Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta, pohdinta ja formaalimmin. Pohdinnassa käyn läpi sitä, miten tehtävän ratkaisua voisi (noin esimerkiksi) lähteä metsästämään. Kohdassa formaalimmin esitän varsinaisen todistuksen, eli pohdinnassa keksimieni ideoiden tarkan muotoilun ja esittämisen.. Totea, että H = {[], [], [], [] } on ryhmän Z aliryhmä. Mitä Lagrangen lause kertoo aliryhmän H indeksistä eli sivuluokkien lukumäärästä? Määritä sivuluokat. Piirrä kuva ryhmästä Z ja aliryhmästä H samaan tapaan kuin syklisiä ryhmiä käsittelevässä luvussa (luku.). Miten sivuluokkia voi havainnollistaa kuvan avulla? Pohdintaa: Huomaamme kokoelman H varsin vaivattomasti ryhmäksi tässä vaiheessa kurssia. (Se on esimerkiksi alkion [] virittämä ryhmän Z aliryhmä.) Lagrangen lausetta käyttääksemme meidän tarvitsee laskea vain ryhmien H ja Z alkioiden lukumäärät. Sivuluokat on helppo määrittää, sillä Lagrangen lauseen perusteella meidän riittää löytää vain erillistä sivuluokkaa. Formaalimmin: Huomaamme, että H on ryhmä jäännösluokkien laskutoimitusten suhteen sekä joukon Z osajoukko, joten kyseessä on erityisesti ryhmän Z aliryhmä. Tarvitsemme Lagrangen lauseeseen näiden ryhmien kertaluvut, ja huomaammekin, että H =, Z =. Lagrangen lause kertoo, että nyt äärellisen ryhmän Z aliryhmään H liittyvien sivuluokkien lukumäärä on [Z : H] = Z H = =. Nyt aliryhmän H sivuluokat löytyvät helposti, sillä huomaamme nyt, että sivuluokat (H =)H + [] = {[], [], [], [] }, H + [] = {[], [], [], [] }, H + [] = {[], [], [], [] } ja H + [] = {[], [], [], [] } ovat kaikki erillisiä, ja Lagrangen lauseen perusteella niitä ei voi löytyä enempää. Sivuoluokista voidaan piirtää kuva (kuva ), jossa sivuluokkamme näyttäytyvät aliryhmän H siirtoina. Esimerkiksi laskutaulun kirjoittamalla.
H H + H + H + Kuva : Tehtävään liittyvät ryhmän Z aliryhmän H sivuluokat.. Tarkastellaan ryhmän S aliryhmää B = {(), ()}. Yritetään määritellä joukossa S /B laskutoimitus samalla tavalla kuin harjoituksen tehtävässä : kun σb, τb S /B. σb τb = (στ)b, Osoita, että sivuluokan edustajan valinta vaikuttaa tulokseen, eikä laskutoimitusta voi määritellä yllä kuvatulla tavalla. (On siis osoitettava, että tulos σb τb voi saada eri arvoja sen mukaan, millaiset edustajat σ ja τ sivuluokille on valittu.) Pohdintaa: Tiedämme aikaisemman perusteella, että S /B = {B, ()B, ()B}. Haluamme näyttää, että jokin väite ei pidä aina paikkaansa, joten haluamme siis löytää vastaesimerkin. Vastaesimerkkinä haluamme siis löytää kaksi sivuluokkaa, joiden laskutoimituksen tulos riippuu siitä, että minkä edustajan sivuluokasta valitsemme. Voisimme lähteä valitsemaan alkioita vaikka joukoista ()B ja ()B ja katsoa, löytäisikö alkioita τ, σ ()B, ja τ, σ ()B siten, että alkion τ τ ja σ σ eivät ole ekvivalenttejä aliryhmään B liittyvässä sivuluokkaekvivalenssirelaatiossa, eli että ne kuuluvat eri sivuluokkiin. Kummassakin sivuluokassa on vai kaksi alkiota, joten eri vaihtoehtoja käy helposti läpi käsinkin. Huomaamekin, että valinta τ = ()τ = (), σ = (), σ = ()
