koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

Transkriptio

1 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta (tai kuntalaajennus). (Muista: kunnat ovat tietyn tyyppisiä renkaita; F on kunnan K alikunta tarkoittaa, että renkaan F on renkaan K alirengas ja F on myös kunta.) Hyviä, tuttuja esimerkkejä ovat parit F = R, K = C ja F = Q, K = R. Vähemmän tuttu on pari F = Q, Q[ 2] := {a + b 2 a, b Q}. Kun a F ja x, y K, on a x K ja x + y K. Lisäksi kunnan ominaisuuksien nojalla on helppo tarkistaa, että joukko K on F -kertoiminen vektoriavaruus (ks. määritelmä 3.5). Määritelmä 4.1. Kunnan F laajennuskunnan K alkio α on algebrallinen alikunnan F suhteen, jos on on olemassa nollasta eroava F -kertoiminen polynomi f(x) F [x] siten, että f(α) = 0, t.s. on olemassa n Z + ja alkiot a 0,..., a n F siten, että a n α n +... a 0 = 0. Jos laajennuskunnan K jokainen alkio on algebrallinen alikunnan F suhteen, sanotaan, että laajennuskunta K on algebrallinen alikunnan F suhteen. Jos alkio α ei ole algebrallinen alikunnan F suhteen, sanotaan, että alkio α on transkendenttinen alikunnan F suhteen. Jos kunnan F laajennuskunta K on F -kertoimisena vektoriavaruutena äärellisulotteinen, sanotaan, että K on alikunnan F äärellinen laajennus. F -kertoimisen vektoriavaruuden K dimensiota merkitään tällöin [K : F ] := dim F K. Luku [K : F ] on laajennuskunnan K laajennusaste alikunnan F suhteen. Esimerkkejä 4.2. a) Imaginaariyksikkö i C on algebrallinen alikunnan R suhteen, koska i toteuttaa reaalikertoimisen yhtälön x = 0. Kompleksilukujen kunnan dimensio reaalisena vektoriavaruutena on kaksi, koska kantavektoreiksi käyvät 1 ja i: jokainen z C voidaan esittää muodossa z = a + b i, missä a, b R, ja ehdosta a + b i = 0 (a, b R) seuraa, että a = b = 0 (t.s. 1 ja i ovat lineaarisesti riippumattomat). Siis laajennusaste [C : R] = 2. b) Kunta F on aina itsensä laajennuskunta; laajennusaste [F : F ] = 1. c) Luku 2 Q[ 2] = {a + b 2 a, b Q} on algebrallinen alikunnan Q suhteen, koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan K dimensio rationaalikertoimisena vektoriavaruutena on kaksi, koska kantavektoreiksi käyvät 1 ja 2: jokainen x Q[ 2] voidaan esittää muodossa x = a + b 2, missä a, b Q (joukon Q[ 2] määritelmä), ja ehdosta a + b 2 = 0 (a, b Q) seuraa, että a = b = 0 (t.s. 1 ja 2 ovat lineaarisesti riippumattomat). (Huomaa: vaikka merkintä Q[ 2] näyttää hieman samalta kuin polynomirenkaalle käytetty F [x], ei kyse ole samasta asiasta; polynomirenkaan x on vapaa muuttuja (tarkemmin toisaalla).) d) Neperin luku e R ja pii π R ovat transkendenttisia alikunnan Q suhteen. Näiden osoittaminen ei ole lainkaan yksinkertaista. Hieman yleisemmin asiaa on tarkasteltu kirjassa [6, app. 1]. 10 Viimeksi muutettu

