7/ VÄRÄHTELYMEKNKK SESS 7: Yhden vapausasteen vaieneaton oinaisvärähtely JHDNT inaisvärähtely tarkoittaa ekaanisen systeein liikettä, jossa se liikkuu ilan ulkoisten herätevoiien vaikutusta. inaisvärähtely alkaa, jos systeeillä on alkuhetkellä potentiaalieneriaa ja/tai liike-eneriaa eli systeei ei ole alkuhetkellä levossa tasapainoaseassaan. inaisvärähtely on liikettä tasapainoasean suhteen. Lineaarisen systeein oinaisvärähtely on jaksollista liikettä ja värähtelyanalyysin kannalta on tärkeätä tietää, ikä on värähtelyn taajuus eli ontako liikejaksoa systeei suorittaa aikayksikössä. Tää selviää ratkaisealla systeein liikeyhtälö. Kaikissa ekaanisissa systeeeissä esiintyy vaiennusta, inkä johdosta oinaisvärähtelyn aplitudi pienenee nollaksi tietyn ajan kuluttua. Joskus vaiennus on niin vähäistä, että sen vaikutusta ei kannata ottaa huoioon. Tällöin värähtelyä sanotaan vaieneattoaksi ja uussa tapauksessa vaienevaksi. Seuraavassa tarkastellaan vaieneatonta oinaisvärähtelyä. VMENEMTN MNSVÄRÄHTELY Kuvassa (a) on yhden vapausasteen vaieneattoan oinaisvärähtelyn perusalli, joka on alustaan jousella k kiinnitetty assa. Liikkeen kuvaaiseen käytetään staattisesta tasapainoaseasta itattua koordinaattia. Kuvasta (b) nähdään, että staattisessa tasapainoaseassa on voiassa (a) jousen lepopituus k (b) (c) k k( + ) k = k = () Kuvasta (c) saadaan liikeyhtälö staattinen tasapaino Kuva. Perusalli. & k ( + ) = & () josta saadaan kaavan () avulla systeein liikeyhtälöksi & + k = (3) Koordinaatin valinnasta seuraa liikeyhtälölle (3) yksinkertainen uoto, jossa painovoian vaikutus on eliinoitunut. Jakaalla liikeyhtälö (3) puolittain assalla, se enee standardiuotoon & + ω = (4) jolloin on otettu käyttöön erkintä
7/ ω = k / (5) Suuretta ω sanotaan oinaiskulataajuudeksi. Liikeyhtälö (4) on haronisen värähtelyliikkeen differentiaaliyhtälö ja sen yleinen ratkaisu on tunnetusti ω (t) = sinωt + cos t (6) jossa ja ovat alkuehdoista riippuvia vakioita. Kun systeein alkuasea ja alkunopeus tunnetaan, voidaan vakiot ja laskea. Nopeuden lauseke on &(t) = ωcosωt ωsin t (7) ω lkuehdoista seuraa vakioille ja ratkaisu = & & & = (8) () = = () = ω = / ω Liikeyhtälön ratkaisu (t) enee näin ollen uotoon (t) = & sin ω t + ω cos ω t (9) Liikeyhtälön (4) ratkaisu voidaan esittää yös vaihtoehtoisesti uodossa (t) = Csin( ωt () issä siirtyän aksiiarvoa C sanotaan värähdysliikkeen aplitudiksi ja kulaa ψ vaihekulaksi. Nopeuden lausekkeeksi tulee derivoialla (t) = Cωcos( ωt () lkuehdoista seuraa vakioille C ja ψ seuraava ratkaisu = () = Csinψ = () = Cωcosψ & C = + ω ω ψ = arctan () Liikeyhtälön ratkaisuksi (t) tulee siis (t) = + ω ω sin ω t + arctan (3)
