KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57

KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57.1 Johdanto... 57. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys... 58.3 Schrödingerin yhtälö... 61.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio... 6.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta... 65.4.1 Kokonaisheijastus E < E... 66.4. Osittainen heijastuminen E > E... 7.4.3 Heijastumiskertoimen laskeminen... 71.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa... 73.6 Harmoninen oskillaattori... 8.7 Energiatasojen ja aaltofunktioiden ominaisuuksia... 91.8 Sironta potentiaalivallista... 97.8.1 Transmissiokertoimen ominaisuuksia... 99.9 Aaltofunktion symmetriaominaisuudet ja pariteetti... 1

Kvanttimekaniikan perusteet 57 Kvanttimekaniikan perusteet.1 Johdanto Jos tunnemme makroskooppiseen kappaleeseen kohdistuvat voimat, voimme Newtonin liikeyhtälöiden avulla kuvata kappaleen käyttäytymistä ajan funktiona periaatteessa rajattomalla tarkkuudella. Klassisen fysiikan perustan muodostavat Newtonin liikeyhtälöt ja eristetylle systeemille pätevät energian, liikemäärän ja kulmaliikemäärän säilymislait. Eristetylle systeemille voidaan määritellä seitsemän skalaarisuuretta, jotka ovat liikevakioita (liikemäärä- ja kulmaliikemäärävektorit sisältävät molemmat 3 skalaarivakiota). Klassisessa fysiikassa kappaleiden liiketilan muutoksia voidaan tutkia, ainakin periaatteessa, rajattomalla tarkkuudella häiritsemättä itse tutkittavaa systeemiä. Luvussa 1 olemme usean esimerkin avulla osoittaneet, että klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin lait eivät anna tarkkoja ennusteita mikroskooppisten systeemeiden rakenteesta tai niiden dynaamisesta käyttäytymisestä. Mikroskooppisia systeemejä kuvataan kvanttifysiikassa aineaaltojen ja sähkömagneettista kenttää fotonien avulla. Näiden uusien käsitteiden ohella käytettiin myös klassisen fysiikan säilymislakeja, jotka näyttävät säilyttävän pätevyytensä myös kvanttifysiikassa. Systeemiä kuvaavien fysikaalisten suureiden yhtäaikaisesti mitattujen arvojen tarkkuutta rajoittava Heisenbergin epämääräisyysperiaate ja hiukkasen energian kvantittuminen ovat uusia mikromaailman ominaisuuksia, jolle ei esiinny vastinetta klassisessa fysiikassa. Mikromaailman ilmiöiden kuvaamiseksi kehitettiin 19-luvun loppupuolella kvanttimekaniikan nimellä kulkeva matemaattinen teoria. Kvanttimekaniikan kehittämiseen vaikuttivat keskeisesti Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Max Born ja monet muut. Kvanttimekaniikassa hiukkasia kuvataan aineaaltojen avulla. Aineaaltoja kuvaa kenttäyhtälö, jonka ratkaisua kutsutaan hiukkasen aaltofunktioksi. Kvanttifysiikan mukaan aaltofunktion ja hiukkasen mitattavissa olevien

58. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys fysikaalisten ominaisuuksien, eli mittauksissa saatavien mahdollisten mittaustulosten, välillä on yksinkertainen matemaattinen yhteys. Tässä kappaleessa käydään lyhyesti läpi kvanttimekaniikan tärkeimmät perusolettamukset ja ominaisuudet. Myöhemmin tullaan johtamaan kvanttimekaniikan mallien avulla atomien, molekyylien ja kiinteän aineen tärkeimmät ominaisuudet.. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys Luvussa 1.1 pääteltiin, ettei mikrohiukkaselle voida määritellä liikerataa klassisen mekaniikan mielessä. Kvanttimekaniikan keskeisenä periaatteena on, että liikeradan sijasta mikroskooppista hiukkasta kuvaa ajasta riippuva aineaaltokenttä. Edellisessä kappaleessa kuvatut diffraktio- ja interferenssi-ilmiöt antavat aiheen olettaa, että aineaalloilla on yhteisiä perusominaisuuksia esimerkiksi sähkömagneettisten aaltojen kanssa. Eräs tällainen ominaisuus on seisovat aallot, ts. aallot, joissa muuttuvan kenttäsuureen (sähkökentän vektorikomponentti tai molekyylin poikkeama tasapainoasemastaan) itseisarvon neliö on ajasta riippumaton paikan funktio. Klassisesta sähkömagnetismissa kentän amplitudin neliö on verrannollinen sähkömagneettisen aallon intensiteettiin. On luonnollista ajatella, että jokin mikrohiukkasen ominaisuus on verrannollinen sitä kuvaavan aineaaltokentän itseisarvon neliöön. Tarkastellaan esimerkiksi atomin elektronia. Se ei koskaan voi etääntyä kauaksi ytimestä ollessaan sidotulla tilalla ja näin ollen elektronin liike rajoittuu alueelle, jonka ulottuvuus on atomin säteen luokkaa siis noin 9 1 m. On luonnollista ajatella, että hiukkaseen liittyvän aineaaltokentän amplitudi on merkittävästi nollasta poikkeava vain tällä samalla alueella. ψ x. Tätä suuretta Merkitään tätä aineaaltokentän amplitudia suureella ( ) kutsutaan seuraavassa hiukkasen aaltofunktioksi. Oletetaan, että hiukkanen voi liikkua vain yhdessä ulottuvuudessa ja valitaan koordinaatiston x-akselin tähän hiukkasen sallittuun liikesuuntaan. Tulosten yleistäminen 3- ulottuvuuteen on matematiikkaa, eikä tuo oleellista uutta fysiikan puolelle.

Kvanttimekaniikan perusteet 59 Kun klassisessa mekaniikassa aaltoliikkeen intensiteetti on verrannollinen amplitudin neliöön, kvanttimekaniikassa aineaaltokentän intensiteetti on verrannollinen aaltofunktion itseisarvon neliöön. Aaltofunktio on yleisesti kompleksiarvoinen, joten aaltofunktion itseisarvon neliön kirjoitetaan yleisesti muodossa ψ ( x) ψ * ( x) ψ ( x). Aaltofunktio voi olla erityistapauk- * ψ = ψ. Hiukkasen aaltofunktio on sissa myös reaalinen, jolloin vakiovaihetekijää lukuun ottamatta yksikäsitteinen. Toisin sanoen voimme aina kertoa hiukkasen aaltofunktion paikasta ja ajasta riippumattomalla i vaihetekijällä e δ ilman, että mitkään aaltofunktion määräämät hiukkasen ominaisuudet muuttuvat. Aineaaltokentän intensiteetillä tarkoitetaan hiukkasen esiintymistodennäköisyyttä tietyssä paikassa. Toisin sanoen todennäköisyys sille, että tietyssä x- akselin pisteessä havaitaan hiukkanen on verrannollinen aaltofunktion itseisarvon neliöön. Tarkastellaan kuvaa -1. Huomaamme ψ x että kuvassa -1a aaltofunktion ( ) Kuva - 1 Välillä AB liikkuvan hiukkasen (a) aaltofunktio ja (b) todennäköisyysjakauma.. amplitudi laskee hyvin nopeasti alueen AB ulkopuolella. Vastaavasti hiukkasen esiintymistodennäköisyys, joka on esitetty kuvassa -1b, rajoittuu x- akselin välille AB. Määrittelemme täsmällisemmin hiukkasen esiintymistodennäköisyyden siten, että todennäköisyys sille että hiukkanen sijaitsee x-akselin välillä [ xx, + dx] on P[ ] = ψ ( x) dx. + xx, dx Hiukkasen esiintymistodennäköisyys yksikköväliä kohden, eli todennäköisyystiheys on siis ( ) ψ ( x) P x =. Edellä olevat tarkastelut on helppo yleistää kolmeen ulottuvuuteen; aaltofunktio on tällöin kaikkien kolmen paikkakoordinaatin funktio ja todennäköisyys sille että hiukkanen sijaitsee suorakulmaisessa särmiössä, jonka ψ x, y, z sivujen pituudet ovat dx, dy ja dz, on ( ) todennäköisyys tilavuusyksikköä kohden on dxdydz. Vastaavasti

6. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys P = ψ ( xyz,, ). (.1) Tarkastellaan esimerkkinä atomiin sidotun elektronin aaltofunktiota ψ x, yz,. Kuvassa - on esitetty todennäköisyystiheys ψ etäisyyden ( ) funktiona atomin ytimestä. Ylempi kuvista esittää todennäköisyystiheyttä etäisyyden funktiona ytimestä laskien. Alemmassa kuvassa on esitetty todennäköisyystiheys tasossa, joka kulkee atomin ytimen kautta. Renkaat ja ytimen kohdalla esiintyvä tihentymä kuvaavat sitä, että elektronilla on suuri todennäköisyys esiintyä näillä alueilla. Jos mittaamme kokeellisesti elektronin paikan, saamme useiden peräkkäisten mittausten seurauksena tämän kuvan esittämän jakauman. Jos haluamme määrittää elektronin esiintymistodennäköisyyden jossain äärellisessä tilavuudessa V, meidän on integroitava elektronin todennäköisyystiheys tämän alueen yli. Toisin sanoen kirjoitamme V (,, ) P ψ x y z dxdydz = V. Jos varmuudella tiedämme elektronin olevan jossain tietyssä äärellisen suuressa avaruuden osassa, on luonnollista olettaa, että todennäköisyystiheyden integraali tämän avaruuden osan yli on varmuudella yksi. Toisin sanoen voimme kirjoittaa koko avaruus ( x y z) ψ,, dxdydz = 1. (.) Tätä yhtälöä kutsutaan normitusehdoksi. Huomattakoon, että on olemassa myös elektronitiloja, joita ei voida normittaa yhtälön Kuva - Atomin elektronin todennäköisyysjakauma. esittämällä tavalla. Nämä liittyvät sellaisiin elektronin ominaistiloihin, joissa elektroni on vapaa liikkumaan periaatteessa äärettömälle etäisyydelle ytimestä. Näitä kutsutaan sirontatiloiksi ja niiden normittamiseen tulemme palaamaan lyhyesti myöhemmin.

.3 Schrödingerin yhtälö Kvanttimekaniikan perusteet 61 Edellä on tuotu esiin analogian aineaaltokentän ja sähkömagneettisen kentän välillä. Samankaltainen vastaavuus on olemassa myös sähkömagneettisen kenttäyhtälön ja aineaaltoja kuvaavan kenttäyhtälön välillä. Seuraava tehtävä onkin löytää Maxwellin yhtälöitä (tai SM-kentän aaltoyhtälöä) vastaava kenttäyhtälö aineaalloille. Hiukkaseen liittyvä aineaaltokenttä riippuu hiukkasen energiatilasta, joten aineaaltoja kuvaava kenttäyhtälö sisältää riippuvuuden hiukkasen liike- ja potentiaalienergiasta. Tarkastellaan aluksi aaltofunktion riippuvuutta hiukkasen paikasta, eli ns. aaltofunktion avaruusosaa. Erwin Schrödinger ehdotti vuonna 196 aineaaltokenttää kuvaavaksi ajasta riippumattomaksi aaltoyhtälöksi ħ d ψ + E ( ) p x ψ = Eψ, (.3) m dx missä m on hiukkasen massa ja E ( ) p x hiukkasen potentiaalienergia. Yhtälön oikealla puolella esiintyvä vakio E on ominaisarvo ja ψ ( x) vastaava ominaisfunktio. Hiukkasen aaltofunktio on ominaisarvoyhtälön.3 ratkaisu. Hiukkasen mahdolliset energiat ja aaltofunktiot määräytyvät oleelli- E x perusteella. sesti hiukkasen potentiaalienergian ( ) p Schrödingerin yhtälö.3 on kvanttimekaniikan perusolettamus. Schrödingerin yhtälöä ei voi johtaa klassisen mekaniikan liikeyhtälöistä tai säilymislaeista. Sen sijaan voidaan osoittaa, että yhtälön.3 aikariippuvuuden sisältävästä yleistyksestä seuraa erityistapauksena muun muassa Newtonin liikeyhtälö. Täten on siis olemassa luonnollinen yhteys mikromaailman aineaaltokenttään liittyvän kvanttimekaniikan ja klassisen fysiikan Newtonin liikeyhtälön välillä. Newtonin mekaniikka edustaa tiettyä kvanttimekaniikan raja-arvoa. Luvussa 3 tulemme tarkastelemaan esimerkissä 3.1 de Broglie aallonpituushypoteesin perusteella analogiaa SM-aaltoyhtälön ja Schrödingerin yhtälön välillä. Tätä analogiaa voidaan pitää jonkinlaisena loogisena perusteluna Schrödingerin yhtälölle. Schrödingerin yhtälön määrittelemä kvanttimekaaninen malli on oleellisesti klassista fysiikkaa syvällisempi kuvaus aineen rakenteesta ja dynamiikasta.

6.3 Schrödingerin yhtälö.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio Tarkastelemme ensimmäisenä erityistapauksena vapaan hiukkasen Schrö- E x =. Seuraa- dingerin yhtälöä. Tällöin hiukkasen näkemä potentiaali ( ) p vassa voitaisiin olettaa yleisemmin, että potentiaali on paikasta ja ajasta riippumaton vakio, sillä tämä vain siirtää energia-asteikkoa vastaavalla määrällä. Schrödingerin yhtälöksi saadaan nyt ħ d ψ = Eψ, m dx mikä voidaan edelleen kirjoitta myös muodossa d ψ me + ψ =. (.4) dx ħ Yhtälöllä.4 on ratkaisu jokaisella ominaisenergian E arvolla. Luvusta I tiedetään, että vapaalle hiukkaselle E = p m. Sijoittamalla p = ħ k, missä k on aaltovektori, saadaan E = ħ k m. Näin aaltoyhtälö tulee muotoon d ψ + k ψ =. (.5) dx Yhtälö.5 on muodoltaan tarkalleen sama kuin seisovien sähkömagneettisten aaltojen (kentän paikasta riippuvan osan) toteuttama aaltoyhtälö. Schrödingerin yhtälö vapaalle hiukkaselle seuraa suoraan sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälöstä, jos oletamme aallonpituuden ja liikemäärän toteuttavan de Broglie-aallonpituuden mukaisen lausekkeen λ = h p. Kun palautamme mieliin kompleksilukujen perusominaisuudet, havaitsemme, että tasoaallot ikx ikx ψ ( x) = e ja ψ ( x) e = (.6) ovat yhtälön.5 ratkaisuja. Kuten tulemme myöhemmin osoittamaan ratkaisu ψ = e, liittyy hiukkaseen, jonka liikemäärä p = ħ k ja ikx energia E = p m = ħ k m ja joka liikkuu positiivisen x-askelin suuntaan. ikx Vastaavasti aaltofunktio ψ = e liittyy ominaistilaan, jossa hiukkasella

Kvanttimekaniikan perusteet 63 on sama liikemäärän itseisarvo ja energia, mutta hiukkanen liikkuu negatiivisen x-akselin suuntaan, ts. sen liikemäärän arvo on nyt p = ħ k. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ominaisuuksien perusteella yhtälön.5 yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa ψ ikx ikx ( x) Ae Be = +. (.7) Yleinen ratkaisu on siis negatiivisen ja positiivisen x-akselin suuntaan etenevien osittaisratkaisujen painotettu summa. Palataan seuraavaksi tasoaaltoratkaisujen.6 ominaisuuksiin. Näihin ratkaisuihin liittyvien aaltofunktioiden itseisarvon neliö on paikasta riippumaton ja ykkösen suuruinen. Jos aaltofunktion itseisarvon neliö on paikasta riippumaton vakio, todennäköisyys hiukkasen löytymiselle on sama kaikissa x-akselin pisteissä. Siksi tasoaaltoratkaisut, ± ikx ψ = e, kuvaavat ominaistilaa, jossa hiukkasen asemasta x-akselilla ei tiedetä mitään. Tämä on sopusoinnussa epätarkkuusperiaatteen kanssa, sillä tasoaaltotiloihin liittyvä liikemäärän arvo on tarkalleen määrätty eli p = ħ k ja p =. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen toteutuminen edellyttää x siten, että x p ħ. Jotta hiukkasen sijainnista x-akselilla saataisiin tarkempaa tietoa meidän täytyy muodostaa painotettu summa tasoaaltotiloista.6. Yleisessä muodossa voimme muodostaa painotetun summan tasoaaltotiloista aaltopaketin muodossa ψ ( x) = A( k) e ikx dk, (.8) missä Ak ( ) on tasoaaltoon e ikx liittyvän erityisratkaisun amplitudi eli painokerroin. Aaltopaketti.8 ei kuitenkaan ole ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Palaamme aaltopakettien ominaisuuksiin aikariippuvan Schrödingerin yhtälön yhteydessä. Schrödingerin yhtälö.3 on kirjoitettu hiukkaselle, joka liikkui vain yhdessä ulottuvuudessa. Schrödingerin yhtälö voidaan helposti yleistää kolmeen ulottuvuuteen ja kirjoittaa muodossa ψ ψ ψ + + E (,, ) + p xyzψ = Eψ. (.9) m x y z

64.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Kolmiulotteinen ratkaisu vapaalle hiukkaselle on tietenkin muotoa ψ ψ ψ + + Eψ m =. x y z Tämän yhtälön ratkaisu hiukkaselle, jonka liikemäärä E = ħ k m, on p = ħk ja energia i ψ = e kr. x y z Jätämme harjoitustehtäväksi osoittaa, että tämä tasoaaltoratkaisu todella toteuttaa kolmiulotteisen vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälön. Apuneuvoina voi käyttää yhtälöitä k r = kx x+ kyy+ kzz ja k + k + k = k.

