaan sähkökentän vuo ja nestevirtausanalogian tilavuusvirta Tasaisen sähkökentän E vuo suunnatun pinnan (engl. vector area) A = A ˆn läpi on Φ E = E A = E A ˆn, missä ˆn on pinnan normaalivektori ja A on laakean pinnan pinta-ala Vuo on verrannollinen pinnan läpi kulkevien kenttäviivojen määrään Jos sähkökenttä ei ole vakio, kokonaisvuo saadaan integroimalla Vuo pienen pinta-alkion d A = ˆndA läpi on dφ E = E d A, joten sähkökentän vuo Φ E = E d A Sähkökentän vuo jaettuna pinnan alalla on yhtä suuri kuin sähkökentän normaalikomponentin keskiarvo pinnalla 13 (31)
Gaussin laki (YF 22) Sähkövuon laskeminen Esimerkki Laske sähkökentän vuo pistevarausta q = 3.0µC ympäröivällä 0.20 m -säteisellä pallopinnalla. d A Nyt E d A ja E = vakio pinnalla, joten E d A = EdA: q E = 1 q 4πɛ 0 r 2 6.75 N 105 C = Φ E = E d A = EA r = 6.75 10 5 N 4π (0.20m)2 C E (Nm 2 /C = Vm) 3.4 10 5 Nm2 C 14 (31)
Gaussin laki (YF 22) Gaussin laki Pistevaraus pallopinnan sisällä Edellisten päätelmien perusteella muotoiltu Gaussin laki sanoo, että sähkövuo suljetun pinnan läpi on verrannollinen pinnan sisällä olevaan nettovaraukseen täsmennetään verrannollisuus tarkastelemalla kuvitteellista R-säteistä pallopintaa Pistevarauksen q kenttä etäisyydellä R on E = 1 4πɛ 0 Nyt E d A ja E = vakio pallopinnalla, joten kokonaisvuo Φ E = E d 1 q A = EA = 4πɛ 0 R 2 (4πR2 ) = q ɛ 0 Vuo on riippumaton pallon R > 0 säteestä, minkä voi päätellä myös tutkimalla erisäteisten samankeskisten pallopintojen läpi kulkevien kenttäviivojen määrää q R 2 15 (31)
Gaussin laki (YF 22) Gaussin laki Gaussin lain yleinen muoto Edellistä ajatusta voi jatkaa tilanteeseen, jossa varaus ja kuvitteellinen pallo on suljettu kokonaan mielivaltaisen muotoisen pinnan sisälle: vuo on yhä q/ɛ 0 (koska jokaisen pintapalan voi projisioida pallolle) Kuvitteellinen suljettu tarkastelupinta on nimeltään Gaussin pinta Jos Gaussin pinnan A sisällä on useita varauksia, Q encl = q 1 q 2 q 3... ja varausten synnyttämät sähkökentät summataan (encl = engl. enclosed, pinnan sisällä oleva ) Saadaan integraalimuotoinen Gaussin laki Φ E = E d Q encl A = ɛ 0 Sähkökentän kokonaisvuo suljetun pinnan läpi on pinnan sisällä oleva nettovaraus jaettuna ɛ 0 :lla. 16 (31)
Esimerkki Sähkökentän vuo suljettujen pintojen A, B, C ja D läpi Pinta A sisältää varauksen q: Φ E = q ɛ 0 Pinta B sisältää varauksen q: Φ E = q ɛ 0 C A B q q D Pinta C sisältää varaukset q ja q: Φ E = q q ɛ 0 = 0 (Miten tämä suhteutuu dipolin sähkökenttään? Dipolin sähkökenttähän on nollasta poikkeava?) Pinta D ei sisällä varauksia: Φ E = 0/ɛ 0 = 0 (miksi varauspari ei vaikuta?)
