9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie lauseke a + = a + 0 ja a = 0 Lasketaa lukujoo termejä. a = 0 a = a + 0 = 0 + 0 a = a + 0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 0 a 4 = a + 0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 0 a 5 = a 4 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 4 0 a 6 = a 5 + 0 = 0 + 4 0 + 0 = 0 + 5 0 a = 0 + ( ) 0 = 0 + 0 0 = 0 + 0, Vastaus: Aalyyttie lauseke o a = 0 + 0,. KETAUHAJOITUKIA 7. Vastaus: T x = 6 y = 5, x+ y = 46 T x+ y = 4 y = 4 x b 5, x+ 4 x = 46 5, x+ 86 4x = 46 g 5, x = 40 : 5, x = 6 y = 4 6 = b g 46
8. Vastaus: y = x Ty x = 0 x x = 0 x = x = y = T x = y = 9. T T 4x 0y = 6 6x+ 5y+ 9 = 0 x 0y = 8 x+ 0y+ 8 = 0 8 = 8 Vastaus: Yhtälöpari toteuttavat kaikki suora 4x 0y = 6 pisteet. 40. T T x y = 6 x+ y = x 4y = 6 x+ 4y = 0= 4 Vastaus: Ei ratkaisua. 4. T T T ( x+ y) + ( x y) = 7 5( x+ ) ( y+ ) = x+ y+ x 6y = 7 5x+ 0 4y 6= 5x 4y = 7 5x 4y = 7 0= 0 Vastaus: Yhtälöpari toteuttavat kaikki suora 5x 4y = 7 pisteet. 47
4. x+ y + = 4 4 x y = T T T x+ + 4y = 9 x+ y = x+ 4y = x+ y = 6 5y = 5 y = x + = 6 Vastaus: x = 7 T : 5 x = 7 y = 4. Kaupugi A asukasmäärä y t: vuode kuluttua y = 47 800 50t Kaupugi B asukasmäärä y t: vuode kuluttua y = 45 400 + 50t Asukasmäärät yhtä suuret 47 800 50t = 45 400 + 50t :b g 600t = 400 600 t = 4 Asukasmäärä o tällöi y = 47 800 50 4 = 46 800. Vastaus: Kaupukie asukasmäärä o sama eljä vuode kuluttua ja tällöi asukkaita o 46 800. 44. Vuxa x Ugdomar y T T x+ y = 600 x+ 8y = 4 00 x y = 9 00 x+ 8y = 4 00 4y = 5000 4 y = 50 b :b g g x + 50 = 600 x = 50 varet: 50 vuxa och 50 ugdomar har köpt biljetter. 48
45.a) x 5y = 7 T x+ 7y = 4 Piirretää suorat koordiaatistoo laskemalla joitai suora pisteitä. atkaistaa y piirtämistä varte. x 5y = 7 7 y y = x+ 5 5 7 x y = x 5 5 0 7 5 =,4 x + 7y = 4 6 5 4 4 x 5y = 7 (, ) 5 6 x x+ 7y = 4 4 y = x 7 7 4 x y = x 7 7 0 4 7 06, 4 atkaistaa yhtälöpari laskemalla x 5y = 7 T T x+ 7y = 4 6x 5y = 6x 4y = 8 b g 9y = 9 y = sijoitetaa ylempää yhtälöö bg x = x 5 = 7 Vastaus: x = ja y = b) x+ 6y = 4x 7y = T Piirretää suorat koordiaatistoo. atkaistaa piirtämistä varte yhtälöstä y. 49
x+ 6y = y = x 4 x y = x 4 0 4 = 0,5 4 4 =,5 4x 7y = 4 y = x+ 7 4 4 x y = x+ 7 4 0 4 0, 9 4 4, Kuvaajasta saadaa x 04, ja y 0 atkaistaa yhtälöpari laskemalla x+ 6y = 4 4x 7y = T b g x+ 4y = 6 T 9 x+ y = 45y = x + 6y = 4x 7y = y = sijoitetaa ylempää yhtälöö F 0 x + 6 H G I 0 K J = x = + 5 x = 0 x = 0 6 5 4 4 y 5 6 x 50
Vastaus: x = 0 ja y = 0 46. Lota luut x x + 6 Veti luut y y + 6 00 % + 5 % = 5 % =,5 00 %,5 % = 87,5 % = 0,875 aadaa yhtälöpari T x = 5, y y+ 6 = 0 875 x+ 6, b g ijoittamalla saadaa y+ 6= 0875, 5, y+ 6 y = 8 x = 5, y= 5, 8= 0 b Vastaus: Lotta o jemmaut 0 luuta. g 47. Kirjoiti A tulostaa x kpl ajassa h 55 mi = 5 mi x Kirjoittime A opeus 5 Kirjoiti B tulostaa 00 x kpl ajassa h 0 mi = 90 mi Kirjoittime B opeus 00 x 90 Kirjoitita B käytetää h 0 mi = 80 mi, jolloi se tulostaa 80 00 x = 90 8 b 9 00 xgkpl Kirjoitita A käytetää h 0 mi = 0 mi, jolloi se tulostaa 0 5 Yhteesä A ja B tulostava 00 kpl eli 8 9 00 6 b xg + x = 00 9600 8x 6x + =00 9 9 50 00 x = 07 9 x = 55 Kirjoittime A opeus: 55 kpl / mi = 4,8 kpl/mi 5 00 55 Kirjoittime B opeus kpl/mi = 7, kpl/mi 90 x 6 = x kpl 5
Nopeampaa käyttäe 00 mi = 66 7, mi 67 mi = h 47 mi. Vastaus: Nopeudet A 4,8 sivua miuutissa ja B 7,. Jos käytetää vai kirjoitita B aikaa kuluu h 47 mi. Yhtälöryhmie sovelluksia 48. T y = x + x y = x ijoittamalla saadaa x + x = x x x = 0 b g b g b g ± 4 x = x = ± e j = + x = + = + y = x = + e j = x = = y = x = Vastaus: Leikkauspisteet ovat (+, + ) tai (, ) 49. Tageti yhtälö o y = 4x, jote se kulmakerroi o 4 ja derivaata arvo kohdassa x = o 4. Paraabeli kulkee pistee (,4) kautta, jote koordiaatit x = ja y = 4 toteuttavat paraabeli yhtälö. y = f( x) = ax + c ( ) f ' x = ax aadaa yhtälöpari f () = 4 f ' () = 4 a + = a = 4 c 4 a+ c = 4 a = sijoitetaa ylempää + c = 4 c = Jote paraabeli yhtälö o y = x +. Vastaus: Paraabeli yhtälö o y = x +. 5
50. Paraabeli yleie yhtälö o muotoa f x ax bx c. Yhtälö toteuttavat paraabeli pisteet ja vai e. aadaa yhtälöryhmä. 4, 5 4 + 4+ = 5 b g a b c (, 6) a + b + c= 6 b, g a b g + b b g+ c = 6a+ 4b+ c= 5 T 4a+ b+ c= 6 4a b+ c = bg= + + Laskemalla kaksi alita yhtälö yhtee saadaa 8a+ c= 8 ja edellee c = 4a 4. ijoittamalla tämä ylimpää yhtälöö saadaa 6a+ 4b 4a 4 = 5, josta b = a. ijoitetaa b ja c keskimmäisee yhtälöö 4 F I HG K J =, josta 4a+ a 4a 4 6 4 a = 4 b = a 4 = 4 4 = c = 4a 4= 4 4 = 5 4 Paraabeli yhtälö fbg= x x x 5 4 Huippu saadaa derivaata ollakohdasta f 'bxg= x x = 0 x = y = 4 5 = 6 Vastaus: Paraabeli yhtälö fbg= x x x 4 ja se huippu o pisteessä, 6. b g 5. a) a+ b+ c = T a b+ c= 4 a b c= 4 Laskemalla kaksi ylitä yhtälöä yhtee saadaa 4a+ 4c= 6, josta a = 4 c. ijoittamalla tämä ylimpää yhtälöö saadaa 5