Kvanttimekaniikan perusteet 65.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Johdamme seuraavaksi Schrödingerin yhtälön ratkaisun yksinkertaisessa analyyttisesti ratkeavassa erityistapauksessa. Kuvan.3 esittämää potentiaaliprofiilia kutsutaan potentiaaliaskeleeksi tai potentiaalikynnykseksi. Kuva.3 esittää hiukkasen potentiaalienergiaa, mutta tulemme jatkossa puhumaan usein myös hiukkasen näkemästä potentiaalista, joka on potentiaalienergia jaettuna hiukkasen varauksella. X-akselin negatiivisilla arvoilla potentiaalienergia on nolla. x- akselin positiivisella puolella potentiaalienergialla on paikasta riippumaton arvo E >. Todellisissa luonnossa esiintyvissä mikrosysteemeissä ei potentiaali voi muuttua epäjatkuvasti. Voidaan kuitenkin osoittaa, ettei potentiaalin epäjatkuvuudella ole (tässä tarkasteltavassa esimerkissä) ratkaisevaa laadullista vaikutusta aaltoyhtälön ratkaisuihin tai Kuva - 3 Potentiaaliaskel hiukkasten sirontaan kynnyksestä. Todellista fysikaalista potentiaalienergian muutosta kuvaa katkoviiva. Tämän kaltainen potentiaalienergian nopea kasvu tietystä arvosta korkeampaan arvoon esiintyy esimerkiksi metallin pinnalla. Metallin sisällä elektronien potentiaalienergia on alempi kuin metallin ulkopuolella. Tämä pitää metallin elektronit kiinni metallissa. Askelpotentiaalilla voidaan siis likimääräisesti kuvata esimerkiksi metallin elektronien käyttäytymistä pinnan läheisyydessä. Tarkastellaan nyt Schrödingerin yhtälön ratkaisuja kuvan.3 potentiaalissa. Tutkitaan erikseen tapauksia, joissa energia on pienempi kuin E ja suurempi kuin E. Olkoon aluksi hiukkasen energia E pienempi kuin E. Tällöin hiukkanen, joka tulee vasemmalta pisteeseen O ei voi klassisen mekaniikan mukaan läpäistä potentiaalikynnystä, sillä energian säilymislain mukaan hiukkasen kineettinen energia pisteen O oikealla puolella eli positiivisilla x-arvoilla tulisi olemaan Ek = E E eli negatiivinen. Näin ollen alue x > on klassisen mekaniikan mukaan kielletty hiukkaselta jonka energia on pienempi kuin potentiaalikynnyksen korkeus. Tämä tarkoittaa, että metallissa ne elektronit, joiden energia on

66.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta pienempi kuin potentiaalienergiakynnyksen korkeus metallin pinnalla eivät voi paeta metallista, vaan kohdatessaan metallin pinnan heijastuvat takaisin. Määräämme nyt Schrödingerin yhtälön ratkaisun tapauksessa, jossa hiukkasen energia on pienempi kuin potentiaalienergiakynnyksen korkeus..4.1 Kokonaisheijastus E < E Tarkastelemme aluksi erillisesti ratkaisua alueessa x <, ts. alue (I), ja x>, ts. alue (II). Alueessa (I), jossa potentiaali on nolla, voimme kirjoittaa Schrödingerin yhtälön muodossa d ψ 1 me ψ 1 dx + =. ħ Tämä vastaa vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälöä.4. Sen yleinen ratkaisu on yhtälön.7 mukaan 1 ( ) ikx ikx ψ x = Ae + Be. (.1) ikx Yhtälössä.1 ratkaisu, joka on verrannollinen tekijään e kuvaa vasemmalta oikealle tulevaa, eli sisääntulevaa, ja vastaavasti osittaisratkaisu ikx joka on muotoa e vasemmalle etenevää eli heijastunutta hiukkasta. Alu- E x = E, Schrödingerin yhtälö on eessa (II), jossa potentiaali on muotoa ( ) vastaavasti p d ψ m E dx ( E ) + ψ =. (.11) ħ Kun E < E, voimme määritellä positiivisen reaalisen suureen ( E) m E α = ħ siten, että yhtälö.11 tulee muotoon ψ d dx αψ =. (.1) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut voidaan esittää erityisratkaisujen ja superpositiona. Tarkastelemalla tähän ratkaisuun liittyvien toden- e α x e α x

Kvanttimekaniikan perusteet 67 näköisyystiheyksien käyttäytymistä muuttujan x funktiona huomataan, että x ratkaisu, joka on verrannollinen tekijään e α, ei ole hyväksyttävissä. Tähän erityisratkaisuun liittyvä todennäköisyystiheyshän kasvaa äärettömäksi muuttujan x kasvaessa. Tämä ei voi kuvata hiukkasta, joka saapuu kynnyksen läheisyyteen liike-energialla, joka on pienempi kuin kynnyksen korkeus. Voidaan siis olettaa, että ratkaisu on muotoa e α x ψ ( ) x = Ce α x..13 Ratkaisu ψ ei ole identtisesti nolla, joten hiukkasella on äärellinen, joskin eksponentiaalisesti pienenevä, todennäköisyys tulla havaituksi pisteen O oikealla puolella, eli x >. Tämä on ominaisuus, joka erottaa kvanttimekaanisen käyttäytymisen klassisesta mekaniikasta. Kvanttimekaniikassa se alue, jossa hiukkanen voi liikkua, ei ole koskaan tarkkaan rajattu. Aaltofunktion itseisarvon neliö eli todennäköisyystiheys laskee eksponentiaalisesti mitä kauemmaksi klassisesti kielletyn alueen sisään hiukkanen tunkeutuu. Yleisesti hiukkanen ei voi tunkeutua kovin pitkälle sellaiseen potentiaalienergia-alueeseen, joka on siltä klassisen mekaniikan mukaan kielletty. Seuraavaksi määrätään integrointivakiot A, B ja C vaatimalla aaltofunktion ja sen derivaatan jatkuvuus pisteessä x =. Aaltofunktion ja aaltofunktion derivaatan jatkuvuus on välttämätöntä, jotta todennäköisyysvirta olisi jatkuva kaikkialla avaruudessa. Jos näin ei olisi, pitäisi hiukkaseen liittyvää todennäköisyystiheyttä kadota jonnekin. Tämä ei ole mahdollista, sillä hiukkanen on jatkuvasti olemassa jossakin avaruuden pisteessä. Aaltofunktion ja derivaatan jatkuvuus pisteessä x = voidaan kirjoittaa muodossa ψ1( x = ) = ψ( x = ) dψ1( x = ) dψ( x = ). (.14) = dx dx Näistä ehdoista saadaan A B C + = ja ( ) ik A B = αc, joista voidaan edelleen ratkaista kertoimet A ja B kertoimen C avulla B = ( ik + α ) ik α A ja ika C =. ik α

