031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division

Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo. Virtapiireissä mitataan jännitteitä ja virranvoimakkuuksia Törmäyskokeissa lasketaan esiintyvien hiukkasten lukumääriä Sähkömagneettisissa sovellutuksissa arvioidaan kentän intensiteettiä Tietoliikennetekniikassa oikein koodattujen bittien lukumäärä Jos satunnaiskokeen tulos ei ole valmiiksi reaaliluku, voidaan se usein muuntaa reaaliluvuksi sopivalla funktiolla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

Satunnaismuuttuja Määritelmä 6 Olkoon S satunnaiskokeen otosavaruus. Satunnaismuuttuja (lyhyesti sm.) X on funktio, joka liittää reaaliluvun X(e) jokaiseen alkeistapahtumaan e S ja jos kaikilla x R pätee {X x} = {e S X(e) x} E. (1) Kaikki kuvaukset X : S R eivät siis ole satunnaismuuttujia. Kuvaus on satunnaismuuttuja vain, jos Määritelmän 6 ehto (1) toteutuu. Tällä kurssilla meille riittää mielikuva, että satunnaismuuttuja on funktio otosavaruudelta reaaliluvuksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko S X voidaan tulkita satunnaismuuttujan otosavaruudeksi. Satunnaismuuttujan arvoa x sanotaan satunnaismuuttujan realisaatioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

Esimerkki Esimerkki 10 Tarkastellaan satunnaiskoetta E = heitetään kahta noppaa ja muuttujaa X, joka ilmoittaa pisteluvuista suurimman kokeessa E. Määrää satunnaiskoetta vastaavan satunnaismuuttujan arvojoukko ja arvoja vastaavat tapahtumat. Määrää myös arvoja vastaavat todennäköisyydet, kun oletetaan, että nopat ovat reiluja. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

Kertymäfunktio Joukko {X x} vastaa siis tapahtumaa {e S X(e) x}, jolla on täysin määrätty todennäköisyys, joka on x:n funktio kaikilla x R. Määritelmä 7 Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on funktio F : R R, jolle Huomautus 4 F(x) = F X (x) = P({X x}), x R. Kertymäfunktiota nimitetään usein satunnaismuuttujan jakaumaksi, sillä kertymäfunktio määrää kaikkien tapahtumien todennäköisyydet yksikäsitteisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44

Kertymäfunktion ominaisuuksia 1. 0 F(x) 1 kaikilla x R; 2. F(x 1 ) F(x 2 ), kun x 1 x 2 ; 3. F on oikealta jatkuva; 4. lim x F(x) = 0, lim x F(x) = 1; 5. P(x 1 < X x 2 ) = F(x 2 ) F(x 1 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44

Satunnaismuuttujien päätyypit Tällä kurssilla käsiteltävät satunnaismuuttujat ovat joko diskreettejä tai jatkuvia. Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujan ei tarvitse olla kumpaakaan edellä mainittua tyyppiä. Esitellään seuraavaksi nämä päätyypit ja tarkastellaan joitakin tärkeimpiä esimerkkejä kyseisistä jakaumista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44

Diskreetti satunnaismuuttuja Määritelmä 8 Satunnaismuuttuja X on diskreetti, jos sen arvojoukko S X on äärellinen tai numeroituvasti ääretön: S X = {x k ; k = 1,2,3,...}. Määritelmä 9 Diskreetin { sm:n X pistetodennäköisyysfunktio on P(X = x k ), x = x k f(x) = 0, x x k kaikilla k Pistetodennäköisyysfunktiolla on ominaisuudet (i) f(x) 0 kaikilla x R; (ii) f(x) > 0 x kuuluu joukkoon {x 1,x 2,...}; (iii) k=1 f(x k) = 1. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44

Diskreetin sm:n kertymäfunktio Pistetn:t p k = f(x k ) = P(X = x k ), x k S X, määräävät diskreetin sm:n kertymäfunktion yksikäsitteisesti kaavan F(x) = P(X = x k ) k:x k x mukaisesti. Kertymäfunktio on porrasfunktio, joka on vakio väleillä [x k,x k+1 [ ja jolla on p k = P(X = x k ):n suuruiset hyppäykset kohdissa x = x k. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44