2 Lause 3.14 antaa yhden laajennuskuntakonstruktion: jos m F [x] jaoton, on jäännösluokkarengas F [x]/(m) kunta, joka sisältää kunnan F alikuntanaan (ainakin, kun F ja sen kuva kuvauksessa F F [x] F [x]/(m), a 0 a 0 [a 0 ] m, samastetaan). Lauseella on vielä sellainen lisäanti, että polynomille m löydetään juuri laajennuskunnasta F [x]/(m). Toisenlainen kuntalaajennus saataisiin muuttujan x murtolausekkeiden avulla. Kokonaisalueeen F [x] murtokunta F (x) määritellään seuraavalla tavalla (vertaa rationaalilukujen kunnan konstruointiin kokonaislukujen renkaan avulla): Renkaan F [x] alkiopareille (f(x), g(x)), missä g(x) 0, määritelty relaatio (f(x), g(x)) (p(x), q(x)), kun f(x) q(x) = g(x) p(x), on helppo todeta ekvivalenssirelaatioksi. Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään F (x) ja ekvivalenssiluokille otetaan käyttöön merkintä f(x) g(x) := [(f(x), g(x))]. Kannattaa muistaa, että ekvivalenssiluokat f(x) ja p(x) ovat samat, jos ja vain jos g(x) q(x) luokkien edustajat (f(x), g(x)) ja (p(x), q(x)) ovat ekvivalentit, t.s. f(x) g(x) = p(x), jos ja vain jos f(x) q(x) = g(x) p(x). q(x) Kun ekvivalenssiluokille määritellään yhteen- ja kertolasku asettamalla f(x) g(x) + p(x) q(x) := f(x) q(x) + g(x) p(x) g(x) q(x) ja f(x) g(x) p(x) q(x) := f(x) p(x) g(x) q(x), on F (x) kunta, muuttujan x murtolausekkeiden muodostama kunta (tarkistus on suoraviivainen lasku ja jätetään lukijalle). Alkuperäinen polynomirengas voivaan upottaa murtolausekkeiden kuntaan kuvauksella (joka on injektiivinen rengashomomorfismi; todistus: HT) F [x] F (x), f(x) f(x) 1. Tässäkin tilanteessa F on kunnan F (x) alikunta: F F [x] F (x), a a a 1. Jos F on äärellinen kunta, esimerkiksi F = Z p, on Z p (x) kuitenkin ääretön joukko, kun taas jaottoman polynomin m Z p [x] avulla saatu laajennus Z p [x]/(m) on äärellinen joukko. Tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: Annettuna on jonkin kunnan E alikunta F ja α E. Millainen on (inkluusion mielessä) suppein kunnan E alikunta K, joka sisältää kunnan F ja alkion α? Siis F K E, α K, ja jos F E on alikunta, jolle F K ja α F, niin K F. Jos α F, niin tällainen kunta K = F. Lauseen 3.14 antama kunta F [x]/(m) on haluttu kunta, jos α voidaan esittää jaottoman polynomin m F [x] juurena muodossa α = [x] m kunnassa E, jonka alikunta F [x]/(m) on. Ominaisuus F F [x]/(m) seuraa lauseesta ja α = [x] m F [x]/(m) on selvä. Jos nyt F jokin kunta, jolle F F ja α F, on F [x]/(m) F, koska kunnan F [x]/(m) jokainen alkio on muotoa [r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 ] m = r 0 + r 1 α + + r d 1 α d 1 F, missä d := deg m ja r 0, r 1,..., r d 1 F. 22

3 Tällainen etsitty kunta K on aina olemassa: K = F F F, missä F on kaikkien sellaisten kunnan E alikuntien F joukko, joille F F (alikuntana) ja α F. Kuntaa K merkitään jatkossa F (α). Sanotaan, että kunta K = F (α) on saatu liittämällä kuntaan F alkio α. Lauseen 3.14 tilanne on itse asiassa melko yleinen. Nimittäin, olkoon F kunnan E alikunta ja α E kunnan F suhteen algebrallinen alkio. Olkoon I := {f F [x] f(α) = 0}. Tällöin I on renkaan F [x] ideaali, joten lauseen 1.6 ja sen jälkeisen huomautuksen nojalla I on yhden polynomin g F [x] virittämä, I = (g). Kun virittäjäksi g valitaan pääpolynomi, kutsutaan polynomia g alkion α mimimipolynomiksi kunnan F suhteen (tai alkion α redusoitumattomaksi polynomiksi kunnan F suhteen). Alkion α aste alikunnan F suhteen on polynomin g aste. Polynomi g on siis alinta astetta oleva nollasta eroava F -kertoiminen polynomi, jolle g(α) = 0. Lause 4.3. Olkoot F kunnan E alikunta, α E algebrallinen, g alkion α mimimipolynomi kunnan F suhteen ja d alkion α aste alikunnan F suhteen. Tällöin (i) g