Paramerise malli Rakeneellise malli paramereillä a priori ulkina & merkiys Black box-malli parameri vain laskennan/soviuksen apuvälineiä Tarkasellaan pääosin lineaarisia diskreeiaikaisia blackbox-malleja 3. harjoiusyössä malli epälineaarinen jakuva-aikainen Tämän päivän eemoja malliluoka paramerien esimoini mallin hyvyys vs. parameriesimaaien harhaisuus ja varianssi syseemin / mallin idenifioiuvuus
Rakeneellise malli Fysikaalisin ai vasaavin perusein rakenneuja malleja osa paramereisa unneu: esim. massa, poikkipina-ala jne... osa esimoiava: kikakeroime,... Merkinä d dx jossa y^( ) on mallin ennuseu ulosulo hekellä ja paramerivekorilla Edellä oleeaan valkoinen miauskohina y()=h(x(),u(),)+e() kohinaa ei voida ennusaa => aseeaan = 0 jos kohinalla on rakennea, se kannaaa huomioida, esim. ARMA-malli Ennusevirhe ε()=y()-y^(,) x( ) = f ( x( ), u( ), ); yˆ( ) = h( x( ), u( ), ) Esimoiniongelma: esi s.e. min V = 2 ( ) ε (, ) =
Black box -malli Yleinen lineaarinen diskreeiaikainen malli on muooa y()=η()+w() w() = häiriöermi η() = häiriöön ulosulo Termi muooa η()=g(q,)u(), w()=h(q,)e() G() ja H() lineaarisia suoimia käyännössä raionaalisia (muooa polynomi/polynomi) ja (asympooisesi) sabiileja G(q,)=B(q,)/F(q,), H(q,)=C(q,)/D(q,) paramerivekori koosuu polynomien B,F,C ja D keroimisa b i,f i,h i,d i ja kohinan e() varianssisa rakenneparameri n b, n c, n d, n f ja n k (kuollu aika)
Erilaisia mallirakeneia Box-Jenkins (BJ): G(q)=B(q)/F(q), H(q)=C(q)/D(q) äydellinen malli syseemin ja kohinan malli riippumaomia oisisaan Oupu error (OE): H(q)= eli n c =n d =0 kohina valkoisa w()=e(), eli ei eriyisä rakennea käyännössä w() on poikkeama odellisen ja miaun ulosulon välillä ARMAX: A(q)y()=B(q)u()+C(q)e() kohina kokee saman dynamiikan kuin u järkevää kun kohina ulee prosessiin sen alkupäässä ARX: A(q)y()=B(q)u()+e() (myös yhälövirhemalli) ennusevirhe lineaarinen paramerien suheen => paramerien esimoini helppoa kohina kokee saman dynamiikan kuin u; ei haiaa, jos signaali-kohinasuhde on hyvä Käyö: määrää aseluvu, esimoi parameri käyännössä useia eri mallirakeneia ja aselukuja verraaan
Ennusaminen Usein mallin käyöarkoius ennusaminen Millainen on em. mallien ennuse? OE: y^(,)=g(q,)u() ARX: y^(,)=(-a(q))y()+b(q)u() Enä kun C poikkeaa :sa (H=C/D)? jaeaan puoliain H:lla ja korvaaan e() odousarvollaan => y^(,)=[-h - (q,)]y()+h - (q,)g(q,)u()
Mallien sovius Ennusevirhemeneelmä: valise s.e. ennuse on hyvä oimiva hyvyyskrieeri ennusevirheen (oos)varianssi ennusevirhe ε()=y()-y^(,) ja hyvyyskrieeri 2 V ( ) = ε (, ) ^= arg min V () voidaan osoiaa, eä V () ei ole uulesa emmau PS on ennusevirhemeneelmien erikoisapaus MIMO-malli: ε 2 () mariisiarvoinen, arviaan sopiva reaaliarvoinen kuvaus: de, race,... V (^) on kohinan e() varianssin esimaai =
Lineaarinen regressio Regressio: malli muooa y()= T φ()+e(), φ() vekori, jossa viiväseyjä u():n ja y():n arvoja sisälää viiveoperaaoripolynomien keroime miausa => mariisi X=[φ(),φ(2),...,φ()] sekä ulosulo Y()=[y(),...,y()] => ^=(X T X) - X T Y Soveluu ARX-mallien paramerien esimoiniin muu malliluoka epälineaarisia paramerien suheen PS-oleuksien syyä olla voimassa (ks esim. TAP lueno nro 9): viiväsey y:n ja u:n arvo keskenään kollineaarisia (koesuunnieluongelma) parameri ehoomia (suuri varianssi) ja harhaisia, mua arkenuvia e:n homoskedasisuus (vakio varianssi) parameri ehoomia => painoeu PS-esimoini e:n korreloimaomuus parameri ehoomia, harhaisia eiväkä arkenuvia! => kohinalle jonkinlainen rakenne
Ieraiivinen minimoini Malli epälineaarisia paramerien suheen PS ei onnisu Tarviaan ieraiivinen meneelmä kyseessä epälineaarinen rajoiamaon opimoiniehävä Gradienimeneelmä: k+ = k -α k V ( k ) α k viivahaun avulla haeava askelpiuus Toisen keraluvun meneelmä: sovelleaan ewonieroinia opimirakaisun välämäömiin ehoihin välämäön eho V ()=0 ieroini k+ = k -α k [V ( k )] - V ( k )
Derivaaojen laskena (kirja, Appendix 9.6) Kohdefunkio Gradieni Hessen mariisi koko Hessen mariisi => ewon-raphson ieroini hyläään viimeinen ermi => Gauss-ewon Derivaaa lausekkeissa riippuva mallirakeneesa = = i i y y V 2 )), ˆ( ) ( ( 2 ) ( = = i i i y y y d d V )), ˆ( ) ( )(, ˆ( ) ( ' = = + = i i i T i i y y y d d y d d y d d V 2 2 )), ˆ( ) ( ))(, ˆ( ( )), ˆ( ))(, ˆ( ( ) ''(
Mikä on hyvä malli? Mallin laau on yheydessä mallin käyöarkoiukseen hyvä sääösuunnielumalli voi olla huono simuloinimalli Mallin laau liiyy sen kykyyn kuvaa syseemin oimina syseemin ja mallin ulosulo riiävän samanlaise Hyvä malli yleisää, i.e., mallin ominaisuude eivä riipu esimoinidaasa Mallin ilasollise ominaisuude keino miaa ää paramerien varianssi: kohinainen syseemi => samalla sisäänmenolla saadaan eri ulosulo => esimoiaessa saadaan eri malli varianssia voidaan pienenää kasvaamalla havainojen lukumäärää kirjassa puhuaan mallin variance error :sa paramerien harhaisuus: esimaaien konvergenssi vääriin arvoihin väärä mallirakenne / puueellinen koesuunnielu eroeava mallirakeneen vaikuus ja idenifioinikokeen vaikuus kirjassa puhuaan mallin bias error :sa
Parameriesimaaien harhasa Miä apahuu, kun ->oo? Olkoon ennusevirheen varianssi Eε 2 (,)=V() Jos ennusevirhe ε(,) on valkoisa kohinaa, niin 2 2 V ( ) = ε (, ) Eε (, ) = = V ( ) w.p. ja lisäksi * arg minv ( ) = Jos ennusevirhe ei ole korreloimaon (esim. väärä malli), yo. päee under very general condiions edelleen, mua esimaai voi olla harhainen ja konvergoiua väärään arvoon vs. oikean mallin esimaain arvo Esimaai minimoi edelleen ennusevirheen varianssin paras malli vääräsä malliluokasa haiaako harha?