Jatkuva satunnaismuuttuja Määritelmä 10 Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos sen kertymäfunktio F X on jatkuva R:ssä. Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, merkitään F X = F. Jatkuvalle satunnaismuuttujalle yksittäisen pisteen tn. on nolla, sillä P(a h < X < a+h) = F(a+ h) F(a h) 0, kun h 0, ja näin ollen P(X = a) = 0 kaikilla a R. Huomaa, että diskreetillä satunnaismuuttujalla yksittäisen pisteen tn. voi olla positiivinen. Jos F ei ole pelkästään jatkuva, vaan myös derivoituva, niin F (x) = df(x) dx = f X (x). Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 44

Jatkuva satunnaismuuttuja Koska lim x F(x) = 0, seuraa edellisestä F(x) = x f X (y)dy. Funktiota f X sanotaan satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi, jota merkitään f X = f ellei erehtymisen vaaraa ole. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 44

Tiheysfunktion ominaisuuksia f(x) 0 kaikilla x R; f(x) = 1; P(a < X b) = b a f(x)dx = F(b) F(a) kaikilla a < b R. Koska yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, niin P(a < X b) =P(a X b) = P(a X < b) =P(a < X < b). Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 44

Kuvaajia Väritetyn alueen pinta-ala ilmoittaa jatkuvaan sm:aan X liittyvien tapahtumien tn:t. Kuva : P(X 2) Kuva : P( 1 < X < 1) Kuva : P(X > 1) Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 44

Esimerkkejä Esimerkki 11 Millä c:n arvoilla funktiot (a) ce x, < x < ; c (b), < x < ; 1+x 2 (c) x 6 + c, 0 x 3, ovat tiheysfunktioita? Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 44

Esimerkki Kuva : Kertymäfunktio 1 Kuva : Kertymäfunktio 2 Kuva : Kertymäfunktio 3 Kuviin on piirretty eräisiin satunnaismuuttujiin liittyviä funktioita. Totea kussakin tapauksessa mikä funktio on kysymyksessä ja mitä tyyppiä muuttuja on. Mitä voit sanoa kyseisten satunnaismuuttujien saamista arvoista? Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 44

Tärkeitä satunnaismuuttujia Esitellään seuraavaksi eräitä tunnettuja ja sovellusten kannalta hyödyllisiä satunnaismuuttujia. Diskreeteistä jakaumista esitellään tarkemmin binomijakauma ja Poissonin jakauma. Jatkuvista jakaumista esitellään normaalijakauma ja tasajakauma. Lisää tyypillisimpiä muuttujia löytyy esimerkiksi luentomonisteesta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 44

Binomijakauma Oletetaan seuraavaa: Toistokoe, jossa n riippumatonta toistoa; Yksittäisessä kokeessa tapahtuman B todennäköisyys P(B) = p, 0 < p < 1; X satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa tapahtuman B esiintymisten lukumäärän. Tällöin X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p. Käytetään merkintää X Bin(n, p). Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 44

Binomijakauman ominaisuuksia Binomijakautuneen satunnaismuuttujan X arvojoukko on S X = {0,1,...,n} X:n pistetodennäköisyysfunktio on ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0,1,2,...,n. k Kertymäfunktio on [x] ( ) n F(x) = p k (1 p) n k, 0 x n, k k=0 missä [x] = max{k Z k x}. Sitä ei voi lausua suljetussa muodossa. Sen approksimointiin palataan myöhemmin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 44

Binomijakauman kuvaajia Kuvissa on esitetty sm:ien X Bin(50, 0.2) ja X Bin(50, 0.5) pistetodennäköisyysfunktiot. Kuva : X Bin(50, 0.2) Kuva : X Bin(50, 0.5) Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 44

Binomijakauman kuvaajia Kuvissa on esitetty sm:ien X Bin(50, 0.2) ja X Bin(50, 0.5) kertymäfunktioiden pisteittäiset arvot pisteissä k = 0, 1,..., 50. Kuva : X Bin(50, 0.2) Kuva : X Bin(50, 0.5) Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 44