on jaoton; (ii) polynomille f F [x] on f(α) = 0, jos ja vain jos g f; (iii) F (α) on isomorfinen kunnan F [x]/(g) kanssa; (iv) [F (α); F ] = d ja {1, α,..., α d 1 } on F -vektoriavaruuden F (α) kanta. Todistus. (i): Jos g = g 1 g 2 ja g(α) = 0, on g 1 (α) = 0 tai g 2 (α) = 0. Koska polynomi g on alinta astetta oleva F -kertoiminen polynomi, jolle g(α) = 0, on g 1 tai g 2 vakio. Siis g on jaoton. (ii): Seuraa polynomin g määritelmästä. (iii): Kuvaus ϕ: F [x] E, ϕ(f(x)) := f(α), t.s. ϕ(f(x)) := a a 1 α + + a d 1 α d 1, kun f(x) = a a 1 x + + a d 1 x d 1, on rengashomomorfismi, jonka ydin on {f F [x] f(α) = 0} = (g). Rengasisomorfismilauseen 11 nojalla F [x]/(g) on isomorfinen kuvajoukon ϕ(f [x]) kanssa. Kun f(x) := a 0 (= vakio a 0 F ), on ϕ(a 0 ) = a 0. Kun f(x) := x, saadaan ϕ(x) = f(α) = α. Siis F ϕ(f [x]) ja α ϕ(f [x]). Koska ϕ on rengasisomorfismi ja F [x]/(g) kunta, on sen kuvajoukko ϕ(f [x]) kunta. Kunnan F (α) määritelmän nojalla F (α) ϕ(f [x]). Toisaalta, koska α F (α) ja F (α) on kunta, on jokaiselle polynomille f(x) F [x], f(α) F (α). Siis ϕ(f [x]) F (α). (iv): Seuraa ennen määritelmää 3.5 olleista tarkasteluista. Edellinen lause ja lause 3.14 ovat jossakin mielessä saman asian kaksi eri puolta. Edellisessä lauseessa kunnan F oletetaan olevan jonkin laajennuskunnan alikunta ja annetulle algebralliselle alkiolle α etsitään jaoton F -kertoiminen polynomi, jonka juuri α on. Lauseessa 3.14 jaoton polynomi on annettuna ja konstruoidaan laajennuskunta, jossa annetulla polynomilla on juuri. On hyvä huomata, että lauseen todistuksen kuvauksessa ϕ polynomi x kuvautuu alkioksi α, ja että homomorfismin ϕ indusoima isomorfimi F [x]/(g) F (α) on itse asiassa [f(x)] g f(α), joten [x] g α. Siis 11 Rengasisomorfialause (ks. [Alg, Renkaiden isomorfismilause 11.20]): Kun ϕ: R S on renkaiden R ja S välinen rengashomomorfismi, indusoi kuvaus ϕ rengasisomorfismin R/ ker ϕ ϕ(r), r + ker ϕ ϕ(r). 23

4 homomorfismin ϕ indusoima isomorfimi kuvaa lauseen 3.14 jaottoman polynomin g juuren [x] m lauseen 4.3 jaottoman polynomin m := g juureksi α. Olkoot nyt g F [x] jaoton, E kunnan F laajennuskunta ja α, β E polynomin juuria laajennuskunnassa E. Missä määrin kunta F (α) riippuu valitusta juuresta α? Eipä paljoa: Lause 4.4 (Yleinen konjugointilause). Yllä olevin oletuksin kunnat F (α) ja F (β) ovat isomorfiset vieläpä niin, että kyseisen isomorfismin ψ : F (α) F (β) rajoittuma alikuntaan F on identtinen kuvaus, ψ(a 0 ) = a 0 kaikille a 0 F, ja että se kuvaa alkion α alkioksi β, ψ(α) = β. Todistus. Olkoot ψ α : F [x]/(g) F (α) ja ψ β : F [x]/(g) F (β) lauseen 4.3 todistuksen kohdan (iii) mukaiset isomorfismit. Tällöin ψ := ψ β ψ 1 α : F (α) ψ 1 α F [x]/(g) ψ β F (β) on etsitty isomorfismi: α [x] g β ja a 0 [a 0 ] g a 0. Lause 4.5. Jos K on kunnan F äärellisasteinen laajennuskunta, niin jokainen kunnan K alkion on algebrallinen kunnan F suhteen. Todistus. Olkoon n := [K : F ] = dim F K. Olkoon α K. Tällöin alkiot 1, α, α 2,..., α n 1 ja α n eivät voi olla F -lineaarisesti riippumattomat. On siis olemassa a 0, a 1,..., a n F siten, että a n α n +... a 0 = 0. Tämä tarkoittaa, että α on algebrallinen kunnan F suhteen. Lause 4.6. Olkoot E kunnan F äärellinen laajennus ja K