b g ja edellee b =. ijoitetaa tämä yhtälöryhmä alimpaa 4 c + b+ c= yhtälöö. a c = 4, eli a = c. Toisaalta a = 4 c, jote c = 4 c, eli c = ja a =. b) T a+ b+ c= 0 5a 5b+ c= 0 a b c= atkaistaa ylimmästä yhtälöstä a ja sijoitetaa keskimmäisee. 5 b c 5b+ c= b g 0 b = 04, c b g a = 04, c c= 06, c b g b g ijoittamalla ämä alimpaa saadaa 06, c 04, c c=, josta c = 5, b = 04, 5, = a = 06, 5, = 5, Vastaus: a) a =, b = ja c = b) a =,5; b = ja c =,5 5. a) 0x+ 0y = 0 T 0x 0y 0z = 0x 0z = atkaistaa ylimmästä yhtälöstä y ja alimmasta z sekä sijoitetaa ämä keskimmäisee. 0x 0y 0z = y = x, z = x 0 b g I 0x 0 x 0 x HG 0 K J = 0x = x = 0, y = 0, z = 0, 0, = 0, b) x+ y 4z = 6 F x+ y+ z = 0 T x+ y 8z = 7 atkaistaa keskimmäisestä yhtälöstä x ja sijoitetaa alimpaa yhtälöö. x+ y 8z = 7 x = y+ z b g 7 y+ z + y 8z = 54
4y = 7+ z x = y+ z= 7 + z+z= 7 5 + z 4 4 ijoitetaa kummatki ylimpää yhtälöö 7 5 7 x+ y 4z = 6 x = + z, y = + z 4 4 F F 7 5 I 7 + 4 6 HG 4 K J I z + + z HG 4 K J z = z = 05, 7 y = + z 4 = 7 + b 05, g=,5 4 7 5 x = + z 4 = 7 5 + b 05, g = 0,5 4 Vastaus: a) x = 0,; y = 0, ja z = 0, b) x = 0,5; y =,5 ja z = 05, 5. x+ z = T x+ y = 0 y+ z = atkaistaa kahdesta ylemmästä yhtälöstä y ja z muuttuja x avulla ja sijoitetaa alimpaa yhtälöö. y+ z = z = x, y = x x + x = x = z = y = Vastaus: x =, y = ja z = 54. Oskari ikä x, Leea y ja Alice z x+ y+ z = 56 y = x sijoitetaa muihi z 4 = ( y 4) x+ x+ z = 56 z 4 = (x 4) 4x+ z = 56 eli z = 4x+ 56 sijoitetaa alempaa 6x + z = 4 6 x+ ( 4x+ 56) = 4 x = 6 55
y = 6 = 48 Vastaus: 48 vuotta Koordiaatisto tasoalueet ja lieaarie optimoiti 55. y T y x+ y x+ Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. y = x+ x = 0, y = y = 0, x = =,5 y = x+ x = 0, y = y = 0, x = 5 4 y 4 x Koska y, alue sijaitsee suora y = yläpuolella. Vastaavasti alue sijaitsee suorie y = x+ ja y = x+ alapuolella. ajasuorat tulevat mukaa. 56. y T x 0 x+ y 0 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. x = 0 o y-akseli y = B x + y = 0 y A y+ x =0 x = 0, y = 0 Tälle suoralle pitää laskea vielä toie piste x =, y = 4 O x = 0 x 56
Alue sijaitsee suora y = alapuolella ja y-akseli vasemmalla puolella. ijoitetaa piste, alimmaisee epäyhtälöö b g x+ y 0 + 0 tosi Koska alimmaieki epäyhtälö toteutuu kyseessä o kolmio OAB. Määritetää kärkipisteide koordiaatit O(0,0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(0, ) y = B Tx+ y = 0 ijoittamalla saadaa x + = 0 x = B, b g Lasketaa kolmio piiri. OA = 0 = AB = OB = Piiri + = 8 = p = + + = 6 + 0, V astaus: Piiri o 6 + 0, 57. x 0 T y 5x y 6 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. x = 0 o y-akseli y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. C x = 0 4 5 6 y y = B 4 5x y = 6 x 5x y = 6 x = 0, y = 8 y = 0, x =, 7 8 A Alue sijaitsee y-akseli vasemmalla puolella ja suora y = alapuolella. ijoitetaa piste (, 0) alimmaisee epäyhtälöö. 5x y 6 5 0 6 5 6 tosi 57
Koska kolmaski epäyhtälö toteutuu, kyseessä o kolmio ABC. Lasketaa kolmio kärkipisteet Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(0, 8 ) y = B T 5 x y = 6 ijoittamalla saadaa 5x = 6 5x = 0 x=4 B(4, ) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0, ) Lasketaa lausekkee x + y arvot kolmio kärkipisteissä Piste x + y A(0, 8 ) 0 8= 8 piei B(4, ) 4 + = 0 suuri C(0, ) 0 + = Vastaus: Piei arvo o 8 ja suuri 0. 58. x = y = x Ty + = 0 Piirretää rajasuorat koordiaatistoo. x = o y-akseli suutaie ja kulkee pistee x =, y = 0 k autta y y = x x = 0, y = 0 x =, y = y + = 0 y = x-akseli suutaie suora, joka kulkee pistee x = 0, y = 5 4 4 x Koska alue o suora x = vasemmalla puolella, x < Koska alue o suora y = yläpuolella, y > Koska alue o suora y = x alapuolella, y < x aadaa epäyhtälöryhmä x < T y < x y > V astaus: x <, y < x ja y > 58
59. Tehdää taulukko Baaai (00 g) x C (mg) 0x B6 (mg) 0,6x hita ( ) 0x = 0 x Appelsiii y 49y 0,06y 0y, = y yhteesä 70,0 0x + y vähitää Optimoitava lauseke o tuotto 0x + y, joka piei arvo haetaa ajoite-epäyhtälöt x 0 y 0 0x+ 49y 70 T 06, x+ 006, y Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 0x+ 49y = 70 x = 0, y = 70 49 = 7 4, y = 0, x = 7 06, x+ 006, y = x = 0, y = y = 0, x = = 00 006, 6 x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli, = 00 06, 6 56, ijoitetaa piste (,) 0 0 0 + 49 70 T 06, + 006, Koska kaksi alimmaista ei toteudu, kyseessä o äide suorie yläpuolie alue. Lasketaa avoime aluee BAC kärkipisteide koordiaatit 0x+ 49y = 70 A T 06, x+ 006, y = atkaisemalla ylemmästä yhtälöstä x ja sijoittamalla alempaa saadaa 0 x = 70 49y x = 7 49, y b g 06, 7 49, y + 0,06y = 5 C 0 5 0 5 0 5 appelsiiit (00 g) A baaait (00 g) 4 5 6 7 8 9 0 B 59