68.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Voimme siis kirjoittaa aaltofunktion muodossa ik + α ψ x = A e + e 1 ( ) ikx ikx ik α ja ψ ( x ) ik α x = Ae ik α Vasemmalta tulevan hiukkasen aineaaltokentän intensiteetti (amplitudin itseisarvon neliö) on siis A. Vastaavasti heijastuneen aineaaltokentän intensiteetti on. ik + α ik + α ik + α B = A = A = A ik α ik α ik α Toisin sanoen tulevan ja heijastuneen kentän intensiteetit ovat samat. Tämä voidaan tulkita siten, että kaikki vasemmalta potentiaalikynnykseen tulevat hiukkaset heijastuvat takaisin, jos hiukkasten energia E < E, mikä on sopusoinnussa klassisen fysiikan säilymislakien kanssa. Aaltofunktio ψ 1 ( x) voidaan myös kirjoittaa vaihtoehtoisessa muodossa. A ikx ψ1 ( x) = ( ik α) e + ( ik + α) e ik α ± ikx ikx ja käyttämällä yhtälöitä e = coskx± isinkx, saadaan ik α ψ1 ( x) = A cos kx sin kx ik α k. Jättämällä molemmissa funktioissa ψ 1 ja ψ huomiotta yhteisen vakiotekijän ik ( ik α ) ne voidaan esittää reaaliarvoisina funktiona kuvan -4 tapaan. Mitä suurempi on potentiaaliaskeleen korkeus, sitä suurempi on parametrin α arvo ja sitä nopeammin funktio ψ lähestyy nollaa kun x >. Jos kynnyksen korkeus E tulee hyvin suureksi ja samalla α kasvaa on funktio ψ identtisesti nolla alueessa x >. Tämäkin vastaakin klassisen fysiikan raja-arvoa. Tällöin sanotaan että kaikki potentiaalikynnyksen kohtaavat vasemmalta tulevat hiukkaset heijastuvat kynnyksen kohdalta, x =, takaisin. Tällä rajalla voimme esittää funktion ψ 1 muodossa

Kvanttimekaniikan perusteet 69 ψ 1 = iasinkx = C sinkx. Tätä raja-arvoa esittää kuvan -5 aaltofunktio. Kuva - 4 Aaltofunktio potentiaali-askelelle E, kun E < E Kuva - 5 Ääretön potentiaalivalli ja siihen liittyvä aaltofunktio. Esimerkki.1. Elektronit, joiden energiat ovat 1 ev, 3 ev ja 9 ev, törmäävät E = 1 ev potentiaaliaskeleeseen, joka sijaitsee pisteessä x =. Laske, missä x-akselilla kunkin elektronin todennäköisyystiheys on pudonnut kymmenenteen osaan arvosta kynnyksen kohdalla. Ratkaisu: Alueessa x > todennäköisyystiheys (ks. yhtälö.13) on ψ ( x) C e α x = ħ =, missä α m( E E) pienenemiselle kymmenenteen osaan on. Ehto todennäköisyystiheyden ψ ( x) α x ln1 ħln1 = e =.1 x = = ψ ( x = ) α mv ( E) Numeroarvoiksi saadaan E x 1eV,75Å 3eV,85Å 9eV,5Å

7.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta.4. Osittainen heijastuminen E > E Seuraavaksi tarkastellaan tapausta E > E. Kuva -6 esittää aaltofunktion reaaliosaa. Tällöin vasemmalta tulevan potentiaalikynnyksen kohtaavan hiukkasen kokonaisenergia on kynnyksen korkeutta suurempi. Klassisen mekaniikan mukaan hiukkasen liike-energian ollessa suurempi kuin potentiaalienergiakynnys kaikki hiukkaset läpäisisivät kynnyksen saapuessaan alueesta (I). Kvanttimekaniikan antama ennuste hiukkasen käyttäytymiselle on selvässä ristiriidassa yllä kuvatun klassisen mekaniikan mukaisen käyttäytymisen kanssa. Ratkaistaan jälleen Schrödingerin yhtälön erikseen alueessa (I) ja (II). Alueessa (I) Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on yhä ψ 1 ikx ikx = Ae + Be. Alueessa (II) Schrödingerin yhtälön ratkaisu on muodoltaan erilainen kuin edellisessä kohdassa, jolloin hiukkasen energia oli kynnyksen korkeutta pienempi. Merkitään aaltovektorin neliötä k = m E E ħ ja kirjoitetaan Schrödingerin yhtälön alueessa (II) ( ).11 muodossa d ψ dx + k ψ =. Tämän yhtälön ratkaisu on matemaattiselta muodoltaan sama kuin alueessa (I) saatava yleinen ratkaisu. Jälleen voidaan käyttää hyväksi fysikaalista reunaehtoa. Alkuehtona oletettiin, että hiukkaset saapuvat alunperin kynnykselle alueesta (I). Siksi Kuva - 6 Tulevan, heijastuneen ja läpäisseen aallon voidaan olettaa, että alueessa (II) ei reaaliosat. voi esiintyä x-akselin negatiiviseen suuntaan kulkevaa hiukkasvirtaa. Näin ollen voidaan yleisessä ratkaisussa termi aaltoyhtälön ratkaisuksi saadaan e ik x jättää pois ja ψ ( x) ik x = Ce. (.15)

Kvanttimekaniikan perusteet 71 Seuraavaksi käytetään jatkuvuusehtoja (.14) pisteessä x =. Funktion ja sen derivaatan jatkuvuus antavat Schrödingerin yhtälön ratkaisuissa esiintyville integrointivakioille yhtälöt A B C k A B = kc. + = ja ( ) Näistä yhtälöistä ratkaistaan jälleen vakiot B ja C vakion A avulla, jolloin B k k A k k C = ka k + k. Aaltoyhtälöiden ratkaisut saadaan = ( ) ( + ) ja ( ) alueessa (I) ja (II) ovat siis vastaavasti k k ψ x = A e + e 1 ( ) ikx ikx k + k ja ψ ( x ) k ik x = Ae k + k..16 Se että vakio B kertoo että alueessa (I) esiintyy myös x-akselin negatiiviseen suuntaan eteneviä hiukkasia. Tämä on ristiriidassa klassisen mekaniikan kanssa; osa hiukkasista heijastuu takaisin potentiaalikynnyksestä, vaikka hiukkasten liike-energia riittäisikin kynnyksen ylittämiseen..4.3 Heijastumiskertoimen laskeminen Seuraavaksi lasketaan potentiaaliaskeleen heijastus- ja läpäisykertoimet tapaukselle E >. Luvussa 3 tullaan osoittamaan, että aaltofunktioon.16 liittyvä todennäköisyysvirran tiheys saadaan yhtälöstä * * ψ( x) ψ ( x) j( x) = ψ ( x) ψ( x) im x x (.17) Todennäköisyysvirta tarkoittaa todennäköisyyttä, jolla hiukkanen ohittaa tarkastelupaikan aikayksikköä kohden. Todennäköisyysvirta on tasoaallon kuvaamalle hiukkaselle aaltofunktion itseisarvon neliö kertaa hiukkasen nopeus. Todennäköisyysvirran lauseke.17 on johdettu esimerkissä 3.4. Käyttämällä yhtälöä.17 saadaan aaltofunktion todennäköisyysvirraksi alueessa I ħk m ħk m j1 = A B = jinc + jrefl. (.18)

7.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Huomaamme, että todennäköisyysvirta jakaantuu kahteen osaan, joista inc ( / ) j = ħk m A on verrannollinen vasemmalta tulevien hiukkasten amplitudin itseisarvon neliöön kerrottuna hiukkasen nopeudella ħ k/ m. Kutsumme tätä sisään tulevaksi virraksi. Vastaavasti j ( / ) = ħ k m B on heijastuneen (alueessa I vasemmalle etenevän hiukkasvirran) tiheys. refl Alueessa II todennäköisyysvirta on vastaavasti ħk ' j = C = j m trans. (.19) Alueessa II esiintyy vain oikealle etenevien potentiaaliaskeleen läpäisseiden hiukkasten virta j trans. Heijastumiskerroin määritellään suhteena R = j / j, joten refl inc kb k k' R = = ka k + k', (.) ja transmissiokerroin vastaavasti T = j / j eli trans inc k' C T = = 4 kk ' ka ( k + k' ). (.1) Kuva - 7 Ylempi kuva esittää heijastus- ja läpäisykertoimia, kun potentiaalienergia kasvaa määrällä E >. Alempi kuva esittää heijastus- ja läpäisykertoimet kun potentiaalienergia pienenee määrällä E >. Kertoimet on esitetty yksiköttömän suureen E / E (hiukkasen liike-energia jaettuna kynnyksen korkeudella) funktiona. Yksinkertaisella laskutoimituksella saadaan R + T = 1. Hiukkanen voi kohdatessaan potentiaalikynnyksen joko heijastua tai läpäistä kynnyksen, mutta se ei voi kadota potentiaalikynnyksessä. Kuvan -7 ylempi osa esittää heijastuskertoimen ja läpäisykertoimen hiukkasen liike-energian ja potentiaaliaskeleen suhteen E / E funktiona.