kunnan E äärellinen laajennus. Tällöin K on kunnan F äärellinen laajennus, ja laajennusasteille on voimassa [K : F ] = [K : E] [E : F ]. Todistus. Olkoot m := [E : F ] = dim F E ja n := [K : E] = dim E K. Olkoot α 1,..., α m E F -vektoriavaruuden E kanta ja β 1,..., β n K E- vektoriavaruuden K kanta. Tällöin jokainen c K voidaan esittää muodossa c = b 1 β b n β n, missä b 1,..., b n E. Vastaavasti jokainen b j voidaan esittää muodossa b j = a j,1 α a j,m α m, missä a j,1,..., a j,m F. Siis jokainen c K voidaan esittää muodossa n n m c = b j β j = a j,k β j α k. j=1 j=1 k=1 Siis alkiot β j α k, 1 j n, 1 k m, virittävät F -vektoriavaruuden K. Alkiot β j α k, 1 j n, 1 k m, ovat myös lineaarisesti riippumattomat, sillä jos on olemassa a j,k F siten, että n m a j,k β j α k = 0, j=1 k=1 24

5 on n ( m ) a j,k α k β j = 0, j=1 k=1 joten m k=1 a j,k α k = 0 (koska β j ovat E-lineaarisesti riippumatomat), ja edelleen a j,k = 0 (koska α k ovat F -lineaarisesti riippumatomat) Äärelliset kunnat. Lause 4.7. Olkoon K äärellinen kunta, t.s. kunta, jossa on äärellisen monta alkiota. Tällöin on olemassa alkuluku p ja n Z + siten, että kunnan K alkioiden lukumäärä on p n. Tällöin kunnalla K on alikuntanaan jäännösluokkakunta Z p. Todistus. Tarkastellaan kunnan ykkösalkion kokonaislukumonikertoja k 1 = (k kpl). Koska kunnassa K on äärelllisen monta alkiota, eivät alkiot k 1 voi olla keskenään erisuuria. Siis on olemassa k, k Z + siten, että k 1 = k 1 ja k k. Oletetaan, että k > k. Tällöin (k k ) 1 = 0 ja k k Z +. Valitaan luku k nyt erityisesti niin, että k on pienin mahdollinen luku, jolle k > k ja (k k ) 1 = 0. Osoitetaan, että luku p := k k on alkuluku. Tehdään antiteesi: On olemassa a, b Z + siten, että a > 1, b > 1 ja p = a b. Koska kunnassa 1 0, seuraa luvun k valinnasta ( pienin... ), että j 1 0, kun j = 1, 2..., p 1, ja p 1 = 0. Kun p = a b, on 0 = p 1 = (a b) 1 = (a 1) (b 1), joten a 1 = 0 tai b 1 = 0 (a 1 ja b 1 ovat kunnan K alkioita). Mutta tällöin olisi j 1 = 0 jollekin lukua p aidosti pienemmälle luvulle j. Tämä on vastoin luvun p valintaa. Siis p on alkuluku. Olkoon F := {j 1 j {0, 1,..., p 1}}. Tällöin F on kunnan K alikunta. Perustellaan lyhyesti, miksi F on suljettu yhteenja kertolaskun suhteen; kuntaehtojen tarkistaminen on suoraviivainen toimenpide ja jätetään lukijan tehtäväksi. Olkoot x = j 1 ja y = j 1 F. Tällöin x + y = (j + j ) 1 ja x y = (j j ) 1. Kun käytetään kokonaislukujen jakoyhtälöä, voidaan summa j + j ja tulo j j esittää muodoissa j + j = q p + r ja j j = q p + r, missä 0 r < p ja 0 r < p. Koska p 1 = 0, saadaan x + y = (j + j ) 1 = q p 1 + r 1 = r 1 F ja x y = (j j ) 1 = q p 1 + r 1 = r 1 F. Itse asiassa, kun tätä päättelyä tarkastelee tarkemmin, huomataan, että alikunnan F alkioilla j 1 lasketaan kuten luvuilla j modulo p. Lukijalle jätetään osoitettavaksi, että kuvaus ϕ: Z p F, ϕ([j] p ) := j 1, on hyvin määritelty, ja lisäksi rengasisomorfismi. Koska F on kunnan K alikunta, on K F -kertoiminen vektoriavaruus. Koska K on äärellinen, on K äärellisulotteinen F -kertoimisena vektoriavaruutena, t.s. vektoriavaruudella K on äärellinen kanta {e 1,..., e n } K. Tällöin jokainen x K voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa x = x 1 e x n e n, missä x 1,..., x n F. Tällöin kuvaus L: F n K, L(x 1,..., x n ) := x 1 e 1 + +x n e n, on F -lineaarinen bijektio, joten joukossa K on yhtä monta alkiota kuin joukossa F n, jossa niitä on p n kappaletta. 25