7/3 Kaavoista (8) ja () näkyy, että vakioiden ja sekä C ja ψ välillä on yhteys C = = + ψ arctan( / ) (4) ikaväliä, jonka kuluttua liike toistuu saanlaisena, kutsutaan oinaisvärähdysajaksi τ ja sen käänteisarvoa f = / τ oinaistaajuudeksi. Koska sinin jakso on π, seuraa kaavasta () yhteys ωτ = π, joten voidaan kirjoittaa seuraavat tulokset π ω k τ = = π f = = = (5) ω k τ π π inaiskulataajuuden ω yksikkö on rad / s ja oinaistaajuuden f yksikkö / s = Hz. ttaalla huoioon kaava (), voidaan ω, τ ja f kirjoittaa uotoon ω = τ = π f = π (6) josta nähdään, että oinaistaajuus voidaan äärittää yös ittaaalla jousen staattinen pituudenuutos. n syytä huoata erityisesti, että suureet ω, τ ja f riippuvat vain systeein assasta ja jousivakiosta k ja ovat näin ollen systeein sisäisiä oinaisuuksia, eivätkä riipu esierkiksi ulkoisista kuorituksista. Yllä olevat tulokset saatiin kuvan ukaisen perusallin translaatioliikkeen tarkastelusta. Saadut kaavat pätevät kuitenkin, vaikka liike olisi rotaatiotakin. Jousi on tällöin vääntöjousi ja assan paikalle tulee hitausoentti. Edelleen on selvää että teoria sopii kaikille yhden vapausasteen systeeeille, jotka voidaan kuvata ekvivalentilla systeeillä. ESMERKK VMS7E Kuvan ukaisen oinaisvärähtelijän nopeuden aksiiarvo on a =, / s, oinaisvärähdysaika τ = s ja alkuasea =,. Laske värähtelyn aplitudi C, vaihekula ψ, alkunopeus ja kiihtyvyyden aksiiarvo & a. Piirrä värähtelijän asean (t), nopeuden &(t) = v(t) ja kiihtyvyyden & (t) = a(t) kuvaajat välillä [, 3τ ]. Ratkaisu: π π Kaavasta (5) seuraa ω = = = π. Kaavan () ukaan nopeuden aksiiarvo τ s s, / s a a = Cω C = = C,38 ω π / s Kaavasta () saadaan alkunopeus ja vaihekula
7/4 ω o ψ = arctan ψ 38,93 = ω & (C ),778 / s Kiihtyvyyden lausekkeeksi saadaan kaavasta () derivoialla & (t) = Cω sin( ωt, joten aksiiarvo on & a = Cω &,34 / s Seuraavassa kuvassa on asean (t) = C sin( ω t, nopeuden v(t) = Cωcos( ωt ja kiihtyvyyden a(t) = Cω sin( ωt kuvaajat. a.4 sea, nopeus ja kiihtyvyys. t () vt () at ()...4 3 4 5 6 t ika Trionoetrian ukaan on v(t) = Cωsin( ωt + ψ + π / ) ja a(t) = Cω sin( ωt + ψ + π), joten asean ja nopeuden välillä on vaihe ero π / ja asean ja kiihtyvyyden välillä vaihe-ero π, ikä näkyy yös kuvaajista. ESMERKK VMS7E 34,8 inaisvärähtelyä voidaan hyödyntää kappaleiden hitausoenttien kokeellisessa äärityksessä. Vauhtipyörä on asetettu tuen varaan heiluriksi kuvassa esitetyllä tavalla. Pyörää poikkeutetaan pieni kula tasapainoaseastaan ja päästetään siitä heiluriliikkeeseen. Heilahdusajaksi itataan τ =,s. Laske pyörän hitausoentti akselin suhteen, kun pyörän assaksi on punnittu = 3,743k. y & r Ratkaisu: Pyörä on oheisessa vapaakappalekuvassa ielivaltaisessa aseassa ja oenttiliikeyhtälöksi tukipisteen suhteen tulee & = W r sin r sin W jossa W = 3,4 N, r = 5,4 ja hitausoentti akselin suhteen. Kun kula on pieni, on