Kvanttimekaniikan perusteet 73 Tarkastellaan lopuksi tilannetta, jossa hiukkasen näkemä potentiaalienergia laskee arvosta E p = (x < ) arvoon Ep = E pisteessä x =. Hiukkanen kulkee siis potentiaaliportaan läpi alamäkeen. Heijastus- ja läpäisykertoimet saadaan yhä kaavoista.,.1, joissa on kuitenkin korvattava potentiaalienergia E vastaluvullaan E. Kuvan -7 alempi osa esittää heijastus- ja läpäisykertoimia suureen E / E funktiona kuljettaessa porras alamäkeen. Kuvasta huomataan, että pienillä liike-energian arvoilla lähes kaikki hiukkaset heijastuvat takaisin, vaikka potentiaalienergia pienenee kynnyksen kohdalla!.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa Tarkastellaan seuraavaksi potentiaalilaatikkoa, jossa mikroskooppisen hiukkasen liike on rajoitettu x-akselin välille [, a ]. Potentiaalienergian arvo x-akselin välillä [, a ] on nolla ja tämän välin ulkopuolella potentiaalienergia oletetaan äärettömäksi. Potentiaalilaatikon hiukkanen voi olla esimerkiksi metallikappaleen elektroni, joka kohdatessaan metallin pinnan hyvin jyrkän potentiaaliseinämän heijastuu siitä takaisin. Metallikappaleen sisällä potentiaali on likimain vakio. Toisin sanoen elektroni voi liikkua vapaasti metallissa, mutta se ei voi paeta metallikappaleesta. Jos elektronin liike-energia on paljon pienempi kuin pinnalla olevan potentiaalienergiavallin korkeus, voidaan tilannetta approksimoida potentiaalilaatikolla. Tällaista (lähes) äärettömän syvää E x = välillä potentiaalilaatikkoa esittää kuva -8. Potentiaalin arvo ( ) p < x< a ja E p =+ tämän välin ulkopuolella. Koska potentiaali kasvaa äärettömäksi välin [, a ] ulkopuolella, voidaan olettaa, että hiukkasen aaltofunktio ei tunkeudu näiden äärettömän kovien seinämien sisään. Lähdettäessä ratkaisemaan Schrödingerin yhtälöä voidaan siis olettaa reunaehtona, että aaltofunktio on nolla pisteissä x = ja x = a. Schrödingerin yhtälö on potentiaalilaatikossa sijaitsevalle hiukkaselle d ψ + k ψ =, dx k = me ħ. (.)

74.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa ψ ikx ikx ( x) Ae Be = +. Yleisessä ratkaisussa on mukana molempiin suuntiin liikkuvaa vapaata hiukkasta kuvaavat aaltofunktiokomponentit. Soveltamalla nyt reunaeh- ψ x = = saadaan toa pisteessä ( ) A+ B =, eli B = A, voimme siis kirjoittaa ratkaisun muodossa Kuva - 8 Yksiulotteinen potentiaalilaatikko ikx ikx ( ) = ( ) = sin ψ x A e e ia kx = Csin kx, missä C = ia. Aaltofunktion voidaan aina kertoa kompleksisella vakiotekijällä ilman, että mitkään aaltofunktion antamat ennusteet hiukkasen fysikaalista ominaisuuksista (todennäköisyystiheys tai fysikaalisten suureiden odotusarvot) muuttuvat. Näin ollen voidaan olettaa, että potentiaalilaatikolle vakio C on reaalinen. Soveltamalla reunaehtoa pisteessä x = a, saadaan ψ ( x = a) = Csin ka =. Koska vakio C ei voi olla nolla (muuten saataisiin ratkaisu, jossa todennäköisyystiheys on nolla kaikkialla) voidaan päätellä, että sinka = eli ka = nπ, missä n on kokonaisluku. Ratkaisemalla tästä aaltovektorin k saamme, k = nπ a, eli p = ħk = nπ ħ a. (.3) Tästä saamme myös hiukkasen kineettisen ja kokonaisenergia. Koska potentiaalienergia E p =, voimme kirjoittaa kokonaisenergialle p n π ħ E = = m. (.4) ma

Kvanttimekaniikan perusteet 75 Yhtälöstä.4 huomataan, että energia riippuu ainoastaan kokonaisluvun n neliöstä. Kokonaisluku n = jätetään huomiotta, koska se antaa aaltofunktion, joka on nolla kaikkialla. Negatiiviset kokonaisluvut eivät anna aidosti erilaisia ratkaisuja, sillä aaltofunktio vain vaihtaa merkkinsä kun n n. Kaikki fysikaaliset energia-arvot ja aaltofunktiot saadaan jo positiivisista kokonaisluvuista n = 1,, 3, jne.. Näihin liittyvät energian ominaisarvot ovat siis vastaavasti E = E 1, 4E 1, 9E 1, jne., missä E = ħ π ma. Yhtälöstä.4 1 huomataan, että hiukkasen energialla ei voi olla mitä arvoa tahansa, vaan ainoastaan nämä diskreetit arvot, joita kutsutaan Schrödingerin yhtälön ominaisarvoiksi. Potentiaalilaatikko on erikoistapaus, jossa hiukkasella on ainoastaan epäjatkuva eli viivaspektri. Ominaisarvoja.4 on kuvattu kuvassa -9 energiatasoina. Potentiaalilaatikolle energian ominaisarvot ovat oleellisesti erilaiset kuin potentiaaliaskeleen tapauksessa, jossa Schrödingerin yhtälöllä ei ole sidottuja ti- Kuva - 9 Energiatasot yksiulotteisessa potentiaalilaatikossloja, vaan ainoastaan energiatilajatkumo. Kuten aiemmin on mainittu, diskreettien energiatasojen olemassaolo ei rajoitu äärettömän potentiaalilaatikon erikoistapaukseen. Yleisesti, jos hiukkasen näkemällä potentiaalilla on absoluuttinen minimiarvo jossain x-akselin pisteessä, niin ainakin osa hiukkasen energiatasoista (ominaisenergioista) on diskreettejä. Energian ominaisarvojen epäjatkuvuus johtuu reunaehdoista, jotka liittyvät hiukkasen liikettä rajoittavan potentiaalin olemassaoloon. Energiatasojen diskreettisyys on ominaisuus, joka on sisäänrakennettu Schrödingerin yhtälöön ja luonnollinen seuraus tästä aineaaltokentän toteuttamasta aaltoyhtälöstä. Kun aaltovektorin sallitut arvot.3 sijoitetaan aaltofunktioon ψ ( x), saamme energiatilan n ominaisfunktioksi ( ) sin ( π ) ψ n x = C n x a. (.5)

76.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa Analogia klassiseen fysiikkaan ilmenee siinä, että aaltofunktio.5 on (vakiotekijää lukuunottamatta) sama kuin jännitetyssä langassa esiintyvien seisovien aaltojen poikkeama tasapainoasemasta tiettynä ajanhetkenä. Kolmen alimman tilan aaltofunktiot ja niihin liittyvät todennäköisyystiheydet on esitetty kuvassa -1. Perustilassa olevalle hiukkaselle energia 1 π E = E = ħ ma, eikä nolla niin kuin klassisen mekaniikan perusteella voisi olettaa. Tämä vähimmäisenergia voidaan ymmärtää myös epämääräisyysperiaatteen avulla. Jos hiukkanen sijaitsee potentiaalilaatikossa, jonka leveys on a, voimme kirjoittaa hiukkasen paikan epämääräisyydelle karkean likiarvon x = a. Jos oletetaan, että hiukkanen liikkuu laatikossa edestakaisin, on liikemäärän epämääräisyys suuruusluokkaa p = p. Epämääräisyysperiaatteen mukaan x p h. Tästä syystä voidaan kirjoittaa ap h eli p π ħ / a, mistä saamme edelleen ( ) E ħ π / ma = E. Siksi energiaa E 1 kutsutaan joskus myös hiukkasen nollapiste-energiaksi. Nollapisteenergia on tyypillinen potentiaaleille, jossa hiukkasen liike on rajoitettu tiettyyn avaruuden osaan. Kuva - 1 (a) Potentiaalilaatikon kolmen alimman tilan aaltofunktiot ja (b) vastaavat todennäköisyystiheydet. Tarkastellaan vielä Schrödingerin yhtälön ratkaisussa esiintyvän vakion C määräämistä. Käytetään seuraavaksi todennäköisyystiheyden normitusehtoa. Hiukkanen on varmuudella jossain potentiaalilaatikon pisteessä. Jos integroimme hiukkasen todennäköisyystiheyden potentiaalilaatikon yli, on tuloksen oltava yhtä kuin 1 todennäköisyyslaskennan periaatteen mukaan. Todennäköisyystiheydelle voidaan siis kirjoittaa normitusehto 1 a ψ ( ) n x dx = 1 eli C ( ) a sin nπ x a dx = 1.