Esimerkki Esimerkki 12 Erään nimeltä mainitsemattoman firman puhelimista 5 % ei kestä pakkasta. Ostetaan 6 puhelinta. Millä todennäköisyydellä puhelimista (a) kaikki kestää pakkasta? (b) vähintään yksi ei kestä pakkasta? Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 44

Esimerkki Esimerkki 13 Tietoliikennekanava lähettää bittejä 0 ja 1. Kanavan häiriöiden takia esiintyy satunnainen dekoodausvirhe, jonka todennäköisyys on p (ks. kuva) Millä todennäköisyydellä 10-bittisen viestin dekoodauksessa esiintyy täsmälleen 3 virheellisesti dekoodattua bittiä? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 44

Poisson-jakauma Oletetaan, että tietty tapahtuma esiintyy satunnaisin aikavälein keskimäärin a kertaa aikayksikössä X on tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä aikayksikössä Tällöin X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla a ja merkitään X Poi(a). Huomautus 5 Poisson-jakaumaan päädytään binomijakauman rajajakaumana, kun n ja p 0siten, ettänp = a. Tämän nojalla Poisson-jakaumaa voi ajatella harvinaisen tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärän jakaumaksi suuressa populaatiossa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 44

Ominaisuuksia Jos X Poi(a), niin X:n arvojoukko on S X = {0,1,2,...}; X:n pistetodennäköisyydet ovat a ak P({X = k}) = e k!, k = 0,1,2,... Pistetodennäköisyydet todella muodostavat jakauman, sillä ne ovat positiivisia ja P(X = k) = e a a k k! = 1. k=0 k=0 Edellä käytettiin eksponenttifunktion sarjakehitelmää e a = k=0 ak k! (katso PK I). Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 44

Ominaisuuksia ja sovelluksia Jos X 1 ja X 2 ovat riippumattomia ja X 1 Poi(a 1 ) ja X 2 Poi(a 2 ), niin X 1 + X 2 Poi(a 1 + a 2 ). Sovelluksia: harvinaisen tapahtuman esiintymiskertojen lkm. tietynpituisille ajanjaksoille ja tietynkokoisille alueille, joissa oletetaan, että tn., että yhdellä lyhyellä jaksolla tapahtuma sattuu korkeintaan kerran, riippuu vain jakson pituudesta (alueen pinta-alasta); tn., että sattuu useammin kuin kerran, on pieni ; erillisten jaksojen tapahtumakertojen oletetaan olevan toisistaan riippumattomia. (Poisson-prosessi) Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 44

Esimerkkejä sovelluksista Tietylle alueelle osuvien ammusten lukumäärä; Radioaktiivisen aineen hajoamisten lukumäärä aikayksikössä; Harvinaiseen tautiin kuolleiden lukumäärä suuressa populaatiossa; Painovirheiden lukumäärä kirjan tietyllä sivulla; Web-serveriin otettujen yhteyksien lukumäärä minuutissa; Vääriin numeroihin soitettujen puheluiden lkm. vuorokaudessa; Kromosomimuutosten lukumäärä soluissa; jne... Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 44

Kuvaaja Kuvissa on havainnollistettu jakaumaa X Poi(5). Kuva : Pistetn:t Kuva : Kertymäfunktion arvot pisteissä k = 0, 1,... Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 44

Esimerkki Esimerkki 14 Tutkittiin 20 DVD-levyn pintavikoja, joita havaittiin seuraavan taulukon mukaisesti: Vikojen lkm. 0 1 2 3 4 5 6 Levyjen lkm. 4 3 5 2 4 1 1 (a) Kuinka monta vikaa levyssä on keskimäärin? (b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa levyssä on pintavikoja vähintään 3? (c) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa kahdessa levyssä on pintavikoja yhteensä vähintään 3? Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 44

Esimerkki Esimerkki 15 Lentoyhtiö tietää kokemuksesta, että keskimäärin 5% paikan varanneista jää saapumatta koneeseen. Niinpä yhtiö myykin 102 lippua koneeseen, johon mahtuu 100 matkustajaa. Oletetaan, että paikan varaajat ovat toisistaan riippumattomia. (a) Mikä jakaumamalli mielestäsi soveltuu tähän tilanteeseen? (b) Laske edellisen kohdan mallilla tn., että jokainen lennolle todella saapuva saa paikan. (c) Arvioi edellisen kohdan tn:ää Poisson-jakauman avulla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 44