7/5 sin ja liikeyhtälö enee uotoon & W r + =. Vertaaalla tätä yhtälöön (4) havaitaan, että kyseessä on oinaisvärähtelyn liikeyhtälö, jossa ω =. Koska lisäksi W r π ω =, saadaan τ W r τ 3,4N,54, s =,789k 4π 4π Steinerin säännöstä seuraa = + r = r,789k 3,743k,54 =,5k ESMERKK VMS7E3 Yhden vapausasteen systeein oinaiskulataajuus voidaan identifioida sen standardiuotoisen liikeyhtälön (4) aseakoordinaatin kertoiesta. Tarkastellaan tästä esierkkinä kuvan kahden akselin ja haaspyörän systeein vääntövärähtelyä. Ylepi akseli voi pyöriä vapaasti, utta alepi on tuettu ulokkeeksi. lean akselin vääntöjousivakio on K, pyörien hitausoentit ja sekä säteet r ja r. Kun vaihteessa ei ole välystä, on kyseessä yhden vapausasteen systeei, jonka koordinaatiksi voidaan valita alean akselin vääntökula. Ratkaisu: Kun vaihteessa ei ole välystä, ovat pyörien kehäsiirtyien suuruudet saat, josta seuraa kineaattinen ehto r = r r = = i & = i&& r jossa i on välityssuhde. Lisäksi on voiassa T = K. Pyörien oenttiliikeyhtälöt & saadaan vapaakappalekuvista r Fr = && = i&& F F i F = && T T r & r r r K K T + Fr K = && i && = && K ( + i )&& + K = && + = + i ω = K + i
7/6 HRJTUS VMS7H Mittalaite on tuettu joustavasti alustaan ja sen tuennan jousivakio on k = 55kN/ sekä pystysuuntaisen oinaisvärähtelyn oinaiskulataajuus ω = 55rad/ s. Määritä laitteen assa, oinaistaajuus ja oinaisvärähdysaika. Esitä laitteen oinaisvärähtelyn lauseke (t), kun liike alkaa aseasta = nopeudella = 5 / s. Piirrä siirtyän (t) kuvaaja neljän värähtelyjakson ajalta. Vast.,8k f 87,5 Hz τ,4s Vihjeet (t) = [ ( /)sin(55 t / s) + cos(55 t / s)] HRJTUS VMS7H (a) (b) L / L / L / 4 3L / 4 Kierrejousen jousivakio on k = Gd /(8nD ), issä G on liukuoduuli, d jousilanan halkaisija, D jousen halkaisija ja n kierteiden lukuäärä. Kierrejousi katkaistaan keskeltä ja puolikkailla tuetaan assa kuvan (a) ukaisesti, jolloin systeein vaakasuuntaisten värähtelyjen oinaisvärähdysajan havaitaan olevan τ a =,5 s. Toinen saanlainen jousi katkaistaan siten, että toisen osan pituus on / 4 koko pituudesta ja toisen 3 / 4. Massa tuetaan näillä jousen osilla kuvan (b) ukaisesti. Mikä on systeein (b) oinaisvärähdysaika τ b? Vast. τ b,433 s Vihjeet: 4 3 HRJTUS VMS7H3 K K K Kuvan ukaisessa systeeissä akselin osien vääntöjäykkyydet ovat K ja K sekä pyörän hitausoentti. Johda pyörän vääntövärähtelyjen liikeyhtälö valiten koordinaatiksi pyörän kula-asea ja identifioi liikeyhtälöstä oinaiskulataajuus. ω = [ K + KK /(K + K )]/ Vihjeet: HRJTUS VMS7H4 r k Sylinteri on kiinnitetty jousella k tukeen ja vierii liukuatta vaakatasolla. Sylinterin assa on ja hitausoentti assakeskiön suhteen on. Määritä systeein oinaisvärähtelyjen liikeyhtälö ja identifioi liikeyhtälöstä oinaiskulataajuus. Vast. ω = k /( + / r ) Vihjeet: