Tilastomatematiikka Kevät 2008

Transkriptio

1 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/73

2 Johdanto Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinen malli Kolme matemaattista ideaa: Satunnaisuus (umpimähkäisyys) Tilastomatematiikka p.2/73

3 Johdanto Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinen malli Kolme matemaattista ideaa: Satunnaisuus (umpimähkäisyys) todennäköisyys Tilastomatematiikka p.2/73

4 Johdanto Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinen malli Kolme matemaattista ideaa: Satunnaisuus (umpimähkäisyys) todennäköisyys tilastot (tilastolliset jakaumat) Tilastomatematiikka p.2/73

5 Todennäköisyys Satunnaiskoe: Kokeen tulos satunnainen, havainnoitava alkeistapahtuma Tilastomatematiikka p.3/73

6 Todennäköisyys Satunnaiskoe: Kokeen tulos satunnainen, havainnoitava alkeistapahtuma Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulosten joukko Tilastomatematiikka p.3/73

7 Todennäköisyys Satunnaiskoe: Kokeen tulos satunnainen, havainnoitava alkeistapahtuma Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulosten joukko Tapahtuma A S on otosavaruuden osajoukko. Tilastomatematiikka p.3/73

8 Todennäköisyys Satunnaiskoe: Kokeen tulos satunnainen, havainnoitava alkeistapahtuma Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulosten joukko Tapahtuma A S on otosavaruuden osajoukko. Tapahtumasysteemi E on otosavaruuden osajoukkojen joukko. Tilastomatematiikka p.3/73

9 Esimerkkejä Esim 1. Heitetään kolikkoa kunnes saadaan ensimmäisen kerran "klaava". Tällöin otosavaruus S = N. Esim 2. Heitetään kolikkoa n kertaa. Tarkastellaan satunnaiskoetta, jossa lasketaan "klaavojen lukumäärä". Tällöin otosavaruus S = {0, 1, 2, 3,...,n} Esim 3. Heitetään noppaa kaksi kertaa. Tällöin otosavaruus S = {(i,j) 1 i,j 6} Tilastomatematiikka p.4/73

10 Joukko-oppia Perusjoukko S Joukon komplementti A = S \ A = {x S x / A}. Tilastomatematiikka p.5/73

11 Joukko-oppia Perusjoukko S Joukon komplementti A = S \ A = {x S x / A}. Yhdiste A B = {x S x A tai x B} Tilastomatematiikka p.5/73

12 Joukko-oppia Perusjoukko S Joukon komplementti A = S \ A = {x S x / A}. Yhdiste A B = {x S x A tai x B} Leikkaus A B = {x S x A ja x B} Tilastomatematiikka p.5/73

13 Joukko-oppia Perusjoukko S Joukon komplementti A = S \ A = {x S x / A}. Yhdiste A B = {x S x A tai x B} Leikkaus A B = {x S x A ja x B} de Morganin kaavat: A B = A B A B = A B Tilastomatematiikka p.5/73

14 Lisää joukko-oppia Tapahtumasysteemi E on Boolen algebra: 1.,S E 2. A E = A E 3. A,B E = A B E 4. A,B E = A B E Tilastomatematiikka p.6/73

15 Klassinen todennäköisyys Otosavaruus on äärellinen S = {e 1,e 2,...,e N } Tilastomatematiikka p.7/73

16 Klassinen todennäköisyys Otosavaruus on äärellinen S = {e 1,e 2,...,e N } Alkeistapahtuman todennäköisyys: P(e i ) = 1 N Tilastomatematiikka p.7/73

17 Klassinen todennäköisyys Otosavaruus on äärellinen S = {e 1,e 2,...,e N } Alkeistapahtuman todennäköisyys: P(e i ) = 1 N Satunnaiskokeen tapahtuman A esiintymistodennäköisyys P(A) = m N, missä m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä. Tilastomatematiikka p.7/73

18 Klassinen todennäköisyys Otosavaruus on äärellinen S = {e 1,e 2,...,e N } Alkeistapahtuman todennäköisyys: P(e i ) = 1 N Satunnaiskokeen tapahtuman A esiintymistodennäköisyys P(A) = m N, missä m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä. Ilmeisesti P(S) = 1. Tilastomatematiikka p.7/73

19 Kombinatoriikkaa Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono, jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleen kerran. Permutaatioiden lukumäärä n! = (n 1) n Tilastomatematiikka p.8/73

20 Kombinatoriikkaa Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono, jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleen kerran. Permutaatioiden lukumäärä n! = (n 1) n k-permutaatio on äärellisen joukon k:n eri alkion jono, joiden lukumäärä on n! (n k)!. Tilastomatematiikka p.8/73

