TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria, poikkileikkaukseltaan symmetrisiä ja materiaaliltaan homogeenisia Lisäksi tutkitaan jännityskeskittymiä epäjatkuvuuskohdissa 1 SISÄLTÖ 1. Leikkausvoima- ja taivutuskuvaajat 2. Graafinen menetelmä leikkausvoima- ja taivutuskuvaajien määrittämiseksi 3. Suoran sauvan taivutusmuodonmuutos 4. Taivutusyhtälö 5. Jännityskeskittymät 2 1

6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Hoikkia sauvoja, joita kuormitetaan poikittaissuunnassa sanotaan palkeiksi 3 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Palkin suunnittelu edellyttää suurimman leikkausvoiman ja taivutusmomentin määrittämistä Muodostetaan leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pituuskoordinaatin x funktiona Esitetään funktiot graafisesti: leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat Suunnittelijoiden on tunnettava leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakauma, jolloin palkkia voidaan tarvittaessa vahvistaa joltain osalta 4 2

6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Leikkausvoiman ja taivutusmomentin lausekkeet pitää määrittää jokaisella alueella, jonka rajaa kuormituksen epäjatkuvuus 5 6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Merkkisääntö Käytetään samaa merkkisääntöä kuin statiikassa: 6 3

6.1 LEIKKAUS- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMAT Määritelmiä Palkit ovat pitkiä suoria rakenneosia, jotka kantavat poikittaiskuormia. Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on tärkeää, jotta suunnittelija näkee missä pisteessä rasitus on suurimmillaan Merkkisäännön avulla voidaan muodostaa em. rasitusyhtälöt ja piirtää ne kuvaajina Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumien määrittäminen on esitetty statiikan kurssissa, joten tässä ne kerrataan vain esimerkin avulla 7 ESIMERKKI 6.6 Määritä kuvan palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat: 8 4

ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Tukireaktiot: Lasketaan vapaakappalekuvasta Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot : Palkki on jaettava kahteen osaan, koska keskellä on kuormituksen epäjatkuvuus (pistevoima 15 kn) 0 x 1 5 m, + Σ F y = 0;... V = 5.75 N + Σ M = 0;... M = (5.75x 1 + 80) kn m 9 ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja taivutusmomenttifunktiot 5 m x 2 10 m, + Σ F y = 0;... V = (15.75 5x 2 ) kn + Σ M = 0;... M = ( 2.5x 22 + 15.75x 2 +92.5) kn m Tarkista tulos: w = dv/dx ja V = dm/dx. 10 5

ESIMERKKI 6.6 (RATKAISU) Leikkausvoima- ja Taivutusmomenttifunktiot: graafinen esitys 11 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Edellä esitetty tapa on varsin työläs yksinkertaistenkin rakenteiden analyysissa. Yksinkertaisempi vaihtoehto on käyttää differentiaaliyhtälöitä, jotka sitovat yhteen kuormitustiheyden, leikkausvoiman ja taivutusmomentin: dv ( ) dx = wx V = w( x) dx dm V dx = M = Vdx 12 6

6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w dv dx = w(x) dm dx = V Leikkaus- = kuormitustiheys ko. voima- jakauman pisteessä kulmakerroin Taivutus- = leikkausvoima ko. momentti- jakauman pisteessä kulmakerroin 13 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w V = w(x) dx Leikkausvoiman muutos = kuormitustiheyden rajaama alue Taivutusmomentin muutos M = V(x) dx = leikkausvoimakuvion rajaama alue 14 7

6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Pistemäisen voiman ja momentin alueet 15 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Alueet, joissa vaikuta kuormitustiheys w 16 8

6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Tukireaktiot Ratkaise tukireaktiot ja määritä kuormat, jotka vaikuttavat palkin poikittais- ja pitkittäissuunnassa Leikkausvoimajakauma Piirrä tunnetut leikkausvoiman arvot palkin kahteen pisteeseen 17 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska dv/dx = w, leikkausvoimajakauman kulmakerroin on sama kuin kuormitustiheyden negatiivinen arvo ko. pisteessä Leikkausvoiman numeerinen arvo määrätyssä pisteessä saadaan joko leikkausmenetelmällä ja tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on käyttää yhteyttä V = w(x) dx eli leikkausvoiman muutos kahden pisteen välillä on kuormitustiheyden rajaama alue negatiivisena. 18 9