6 Huomautuksia 4.8. a) Todistuksessa löydetty luku p on kunnan K karakteristika. Sen siis karakterisoi ehto, että p on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle p 1 = 0. Merkitään char K := p. Jos tällaista lukua p ei ole, sanotaan, että kunnan karakteristika on nolla. Tällaisia kuntia ovat tutut Q, R ja C. b) Äärellinen kunta F, jonka alkioiden lukumäärä on laajennuskunnan K karakteristika, on kunnan K alkukunta. Jos kunnan K karakteristika on nolla, on sillä alikuntana Q ja jokainen K:n alikunta sisältää alikuntanaan Q:n. Tässä tilanteessa K:n alkukunta on Q. c) Lauseen väite kunnalla K on alikuntanaan Z p pitäisi tarkemmin ilmaista muodossa kunnalla K on alikuntanaan jäännösluokkakunnan Z p kanssa isomorfinen alikunta F. Tämän tyyppisissä tilanteissa kunnat F ja Z p kuitenkin yleensä samastetaan keskenään, lasketaanhan molempien alkioilla samalla tavalla eli modulo p. d) Lauseen todistuksen loppuosasta saadaan yleisemmin: Jos F on kunnan K alikunta ja laajennusaste n := [K : F ] on äärellinen, on K vektoriavaruusisomorfinen vektoriavaruuden F n kanssa. (Tämä tarkoittaa, että on olemassa F -lineaarinen bijektio F n K; tähän käy samanlainen kuvaus kuin lauseen todistuksessa.) e) Eräs matematiikan historian ensimmäisiä abstrakteja vektoriavaruuksia oli R, ei kuitenkaan reaalikertoimisen vektoriavaruutena, vaan Q-kertoimisena. Kannattaa yrittää miettiä, miksi R on ääretönulotteinen Q-kertoimisena vektoriavaruutena. Edellisen lauseen todistuksesta voidaan lukea todistus myös seuraavalle väitteelle (missä d = dim F K): Lause 4.9. Olkoot F ja K äärellisiä kuntia. Olkoon q := F. Jos F on kunnan K alikunta, on olemassa d Z + siten, että K = q d. Nimittäin, laajennuskunta K on F -kertoiminen vektoriavaruus. Kun K:lle valitaan kanta {e 1,..., e n }, on kuvaus L: F n K, L(x 1,..., x n ) := x 1 e x n e n, F - lineaarinen bijektio, joten joukossa K on yhtä monta alkiota kuin joukossa F n, jossa niitä on q n kappaletta. Jos kunnassa F on p k alkiota, on sen äärellisisten laajennuskuntien K alkioiden lukumäärä siis muotoa p k n. Erityisesti siis kunta, jossa on 4 = 2 2 alkiota ei voi olla alikunta kunnalle, jossa on 8 = 2 3 alkiota. Palautetaan mieleen äärellisen ryhmän G alkion kertaluku. Alkion a kertaluku on pienin positiivinen kokonaisluku k, jolle a k = 1 (= ryhmän ykkösalkio). Tämä on sama kuin alkion a virittämän aliryhmän {a k k Z} kertaluku. Lause 4.10 (Fermat n pieni lause). Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q alkiota. Tällöin a q = a kaikille a K. Todistus. Jos a = 0, on väite selvä. Olkoon a K = K\{0} =: G. Joukko G kertolaskulla varustettuna on äärellinen ryhmä, joten Lagrangen lauseen ( aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun ) nojalla alkion a virittämän aliryhmän {a k k Z} kertaluku jakaa luvun K = q 1. Jos alkion a kertaluku on k, on siis q 1 = k l jollekin l Z. Tällöin q q 1 = q k l = (a k ) l = 1 l = 1. 26