, 704y = 0, 5 y = 65 y 0, x = 7 49, 65 x = 45 46 x 550, A(5,50; 0,) Piste B o laskettu piirtämise yhteydessä B(7, 0) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0;,) Lasketaa optimoitava lausekkee 0 x + 5y Piste 0x + y A(5,50; 0,) 0 55, + 0, =, 7 piei B(7, 0) 0 7 + 0 = 40 C(0;,) 0 0 +, = 99, 6 Baaaeja 5,50 00 g = 550 g Appelsiieja 0, 00 g = g Vastaus: Baaaeja 550 g ja appelsiieja 0 g. 60. Tehdää taulukko uusi x ruskea laka (g) 400x vihreä laka (g) 400y hita (mk) 700x vaha y 600y 00y 600y käytössä korkeitaa 7 00 4 800 700x +600y Optimoitava lauseke o tuotto 700x + 600y, joka suuri arvo haetaa ajoite-epäyhtälöt vahakuosi (g) x 0 y 0 400x+ 600y 7 00 T 400 x+ 00 y 4 800 Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 400x+ 600y =7 00 x = 0, y = y = 0, x = 8 400x+ 00y =4 800 x = 0, y = 4 y = 0, x = 60 4 0 8 6 4 C 0 8 6 4 400x + 00y = 4 800 B 400x + 600y = 7 00 A uusikuosi (g) O 4 6 8 0 4 6 8 0
x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli ijoitetaa piste (,) 0 T 0 400 + 600 7 00 400 + 00 4 800 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote kyseessä o elikulmio OABC Lasketaa kärkipisteide koordiaatit O(0, 0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(, 0) 400x+ 600y = 7 00 B 400x+ 00y = 4 800 T atkaistaa alemmasta y ja sijoitetaa ylempää 400x+ 00y = 4 800 00y = 4 800 400x :00 y = 4 x sijoitetaa ylempää 400x+ 600 ( 4 x) = 7 00 800x = 7 00 : b 800g x = 9 y = 4 x = 4 9 = 6 B(9, 6) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,) Lasketaa optimoitava lause kkee 700x + 600y arvot kärkipisteissä Piste O(0, 0) 700x + 600y 7000 + 6000 = 0 A(, 0) 700 + 600 0 = 8 400 B(9, 6) 7009 + 6006 = 9900 suuri C(0,) 700 0 + 600 = 7 00 Vastaus: Uusikuosisia 9 ja vahakuosisia 6. 6. Tehdää taulukko aika ( h) raaka-aieet ( ) tuotto ( ) esie A x,5x 5x 5x esie B y 5y 0y 8,y yhteesä korkeitaa 40 00 5x + 8,y Optimoitava lauseke o tuotto 5x + 8,y 6
ajoite-epäyhtälöt x 0 T y 0 5, x+ 5y 40 5x+ 0y 00 Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 5, x+ 5y = 40 x = 0, y = 8 y = 0, x = 6 5x+ 0y = 00 x = 0, y = 0 y = 0, x = 40, x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli ijoitetaa piste (,) 0 0 5 + 5 40 T, 5 + 0 00 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote kyseessä o elikulmio OABC Lasketaa kärkipisteide koordiaatit O(0, 0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A( 40, 0) B T 5, x+ 5y = 40 5x+ 0y = 00 atkaistaa ylemmästä y ja sijoitetaa alempaa 5y = 40 5, x :5 y = 8 05, x b g 5x+ 0 8 0, 5x = 00 sijoitetaa alempaa 0 C 9 8 7 6 5 4 B (kpl) 5x + 0y = 00 5x = 40 x = 8 y = 8 05, x= 8 05, 8=4 B(8, 4) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,88) Lasketaa optimoitava lausekkee 5x + 8,y arvo kärkipisteissä B,5x + 5y = 40 A (kpl) O 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 A 6
Piste 5x + 8,y O(0, 0) 5 0 + 8, 0 = 0 A( 40, 0) 5 40 + 8, 0 suuri B(8, 4) 5 8 + 8, 4 =, C(0,) 5 0 + 8, = 99, 96 uuri pisteessä A Vastaus: Esieitä A 40 kpl,eikä yhtää esiettä B Lukujoot 6. a) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö 5 + + 7 5+ ++... a a + +( ) =+ b) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö,,, 0,77, 0,7, 0,7 0,59 0,77 0,7, 0,7 0,7... a a 0,7, 0,7 c) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö 4 + + + + 5 6 + 4+ + + + +... a + ( ) = + ( ) Vastaus: a) a = + b) a =, 0,7 c) a = 6
6. a = + a = + = a 00 = 00 + 00 = 0 0 a 0000 = 0 000 + 0 000 = 0 00 00 a 000 000 = 000 000 + 000 000 = 000 00 000 64. a = a = = 0 b g a b g = = = b g a = = = = b g a 4 4 = 4 = 4= b g a 5 5 = 5 = 5 = = 5 4 5 Vastaus: 0,,,, 4 5 65. a F I = + HG K J b g F I = + 704 HG 00 K J =,... F I = + HG 000 F I = + HG 0 000 a = + = a 00 00 a 000 000 = 76,... KJ a 0000 0000 e =,788... =, 7845... KJ Vastaus: Luvut eroavat 4. desimaalissa. 66. a a = b g b = b g b a = = g g 9 64
b g b g 45 b g = 4 b g 89 b g = 5 b g 79 F I HG 45 89 79 K J = a = = 4 a 4 = 4 5 a 5 = 5 + + 9 Vastaus: Pii kaksidesimaalie likiarvo 46,... 4, 67. Ylläpitoaoksia o. vrk: aikaa ja muia, yhteesä 8 aosta. Näppäillää laskimella 400 = AN x 0,65 + 50 = (paietaa =-merkkiä 8 kertaa) Vastaus: 48 mg Aritmeettie ja geometrie lukujoo 68. Esimerkiksi a) 9, 8, 7, b) 9, 8, 79, c) 9,9,9, 69. a) a = 9+ ( ) = + 7, a 5 = 5 + 7 = 7 b) a = + ( ) ( ) = + 5, a 5 = 5 + 5= 40 5 F I c) a = + ( ) HG K J = +, a 5 = 5 + = 70. a = a + ( ) d a) a = a + 0 9d 47 = a + 9 5 a = a = + ( ) 5= 5 a 00 = 5 00 = 497 b) a8 = a+ 7d = a + 7 0, b g b g a = +,4 = 4,4 a = 44, + ( ) 0, = 0, + 46, a 00 = 0, 00+ 46, = 54, 65