6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Leikkausvoimajakauma Koska w(x) on integroitava V:n laskemiseksi, on kuormitustiheyden w(x) asteluku yhtä astetta pienempi kuin leikkausvoimajakauman asteluku Taivutusmomenttijakauma Piirrä tunnetut taivutusmomentin arvot palkin kahteen pisteeseen Koska dm/dx = V, momenttijakauman kulmakerroin on sama kuin leikkausvoima ko. pisteessä 19 6.2 GRAAFINEN MENTELMÄ LEIKKAUSVOIMA- JA TAIVUTUSMOMENTTIJAKAUMIEN MÄÄRITYKSELLE Analyysin vaiheet Taivutusmomenttijakauma Pisteessä, jossa leikkausvoima on nolla on dm/dx = 0 ja taivutusmomentilla on pienin tai suurin arvonsa (paikallisesti) Mikäli halutaan momentin numeerinen arvo, on käytettävä leikkausmenetelmää ja tasapainoehtoja. Toinen tapa on laskea M = V(x) dx, ts. momentin muutos on kahden pisteen rajaaman alueen leikkausvoimakuvaajan pinta-ala. Momenttifunktio on siis astetta korkeampi kuin leikkausvoimafunktio. 20 10

ESIMERKKI 6.11 Piirrä leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat kuvan palkille. 21 ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Tukireaktiot: Vapaakappalekuvasta Leikkausvoimajakauma Kuormitustiheyden perusteella leikkausvoimajakauman kulmakerroin muuttuu arvosta nolla pisteessä x = 0 arvoon 2 pisteessä x = 4.5. Siten sen muoto on parabolinen. Leikkausmenetelmällä saadaan piste, jossa leikkausvoima on nolla: + Σ F y = 0;... x = 2.6 m 22 11

ESIMERKKI 6.11 (RATKAISU) Taivutusmomenttijakauma Leikkausvoimakuvaajan mukaan kulmakerroin alussa on +1.5 ja se pienenee arvoon nolla pisteessä 2.6 m. Sen jälkeen se pienenee arvoon 3 pisteessä x = 4.5 m. Momenttijakauma on kolmannen asteen yhtälö. + Σ M = 0;... M = 2.6 kn m 23 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Suoraa, prismaattista palkkia kuormitetaan taivutusmomentilla. Pitkittäissäikeet kaartuvat ja poikittaissäikeet pysyvät suorina, mutta kiertyvät: 24 12

6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Neutraaliakselilla pitkittäissäikeiden pituus ei muutu: 25 6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Teknisen taivutusteorian perusoletukset: 1. Neutraaliakselilla pituussuuntaiset säikeet eivät veny tai puristu 2. Kaikki poikkileikkaukset pysyvät tasoina ja ovat kohtisuorassa pituusakselia vastaan myös muodonmuutoksessa 3. Poikkileikkauksen omaa muodonmuutosta ei oteta huomioon 26 13

6.3 TAIVUTUSMUODONMUUTOS (TAIPUMA) Poikkileikkauksessa pitkittäinen normaalivenymä muuttuu lineaarisesti neutraaliakselilta etäisyyden y funktiona (kuva) Positiivisella momentilla neutraaliakselin yläpuoliset säikeet (+y) ovat puristuksella ( ε) Positiivisella momentilla neutraaliakselin alapuoliset säikeet (-y) ovat vedolla (+ε) Yhtälö 6-8 ε = (y/c)ε max Normaalivenymän jakauma 27 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Oletetaan materiaalin käyttäytyvän lineaarielastisesti joten Hooken laki pätee Normaalivenymän lineaarinen muutos tarkoittaa silloin myös normaalijännityksen lineaarisuutta Soveltaen Hooken lakia edellisen sivun yhtälöön 6-8 saadaan Normaalivenymän jakauma Yhtälö 6-9 σ = (y/c)σ max Taivutusnormaalijännityksen jakauma 28 14