7 Fermat n alkuperäisessä väitteessä q = p on alkuluku, joten väite koski (nykykielellä ilmaistuna) kuntaa Z p. Fermat lla ei myöskään ollut käytössä modulaariaritmetiikkaa, ja väitteen Fermat esitti jaollisuusominaisuutena: p jakaa luvun a p 1 1 aina kun p on alkuluku ja a ja p ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja. Kongruenssikäsite on peräisin Gaussilta vuodelta 1801 (Disquisitiones arithmeticae). Seuraus Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q alkiota, ja F kunnan K alikunta. Tällöin polynomi x q x F [x] hajoaa renkaassa K[x] ensimmäisen asteen tekijöiden tuloksi x q x = a K(x a). Todistus. Fermat n pienen lauseen nojalla jokainen a K on polynomin x q x nollakohta. Tällöin jokainen x a, a K, jakaa polynomin x q x. Koska väitteessä esintyvien polynomien aste on q ja molemmissa johtava kerroin on ykkönen, seuraa väite. Lause Olkoot F äärellinen kunta, jossa on q alkiota, ja K kunnan F äärellinen laajennuskunta. Tällöin alkio β K on alikunnan F alkio, jos ja vain jos β toteuttaa yhtälön β q β = 0. Todistus. Fermat n pienen lauseen nojalla jokainen β F toteuttaa yhtälön β q β = 0. Polynomilla x q x F [x] on siis astelukunsa osoittama määrä juuria kunnassa F. Kuntakertoimisessa tilanteessa juuria ei voi olla enempää, joten mikään kunnan K alikuntaan F kuulumaton alkio ei voi olla polynomin x q x juuri. Lause Olkoon F kunta, jonka karakteristika on p. Tällöin kaikille α 1,..., α n F ja kaikille k Z + on voimassa (α α n ) pk = α pk α pk n. Todistus. Todistetaan väite tapauksessa n = 2; yleinen tapaus jää lukijan tehtäväksi (induktiolla). Binomikaavan nojalla kaikille α, β F on p ( ) k (α + β) p = α p k β k. p k=0 Koska p on alkuluku, on binomikerroin ( ) k p (p 1) ((p k + 1) = p k (k 1) 1 jaollinen luvulla p, kun 1 k p 1. Tällöin ( k p) α p k β k = 0, kun 1 k p 1, joten (α + β) p = α p + β p. Väite tapausessa k = 1 seuraa tästä. Kun saatu kaava korotetaan puolittain p. potenssiin, saadaan väite tapauksessa k = 2. Yleinen tapaus saadaan induktiolla. Lause 4.14 (Alikuntaehto). Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q = p n alkiota. Tällöin jokaisessa kunnan K alikunnassa F on p m alkiota jollekin m n. Kääntäen, jokaiselle m Z +, jolle m n, kunnalla K on täsmälleen yksi alikunta F, jossa on p m alkiota. 27

8 Todistus. Olkoon kunnan F alikoiden lukumäärä q. Tällöin lauseen 4.9 nojalla q = (q ) d. Lauseen 4.7 nojalla q = p m jollekin m Z +. (Huomaa: p on sama kunnille F ja K.) Siis p n = (p m ) d, joten n = m d ja siis m n. Kääntäen, olkoon m n, n = m d. Lause 4.12 kertoo, miten alikunta F pitää määritellä: asetetaan F := {β K β m = β}. Koska m n, on x pm x x pn x. Koska lauseen 4.11 nojalla x pn x = a K (x a), on polynomilla x pm x tasan p m juurta kunnassa K, t.s. joukossa F on p m alkiota. Osoitetaan, että F on kunnan K alikunta. Tätä varten olkoot α, β F. Edellisen lauseen 4.13 avulla (α + β) pm = α pm + β pm = α + β (α β) pm = α pm β pm = α β (α 1 ) pm = ( α pm ) 1 = α 1 Siis α + β F, α β F ja α 1 F, joten F on kunnan K alikunta. Lauseen 4.12 nojalla kunnan K ainoa p m -alkioinen alikunta on juuri F. Esimerkki Koska luvun 12 tekijät ovat 1, 2, 3, 4, 6 ja 12, joten esimerkiksi kunnalla F 3 12 on alikunnat (inkluusio tarkoittaa alikuntaa) F 3 12 F 3 6 F 3 3 F 3 F 3 4 F 3 2 F 3 28