c) a4 = a + d = a 5 + a = 5 = a = + 5 5 ( ) = 5 a 00 = 00 9 = 45 9 Vastaus: a) a = 5, a 00 = 497 b) a = 0, + 4,6, a 00 = 5,4 5 9 c) a =, a 00 = 45 7. a = a q a = 6 q = = a b g b g = 7 a 7 = = 458 Vastaus: =, a = a b g 7 458 7. a) a = a q = 4, 5 a 5 = = 4, 8, 944 b) a = a q = a 0, b a = = 5 0, a g b g b g = 5 0, 5 a 5 = 5 0, = 0, 04 5 c) a 6 = F H G I K J 5 5 a 5 6 F = H G I K J = 4 8 Vastaus: a) 5 c) a 6 = F H G I K J a 4, =, 5 8, 944, 5 a = a = b) = 5 0,, a = 4 8 a b g 5 0, 04 66
7. a+ = a 5, a = 4 a = 4,5 =,5 a = 4,5 a 4 = 4,5 a = 4 5 = 5 + 6, b g,, 5 Vastaus: a =, 5+ 6, 5 74. a0 = a + 0 d 00 = a + 9 a = 00 57 = 4 a = a + ( ) d 4 = 4+ = 0 b b g g 0 = = 4 o oltava luoollie luku, jote 4 ei kuulu jooo Vastaus: a = 4, luku 4 ei kuulu jooo. 75. a) 77 = 5 + = 7 = 4 b) 77 = 0 4 ( ) 77 = 0 4 + 4 4 = 8 = 7 Vastaus : a) 4. b) 7. 76. a = a + 6 = 5 + 4d 4d = 7 4d d = 4 a = a+ d 5 = a + 4 a = 4 67
a 00 = 4 + 99 = 9 4 4 Vastaus : a 4 =, a 00 = 9 4 77. a + a + a = T a + a + a = 4 4 6 a = a+ d a = a + d a = a + d 4 a6 = a+ 5d sijoitetaa yllä olevat alkuperäisee yhtälöparii a+ a+ d + a+ d = Ta+ d + a+ d + a+ 5d = 4 a + d = T a + 9d = 4 6d = d = b g sijoitetaa a + = a = a 0 = + 0 = 4 Vastaus : a 0 = 4 78. b g b 60, + d = 60, + 60, + d 6 + 4d + 4d = 6 + 6 + d + d d + d 6=0 d = ± 4 6 = ± 576 = ± 4 6 6 4 d = = 6, ei käy, d > 0 6 4 d = + = 6 Vastaus: sivut ovat 6,0 m, 8,0 m ja 0,0 m g b g 68 6,0 6,0 + d 6,0 + d
79. x = lisättävä luku joo +x, 6+x ja +x 6 + x + x = + x 6 + x 6 + x+ x = + x+ x+ x 0x = 5 x = 5, Vastaus: Lisättävä luku o,5. 80. a = aq = 5 q 5 q = 5 5 q = 5 q =± 5 F = H G I 5 K J F 5 tai a 6 I = 5 HG 5KJ F = tai a 6 I = 5 5 5 HG 5 5KJ 5 a 6 5 a 6 5 a 6 = tai a 6 = 5 5 Vastaus: a 6 = tai a 6 = 5 5 8. a) 00 = 4. Koska 00 o jaollie 7:llä, o 00 yö kuluttua myös suutai. 7 b) 0 00 ei ole jaollie 7:llä, jote kyseessä ei ole suutai. Etsitää lähi 7:llä jaollie luku. 9996 = 48, jote 9 996 yö kuluttua o suutai ja edellee siitä 5: yö kuluttua 7 o perjatai. Vastaus: a) suutai b) perjatai 8. a) 40 = 55 = 8 = = 69
= 4 b b g b 05, g = b 05, g g b) 40 = 0, 5 9840 05, = 0065, = 4 = 5 4 Vastaus: a) 4. b) 5. 5 8. 0 97 0, 5 = 949, 0... 950 Vastaus: Ala o 950 mm 9 84., 0, 7 0, 048 yksikkömuuos 0,048 m = 4,8 cm Vastaus: 4,8 cm korkeudelle. 85. 5, 0 0, 85, 4 Vastaus:, kg 5 86. a) 500 0, 9 890 b) kuluut aika (a) puita 0 500 500 0,9+80 (500 0,9+80) 0,9+80= 500 0,9 +80 0,9+80 500 0,9 +80 0,9 +80 0,9+80 5 500 0,9 5 +80 0,9 4 +80 0,9 +80 0,9 +80 0,9+80 80 0, 9 5 = 500 0, 9 + 09, 600 Vastaus: a) 890 puuta b) 600 puuta e 5 j 70
87. aika (6h) lääkettä 0 50 50 0,+50 (50 0,+50) 0,+50=50 0, +50 0,+50 9 50 0, 9 +50 0, 8 + +50= 50 0 0 e, j 90 0, Vastaus: 90mg 88. a = 64, 70 a = a q 70 = 64, 70 q q 70 = 64, 70 q =± a 6 70 64, 70 egatiivie juuri ei käy F 70 = 70 H G I 64 70 K J 7, 80, Vastaus: 7,80 rahaa ummat 89. a + a Aritmeettise lukujoo summa = =, a =, a = + = = 49, 5 Vastaus: umma o 49,5. 90. Erotusluku d = 5 5 4 lukujoo kymmees termi a0 = a + ( ) d = + 9 = 5 5 5 4 + a + a 5 umma 0 = = 0 = Vastaus: 0 = 7
9. a) Erotusluku d = 9 = Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = 9 + 9 = 56 a + a 9 56 umma + 0 = = 0 = 650 b) Erotusluku d = 4 ( 6) = 8 Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = 6 + 9 ( 8) = 58 ( ) a + a 6 58 umma + 0 = = 0 = 640 c) Erotusluku d = 4,8 =, Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d =,8+ 9,= 4,6 a + a,8 4, 6 umma + 0 = = 0 = 454 d) Erotusluku d = = 5 5 Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = + 9 = + a + a umma 0 = = 0 = Vastaus: umma o a) 650 b) 640 c) 454 d). 9. a) Kahdeksas termi a8 = a+ ( ) d = a+ 7d Esimmäie termi 85, = a + 7 05, a = 5 adas termi a00 = a + ( ) d = 5 + 99 0, 5 = 54, 5 a + a 5 54,5 umma + 00 = = 00 = 975 b) Erotusluku a7 = a7 + 0d 54 = 4 + 0d 0d = 0 :0 d = Esimmäie termi a = a + d 7 6 4 = a + 6 a = 58 7
adas termi a00 = a + ( ) d = 58 + 99 = 00 a + a 58 00 umma + 00 = = 00 = 4600 Vastaus: umma o a) 975 b) 4 600. 9. q a) Geometrie summa = a a =,, q =, = 8 q umma 8 8 ( ) ( ) =, = 77 q b) Geometrie summa = a a =, q =, = 8 q 6 umma 8 8 = = 4 6 Vastaus: umma o a) 77 b) 4. 94. Joo o aritmeettie. Erotusluku d = = 4 Yhteelaskettavie lukumäärä = 8 + a + a umma 8 = = 8 = 4 Vastaus: umma o 4. 95. Joo o geometrie. uhde q = Termie lukumäärä = 7 umma q 8 5 = a = = 9 q 7 6 7 Vastaus: umma o 5 9 6. 7 7