6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Soveltaen statiikan tasapainoyhtälöitä voidaan kuvan jännitysjakaumasta johtaa yhteydet Yhtälö 6-10 A y da = 0 Yhtälö 6-11 M = σ max c A y 2 da Taivutusnormaalijännityksen jakauma Alemman yhtälön integraali on poikkileikkauksen ns. neliömomentti tai taivutusjäyhyys. Se merkitään suuremerkinnällä I. 29 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista suurin taivutusnormaalijännitys eli Mc σ Yhtälö 6-12 max = I σ max = poikkileikkauksen suurin jännitys, joka sijaitsee pisteessä joka on kauimpana neutraaliakselilta M = sisäinen taivutusmomentti I = taivutusjäyhyys c = suurin kohtisuora etäisyys neutraaliakselilta poikkileikkauksessa 30 15

6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Normaalijännitys mielivaltaisessa pisteessä y voidaan määrittää yhtälöstä My Yhtälö 6-13 σ = I Yhtälöitä 6-12 ja 6-13 sanotaan taivutusyhtälöiksi. Negatiivinen taivutus +y +x 31 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Vasemmassa kuvassa on skemaattisesti esitetty ulokepalkin taivutusnormaalijännityksen kehittyminen pituuden kasvaessa Rasituksena on oma paino Sininen väri kuvaa vetojännitystä, punainen puristusjännitystä 32 16

6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Neliömomentti tai taivutusjäyhyys lasketaan yleisesti kaavasta I = A y 2 da Usein poikkileikkaus voidaan jakaa suorakaideosiin (leveys b, korkeus h), jolloin voidaan em. integraali laskea summalausekkeena I = Σ( I i +d i2 A i )= Σ( b i h i 3 /12+d i 2 A i ) missä d i on koko pinnan A=ΣA i pintakeskiön etäisyys osapinnan A i pintakeskiöstä 33 6.4 ESIMERKKI: I-PALKIN TAIVUTUSJÄYHYYS Laske oheisen I-profiilin neliömomentti eli taivutusjäyhyys Jaetaan poikkileikkaus kolmeen osaan: ylä- ja alalaippa sekä uuma ovat suorakaideosia. Pintakeskiö C on symmetrian vuoksi keskellä. Siten 34 17

6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Poikkileikkaus säilyy tasona muodonmuutoksessa Neutraaliakselilla on normaalijännitys nolla puhtaassa taivutuksessa Muodonmuutoksessa pituussuuntainen venymä muuttuu lineaarisesti nollasta neutraaliakselilla suurimpaan arvoonsa uloimmissa palkin säikeissä Jännitys muuttuu siten myös lineaarisesti mikäli materiaali on homogeenista ja jännitys pysyy suhteellisuusrajan alapuolella, ts. Hooken laki pätee 35 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ TAIVUTUSTEORIAN YHTEENVETOA Lineaarielastisella (kimmoisella) materiaalikäyttäytymisellä neutraaliakseli käy poikkipinnan pintakeskiön kautta. Tämä perustuu siihen, että normaalivoima leikkauksessa on oltava nolla (leikkauksessa vaikuttaa voimapari!) Taivutusyhtälö perustuu edellytykseen, että sisäinen taivutusmomentti on lineaarisen normaalijännitysjakauman resultantin momentti neutraaliakselin suhteen 36 18

6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Yksinkertainen esimerkki Määritä oheiseen puupalkin poikkileikkauksen sisäinen rasitus (taivutusmomentti), kun suurin taivutusnormaalijännitys on 20 MPa. 37 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Sisäinen taivutusmomentti Määritä leikkausmenetelmällä tutkittavan poikkileikkauksen sisäinen taivutusmomentti M Poikkileikkauksen pintakeskiö tai neutraaliakseli on tunnettava, koske taivutusmomentti M lasketaan tämän akselin suhteen Taivutusmomenttikuvaajasta saa suurimman taivutusmomentin mikäli taivutusnormaalijännitys on määritettävä 38 19