Gaussin laki (YF 22) Gaussin lain sovelluksia Varatut johteet Gaussin laki pätee mille tahansa varausjakaumalle ja mille tahansa suljetulle pinnalle Lakia käyttäen voidaan määrittää joko varausjakauma tai sähkökenttä Varatussa johteessa ylimäärävaraus (vapaa varaus) jakaantuu pelkästään kappaleen pinnalle, päättely: Sähköstaattisessa tilanteessa varaukset eivät statiikan määritelmän mukaisesti liiku Fvaraukset = 0 = johteen sisällä ei ole kenttää ( E = 0) Kappaleen sisällä olevalle mille tahansa Gaussin pinnalle (katkoviiva) pätee Φ E = E d Q A = encl = 0, koska E = 0 ɛ 0 Siten Q encl = 0 ja varaus voi olla vain johdekappaleen pinnoilla 18 (31)
Gaussin lain käyttäminen Esimerkki: varatun johdepallon kenttä Gaussin lakia voi käyttää sähkökentän määrittämiseen, jos probleema on niin symmetrinen, että voidaan helposti valita Gaussin pinta, jolla sähkökenttä on vakiosuuruinen ja kohtisuorassa pintaa vastaan niillä pinnan osilla, joilla sähkökentän vuo ei häviä. R r Johdepallolle annettu varaus (q) asettuu pallon pinnalle, ja pallon sisäsähkökenttä on nolla Symmetrian vuoksi varaus on jakautunut tasaisesti ja kenttä on poispäin pallon keskipisteestä (radiaalisuuntainen) sekä vakiosuuruinen r-säteisellä pallopinnalla Jos Gaussin pinta on pallo r > R, Φ E = E (4πr 2 ) = q q = E = ɛ 0 4πɛ 0 r 2 Johteen pinnalla r = R ja E(R) = q/(4πɛ 0 R 2 ) Johteen sisällä r < R ja E = 0 (Q encl = 0)
Gaussin laki (YF 22) Gaussin lain sovelluksia Varatun johdepallon kenttä R Gaussin pintojen osia, r = R,2R,3R E E(R) E(R)/4 E(R)/9 1R 2R 3R r 20 (31)
Peruslähteiden kenttiä Gaussin lain avulla johdettavia lausekkeita Pistevaraus E = 1 4πɛ 0 q r 2 ˆr Ääretön viivavaraus λ E = 1 2πɛ 0 λ r ˆr Ääretön tasovaraus σ E = σ 2ɛ 0 ˆn R-säteinen varauspallo (varauspilvi: tasainen varaustiheys 3q/(4πR 3 ); ei johdepallo [sen sisällä E = 0]) E = 1 4πɛ 0 q r 2 ˆr, r > R E = 1 4πɛ 0 qr R 3 ˆr, r < R Huomaa: Mitta r on etäisyys varauksesta (niin kuin etäisyys pisteestä tai viivasta tai tasosta määritellään). Tasovarauksen kentän voisi kirjoittaa myös E = 1 σ 2ɛ0 r0 ˆr, ˆr = ˆn. Normaalivektori ˆn osoittaa varaustasosta poispäin molemmilla puolilla tasoa.
Gaussin laki (YF 22) Varatut johdekappaleet Ontelo johteessa Nettovarattu johde: johteen sisällä sähkökenttä on nolla ja varaukset ovat johteen pinnalla Nettovaratussa johteessa tyhjä ontelo: Gaussin lain mukaisesti ontelon pinnalla ei ole varausta (Q encl = 0, koska E = 0) - - - - - - - q - - - - - - - Nettovaraukseton johde ja ontelossa varaus q: kokonaisvaraus Gaussin pinnan sisällä on nolla (koska E = 0) = ontelon pinnalla on kokonaisvaraus q ja johteen ulkopinnalla kokonaisvaraus q 22 (31)
Faradayn häkki Johtava laatikko tasaisessa sähkökentässä Kenttä vetää elektroneja vasemmalle = oikealle syntyy positiivinen pintavaraus Tasapainossa varauskertymien välinen sähkökenttä kumoaa ulkoisen kentän täysin häkin sisällä (jotta varauksiin kohdistuva voima on nolla) Koaksiaalikaapeli, elektroniikkalaitteiden kuoret, auton kori E = 0 Huomaa: Kuvassa virhe kenttäviivojen pitäisi osua kohtisuorasti reunoihin Jotta laatikon sisällä mahdollisesti oleva varaus saataisiin piilotetuksi ulkomaailmalta, laatikko pitäisi maadoittaa (miksi?)