antaa halutunlaisen ristiriidan. Formaalimmin: Harjoitusten tehtävän.b perusteella tiedämme, että Huomaammekin nyt, että S /B = {B, ()B, ()B} = { } {(), ()}, {(), ()}, {(), ()} }{{}}{{}}{{} =B ()B ()B ()B ()B = (()()) B = ()B ()B = (()()) B = ()B ()B = ()B ()B. Täten laskutoimitus ei ole hyvin määritelty. (Huomaa, että tässä on käytetty yhtä vastaesimerkkiä, mutta muitakin vastaesimerkkejä on (paljon).) Huomautus. Harjoitusten tehtävässä laskutoimituksen määrittely onnistui, sillä sivuluokkiin jaotellut permutaatiot olivat samaa tyyppiä laskutoimituksen silmissä. (Tyypit olivat geometrisesti tulkittuna kierrot ja peilaukset, joiden yhdistäminen saa aikaan aina samantyyppisen lopputuloksen nimenomaisten edustajien valinnasta riippumatta.). Mitkä seuraavista ovat renkaita? Jos kyseessä ei ole rengas, mitkä renkaan ehdoista toteutuvat ja mitkä eivät? a) (nz, +, ) b) (Q +, +, ), missä Q + = {a Q a > } c) polynomifunktioiden joukko varustettuna polynomien yhteen- ja kertolaskulla d) (X, +, ), missä X = {a + bπ a, b Z} R Pohdintaa: Tehtävä on varsin suoraviivainen, eli meidän tarvitsee vain käydä läpi renkaan määritelmässä esitetyt vaatimukset ja katsoa mitkä ovat voimassa. Kannattaa muistaa, että renkaan määritelmässä on mukana myös vaatimus siitä, että laskutoimitukset ovat todellakin laskutoimituksia, eli hyvin määriteltyjä. (Tässä tehtävässä kaikki laskutoimitukset ovat valmiiden laskutoimitusten rajoittumia, joten ongelmia ei voi tulla sen suhteen, että alkion esitystapa vaikittaisi laskutoimituksen tulokseen. Samasta syystä laskutoimitus on määritelty kaikille alkiopareille, mutta ongelma voi syntyä, mikäli laskutoimituksen tulos ei kuulu enään tutkittavana olevaan joukkoon.) Formaalimmin: Renkaalta (R, +, ) vaaditut ominaisuudet ovat
(R) Laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä. (R) (R, +) on vaihdannainen ryhmä. (R) Laskutoimitus on liitännäinen. (R) Laskutoimituksella on neutraalialkio. (R) Laskutoimitukset + ja liittää toisiinsa osittelulaki. Käydään läpi kussakin kohdassa, mitkä vaatimuksista toteutuvat. Kuten pohdinnassa huomautettiin, kohdasta (R) meidän riittää tarkistaa, että laskutoimituksen tulos pysyy tutkittavassa joukossa, muut määrittelyssä mahdollisesti syntyvät ongelmat eivät esiinny tilanteessamme, jossa laskutoimitus on hyvin määritellyn laskutoimituksen rajoittuma. (a) Kyseessä ei ole rengas mikäli n,,, sillä tällöin kertolaskulla ei ole neutraalialkiota. Muut ehdot kyllä pätevät; laskutoimitusten tulos pysyy aina joukossa sillä luvulla n jaollisten lukujen summa ja tulo on edelleen jaollinen luvulla n, ehdon (R) tiedämme pätevän kurssin aikaisempien tulosten ansiosta ja ehdot (R) ja (R) periytyvät renkaan Z laskutoimituksilta. Mikäli n = ±, niin (nz, +, ) = (Z, +, ), joka on tunnetusti rengas, jos taas n =, niin kyseessä on triviaali rengas. (b) Kyseessä ei ole rengas sillä (Q +, +) ei ole ryhmä koska alkiolle Q + ei löydy käänteisalkiota. Muut ehdoista (R), (R)-(R) ovat voimassa. Positiivisten rationaalilukujen summa ja tulo on nimittäin edelleen aina positiivinen rationaaliluku, (R) ja (R) periytyvät taas reaalilukujen laskutoimitusten ominaisuuksilta ja (R) on voimassa koska luku on positiivinen rationaaliluku. (c) Polynomifunktiot muodostavat renkaan. Todistus on tehty luentomateriaalissa näyttämällä että polynomifunktiot muodostavat kaikkien funktioiden alirenkaan. (Alirengas on aina rengas.) Todistusta tarkastelemalla huomaa, että koska (polynomi)funktioiden laskutoimitukset on määritelty pisteittäin, on kokoelman algebrallinen rakenne hyvinkin samanlainen kuin lähtö/maalijoukkona käytetyn