6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Poikkileikkaussuure Määritä taivutusjäyhyys I neutraaliakselin suhteen Taivutusjäyhyys saadaan joko suoraan taulukoista normeeratuille poikkipinnoille tai laskemalla 39 6.4 TAIVUTUKSEN PERUSYHTÄLÖ Analyysin vaiheet Normaalijännitys Määritä etäisyys y neutraaliakselilta pisteessä, jossa jännitys määritetään Sovella yhtälöä σ = My/I, tai maksimijännitystä laskettaessa σ max = Mc/I Yksiköt! 40 20

ESIMERKKI 6.16 Kuvan ulokepalkin poikkileikkaus on U- profiili. Määritä suurin taivutusnormaalijännitys leikkauksessa a-a. y 41 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen taivutusmomentti Tukireaktioita ei tässä tapauksessa tarvitse määrittää. Sen sijaan käytetään leikkausmenetelmää ja otetaan tutkittavaksi alue leikkauksen a-a vasemmalta puolelta. Huomaa, että leikkauksen normaalivoima N vaikuttaa pintakeskiössä. Taivutusmomentti lasketaan neutraaliakselin suhteen, joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta. y y 42 21

ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Neutraaliakseli Neutraaliakselin sijainti saadaan laskemalla pintakeskiön paikka: y = Σ y A Σ A =... = 59.09 mm 43 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Sisäinen rasitus Tasapainoehto neutraaliakselin suhteen antaa + Σ M NA = 0; 24 kn(2 m) + 1.0 kn(0.05909 m) M = 0 M = 4.859 kn m 44 22

ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Poikkileikkaussuure (taivutusjäyhyys) Neliömomentti (tai taivutusjäyhyys) lasketaan jakamalla poikkileikkaus kolmeen suorakaideosaan ja soveltamalla paralleeliakseliteoreemaa jokaiselle osalle erikseen. I = [1/12(0.250 m)(0.020 m) 3 + (0.250 m)(0.020 m)(0.05909 m 0.010 m) 2 ] + 2[1/12(0.015 m)(0.200 m) 3 + (0.015 m)(0.200 m)(0.100 m 0.05909 m) 2 ] I = 42.26(10-6 ) m 4 45 ESIMERKKI 6.16 (RATKAISU) Suurin taivutusnormaalijännitys Suurin taivutusnormaalijännitys sijaitsee kauimpana neutraaliakselilta. Palkin alapinnalla c = 200 mm 59.09 mm = 140.9 mm. Siten σ = Mc max I = 4.859 kn m(0.1409 m) 42.26(10 = 16.2 MPa -6 ) m 4 Yläpinnalla σ = 6.79 MPa. Lisäksi normaalivoima N = 1 kn ja leikkausvoima V = 2.4 kn aiheuttavat lisäjännityksiä palkkiin. 46 23

6.5 VINO TAIVUTUS Tässä esityksessä keskitytään vain symmetrisiin profiileihin ja pääakselien suhteen vaikuttaviin rasituksiin Taivutusyhtälöä voidaan kuitenkin soveltaa myös tapauksiin, jolloin profiili on epäsymmetrinen tai poikittaiskuormitus eroaa päätasoista (vino taivutus) 47 6.5 VINO TAIVUTUS Huomaa alempien kuvien pääakselien suunta: 48 24

6.5 VINO TAIVUTUS Mielivaltaisesti vaikuttava momentti voidaan jakaa pääakseleille ja soveltaa superpositioperiaatetta: + 49 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Taivutusyhtälöä voidaan käyttää vain silloin jännitysjakauman määrittämiseen poikkileikkauksessa kun palkki on prismaattinen eli poikkileikkaus ei muutu palkin pituussuunnassa Mikäli poikkileikkaus äkillisesti muuttuu, voidaan jännitysjakauma määrittää kokeellisesti tai kimmoteorialla, palkin taivutusteoria ei enää päde 50 25