96. Yhteelaskettavia o vastalukuja ja summa sieveee muotoo + + +... + = + + + +... + 4 5 98 00 4 5 4 6 98 00 = + 475 99 00 = 9 900 Vastaus: umma o 475 9900. 97. Esimmäie termi a = Erotusluku d = = Yleie termi a00 = a + ( ) d = + ( ) = + a + a Aritmeettie summa + + > 0000 + 0000 > 0 F I + 0000 0 HG 4 4 K J > + 0000 > 0 4 4 Nollakohdat + 0000 = 0 4 4 4 + 40000= 0 Merkkikaavio 98,50 0 = yli 0 000. b g = ± 4 40000 60009 = = 050,... 60009 = + = 98, 50... 74
+ 0000 > 0, ku > 98,50 eli 99 4 4 Vastaus: Yhteelaskettavia o oltava vähitää 99. 98. Esimmäie termi a = 7 Erotusluku d = 9 7= Yleie termi a00 = a + ( ) d = 7 + ( ) = + 5 a + a Aritmeettie summa = yli 00. 7 + + 5 > 00 5 + 00 > 0 6 + 00 > 0 b g + 6 00 > 0 Nollakohdat + 6 00 = 0 b g = 6 ± 6 4 00 6 5876 = = 5,... 6 5876 = + = 5,... Merkkikaavio 0 5, + 6 00 > 0, ku > 5, eli 6 Vastaus: Yhteelaskettavia o oltava vähitää 6. 99. Kuljetaa ulkoa sisälle päi..kierros 0 m + 40 m + 0 m + 6 m = 6 m. kierros 6 m + m + m + 8 m = 08 m. kierros 8 m + 4 m + 4 m + 0 m =76 m 4. kierros 0 m + 6 m + 6 m + m = 44 m Edward kulkee yhteesä 6 m + 08 m + 76 m + 44 m = 64 m Vastaus: Edward kulkee yhteesä 64 m. 75
00. Esimmäie kättelee kaikkia muita paitsi itseää, eli kättelyä Toie kättelee kaikkia muita paitsi itseää ja esimmäistä eli kättelyä Viimeie ei kättele ketää eli = 0 kättelyä aadaa yhtälö + + +... = 9 b g b g b g b g... = 9 + + +... + = 9 b + = 9 + = 8 g b g 8 = 0 b g b g b g ± 4 8 = 7 = = ei käy 7 = + = 4 Vastaus: Kutsuilla oli 4 osallistujaa. 0. Esimmäie termi a = 4 Viides termi a + a 5 = 5 = 4 + a5g 5 = 0 a 5 = b Erotusluku a = a + ( ) d 4 + a 5 5= 5 a = a + 4d a =, a =4 5 5 = 4 + 4d d = 6, 5 Lukujoo 8. termi a 8 = 4 + 7 6, 5 = 46, 5 b g ( ) a + a 4 46,5 umma + 8 = = 8 = 9,5 Vastaus: umma o 9,5. 76
0. Kolme esimmäise termi summa uhdeluku + q+ q = 68, q + q+ 0, = 0 q = ± 40, q =, = 08, 4 q = +, = 0, Vastaus: uhdeluku o 0,8 tai 0,. = a + aq+ aq 0. uhdeluku q = ( q ) Geometrie summa = a q Esimmäie termi = 6 5 a = + 6 + a = 6 a F + umma HG I K J = 0 a = 0 0 ( q ) 04 4 = a = = = q + 5 Vastaus: umma o 4 5 77
04. Kyseessä o aritmeettie joo, koska 7 5 60 8 = 80 ja 7 45 60 = 80. Erotusluku d = 80 Termie lukumäärä 7 5 a = a+ ( ) d a =, a =, d = 8 8 80 7 5 = + ( ) 8 8 80 7 = : 80 60 80 = 5 7 + a + a umma 8 8 = = = 7 Vastaus: umma o 7. 05. Kyseessä o geometrie joo, koska π π = ja π = π π uhdeluku q = π umma 9 9 ( q ) ( π ) 9 π = a = = 98,660 q π π 9 π Vastaus: umma o 98, 660. π 06. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Kuudes termi a6 = d 8 + 5 7 Toisaalta kuudes termi a6 = 7 a = 7 a+ d = 7a+ 7d = +7 8 aadaa yhtälö 7 + = + 8 7d 8 5d 6 d = : 8 d = 8 b g d 78
+ + 9 a + a 8 8 8 5 umma 0 = = 0 = 5 8 5 Vastaus: umma o 5. 8 07. Geometrise lukujoo kahde esimmäise jäsee summa = a+ aq Esimmäise ja kolmae jäse summa aadaa yhtälöpari a+ a q = a+ a q = 5 = a + a q atkaistaa ylemmästä yhtälöstä a a + aq = ( q) a + = :(+ q ) a = + q ijoitetaa yhtälöpari alempaa yhtälöö. 5 + q + + q q = + q + q = 5 ( + q) + q = 5 + q q 5q =0 b g b g b g b g 5 ± 5 4 q = 5 7 q = = ijoittamalla saadaa a = 6 = 9 Vastaavat summat 4 ( q ) 9 5 = a = = q tai q 5+ 7 = = ijoittamalla saadaa a = = 6 + 79
5 4 ( q ) ( ) = a = = 5 q Vastaus: umma o tai 5. 08. Paikkoje määrät riveillä muodostavat aritmeettise summa. Paikkoja esimmäisellä rivillä a = 5 Erotusluku d = Paikkoja viimeisellä rivillä a = a + ( ) d = 5 + ( ) = + 4 ivie lukumäärä a + a = 75 = 5 + + 4 = 75 49 + = 75 49 + = 470 b + 49 470 = 0 g b g = 49 ± 49 4 470 49 9 = + < 0 ei käy 49 9 = + = Vastaus: ivejä o yhteesä. 09. Juoksumatkat muodostavat aritmeettise summa =,0 +, +, + Viimeie juoksumatka a 0 = 0, + 9 0, = 9, a + a, 0 +, 9 0 = = 0 = 9 Vastaus: Asku o juossut 9 km. 0. Tyhjeyskerta Matka. (80+9)=78. (80+9+9)= (80+ 9)=96. (80+ 9)=4 80
Tyhjeyksiä 0 = eli 9m + m 9 Viimeisellä 4. kerralla kerättävää o m.. tyhjeyskerta (80+ 9) = 94 täyde tyhjeyskerra kokoaismatka saadaa aritmeettisesta summasta a + a 78 + 94 = = = 78 Viimeie vajaa tyhjeyskerta (97+) = 400 Yhteesä matkaa 78 m + 400 m = 4 8 m Vastaus: Matti joutui kävelemää 4, km. 4, km äästämie summa sovelluksea. Talletettu pääoma k = 900 Korkoprosetti i =,4 % = 0,04 Talletusaika vuosia t = 5 kk = 5 a Korko 5 r= kit = 900 0,04,78 Tilillä o rahaa 900 +,78 = 9,78 Vastaus: jai voi ostaa 9,78 talletusaaja päätyttyä.. Ajatellaa, että jokaie talletus laitetaa omalle tilillee. Jokaiselle talletukselle lasketaa oma korko. aadut korot lasketaa yhtee, ja lisätää siihe talletettu pääoma. Korkoprosetti i =,4 % = 0,04 8 Esimmäie 50 : talletus kasvaa korkoa 8 kuukautta, t = a 7 Toie 50 : talletus kasvaa korkoa 7 kuukautta, t = a Viimeie 50 : talletus kasvaa korkoa kuukaude, t = a Korko 8 7 r = kit k = 50, i = 0,04, t = a, a,, a 8