Kvanttimekaniikan perusteet 77 Ratkaisemalla integrointivakion C, saadaan C = a. Normitettu aaltofunktio voidaan siis tässä esimerkkitapauksessa esittää reaalisessa muodossa ( ) sin( π ) ψ n x = a n x a. (.6) Potentiaalilaatikon ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia. Jos valitsemme mielivaltaiset kaksi ominaisfunktiota ψ ja ψ, ne toteuttavat yhtälön n n a * ψψ dx =, n n. (.7) Voimme osoittaa tämän ortogonaalisuusominaisuuden helposti sijoittamalla yhtälöön.7 potentiaalilaatikon ominaistilat, jolloin saamme nπx n πx ψψ sin sin dx a a a a * a n ndx = ( ) π ( + ) 1 a n n x n n πx = cos cos dx a = a a, missä on käytetty kosinifunktiolle päteviä trigonometrian kaavoja. Voidaan osoittaa, että tämä aaltofunktioiden ortogonaalisuusominaisuus ei rajoitu potentiaalilaatikkoon, vaan on yleinen niin sanottujen lokaalisten potentiaalien ominaisuus. Esimerkki.. Tarkastelemme seuraavaksi hiukkasen energiatasoja kolmiulotteisessa potentiaalilaatikossa. Laatikon seinien pituudet ovat a, b ja c, katso kuvaa -11. Voidaan osoittaa, että kolmiulotteinen Schrödingerin yhtälö separoituu tässä erityistapauksessa kolmeksi erilliseksi Schrödingerin yhtälöksi, joista kukin on muodoltaan Kuva - 11 Kolmiulotteinen potentiaalilaatikko.

78.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa 1-ulotteisen potentiaalilaatikon Schrödingerin yhtälön (.) kaltainen. Saamme erillisen yhtälön kullekin muuttujalle x, y, z ja yhtälöt voidaan ratkaista toisistaan riippumatta. Yhtälön.3 mukaan voimme kirjoittaa liikemäärän arvoiksi kolmessa eri suunnassa πħ n 1 πħ 3 px, p n πħ = y =, p n z = a b c, missä suureet n 1, n, n 3 ovat positiivisia kokonaislukuja. Kokonaisenergia on riippumattomien yhtälöiden ominaisarvojen summa π n1 n n 3 E = ( px + py + pz ) m= + + m a b c. (.8) Tämä kokonaisenergian lauseke antaa kolmiulotteisessa laatikossa sijaitsevan hiukkasen ominaisenergiat. Voidaan osoittaa, että vastaava ominaisfunktio saadaan kertomalla kunkin kolmen ominaisarvoyhtälön ratkaisut keskenään, jolloin saamme 1 3 sin n π x sin n π y sin n π z ψ = C. (.9) a b c Lukija voi helposti osoittaa suoralla sijoituksella, että aaltofunktio.9 on kolmiulotteisen Schrödingerin yhtälön.9 ratkaisu, jos potentiaalienergia E p =. Samalla huomataan, että vastaavat ominaisarvot saadaan yhtälöstä.8. Aaltofunktio.9 on nolla suorakulmaisen särmiön kaikilla tahkoilla ja muistuttaa muodoltaan suorakulmaiseen särmiöön rajoittuvaa seisovan aallon amplitudia esimerkiksi sähkömagneettiselle aallolle. Käsittelemme seuraavaksi tärkeää erityistapausta, jossa laatikko on kuution muotoinen, ts. a= b= c. Ominaisenergiat ovat nyt π ħ π ħ E = n + n + n = ma ma ( 1 3) κ missä ( n 1 n n3 ) κ = + + ja vastaavat ominaisfunktiot, (.3) πnx 1 πny πnz 3 ψ = C sin sin sin a a a. (.31) Huomattakoon, että hiukkasen energia riippuu ainoastaan suureesta κ, joka on kolmen nollaa suuremman kokonaisluvun neliön summa. Tämä tarkoittaa sitä että kaikki ne Schrödingerin yhtälön ominaistilat joilla kokonaislukujen n 1, n, n 3 neliöiden summa on sama liittyvät samaan ominai-

Kvanttimekaniikan perusteet 79 senergiaan. Jos samaan ominaisenergiaan liittyy useita eri aaltofunktioita, sanomme ominaistiloja degeneroituneiksi. Niiden ominaistilojen lukumäärää, joilla on tämä mainittu yhteinen energia ilmoittaa Taulukko -1 Kolmiulotteisen potentiaalilaatikon energiatasot ja degeneraatiot energiatason (ominaisenergian) degeneraatioasteen. Taulukossa.1 olemme esittäneet kuuden alimman ener- 3E 1,1,1 1 Energia Yhdistelmät n, n, n Degeneraatio, g 1 3 giatason degeneraatioasteet 6E 1,1,, 1,,1,,1,1 3 ja ne kokonaisluvut n 1, n, n 3, 9E 1,,,,1,,,,1 3 jotka liittyvät kuhunkin energiatasoon. Esimerkissämme ominaisenergiat on 1E,, 1 11E 1,1, 3, 1, 3,1, 3,1,1 3 lausuttu yksiköissä E = π ħ ma. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,, 3 ),( 1, 3, ), (,1, 3 ), (,3,1 ),( 3,1, ),( 3,,1) 14E 6 Esimerkki.3. Energiatilojen tiheys hyvin suuressa kolmiulotteisessa potentiaalilaatikossa. Tarkastellaan äärettömän kovaa kolmiulotteista potentiaalilaatikkoa. Laatikon tilavuus V = a, missä a on särmän pituus. Laatikossa oleva hiukka- 3 nen voi olla esimerkiksi metallin johtovyön elektroni. Elektroni voi liikkua likimain vapaasti metallikappaleen sisällä, mutta kappaleen reunalla sen pitää metallin sisällä rajapintapotentiaali, jota voidaan approksimoida potentiaalilaatikolla. Tilatiheyden laskemiseen tarvitsemme.3 annettuja ominaisenergioita. Nämä ominaisenergiat ovat hiukkasen sallitut energiatasot. Tarkastellaan nyt ominaistilojen lukumäärää suureen ( n1 n n3 ) κ = + + funktiona. Positiivisten koordinaattiakseleiden ξ, η, ζ määräämässä osassa avaruutta liitämme kuhunkin kolmen positiivisen kokonaisluvun yhdistelmään särmältään ykkösen suuruisen kuution. Näin jokaista energiatilaa vastaa tilavuudeltaan ykkösen suuruinen osa tästä koko Kuva - 1 Jokaiseen energiatilaan liittyy kolme kokonaislukua. Lukukolmikko varaa yhden yksikön suuruisen tilavuusalkion kolmiulotteisessa lukuavaruudessa. avaruuden 1/8 osan käsittävästä alueesta, katso kuva -1. Kun κ kasvaa,