21 Kombinatoriikkaa Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono, jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleen kerran. Permutaatioiden lukumäärä n! = (n 1) n k-permutaatio on äärellisen joukon k:n eri alkion jono, joiden lukumäärä on n! (n k)!. k-kombinaatio on äärellisen joukon k-alkioinen ( osajoukko. Tässä joukossa on n ) k = n! (n k)!k! alkiota. Tilastomatematiikka p.8/73

22 Geometrinen todennäköisyys Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinen tila. Tilastomatematiikka p.9/73

23 Geometrinen todennäköisyys Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinen tila. Tapahtuma A on S:n osajoukko. Tilastomatematiikka p.9/73

24 Geometrinen todennäköisyys Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinen tila. Tapahtuma A on S:n osajoukko. Tapahtuman A todennäköisyys on P(A) = m(a) m(s) missä m(a) joukon pituus, pinta-ala tai tilavuus. Tilastomatematiikka p.9/73

25 Todennäköisyyden aksiomat Todennäköisyysavaruus on {S, E, P } 1. 0 P(A) 1 2. P(S) = 1 3. P(A B) = P(A) + P(B), kun A B = Lause 1. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Tilastomatematiikka p.10/73

26 Todennäköisyyden perusominaisuudet Lause 2. Todennäköisyydelle on voimassa: (i) P(A) = 1 P(A), P( ) = 0; (ii) Jos tapahtumat {A i,a 2,...,A n } ovat toisensa poissulkevia, ts. A i A j =, kun i j, niin P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ); (iii) Aina kun A B, niin P(A) P(B); (iv) P(A B) = P(A) P(A B). Tilastomatematiikka p.11/73

27 Todennäköisyyden tulkinta satunnaiskokeen N-kertainen toisto "riippumattomasti"; Tilastomatematiikka p.12/73

28 Todennäköisyyden tulkinta satunnaiskokeen N-kertainen toisto "riippumattomasti"; Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(a) kertaa Tilastomatematiikka p.12/73

29 Todennäköisyyden tulkinta satunnaiskokeen N-kertainen toisto "riippumattomasti"; Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(a) kertaa Tällöin P(A) = lim N n(a) N Tilastomatematiikka p.12/73

30 2. Ehdollinen todennäköisyys ja riippum Satunnaiskokeen otosavaruus S, E sen tapahtumasysteemi ja P todennäköisyys. Määr 1. Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla B on kun P(B) > 0. P(A B) = P(A B), P(B) Tilastomatematiikka p.13/73

31 Ehdollisen todennäköisyyden ominaisu 1. 0 P(A B) 1; 2. P(B B) = 1; 3. P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B), kun A 1 A 2 B =. Tilastomatematiikka p.14/73

32 Kertolaskusääntö Todennäköisyyslaskennan kertosääntö: P(A B) = P(B)P(A B), kun P(B) > 0 P(A B) = P(A)P(B A), kun P(A) > 0 Täydellisellä induktiolla voidaan todistaa: Lause 3. Olkoot A 1,A 2,...,A n E siten, että P(A 1 A n ) > 0. Tällöin on voimassa P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 2 A 1 ) P(A n A 1 A n 1 ). Tilastomatematiikka p.15/73

33 Esimerkki Esim 4. Laatikossa on 5 punaista ja 3 sinistä sukkaa. Poimitaan umpimähkään kaksi sukkaa. Millä todennäköisyydellä saadaan sininen pari. Ratk.: Tapahtumat: B= 1. sukka sininen, A= saadaan sininen pari. P(A B) = 2 7, sillä 7:stä sukasta 2 sinistä. Koska A = A B, niin P(A) = P(A B) = P(A B)P(B) = = Tilastomatematiikka p.16/73

34 Kokonaistodennäköisyys Pari {A 1,A 2 } on otosavaruuden S ositus, jos A 1 A 2 = ja A 1 A 2 = S. Tilastomatematiikka p.17/73

35 Kokonaistodennäköisyys Pari {A 1,A 2 } on otosavaruuden S ositus, jos A 1 A 2 = ja A 1 A 2 = S. Oletetaan, että P(A i ) > 0, i = 1, 2. Tilastomatematiikka p.17/73

36 Kokonaistodennäköisyys Pari {A 1,A 2 } on otosavaruuden S ositus, jos A 1 A 2 = ja A 1 A 2 = S. Oletetaan, että P(A i ) > 0, i = 1, 2. Tapahtumalle B (P(B) > 0): (A 1 B) (A 2 B) = B (A 1 B) (A 2 B) = Tilastomatematiikka p.17/73

37 Kok.todennäk. P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B). Tilastomatematiikka p.18/73

38 Kok.todennäk. P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B). Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2: P(A i B) = P(B A i )P(A i ). Tilastomatematiikka p.18/73

39 Kok.todennäk. P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B). Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2: P(A i B) = P(B A i )P(A i ). Kokonaistodennäköisyyden kaava P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ). Tilastomatematiikka p.18/73

40 Bayesin kaava Kertolaskusäännön ja kokonaistodennäköisyyden perusteella Lause 4 (Bayes n kaava). P(A 1 B) = P(B A 1 )P(A 1 ) 2 k=1 P(A k)p(b A k ). Tilastomatematiikka p.19/73

41 Esimerkki Esim 5. Pumpun venttiilin toimintaa valvotaan automaattisella hälytysjärjestelmällä. Tiedetään, että järjestelmä hälyttää, kun venttiili ei toimi, todennäköisyydellä Todennäköisyydellä järjestelmä ei hälytä, kun venttiili toimii. Venttiili toimii todennäköisyydellä Määrää todennäköisyys sille, että venttiili ei toimi, kun järjestelmä hälyttää. Tilastomatematiikka p.20/73

42 Esimerkki Esim 6. Mikäli piirilevy tehtaan tuotantolinja on oikein säädetty, niin keskimäärin 75 % piirilevyistä on laadultaan hyviä ja keskimäärin 25 % keskinkertaisia. Oletetaan, että 10 %:a ajasta tuotantolinjan säädöt pielessä, ja tällöin vain 25 % piirilevyistä on laadultaan hyviä ja keskimäärin 75 % on keskinkertaisia. Valmistuslinjalta otetaan piirilevy tarkastukseen. Millä todennäköisyydellä linja oli näytteenottohetkellä oikein säädetty, kun piirilevy osoittautui laadultaan hyväksi? Tilastomatematiikka p.21/73

43 Riippumattomuus Määr 2. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos P(A B) = P(A)P(B). Siis; B:n esiintyminen ei vaikuta tapahtuman A todennäköisyyteen: P(A B) = P(A). Lause 5. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos A ja B ovat riippumattomia. Statistinen riippumattomuus on todennäköisyysfunktion ominaisuus. Tilastomatematiikka p.22/73

44 Riippumattomien tapahtumien yhdiste Olkoon tapahtumat A 1,A 2,...,A n riippumattomia. Tilastomatematiikka p.23/73

45 Riippumattomien tapahtumien yhdiste Olkoon tapahtumat A 1,A 2,...,A n riippumattomia. Todennäköisyys tapahtumalle "ainakin yksi tapahtumista A i sattuu" P(A 1 A 2 A n ) = [ ] 1 1 P(A 1 ) [ ] 1 P(A n ). Tilastomatematiikka p.23/73

46 Esimerkki Esim 7. Systeemi koostuu kolmesta rinnankytketystä identtisestä komponentista. Systeemi toimii, jos ainakin yksi kolmesta rinnakkaisesta komponentista on toimiva. Jokaisen komponentin kestoikä on yli 10 viikkoa todennäköisyydellä 0.2. Millä todennäköisyydellä kokonaissysteemin virheetön toiminta-aika on yli 10 viikkoa? Tilastomatematiikka p.24/73

47 Riippumattomien kokeiden yhdistämin E 1, E 2,...,E n riippumattomia satunnaiskokeita Satunnaiskokeiden otosavaruudet S 1,S 2,...,S n, P 1,P 2,...,P n satunnaiskokeiden todennäköisyysfunktiot Yhdistetyn kokeen otosavaruus S = S 1 S 2 S n ( on karteesinen tulo). Tilastomatematiikka p.25/73

48 kokeiden yhdist. Osajoukot ovat muotoa A 1 A 2 A n, jotka tulkitaan tapahtumaksi "A 1 sattuu kokeessa E 1 ja A 2 sattuu kokeessa E 2 jne...". Yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys P(A 1 A 2 A n ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 )...P n (A n ). Satunnaiskokeiden riippumattomuuden päättely: Käytetään ensisijaisesti yleistä tietoa ja tervettä maalaisjärkeä; vasta toissijaisesti laskennallisia menetelmiä. Tilastomatematiikka p.26/73

49 3. Satunnaismuuttuja Luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo. Virtapiireissä mitataan jännitteitä ja virranvoimakkuuksia Törmäyskokeissa lasketaan esiintyvien hiukkasten lukumääriä Sähkömagneettisissa sovellutuksissa arvioidaan kentän intensiteettiä Tietoliikennetekniikassa oikein koodattujen bittien lukumäärä Tilastomatematiikka p.27/73