joukon. Erityisesti huomaamme, että todistus toimisi samanlaisena vaikka emme käyttäisi funktioita R R vaan miltä tahansa renkaalta renkaalle. (d) Kyseessä ei ole rengas, sillä laskutoimitus ei ole hyvin määritelty. Löydämme nimittäin joukosta alkiot, joiden tulo ei joukkoon enää kuulu: π = + π X, mutta π / X. Syy tähän on se että mikäli π X, niin π = a + bπ jollain a, b Z. Tällöin π = b ± ( b) c, mikä on mahdotonta, sillä luku π ei ole algebrallinen, eli sitä ei voi esittää kokonaislukujen avulla käyttämällä pelkästään summaa, erotusta, tuloa, jakolaskua sekä juuren ottoa. Ehdon (R) huomaa olevan kokoelmalle voimassa aika helposti. Ehdoista (R)-(R) on hieman hassua puhua, sillä tulo ei ole hyvin määritelty, mutta Todistus on monimutkainen, katso vaikka http://en.wikipedia.org/wiki/lindemann%e%%weierstrass_theorem
ovat luonnollisella tavalla tulkittuina (eli esimerkiksi laajentamalla joukkoa X sisältämään kaikki mahdolliset tulot) kyllä voimassa, sillä laskutoimitukset periytyvät taas renkaan R laskutoimituksista.. Määritellään R = {[], [], [], [], [] }. Osoita, että (R, +, ) on rengas. Onko R renkaan Z alirengas? Mitkä renkaan R alkioista ovat yksiköitä? Pohdintaa: Näytetään annettu rakenne renkaaksi käymällä läpi renkaan määritelmän vaatimukset. Näistä voimme huomattavan usean kuitata sillä, että kyseessä on ryhmän Z laskutoimituksen rajoittuma. Joukkomme on aika pieni, joten voimme kirjoittaa siitä näkyviin laskutoimitustensa laskutaulut, joista on hyvä lukea monia laskutoimituksen ominaisuuksia. Formaalimmin: Kirjoitetaan rengasehdokkaan laskutaulut summan ja tulon suhteen. Jätämme nollan kirjoittamatta kertotauluun, koska tulo sen kanssa antaa aina tulokseksi nollan. + Näistä voimme suoraan lukea, että (R, +) on vaihdannainen ryhmä (jonka tosin olemme nähneet jo monta kertaa), ja että kertolaskulla on neutraalialkio. Lisäksi tulon liitännäisyys sekä osittelulaki periytyvät renkaan Z laskutoimitukselta (kuten itse asiassa periytyy summamnkin liitännäisyys ja vaihdannaisuus). (Mikäli laskutoimituksen ominaisuus x pätee kaikille joukon Z alkioille, pätee se myös pienemmän joukon R alkioille.) Lisäksi huomaamme, että kaikilla nollasta poikkeavilla alkioilla on käänteisalkio (eli alkio jolla kerrottuna tulokseksi saadaan ). Täten kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiöitä. Rengas R ei kuitenkaan ole renkaan Z alirengas, sillä renkaan Z neutraalialkio ei kuulu joukkoon R. (Alirenkaan määritelmän kolmas kriteeri.) Tässä on siis huomattava ero aliryhmien käyttäytymiseen, sillä aliryhmä on ryhmän osajoukko, joka on itsekin ryhmä. Tehtävän rengas on kumminkin isomman renkaan osajoukko ja rengas, muttei silti alirengas. Ongelman juuret ovat eräiden ryhmän Z alkioiden käänteisalkioiden puuttumisessa.. Osoita, että joukko on renkaan R alirengas. Q[ ] = {a + b a, b Q}