8 7 6 r = 50 0,04 + 50 0,04 + 50 0,04 +... + 50 0,04 a + a = + + + + = = = 50 0,04 (8 7 6... ), 8, a 8, a = 50 0, 04 8 + = 8 = 4,9 Tilillä o rahaa 850 + 4,9 = 84,9 Vastaus: Juka tilillä o rahaa 84,9.. Korkoprosetti i =,0 % = 0,0 0 Talletusaika t = a, a,, a Talletuksia yhteesä 6 kertaa Kertatalletus k Pääoma vuode lopussa k 0, 0 + 6k + 6 = 00 6k + 0,077k = 00 0 K = 6k+ kit K =00, i = 0,0, t = a, a,, a 0 00 = 6k + k 0, 0 + k 0, 0 + + k 0, 0 a + a k 0,0 = 00 = 6 k + ( + 0 +... + ) = 6, a =, a = 6, 077k = 00 :6, 077 k 45, 57 Vastaus: Oskari pitää tallettaa tilille kuukausittai 45,57. 4. Korkokata i = 5,00 % = 0,05 Korkokerroi q = + 0,05 =,05 Alkupääoma 000 Talletukse määrä talletusaja lopussa K a) Talletusaika t = a K = 000, 05 050,00 = kq t 8
b) Talletusaika t = 0 a 0 K = 000, 05 68,89 c) Talletusaika t = 00 a 00 K = 000, 05 50,6 Vastaus: Pääoma o talletukse päättyessä a) 050,00 b) 68,89 c) 50,6. 5. Korkokata i =,80 % = 0,08 Korkokerroi q = + 0,08 =,08 Alkupääoma 6 400 Talletusaika t = 4 a Talletukse määrä talletusaja lopussa K 4 K = 6 400, 08 6 87,9 Korko r = 6 87,9 6 400 = 47,9 = kq t Vastaus: Ai saa talletuksellee 47,9 : koro. 6. Korkokata i =,5 % = 0,05 Korkokerroi q = + 0,05 =,05 Esimmäie talletus tehdää vuode 000 lopussa ja se o tilillä 9 vuotta euraava talletus vuode päästä ja se o tilillä 8 vuotta. Näi jatketaa yhdeksä kertaa. Viimeie talletus tehdää vuode 009 lopussa ja se o tilillä 0 vuotta. Talletuksie määrät talletusaja lopussa K = kq t Talletus Pääoma talletusaja lopussa. talletus 000 vuode lopussa 700 9 700,05. talletus 00 vuode lopussa 700 8 700,05. talletus 00 vuode lopussa 700 7 700,05 9. talletus 008 vuode lopussa 700 700,05 0. talletus 009 vuode lopussa 700 700 Pääoma yhteesä yhdeksä vuode jälkee 8
K = 700 + 700, 05 +... + 700, 05 + 700, 05 8 9 8 9 = 700 ( +,05 +... +,05 +,05 ) 0, 05 = 700,05 888, 70 q = a q a =, q =, 05, = 0 Vastaus: Tilillä o rahaa 8 88,70. 7. Korkokerroi q = + 0,050 =,05 Talletusaika t = 0, 9, 8,, a Kertatalletus k ( ) Talletukse k määrä talletusaja t kuluttua K = kq t Talletus Pääoma talletusaja lopussa Talletus. vuode alussa k 0 k,05 Talletus. vuode alussa k 9 k, 05 Talletus. vuode alussa k 8 k, 05 Talletus 8. vuode alussa k k,05 Talletuste pääoma säästöaja jälkee pitää olla yhteesä 50 000, jote k + k + + k = 0 9, 05, 05..., 05 50 000 q 0 9 = a k (, 05 +, 05 +... +, 05) = 50 000 q 0, 05 k,05 = 50000, 05 9, 69... k = 50000 : 9, 69... k 708, 6 a =, 05, q =, 05, = 0 Vastaus: Veijo pitää tallettaa vuosittai 708,6. 84
Harjoituskoe. x+ y = 6 0 5 x y 6 ( ) 4 4 6 = 9x+ 4y = 7 9x + 0y = 7 4y = 44 y = 0 7 45x+ 0y = 60 8x 0y = 44 6x = 6 x = 7 Vastaus: x = ja 7 y = 0 7. a) Joo jäse saadaa laskemalla kaksi edellistä jäsetä yhtee, jote d + 0 =, josta d =. Jatkamalla samoi saadaa c + = 0, josta c =, b =, josta b = ja a + =, josta a =. b) Osoittaja o parito ja kasvaa kahdella, imittäjä o aia sama, jote a = 4. c) Joo o geometrie q = = Vastaus: a) a = b) a = 4 c) 7 a = 4 4 8 : 7. 4 :. Täte a = F H G I K J = = =. Esimmäie luku a = 0 000, viimeie luku a = 99 999, lukuja yhteesä = 99 999 0 000 + = 90 000. Lukuje summa a + a = Vastaus: 4 949 955 000 0 000 + 99 999 = 90 000 = 4 949 955 000 85
4. x+ y 4x+ y 0 y 0 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie ja koordiaattiakselie leikkauspisteet. y = 0 o x-akseli x+ y = x = 0, y = y = 0, x = 4x+ y = 0 x = 0, y = 0 y = 0, x = 0 ijoitetaa epäyhtälöihi piste ( 0,5; 0,5), ja varmistetaa, että kyseessä o suorie rajoittama kolmio. ( 0,5) + ( 0,5) 4 ( 0,5) + ( 0,5) 0 0,5 0 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat. Lasketaa kolmio ABC kärkipisteet. A o laskettu piirtämise yhteydessä A(,0) B: x+ y = 4x+ y = 0 eli y = 4 x sijoitetaa ylempää 86
x + ( 4x) = x = y = 4 = 4 B (, 4) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,0) Lasketaa lausekkee x y arvo kolmio kärkipisteissä Piste x y A(,0) ( ) 0 = piei B(, 4) ( 4) = 6 suuri C(0,0) 0 0 = 0 Vastaus: Piei arvo o ja suuri 6. 5. Lasketaa yhtälö vasemma puole summa = + +... + a + a = =, a =, a = + = = 78 atkaistaa yhtälö + +... + = x + 7x x + 7x = 78 x + 7x 78= 0 Vastaus: x = tai x = 6. x = 7 ± 7 4 ( 78) 7 6 x = + = 6 7 6 x = = 6. Aritmeettie lukujoo 0 a = b 0. Geometrie lukujoo 6 b =. a 6 aadaa yhtälöpari b= 40 a sijoitetaa alempaa. ab = 56 a( 40 a ) = 56 a 40a+ 56 = 0 a = ja a 40 ± ( 40) 4 56 40 ± 576 a = =. = 8 Vastaavat b: arvot b = 40 = 8 ja b = 40 8 =. Vastaus: a = ja b = 8 tai a = 8 ja b =. 87