6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Usein rakenneosissa on kuvan mukaisia epäjatkuvuuksia, ts. reikiä, koloja tai muita poikkipinnan muutoksia. Suurin taivutusnormaalijännityksen arvo sijaitsee pienimmässä poikkileikkauksessa. 51 6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa, vaan suurin jännitys leikkauksessa saadaan käyttämällä jännityskonsentraatiokerrointa K Siten suurin taivutusnormaalijännitys voidaan laskea kaavasta σ = K Mc I Yhtälö 6-26 52 26

6.9 JÄNNITYSKESKITTYMÄT TÄRKEÄÄ Mitä suurempi muutos epäjatkuvuudessa, sitä suurempi huippujännitys Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa vaan suurin arvo Suurin normaalijännitys vaikuttaa pienimmässä leikkauksessa Mikäli materiaali on haurasta tai rakenne on vaihtelevan kuormituksen alainen (väsymisvaara), on huippujännitys otettava huomioon 53 ESIMERKKI 6.26 Määritä suurin taivutusjännitys kuvan palkissa, johon vaikuttaa taivutusmomentti 5 knm. Myötöraja σ Y = 500 MPa. 54 27

ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännityshuippu on olakkeen kohdalla. Kuvasta saadaan konsentraatiokerroin K. r/h =... = 0.2 w/h =... = 1.5 Arvojen perusteella käyrästä saadaan K = 1.45 55 ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Soveltamalla yhtälöä 6-26: σ = K Mc I =... = 340 MPa Eli jännitys pysyy myötörajan alapuolella. Jännitysjakauma on epälineaarinen (kuva) Saint-Venantin periaatteen mukaisesti paikallinen jännityshuippu tasoittuu nopeasti siirryttäessä epäjatkuvuuskohdasta ja on lähes hävinnyt 80 mm etäisyydellä olakkeesta. 56 28

ESIMERKKI 6.26 (RATKAISU) Jännitys olakkeen ulkopuolella on siis taivutusyhtälön mukaan σ max = 234 MPa. Huomaa, että olakkeen loiventaminen pienentää merkittävästi huippujännitystä σ max, koska r :n kasvaessa K pienenee. 57 YHTEENVETO Leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ovat palkin sisäisten rasitusten graafisia esityksiä. Ne voidaan muodostaa statiikan leikkausmenetelmällä jakaen palkki sopiviin osiin ja soveltamalla tasapainoyhtälöillä. Toinen vaihtoehto on soveltaa rasitusten matemaattisia yhteyksiä, joiden perusteella tiedetään, että leikkausvoimakuvaajan kulmakerroin on kuormitustiheys w = dv/dx ja taivutusmomenttijakauman kulmakerroin on leikkausvoima V = dm/dx. 58 29

YHTEENVETO Kuormitustiheyden pinta-ala (negatiivisena) vastaa leikkausvoiman muutosta eli V = w dx. Vastaavasti leikkausvoimajakauman rajaama pinta-ala vastaa taivutusmomentin muutosta M = Vdx. Leikkausmenetelmällä voidaan laskea missä tahanasa pisteessä leikkausvoima ja taivutusmomentti. Taivutusmomentti aiheuttaa lineaarisesti muuttuvan normaalivenymän palkin poikkileikkaukseen Mikäli materiaali on homogeeninen ja Hooken laki pätee eli momentin aiheuttama jännitys ei ylitä myötörajaa, saadaan sisäinen momentti laskettua jännitysjakauman momenttitasapainosta. 59 YHTEENVETO Tuloksena saadaan taivutusyhtälö σ = Mc/I, jossa I ja c määräytyvät neutraaliakselista joka käy poikkileikkauksen pintakeskiön kautta Mikäli poikkileikkaus ei ole symmetrinen, on kyseessä vino taivutus, jota tässä kurssissa ei käsitellä Suuriin jännitys yleisessä kuormitustapauksessa saadaan jakamalla taivutusmomentti pääakseleille ja soveltamalla superpositioperiaatetta suurimman jännityksen selvittämiseksi. 60 30