Gaussin laki (YF 22) Varatut johdekappaleet Kenttä johteen pinnalla Johteen pinnalla on pintavaraustiheys σ Mikä on johteen pinnalla olevan paikallisen sähkökentän E ja vastaavan paikallisen pintavaraustiheyden σ yhteys? Gaussin pinta = pieni sylinteri ( tonnikalapurkki ), joka on osittain johteen sisällä ja jonka pohja on pinnan suuntainen; pohjan pinta-ala A Johteen pinnalla sähkökenttä on kohtisuorassa pintaa vastaan (tasapainotilanne) Vuo pinnan A läpi: Φ E = E A = E A (Miksi vuo sylinterin kylkien läpi on nolla? Miksi vuo johteen sisällä olevan Gaussin pinnan osan läpi on nolla?) Gaussin pinnan sisällä varaus on Q encl = σa Gaussin laki: E A = σa = E = σ ɛ 0 ɛ 0 = mielivaltaisen johdepinnan paikallinen sähkökenttä 24 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia Mekaniikkaa Jos voima siirtää kappaleen pisteiden välillä a b, voiman tekemä työ on viivaintegraali voimasta ja siirtymästä: W a b = b a F d l Konservatiivisen voiman tekemän työn voi ilmaista potentiaalienergian U avulla: W a b = U a U b = (U b U a ) = U Sähkökenttä kohdistaa voiman varattuun hiukkaseen & hiukkanen liikkuu sähkökentässä = voima tekee työtä hiukkaselle Varauksen sähköinen potentiaalienergia riippuu varauksen paikasta ulkoisessa sähkökentässä vrt. massa gravitaatiokentässä Pisteen sähköpotentiaali on sähköinen potentiaalienergia (testivarauksen) varausyksikköä kohden Jännite on kahden pisteen välinen sähköpotentiaaliero 25 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia Sähköinen potentiaalienergia tasaisessa kentässä Positiivinen varaus q 0 varattujen johdelevyjen välissä Sähkökenttä E on homogeeninen Sähkövoima F = q0 E, voimalla on vain y-komponentti: F = ĵq0 E Sähkökentän varaukselle tekemä työ on (huomaa: d l = ĵ dy) W a b = b a F d l = q0 E(b a) = q 0 Ed y E x a q 0 b d Työ ei riipu polusta = sähkövoima on konservatiivinen = potentiaalienergia U = q 0 Ey ja työ W a b = U = q 0 Ed U pienenee, kun varaus liikkuu voiman F = q0 E suuntaan 26 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia Kahden pistevarauksen sähköinen potentiaalienergia Coulombin lain mukaan pistevarauksen q aiheuttama voima testivaraukseen q 0 q 0 siirtyy a b: 1 qq 0 F = 4πɛ 0 r 2 ˆr F q 0 b r b W a b = F ˆrdr = r a qq 0 4πɛ 0 Väite: Työ ei riipu reitistä r b r a dr r 2 = qq 0 4πɛ 0 [ 1 r a 1 r b ] r a q 27 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia Kaksi pistevarausta: yleinen tapaus Yleisessä tapauksessa W a b = rb r a F cosφdl F φ d l rb 1 qq 0 = r a 4πɛ 0 r 2 cosφdl q cosφdl = dr on siirtymä säteittäissuunnassa = reitistä riippumatta W a b = qq [ 0 1 1 ] = U a U 4πɛ 0 r a r b b voima F on konservatiivinen (m.o.t.) Koska voima on konservatiivinen, järjestelmän mekaaninen kokonaisenergia (kineettisen ja potentiaalienergian summa) säilyy (toistaiseksi kineettinen energia on ollut nolla = hitaat siirrot) 28 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia Kahden pistevarauksen potentiaalienergia Kun testivaraus q 0 on etäisyydellä r varauksesta q, olkoon potentiaalienergia U = 1 4πɛ 0 qq 0 r ( 0, kun r ) U U 0 r 0 r q ja q 0 samanmerkkiset q ja q 0 vastakkaismerkkiset 29 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia Usean pistevarauksen potentiaalienergia Pistevaraukset q 1,q 2,q 3,... etäisyyksillä r 1,r 2,r 3,... varauksesta q 0 = q 0 :n potentiaalienergia U = q ( 0 q1 q 2 q ) 3... = q 0 q i 4πɛ 0 r 1 r 2 r 3 4πɛ 0 i r i Jokaisen staattisen varausjakautuman synnyttämän sähkökentän aiheuttama voima on konservatiivinen Varausten potentiaalienergian voi kirjoittaa myös U = 1 4πɛ 0 i<j q i q j r ij = summaus yli kaikkien varausparien (etäisyydet r ij ) siten, ettei varauksen itseisvuorovaikutusta lasketa (i j) ja kunkin parin vuorovaikutus lasketaan vain kerran (i < j) 30 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(1)) Sähköinen potentiaalienergia Potentiaalienergian tulkitseminen Tähänastinen lähestymistapa: Potentiaalienergiaero on sähkökentän varaukselle tekemä työ, W a b = U a U b Jos U a > U b = W a b > 0 Kenttä tekee positiivista työtä, kun hiukkanen putoaa matalampaan potentiaaliin Toinen lähestymistapa: Tarkastellaan, paljonko työtä ulkoinen voima Fext tekee ( me teemme ) työtä varaukselle, kun ulkoinen voima siirtää varausta sähkökentässä E pisteestä b pisteeseen a Jottei varaus saa kineettistä energiaa, sitä siirretään hitaasti, jolloin (tasapainotilanteen takia) ulkoinen voima on yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen sähkökentän aiheuttaman voiman kanssa Tällöin erotus U a U b on ulkoisen voiman varaukselle tekemä työ (huomaa: voiman suunta ja siirtosuunta ovat aiemmalle vastakkaiset = kaksi miinusmerkkiä = lopputulos samanmerkkinen) Molempia lähestymistapoja käytetään sähköpotentiaalin määrittelemisessä 31 (31)