7. Esimmäise vuode talletuksille lasketaa yksikertaie korko. Pääoma, joka o tilillä esimmäise vuode jälkee o tilillä vielä eljä vuotta kasvae korkoa korolle. Korkoprosetti i =,00 % = 0,0 Talletusaika t = a, a,, a Kertatalletus k = 40 Korko talletusaja lopussa r = kit k = 40, i = 0,0, t = a, a,, a r = 40 0,0 + 40 0,0 +... + 40 0,0 40 0,0 a (... ) + a = + + + =, =, a =, a =, + = = 7,8 Tilillä rahaa vuode kuluttua 40 + 7,8 = 487,80 Loppu säästöaika talletus kasvaa korolle korkoa t K = kq k = 487,80, q = + 0,0 =,0, t = a K = 487,80, 0 50,4 Toisea vuoa tapahtuvat talletukset kasvavat yksikertaista korkoa kute esimmäise vuode talletukset, jote toise vuode talletuksista kertyy 487,80. Talletukset korkoiee yhteesä 50,4 + 487,4 = 990,. Vastaus: Tilillä o rahaa 990, talletusaja jälkee. 8. Maapallo öljyvarat 00a Vuotuie kulutus ykyää a Kulutusta pieeetää 0,8 % vuodessa, jote kulutus. vuoa 0,99a. Kulutus. vuoa 099, a Kulutus. vuoa 099, Kulutus yhteesä 00a, jote a+ 0, 99a+ 0, 99 a+... + 0, 99 a = 00a :a a 88
+ 0, 99 + 0, 99 +... + 0, 99 = 00 + 0, 99 0, 99 + q q a =, q = 099, = a = 00 ( 0, 99) 0, 99 = 00 99, 099, + = 0, lg ( + )lg 099, = lg 0, :lg 099, lg 0, = = 99, 7... 00 lg 099, Vastaus: Öljyvarat riittäisivät 00 vuotta. Harjoituskoe. Piei :lla jaollie eliumeroie luku a = 00 uuri :lla jaollie eliumeroie luku a = 9 999 Lukuja yhteesä = 9 999 00 + = 000 Lukuje summa a + a 00 + 9 999 = = 000 = 6 50500 Vastaus: 6 50 500. Aritmeettise lukujoo yleie jäse a = a + ( ) d Lukujoo esimmäise ja kolmae jäsee summa s= a + ( a + d) = a + d Toise ja kuudee jäsee summa = ( a+ d) + ( a+ 5d) = a+ 6 d aadaa yhtälöpari a + d = T a + 6d = 5 Vähetämällä yhtälöt puolittai saadaa 4d =, josta d =. ijoittamalla tämä ylempää yhtälöö saadaa a + =, josta a =. umma esimmäie jäse a = adas jäse a 00 = + 99 = 0 ada esimmäise jäsee summa a + a 00 = Vastaus: 575 89 00 + 0 = 00 = 575
. ajasuorat x =, y = x + 5 ja y = x. Tarkistetaa, että pistee (,) koordiaatit toteuttavat kaikki epäyhtälöt. > + < 5 < 9 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote varjostettu alue o oikea. 4. a) + + 9+... + = 9 b) 6 5 x x = 9 x 9 = 64 : 9 x = 4 x = + + 9+... + = 05 8 q q a =, q =, = 6 = a 7 x x = 05 x 05 = 80 : 05 x = 6 x = 4 x = 4 Vastaus: a) x = b) x = 4 q q a =, q =, = 8 = a 90
5. Elokuvissa käyit x Urheilukilpailuissa käyit y Tehdää taulukko aha ( ) Aika (h) Elokuvat, x 8x x Urheilukilpailut, y 5y y Käytettävissä eitää 40 56 Haetaa lausekkee x + y suuri arvo. ajoite-epäyhtälöt x y 8 8x+ 5y 40 x+ y 56 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie ja koordiaattiakselie leikkauspisteet. x = y = 8 8x + 5y = 40 x = 0, y = 8 y = 0, x = 7,5 y-akseli suutaie suora x-akseli suutaie suora x + y = 56 x = 0, y = 8 y = 0, x = 8 9
Testataa toteuttaako piste (,0) rajoite-epäyhtälöt. 0 8 8 + 5 0 40 + 0 56 Koska epäyhtälöt toteutuvat, varjostettu alue toteuttaa rajoite-epäyhtälöt. Viisikulmio kärkipisteet Piste A(0,8) Piste B(,8) Piste C x = 8x+ 5y = 40 ijoittamalla x: arvo saadaa 8 + 5y = 40, josta y = 8,8. C(; 8,8) Piste D 8x+ 5y = 40 x+ y = 56 ( 4) 8x + 5y = 40 8x y = 4 7y = 84 y = ijoittamalla y: arvo alempaa yhtälöö saadaa x + = 56, josta x = 0. D(0, ) Piste E(0,8) Koska muuttujie x ja y arvoje pitää olla luoollisia lukuja, lasketaa optimoitava lausekkee arvo pisteitä A,B, D ja E sekä pistettä C lähiä olevissa kokoaislukupisteissä (,9) ja (,0). Piste A(0,8): x + y = 0 + 8 = 8 Piste B(,8): x + y = + 8 = 0 Piste D(0,): x + y = 0 + = suuri Piste E(0,8): x + y = 0 + 8 = 8 Piste (,9): x + y = + 9 = 0 Piste (,0): x + y = + 0 = Vastaus: Elokuvissa 0 ja urheilukilpailuissa kertaa. 9
6. Joo perättäiste jäsete suhde o aia sama x + 6 5 x + = x + 8= 0x + 0 b b 4ac x 0x+ 8= 0 x = ± a x = ( 0) ± ( 0) 4 8 0 + 4 x = 6 = 0 4 4 x = = 6 Jos x =, joo. jäse a = x+ = + = 6 Joo. jäse a = x + 6= + 6= 0 0 5 Joo suhdeluku q = = 6 5 50 = aq = = = Joo. jäse a 6 6 Jos x = 4, joo. jäse a x 4 4 = + = + = F 4 70 Joo. jäse a = x + 6 = 6 H G I K J + = 9 70 4 70 5 Joo suhdeluku q = : = = 9 9 4 4 F Joo. jäse a = 5 50 6 HG I KJ = 7 = 7 Vastaus: Lukujoo kolmas jäse o 6 tai 6 7. 7. A: hita a ( ) ja I: hita i ( ). aadaa seuraavat yhtälöt: masikka: a + i = 9,00 siirita: a + i = 9,50 eli a = 9,50 i sijoitetaa ylempää yhtälöö (9,50 i) + i = 9,00 9,00 6i + i = 9,00 i =,00 a = 9,50 i = 9,50,00 =,50 Vastaus: Vokaalie hita: a,50 ja i,00. 9