Tasajakauma Tasajakauma vastaa koetta, jossa luku X valitaan täysin satunnaisesti väliltä [a,b]. Tämä merkitsee sitä, että kaikilla välin [a, b] samanpituisilla osaväleillä on sama todennäköisyys sisältää valittu luku X. Tai yhtäpitävästi: X:n jakaumalla on tiheysfunktio, joka on vakio välillä [a,b]. Määritelmä 11 Satunnaismuuttuja X noudattaa tasajakaumaa parametrein a R ja b R, joille a < b, ja merkitään X Tas(a,b), jos X:n tiheysfunktio on { 1 f X (x) = b a, jos a x b, 0, muulloin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 44

Tasajakauma Tasajakauman kertymäfunktio on 0, jos x < a F(x) = x a b a, jos a x b 1, jos x > b. Tasajakaumaa käytetään esimerkiksi satunnaismuuttujien simuloinnissa. Huomautus 6 Tasajakautuneelle muuttujalle käytetään usein merkintää U, joka tulee englanninkielisestä sanasta uniform. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 44

Normaalijakauma Normaalijakauma on tärkein jakauma todennäköisyyslaskennassa ja sen sovellutuksissa. Sen vuoksi sitä nimitetään normaalijakaumaksi. Normaalijakauman keskeinen asema selviää mm. luentomonisteen luvussa 6. Määritelmä 12 Satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ,σ 2, joille µ R ja 0 < σ R, ja merkitään X N(µ,σ 2 ), jos X:n tiheysfunktio on f X (x) = 1 exp ( (x µ)2), < x <. 2πσ 2σ 2 Parametri µ on satunnaismuuttujan keskimääräinen arvo. Parametria σ 2 sanotaan varianssiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 44

Normaalijakauma Tarkastellaan seuraavissa kuvaajissa parametrien µ ja σ vaikutusta tiheysfunktioon. Normaalijakautuneen sm:n X N(µ, 1) tiheysfunktioiden kuvaajia parametrin µ eri arvoilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 44

Normaalijakauma Normaalijakautuneen sm:n X N(0,σ 2 ) tiheysfunktioiden kuvaajia parametrin σ eri arvoilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 44

Standardisoitu normaalijakauma Käytännön laskennassa tärkeäksi osoittautuu Määritelmä 13 Satunnaismuuttuja X noudattaa standardisoitua normaalijakaumaa, merkitään X N(0, 1), jos X:n tiheysfunktio on ϕ(x) = 1 exp( x2 ), x R. 2π 2 Kertymäfunktio on F X (x) = 1 2π x exp( x2 2 )dx, jota merkitään F X (x) = Φ(x). Kertymäfunktiota ei voi ilmoittaa suljetussa muodossa, joten arvot Φ(x) täytyy lukea taulukosta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 44

Standardisoitu normaalijakauma Kuvissa on esitetty standardisoidun normaalijakauman tiheysfunktion ϕ ja kertymäfunktion Φ kuvaajat. Kuva : Funktion ϕ kuvaaja. Kuva : Funktion Φ kuvaaja. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 44

Ominaisuuksia Symmetria-ominaisuus Φ( x) = 1 Φ(x) kaikilla x R. Todennäköisyys P(a < X < b) = Φ(b) Φ(a) Miksi standarisoitu normaalijakauma on käytännön laskennassa keskeinen, ilmenee lauseesta Lause 6 Jos X N(µ,σ 2 ), niin X µ σ N(0,1). Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 44

Taulukon käyttö Olkoon X N(µ,σ 2 ). Tällöin Z = X µ σ N(0,1). Todennäköisyydeksi P(X a) saadaan P(X a) = P( X µ σ a µ σ ) = Φ(a µ σ ). Taulukosta löytyy tn:t vain positiivisille x; tn:t negatiivisille x saadaan symmetria-ominaisuudesta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 44