8.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa tulee vierekkäisten energiatilojen välinen suhteellinen ero E / E yhä pienemmäksi ja tilojen voidaan katsoa muodostavan jatkumon. Tätä on havainnollistettu kuvassa -13. Tarkastellaan nyt tilojen lukumäärää sellaisella pallokuorella, jonka paksuus tässä indeksiavaruudessa on κ. Vastaava energiaero kuoren sisä- ja ulkoreunan välillä on Kuva - 13 Energiatasot pienessä ja suuressa potentiaalilaatikossa. Ison laatikon tilatiheys on esitetty skemaattisesti. π E = κ κ = ma 1/. (.3) ma 1/ = E κ π Tilojen lukumäärä tässä alueessa on kuoren tilavuus N = (1/ 8)4πκ κ, eli kahdeksas osa koko pallokuoren tilavuudesta. Ratkaisemalla tästä κ ja sijoittamalla yhtälöön.3 saamme hiukkasten tilatiheydeksi 1/ 3/ N 4πκ κ π π ma 1/ ge ( ) = = = E E 1/ 4 16E κ ma π 1/ 3/ ( ) π m V E 1/ =. 3 h (.33a) Yhtälössä.33 kuution tilavuus muodossa V 3 = a. Tilatiheys esitetään usein myös 3/ m V 1/ g( E) = E 1/ 3 π ħ, (.33b) missä on käytetty Planckin vakion toista esitysmuotoa ħ = h /π. Tilatiheys.33 b on esitetty kuvassa -14. Huomataan, että tilojen lukumäärä energiayksikköä kohden on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja energian neliöjuureen samoin kuin aiemmin tilastollisen fysiikan kurssissa johdettu kaasumolekyylien tilatiheys. Klassisen mekaniikan perusteella voidaan molekyylien tilatiheydelle johtaa riippuvuus energiasta ja tilavuudesta. Tilatiheyden edessä olevan vakion

Kvanttimekaniikan perusteet 81 johtaminen edellyttää kvanttimekaanista tarkastelua. Yhtälössä.33 ei oteta huomioon esimerkiksi elektronien spinvektorin (elektronin spiniin palaamme myöhemmin) suuntaa. Tästä syystä on elektronien tilatiheys kerrottava kahdella, jos haluamme sen edustavan molempiin spintiloihin liittyvää kokonaistilatiheyttä. Kuva - 14 Energiatasojen tiheys isossa kuutiollisessa potentiaalilaatikossa.

8.6 Harmoninen oskillaattori.6 Harmoninen oskillaattori p Harmoninen oskillaattorissa hiukkasen potentiaalienergia on muotoa 1 E = kx. Harmonista oskillaattoria voidaan käyttää mallina useille mikroskooppisille värähtelijöille. Esimerkiksi kiinteän aineen hilaverkossa tai molekyyleissä atomien keskinäiseen värähtelyyn liittyvä potentiaalienergia on verrannollinen tasapainoasemasta lasketun poikkeaman neliöön, jos poikkeama tasapainoasemasta on pieni. Harmonista potentiaalia ja siihen liittyviä energiatasoja esittää kuva -15. Harmonista oskillaattoria voidaan käyttää mallina useille mikroskooppisille värähtelijöille. Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö on ħ d ψ mdx 1 + kx ψ = Eψ..34 Yhtälön.34 ratkaisut on johdettu esimerkissä.4. Tarkastelemme seuraavaksi harmonisen oskillaattorin ominaisfunktioiden (Taulukko -) tärkeimpiä ominaisuuksia. Klassisen mekaniikan mukaan harmonisen oskillaattorin kulmataajuus voidaan Kuva - 15 Harmonisen oskillaattorin potentiaalienergia ja energiatilat. esittää muodossa ω = km. Kuten esimerkissä.4 on osoitettu, harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälön ominaisenergiat voidaan esittää muodossa n 1 ( ) E = n+ ħ ω, (.35) 1 missä n on nolla tai positiivinen kokonaisluku. Alimmat energiatasot ovat siis E = 1 ħω, E = 3ħω, E = 5ħ ω,... Mielenkiintoisena yksityiskohtana huomattakoon, että harmonisen oskillaattorin perustilan energia on E = 1 ħ ω, eikä nolla niin kuin klassisen harmonisen oskillaattorin. Tämä on ns. nol-

Kvanttimekaniikan perusteet 83 Kuva - 16 Ensimmäisen kolmen energiatilan aaltofunktiot Kuva - 17 Ensimmäisen kolmen energiatilan todennäköisyystiheydet lapiste-energia. Sitä ei havaita suoraan ominaistilojen välisissä siirtymissä, joissa energiatilojen erotuksessa nollapiste-energia supistuu pois. Taulukossa. olemme esittäneet muutamien alimpien energiatilojen aaltofunktioita. Huomattakoon että aaltofunktiot on tässä normitettu siten,, + on 1. Vaihetekijä että todennäköisyystiheyden integraali väliltä [ ] on valittu siten, että kaikki funktiot ovat reaalisia. Aaltofunktiot ja niiden itseisarvon neliö on esitetty kuvissa.16 ja.17. Aaltofunktio ei pienene tarkalleen nollaan siellä, missä potentiaalienergian arvo leikkaa Taulukko - Harmonisen oskillaattorin alimpien energiatilojen aaltofuntiot. energiatason. Tämä on jälleen yksi esimerkki kvanttimekaniikassa yleisestä tunneloitumisesta sellaiseen alueeseen, joka on klassisen mekaniikan mukaan kielletty. Yllä on tarkasteltu yksiulotteista oskillaattoria. Mikäli oskillaattorin värähtely tapahtuu kolmessa 1 3 5 7 n 3 1 ( ) n E ψ x ( ) = ( ) 1 ( ) = ( ) ħω ψ x a π e 1 ax 1 ħω ψ x a π axe ax 1 ( ) = ( ) ( ) ax ħω ψ x a 8 π 4a x e 1 ( ) = ( ) ( ) 3 3 ax 3 ħω ψ x a 48 π 8a x 1ax e ulottuvuudessa, joissa kaikissa on sama jousivakio, voidaan ominaisenergiat esittää muodossa n

84.6 Harmoninen oskillaattori n 3 ( ) E = n+ ħ ω. (.36) Ainoa ero on energioihin.35 nollapiste-energiassa joka on nyt kolme kertaa suurempi, ts. hiukkasella on (1/ )ħω nollapiste-energiaa kaikissa kolmessa ulottuvuudessa. Esimerkki.4. Harmonisen oskillaattorin ominaisfunktioiden johtaminen. Tässä esimerkissä johdamme rekursiokaavan harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälön ominaistiloille. Lähtökohtana on harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö.34. Etsimme sellaisia tämän ominaisarvoyhtälön ratkaisuja, jotka ovat jatkuvia ja joiden ominaisfunktio on nolla positiivisessa ja negatiivisessa äärettömyydessä. Muutamme aluksi yhtälön.34 dimensiottomaan muotoon ottamalla käyttöön uuden muuttujan y = α x, missä α = mk ħ. Sijoittamalla tämä yhtälöön.34 saamme ( n y ) d ψ + λ ψ =, (.37) dy reunaehto ( ) missä λn = En ħω ja ω = km on oskillaattorin klassinen resonanssitaajuus. Olemme tässä ottaneet myös käyttöön alaindeksin n, mikä implisiittisesti tarkoittaa, että oletamme energiatilojen olevan kvantittuneet. Kun muuttuja x lähestyy ääretöntä, myös y lähestyy ääretöntä. Hiukkanen on sidottu oskillaattorin potentiaalikuoppaan, joten todennäköisyystiheys lähestyy äärettömyydessä nollaa. Aaltofunktiolle pätee siksi asymptoottinen ψ y =. Suurilla muuttujan y arvoilla voimme jättää tekijän λ huomiotta yhtälössä.37, jolloin differentiaaliyhtälö saa yksinkertaisen muodon d dy ψ = y ψ. (.38) Sekä yhtälö.37 että yhtälö.38 ovat parillisia muuttujan y suhteen. Yhtä- ψ y =, kun y ±, on lön.38 ratkaisu, joka toteuttaa reunaehdon ( ) ( y) β y ψ = Ae. (.39) Sijoittamalla.39 yhtälöön.38, saamme β y β y β y βae + 4β y Ae = y Ae.