Esimerkki: väärä mallirakenne ( Sysem Idenificaion, Theory for he User, Ljung 999) Olkoon daa peräisin prosessisa y()+a 0 y(-)=b 0 u(-)+e 0 ()+c 0 e 0 (-) Sovieaan ARX-malli y^( )+ay(-)=bu(-) Ennusevirheen varianssi on E(y()+ay(-)-bu(-)) 2 =...= r 0 (+a 2-2aa 0 )+b 2-2bb 0 +2ac 0 (r 0 =Ey 2 (), ei riipu a:sa eikä b:sä) Ennusevirheen varianssin minimoiva a^, b^: a^=a 0 -c 0 /r 0 ;b^=b 0 ; Ea^ a 0 eli esimaai on harhainen Ennusevirheen varianssi näillä a^, b^ on +c 02 -c 02 /r 0 odellisilla parameriarvoilla a 0 ja b 0 varianssi on +c 02 eli suurempi Siis: vaikka parameriesimaai on harhainen, se uoaa pienemmän ennusevirheen varianssin
Parameriesimaain konvergenssi aajuusasossa * = lim ˆ = arg min G π π 0 ( e iω ) Ge ( iω, ) 2 Φu ( ω) iω H ( e ) * 2 dω V ():n minimoiva esimaai lähesyy arvoa, joka saa mallin aajuusvaseen mahdollisimman lähelle syseemin aajuusvasea painoeuna ohjauksen spekrillä kohinamallin aajuusvaseen kääneisluvulla Koesuunnielu: valiaan u:n aajuusominaisuude sopivasi => hyvä sovius mielenkiinoisilla aajuuksilla
Parameriesimaaien varianssi Oleeaan, eä ennusevirhe ε(,) on valkoisa kohinaa Tällöin parameriesimaain ^ kovarianssimariisi P on ˆ ˆ T P = E( 0)( 0) λr jossa R=ψ(, 0 )ψ T (, 0 ) ja ψ(,)=d/dy^(,) P riippuu kohinan varianssisa daapiseiden lukumääräsä ennuseen gradienisa (herkkyys!) Parameriesimaai asympooisesi normaalijakauuneia ilasollisen merkisevyyden esaus -esillä Taajuusvaseen varianssi anneulla parameriesimaailla riippuu (kirja 9.6) paramaerien lukumääräsä ja kohinan spekrisä daapiseiden lukumääräsä ja ohjauksen spekrisä
Idenifioiuvuus Idenifioiuvuus: Voidaanko syseemin/mallin parameri määrää yksikäsieisesi inpu-oupu daasa? Olkoon 0 hyvyyskrieerin minimoiva parameriesimaai Malli on idenifioiuva: y^( 0 )=y^( ) => = 0 (I) Milloin (I) ei päde? ) kaksi erilaisa paramerivekoria uoaa samanlaisen mallin inpuoupu käyäyymiseen rakeneellinen idenifoiuvuus, ymmärreään syseemin ominaisuuena 2) kaksi erilaisa paramerivekoria uoaa erilaisen inpu-oupukäyäymiseen, mua puueellinen inpu aiheuaa samanlaise ennusee deerminisinen idenifioiuvuus
Esimerkki (kirja 9.): asaviramooori Valiaan iloiksi kulma-aseno y() ja nopeus ω() ja ohjaukseksi jännie u(): Tässä d d 0 0 x( ) = x( ) u( ), 0 / + / τ β τ τ JR =, β 2 fr + k k fr + k Syseemissä on 5 parameriä, mua mallissa vain 2 vaikka mallin parameri saaaisiin esimoiua, niisä saadaan vain 2 yheyä syseemin paramerien välille ällä parameroinnilla idenifioini ei onnisu syseemi ei rakeeneellisesi idenifioiuva = 2
Vaaimukse heräeelle Millainen sisäänmeno arviaan, joa parameriesimaai ylipääään konvergoisiva? Inuiiivisia uloksia: idenifioinikokeen piäisi heräää syseemin mielenkiinoise moodi sisäänmenon aajuussisälö oleellisessa asemassa Jakuvasi heräävyyden käsie (seur. lueno) kvaniaiivisia uloksia heräeen laadun ja parameriesimoinnin onnisumisen välille
Esimerkki (kirja 9.6) Ennusemalli y^( )=au(-)+bu(-2), =(a b) valiaan u vakio-ohjaus u 0 :ksi Todellinen ennuse on ällöin y^( )=(a+b)u 0 (-) kaikki parameri a ja b, joiden summa on sama, anava saman ennuseen a ja b eivä ole idenifioiuvia (ällä heräeellä) syseemi on kuienkin rakeneellisesi idenifioiuva
Esimoinnin ongelmalähee Syseemi Id.koe Daa Mallirakenne Sovius väärä mallirakennne esimaaori harhainen, suuri varianssi rak.idenifioiuvuusongelma mallin ai syseemin paramereja ei löydeä huono idenifioinikoe suuri varianssi, paramereja ei löydeä harhaisuus ei haiaa huono homma huono homma kunhan mallin käyöarkoius ei ole paramerien esimoini!
Yheenveo Perusidea: haeaan paramerivekori joka minimoi ennusevirheen (oos)varianssin: siä kuvaa neliöllinen hyvyyskrieeri V () sovius: minimoi ennusevirheen varianssi esimaain varianssi riippuu kohinan varianssisa, daan määräsä ja ennuseen herkkyydesä paramerin suheen Lähesymisavan euja: yleinen käyeävyys, monipuolisuus uloksena simuloiniin soveluva malli Haioja, muei välämää ylisepääsemäömiä: periaaeessa arviaan näkemys syseemin rakeneesa laaja laskenauki arpeen