Esimerkkejä Esimerkki 16 Merkitään satunnaismuuttujalla X satunnaisesti valitun suomalaisen naisen pituutta [cm]. Pituus noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ = 165 ja σ 2 = 25. Määrää tn:t (a) P(X = 160); (b) P(159,5 < X < 160,5) = P( X on sentin tarkkuudella 160 ); (c) P(160 < X < 170). Esimerkki 17 Olkoon X N(µ,σ 2 ). Laske todennäköisyydet (a) P(µ σ < X < µ+σ); (b) P(µ 2σ < X < µ+2σ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 44

Algebralliset laskutoimitukset Edellä tutustuimme joihinkin tyypillisiin satunnaismuuttujiin. Niistä saadaan algebrallisilla laskutoimituksilla kuten luvulla kertomisella, yhteen-, kerto- ja jakolaskulla uusia satunnaismuuttujia. Lause 7 Jos X ja Y ovat satunnaismuuttujia ja c R, niin cx, X + Y ja XY ovat myös satunnaismuuttujia. Jos lisäksi P(Y = 0) = 0, niin X/Y on satunnaismuuttuja. Erityisesti X 2 on sm., jos X on sm. X 2 + Y 2 on sm., jos X,Y ovat sm. X/Y 2 on sm., jos X on sm. ja Y on sm., jolle P(Y = 0) = 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 44

Laskutoimituksilla saatujen muuttujien jakautuminen Yleensä peruslaskutoimituksilla saadut muuttujat käyttäytyvät aivan eri tavalla kuin muuttujat, joihin laskutoimitusta on sovellettu. Esimerkiksi, jos X ja Y ovat esimerkiksi tasajakautuneita, niin X + Y on kaikkea muuta kuin tasajakautunut. Käydään läpi eräs yksinkertainen esimerkki harjoituksissa. Joitakin poikkeuksia onneksi löytyy. Edellä todettiin, että X + Y Poi(a+ b), jos X Poi(a) ja Y Poi(b). Jatkuvista jakaumista normaalijakaumaperhe käyttäytyy hyvin, sillä jos X N(µ X,σX 2) ja Y N(µ Y,σY 2 ), niin ax + by N(aµ X + bµ Y,a 2 σx 2 + b2 σy 2 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 44

Satunnaismuuttujan muunnokset Jotkin hyödylliset satunnaismuuttujat saadaan sopivilla muunnoksilla tunnetuista sm:ista. Jos X on satunnaismuuttuja ja g : R R sopiva reaaliarvoinen funktio, niin yhdistetty kuvaus g X = g(x) on edelleen satunnaismuuttuja. Lause 8 Jos X on satunnaismuuttuja ja (i) jos g : R R on jatkuva, niin g(x) on satunnaismuuttuja; (ii) jos g : R R on monotoninen, niin g(x) on satunnaismuuttuja. Esimerkiksi e X on sm., jos X on sm. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 44

Muunnoksella saatujen satunnaismuuttujien jakautuminen Muunnoksella saataviin satunnaismuuttujiin liittyvien tapahtumien todennäköisyyksiä voidaan laskea muunnettavien satunnaismuuttujien jakaumien avulla. Yleisesti muunnoksen jakauman (eli kertymäfunktion) laskeminen ei ole yksinkertaista. Vaikka muunnoksen jakaumaa ei välttämättä tarvitse laskea, voi joissakin tapauksissa jakauman määrääminen olla perusteltua, erityisesti jos muunnoksella saatavalla jakaumalla on erityistä käyttöä. Esimerkiksi, jos X N(0, 1), niin X 2 χ 2 1 (lue: khii toiseen jakaumaa vapausasteilla 1). muuttujan e X jakaumaa sanotaan log-normaalijakaumaksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 44

Esimerkki Esimerkki 18 Olkoon U Tas(0,1) ja g(x) = 1 a ln x jollekin a > 0. Laske muuttujan Y = g(u) kertymäfunktio. Noudattaako Y jotain tunnettua jakaumaa? Miten g(u):lle voidaan generoida näytteitä tasajakaumasta? Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 44