8. Esimmäise vuode talletuksesta saatu korko o r = kit, missä k = 00, i =,50 % = 0,050 ja t = 9, 6,, a. Korko r = 00 0, 050 + 00 0, 050 9 + 00 0, 050 6 + 00 0, 050 = 00 0, 050 + + + ( 9 6 ) =,50 Pääoma vuode jälkee 400 +,50 = 8,50. Tämä talletus kasvaa korolle korkoa 7 a. amalaisia talletusvuosia o seitsemä. Korkokerroi q =,05. Talletusvuosi k ( ) K ( ). 8,50 8, 50, 05 7. 8,50 8, 50, 05 6 7. 8,50 8, 50, 05 Talletukset yhteesä 7 = 8,50 05, 7 + 8,50 05, 6 + + 8,50 05, = 8,50, 05 ( +, 05+... +, 05 ) = 8,50 05,, 05, 05 = 8 046,09 Vastaus: Tilillä oli rahaa 8 046,09. = a 6 7 q q a =, q = 05,, = 7 Harjoituskoe. Lukuje ja 4 välissä 6 lukua, jote iide välillä o 7 väliä. 4 Kahde perättäise luvu erotus d = = 7 7 Luvut ovat, 7 6, 7, 7 5, 7 ja 4 7 7 Vastaus: Luvut ovat, 7 6, 7, 7 5, 7 ja 4. 7 7 94
. Puaise ruusu hita x ( ) Valkoise ruusu hita y. kimppu x+ 4y =,90. kimppu x+ y = 4,70 aadaa yhtälöpari x+ 4y =,90 x+ y = 4,70 atkaistaa alemmasta yhtälöstä y. x + y = 4,70 y = 4,70 x : y = 4,90 x ijoitetaa y yhtälöpari ylempää yhtälöö. x + 4y =,90 y = 4,90 x x + 4(4,90 x) =,90 x + 9,60 4x =,90 x = 5,70 :( ) x =,85 Lasketaa y = 4,90 x = 4,90,85 =,05 Vastaus: Puaiset ruusut maksoivat,85 ja valkoiset,05 kappale.. Esimmäie tyttö kätteli 40 poikaa ja 9 tyttöä Toie tyttö kätteli 40 poikaa ja 8 tyttöä Kolmas tyttö kätteli 40 poikaa ja 7 tyttöä Neljäskymmees tyttö kätteli 40 poikaa eikä yhtää tyttöä Kättelyjä yhteesä = 79 + 78 + 77 + + 40 a + a =, = 40, a = 79, a = 40 79 + 40 = 40 = 80 Vastaus: Kättelyjä suoritettii 80 kertaa. 4. Väkiluku kasvaa vuodessa q-kertaiseksi ja t vuodessa q t -kertaiseksi. Kasvuprosetti t K = kq K = 0 000, k = 000, t = 0 0 0 000 = 000q : 000 0 = q 0 0 0 q = 0 = 07,... 95
Väkiluku sada vuode kuluttua t 0 K = kq k = 000, q = 0, t = 00 0 00 F K = H G I 000 0 K J 000 Vastaus: Väkiluku o sada vuode kuluttua 000. 5. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Kuudes termi a 6 = 8,9, jote a + 5d = 89, Viidestoista termi a 5 = 8,0, jote a + 4d = 8, 0 aadaa yhtälöpari a + 5d = 89, T a + 4d = 8, 0 Vähetämällä yhtälöt puolittai saadaa 9d = 0,7, josta d = 0,0. ijoittamalla ylempää yhtälöö saadaa a + 5 ( 0, 0) = 8, 9, josta a = 8,44. Termi o egatiivie, ku a < 0, jote 8, 44 + ( ) ( 0, 0) < 0 00, + 847, < 0 Nollakohta 00, + 847, = 0 Merkkikaavio 65 _ = 65 Vastaus: Joo termit ovat egatiivisia 66. termistä lähtie. 6. Jokaise polu pituus lyheee aia kuljettaessa vastakkaisee suutaa yhdellä metrillä. Esimmäie polku vaakasuoraa 9,5 m Esimmäie polku pystysuoraa 9,0 m Toie polku vaakasuoraa 8,5 m Toie polku pystysuoraa 8,0 m Yhdeksäs polku vaakasuoraa,5 m Yhdeksäs polku pystysuoraa,0 m Kymmees polku vaakasuoraa 0,5 m Kymmeettä polkua pystysuoraa ei ole. Polkuje yhteispituus = 9,5 + 9,0 + 8,5 + 8,0 + +,5 +,0 + 0,5 96
= (9,5 + 8,5 + + 0,5) + (9,0 + 8,0 + +,0) a + a = 9, 5+ 0, 5 90, + 0, = 0 + 9 = 95 Vastaus: Jai joutuu kävelemää 95 m. 7. ukset x auvat y Tehdää taulukko aha ( ) Aika (mi) ukset x 80x 45x auvat y 0y 5y Käytettävissä eitää 54 000 500 60 = 0 000 Haetaa tuottolausekkee 0x +50 y suuri arvo. ajoite-epäyhtälöt x 0 T y 0 80x+ 0y 54 000 45x+ 5y 0 000 Piirretää rajasuorat koordiaatistoo. x = 0 y-akseli y = 0 x-akseli uora uora 80x+ 0y = 54 000 45x+ 5y = 0 000 8 y = x+ 800 y = x+ 000 Taulukoidaa joitaki arvoja suorie piirtämistä varte x 8 y = x+ 800 x y = x+ 000 0 800 0 000 00 000 00 00 600 00 600 00 97
y 000 500 D 45x + 5y = 0 000 000 x = 0 80x + 0y = 54 000 500 y = 0 x A 00 00 00 400 500 600 B 700 800 900 Kuva viivoitettu alue toteuttaa rajoite-epäyhtälöt. Nelikulmio kärkipisteet Piste A o origo A(0,0) Piste B T y = 0 45x+ 5y = 0 000 ijoittamalla y: arvo saadaa 45x + 5 0 = 0 000, josta x = 666. Piste B( 666,0) C Piste C 80x+ 0y = 54 000 T 45x+ 5y = 0 000 ( ) 80x+ 0y = 54 000 T 90x 0y = 60 000 ( ) Laskemalla yhtälöt yhtee saadaa 0x = 6 000, josta x = 600 ijoittamalla x: arvo alempaa yhtälöö saadaa 45 600 + 5y = 0 000, josta y = 00. Piste C(600,00) Piste D T x = 0 80x+ 0y = 54 000 ijoittamalla x: arvo alempaa yhtälöö saadaa 80 0 + 0y = 54 000, josta y = 800. Piste D(0, 800) 98
Koska x ja y ovat kokoaislukuja, ja aluee aioat kokoaislukupisteet ovat (,) ja B(,), ii lasketaa optimoitava lausekkee arvo äissä pisteissä. Piste 0x +50 y A(0,0) 0 0 + 50 0 = 0 B( 666,0) 0 666 50 0 80 000 C(600,00) 0 600 + 50 00 = 8 000 D(0, 800) 0 0 + 50 800 = 90 000 suuri Vastaus: Kaattaa tehdä vai sauvoja. 8. Korkoprosetti i =,5 % = 0,05 0 Talletusaika t = a, a,, a Talletuksia yhteesä 6 kertaa Kertatalletus 55 Pääoma vuode lopussa 0 K = 6k+ kit k = 55, i = 0, 05, t = a, a,, a 0 K = 655 + 550,05 + 550,05 + + 550,05 a + a 55 0,05 = = 6 55 + ( + 0 +... + ) = 6, a =, a = 55 0, 05 + = 655 + 6,4 Vastaus: Oskarilla o tilillä,4. 99