Kvanttimekaniikan perusteet 85 Kun y on hyvin suuri, vasemman puolen ensimmäinen termi on paljon pienempi kuin toinen ja voidaan jättää huomiotta. Tästä saamme parametrille β ehdon β = 1/. Kun yrite.39 sijoitetaan alkuperäiseen ominaisarvoyhtälöön.37 saadaan supistamalla eksponenttifunktiot y n y 4β β + λ =. (.4) Koska yhtälö.4 seuraa suoraan Schrödingerin yhtälöstä.37, sen on toteuduttava kaikilla muuttujan y arvoilla. Tämä on mahdollista vain, jos muuttujan y kuhunkin potenssiin verrannollisten termien summa on nolla. Edellä johdettu β = 1/ takaa, että y :n toisen asteen termien summa on nolla. Muuttujan y nollannen asteen kertoimien summan tulee myös olla nolla. Tästä seuraa λ n = 1. Näin olemme ratkaisseet alimman ominaisarvon En 1 = E = ħω. (.41) Vastaava ominaisfunktio on y x ( x) Ae α = = Ae ψ. (.4) Tämä voidaan vielä normittaa tavalliseen tapaan. Seuraavaksi määräämme ensimmäisen viritetyn tilan aaltofunktion. Koska potentiaali V ( x ) on symmetrinen, Schrödingerin yhtälön ratkaisuilla on aina hyvin määritelty pariteetti, parillinen tai pariton. Johtamamme perustilan aaltofunktio on parillinen. Voidaan osoittaa, että kaikille peilisymmetrisille potentiaaleille alin energiatila on parillinen. On luonnollista olettaa, että ensimmäinen viritetty tilan on vastaavasti pariton. Tästä syystä etsitään seuraavaksi sellaista asymptoottisen yhtälön.38 ratkaisua, joka suurilla etäisyyksillä vaimenee kuten y e ja on samalla pariton funktio. Yksinkertaisin tällainen funktio on y x 1( x) A1ye α = = A1( x) e ψ α. (.43) Jos sijoitamme tämän funktion yhtälöön.37, saamme yhtälöä.4 vastaavan yhtälön 3 3 λ1 λ1 y y+ y + y y = y 3y =. Tästä voimme ratkaista λ 1 = 3. Energian ominaisarvo E 1 on siis

86.6 Harmoninen oskillaattori 3 1 E = ħω. (.44) Seuraavaksi määrään toisen viritetyn tilan ominaisfunktio. Yksinkertaisin asymptoottinen aaltofunktio joka vaimenee kuten y e ja on parillinen y:n suhteen ja lisäksi aidosti riippumaton perustilan aaltofunktiosta on α x x Ay B e A x B e y ( ) = ( + ) = ( + ) ψ α. Sijoitamme tämän Schrödingerin yhtälöön.37 ja saamme 5Ay + λ Ay + A B+ λ B=. Tästä voimme määrätä λ :n ja kertoimen B arvot, 1 5ja B A λ = =. (.45) Energian ominaisarvo on näin ollen 5 E = ħω (.46) ja vastaava ominaisfunktio on 1 y 1 x x A y e α = = A ( x ) e ( ) ( ) ψ α. (.47) Induktiotodistuksella voidaan osoittaa, että yleisesti harmonisen oskillaattorin ominaisenergiat ovat En ( n 1 ) = + ħω (.48) ja ominaisfunktiot n ( ) = ( ) y ψ x H y e, (.49) n missä H n ( y ) (y x = α ja α = mk ħ )on parillinen polynomi, kun n on parillinen ja pariton polynomi, kun n on pariton. Näitä polynomeja kutsutaan myös Hermite polynomeiksi. Esimerkki.5. Ominaistilat äärellisessä potentiaalilaatikossa.

Kvanttimekaniikan perusteet 87 Kuva.18 esittää ns. potentiaalikuoppaa. Se eroaa potentiaalilaatikosta siinä, että reunoilla potentiaali ei kasva äärettömäksi vaan saa tietyn äärellisen vakioarvon. Potentiaali E p = alueessa x < a ja E p = E tämän alueen ulkopuolella eli kuopan reunoilla. Potentiaalikuoppa on esimerkki potentiaalista, jossa hiukkaseen vaikuttavien voimien kantama on äärellinen. Voimme olettaa, että hiukkaseen kohdistuva voima rajoittuu potentiaalikuopan alueelle. Tämän kaltainen potentiaali sitoo protonit ja neutronit Kuva - 18 Potentiaalikuoppa atomin ytimiin, mutta äärellisen potentiaalikuopan potentiaalilla on sovellutuksia myös puolijohteissa, joissa voidaan luoda johtovyön elektroneille (ja valenssivyön aukoille) muutamien atomikerroksien levyisiä potentiaalikuoppia, joiden syvyys on muutamia satoja millielektronivoltteja. Vaikka energiakuopan syvyys vaikuttaa pieneltä, se on kuitenkin paljon suurempi kuin terminen energia kt huonelämpötilassa ja näin elektronit voivat relaksoitua kuoppaan liittyviin sidottuihin tiloihin. Tässä esimerkissä tarkastelemme ainoastaan sidottuja tiloja, joille E < E. Tarkastellaan elektronia alueessa [ a/, a/] on (alue II). Schrödingerin yhtälö d ψ me + k ψ = missä k =. dx ħ (.5) Yhtälön.5 yleinen ratkaisu kirjoitetaan avulla muodossa sini- ja kosini-funktioiden ψ ( x) = Acoskx+ Bsinkx. (.51) ikx ikx Huomaa, että coskx ja sinkx voidaan esittää funktioiden e ja e lineaarikombinaationa, joten.51 on ekvivalentti aiemmin käytetyn esitysmuodon Ae + Be kanssa. Koska potentiaali alueissa I ja III ei ole ääretön, ikx ikx elektronilla on äärellinen esiintymistodennäköisyys myös näissä alueissa. Aaltoyhtälö on alueissa I ja III = missä = d ψ m( E E) αψ α. (.5) dx ħ

88.6 Harmoninen oskillaattori Huomaa, että koska laskemme sidottuja tiloja, joille E < E, olemme määritelleet α :n siten, että se on reaalinen. Yleiset ratkaisut ovat alueissa I ja III reaalisten eksponenttifunktioiden lineaarikombinaatioita αx ψ ( x) = C e + D e. (.53) αx I, III I, III Jotta aaltofunktio olisi normitettavissa vaaditaan, että C III = ja D I =. Tällöin aaltofunktion itseisarvo laskee eksponentiaalisesti kuopan ulkopuolella. Tämä on välttämätön fysikaalinen reunaehto sidotulle tilalle, jossa aaltofunktio on aina rajoitettu tiettyyn avaruuden osaan. Parilliset tilat Aaltofunktion ja sen derivaatan on oltava jatkuvat rajapinnoilla x = a/ ja x = a/. Jotta aaltofunktio olisi parillinen, vaaditaan B =. Rajapinnalla x = a/ saadaan jatkuvuusehdoksi: ka Acos = DIII e ja derivaatan jatkuvuusehdoksi α a / (.54) ka a / kasin DIII e α = α. (.55) Jakamalla yhtälöt puolittain saadaan ka k tan = α. (.56) Sijoittamalla k ja α saadaan lopulta tan ma E = ħ E E. (.57) E

Kvanttimekaniikan perusteet 89 Yhtälö.57 on transkendenttiyhtälö energian E suhteen. Se voidaan ratkaista esimerkiksi graafisesti kuten kuvassa.19. Kuvassa.19 on piirretty yhtälön.57 oikean ja vasemman puolen kuvaajat. Energian ominaisarvot saadaan kuvaajien leikkauspisteistä. Kuvassa on käytetty ns. milliatomiyksiköitä ( lyhennys ma.u. = 7.116 mev). Yhtälön.57 oikea puoli on piirretty kahdella eri potentiaalikuopan syvyyden arvolla E = 1. ma.u. 7meV ja Kuva - 19 Parillisen tilan ratkaisu E = 1. ma.u. 7 mev. Kuopan leveys a = 5,3 nm. Energiaasteikon nollakohta on potentiaalilaatikon pohjalla. Pienemmällä kuopan syvyydellä saadaan vain yksi parillinen sidottu tila. Syvemmälle kuopalle saadaan kolme parillista ja kaksi paritonta sidottua tilaa. Sidottujen tilojen lukumäärä siis kasvaa kuopan syvetessä. Tässä tehtävässä valittu kuopan ulottuvuus ja syvyys vastaavat puolijohteista valmistetuissa ns. kvanttikaivoissa Kuva - Parittoman tilan ratkaisu elektronin näkemän potentiaaliminimin arvoja. Elektronin massana on kuitenkin käytetty lepomassaa, kun puolijohdemateriaalissa tulisi käyttää ns. efektiivistä massaa, jonka avulla kuvataan elektronin vuorovaikutusta kiderakenteen kanssa. Efektiiviseen massaan palaamme luvussa 7. Parittomat tilat Parittomat tilat saadaan valitsemalla yhtälössä.51 A =. Vaatimalla nyt funktion ja derivaatan jatkuvuus rajapinnoilla saadaan vastaavasti cot ma E E E = ħ E. (.58)