Pohdintaa: Kuten olemme jo useassa tehtävässä huomanneet, niin alirengastehtävissä mukava seikka on se, että laskutoimitus tuppaa periytymään rakenteelta jonka tiedämme jo renkaaksi, joten voimme käyttää laskutoimitusten tuttuja hyödyllisiä ominaisuuksia (lähinnä liitännäisyyttä ja osittelulakia) yhtälöiden manipuloinnissa. Ratkaistaan tehtävä suoraan alirenkaan määritelmää käyttämällä. Formaalimmin: Haluamme todistaa annetun rakenteen alirenkaaksi, joten käymme läpi alirenkaan määritelmässä annetut ehdot: (AR) (Q[ ], +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. (AR) Joukko Q[ ] on suljettu laskutoimituksen suhteen, eli ab Q[ ] aina kun a, b Q[ ]. (AR) Renkaan (R, +, ) kertolaskun neutraalialkio R kuuluu joukkoon Q[ ]. Todistetaan: (AR) Tiedämme, että reaalilukujen yhteenlasku on kaikille reaalilukupareille määritelty liitännäinen laskutoimitus, jonka arvot eivät riipu summattavien esitystavasta Lisäksi aina kun x, y Q[ ], niin x = a + b ja y = c + d,jolloin x + y = a + b ( + c + d ) = (a + c) + (b + d) [ ] Q. Täten laskutoimitus on hyvin määritelty joukossa Q[ ]. Lisäksi yhteenlaskun neutraalialkio voidaan kirjoittaa muodossa +, eli se kuuluu myöskin joukkoon Q[ ]. Myöskin aina kun x Q[ ], niin ( x = a + b ) = ( a) + ( b) Q[ ]. Eli jokaisen alkion vasta-alkio kuuluu myöskin joukkoon Q[ ]. Täten (Q[ ], +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. (AR) Olkoon x, y Q[ ]. Nyt ( x y = a + b ) ( c + d ) = ac + db( ) + (ad + bc) = (ac + db) }{{} Q (AR) Lopuksi huomaamme, että Täten kyseessä on alirengas. + (ad + bc) }{{} Q = + Q Q [ ]. [ ]. Huomautus. Kannattaa miettiä, mitä eroa tehtävän tilanteella on tehtävän kohdan d tilanteeseen.
. Olkoon G ryhmä, jonka kertaluku on pq, missä p ja q ovat alkulukuja. Osoita, että jokainen ryhmän G aito aliryhmä on syklinen. (Aliryhmä H G on aito, jos H G.) Tiedetäänkö, että ryhmä G on syklinen? Tiedetäänkö, että se ei ole syklinen? Neuvo: Lue huolellisesti Lagrangen lausetta koskeva luku. Pohdintaa: Tehtävässä kannattaa huomata että Lagrangen lauseen eräs tärkeä seuraus (Lause..) on se, että äärellisen ryhmän jokaisen aliryhmän alkioiden lukumäärä jakaa koko ryhmän alkioiden lukumäärän. Täten annetun ryhmän epätriviaalin aliryhmän kertaluvun täytyy olla p tai q, sillä alkutekijähajotelman yksikäsitteisyyden perusteella kahden alkuluvun tulon epätriviaalit jakajat ovat täsmälleen kyseiset alkuluvut. Mutta koska aliryhmä on erityisesti ryhmä, niin lauseen.. perusteella kyseiset aliryhmät ovat syklisiä koska niiden kertaluku on alkuluku. Formaalimmin: Olkoon H G. Merkitään H := h, G := g. Lauseen.. perusteella h g = pq, joten välttämättä h p tai h q. Kummassakin tapauksessa ryhmän H kertaluku on alkuluku, (joko tai p, tai tai q) jolloin se on lauseen.. perusteella syklinen. (Huomaa, että yhden alkon ryhmä on aina triviaalisti syklinen.) Ryhmästä G emme voi sanoa mitään. Esimerkkeinä voimme nähdä esimerkiksi ryhmät S sekä Z, joista kummankin kertaluku on =, mutta toinen on syklinen ja toinen ei. Enemmän (vähemmän konkreettisia) esimerkkejä saadaan seuraavista: Ryhmä Z p Z p, missä p on alkuluku, ei ole syklinen. (Tämän voi laskea suoraan kun p on esimerkiksi kaksi, ja todistaa yleisesti vaikka lauseen.. avulla.) Ryhmä Z p Z q, missä p ja q ovat erillisiä alkulukuja, on syklinen. (Tämän voi laskea suoraan kun p ja q ovat esimerkiksi kaksi ja kolme, ja todistaa yleisesti vaikka lauseen.. avulla.) Huomautus. Voisimme luonnollisesti kysyä tässä kohtaa lausetta.. vastaavan käänteisen kysymyksen; mikäli meillä on ryhmä G sekä luku k joka jakaa ryhmän G kertaluvun, niin löydämmekö ryhmälle G aliryhmän jolla on kertalukuna k? Vastaus on yleisessä tilanteessa kielteinen, mutta esimerkiksi kurssilla Algebra II saadaan käyttöön Sylowin lauseet, jotka antavat varsin hyvän vastauksen kysymykseen.