50 Satunnaismuuttuja Satunnaiskokeeseen liitettävää lukua kutsutaan satunnaismuuttujaksi. Matemaattisesti: Satunnaismuuttuja on kuvaus X : S R todennäköisyysavaruudesta {S; E, P } reaalilukujen joukkoon. Satunnaismuuttujan arvojoukko S X tulkitaan satunnaiskokeen otosavaruudeksi. Tilastomatematiikka p.28/73

51 Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttujan valinta ei ole yksikäsitteinen; Esim. Nopanheitossa silmäluku on satunnaismuuttuja; mutta yhtä hyvin voitaisiin valita satunnaismuuttujaksi X( silmäluku on i ) = i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kuvaus X on satunnaismuuttuja, jos tapahtuma {X x} on tapahtumasysteemin E joukko: {X x} = {e S X(e) x} E. Tilastomatematiikka p.29/73

52 Kertymäfunktio Realisaatio: Satunnaismuuttujan arvo x satunnaiskokeessa; Tarkasteltavat tapahtumat A = {a X b}, tai {X I I R}; Satunnaismuuttujaan liittyvä todennäköisyysmitta P X ({X x}) = P({e S X(e) x}). kertymäfunktio: F X (x) = P X (X x). Tilastomatematiikka p.30/73

53 Kertymäfunktion ominaisuuksia 1. F(x 1 ) F(x 2 ), kun x 1 x 2 ; 2. F(x) 0; 3. F( ) = 0, F( ) = 1 4. P(x 1 < X x 2 ) = F(x 2 ) F(x 1 ). Tapahtuma {X } on tietysti tyhjä joukko, ja {X < } täytyy sisältää kaikki satunnaiskokeen tapahtumat. Tilastomatematiikka p.31/73

54 3.1 Diskreetti satunnaismuuttuja Diskreetin satunnaismuuttujan X arvojoukko S X on äärellinen tai numeroituvasti ääretön: S X = {x k ; k = 1, 2, 3,... }. Pistetodennäköisyysfunktio: { P(X = x k ), x = x k f(x) = 0, x x k, k Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on porrasfunktio F(x) = x k xp(x = x k ). Tilastomatematiikka p.32/73

55 Binomijakauma Toistokoe: n riippumattomatonta toistoa. Tapahtuman B todennäköisyys P(B) = p, ja komplementtitapahtuma B, P(B) = 1 p. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa tapahtuman B esiintymisten lukumäärän n-kertaisessa toistossa. Satunnaismuuttujan arvojoukko S X = {0,...,n}. Tilastomatematiikka p.33/73

56 Binomijakauma Tapahtumien B sattuu täsmälleen k kertaa lukumäärä on ( n k). Yksittäisen kertaotoksen todennäköisyys on p k (1 p) n k. Binomi-jakautuneen satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k. k Merkintäsopimus: X Bin(p). Tilastomatematiikka p.34/73

57 Esim.1 Tietoliikennekanava lähettää bittejä 0 ja 1. Kanavan häiriöiden takia esiintyy satunnainen dekoodausvirhe, jonka todennäköisyys on p (kts. kuva) 0 1 p 0 p p p Millä todennäköisyydellä 10-bittisen viestin dekoodauksessa esiintyy täsmälleen 3 virheellisesti dekoodattua bittiä? Tilastomatematiikka p.35/73

58 Esim.2 Satunnaislukugeneraattori tuottaa numeroa joukosta {0, 1, 2,..., 9}. Millä todennäköisyydellä 4 peräkkäistä numeroa ovat samat? Jaetaan saatu numerosarja 2500:aan 4:n numeron blokkiin. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa lukumäärän blokeille, joissa kaikki 4 numeroa ovat samat. Määrää X:n tn-jakauma. Millä todennäköisyydellä numerosarja sisältää enemmän kuin 2 neljä samaa numeroa sisältävää blokkia? Tilastomatematiikka p.36/73

59 Geometrinen jakauma Satunnaiskokeen n-kertainen toisto; Tarkasteltava tapahtuma B Millä todennäköisyydellä B tapahtuu ensimmäisen kerran k:nnella toistolla? Tapahtuman A = B B }{{} k 1 kertaa B. todennäköisyys on P(A) = (1 p) k 1 p. Tilastomatematiikka p.37/73

60 Geometrinen jakauma Satunnaismuuttuja X ilmoittaa monennella kerralla B sattuu ensimmäisen kerran. Pistetodennäköisyysfunktio on Merkintä: X Geo(p) P(X = k) = p(1 p) k 1. Tilastomatematiikka p.38/73

61 Esim.3 T. Teekkari saapuu laskiaisriehasta kotiin. Avainnipussa on n = 10 avainta. Hän kokeilee satunnaisesti avaimia lukkoon. Jokaisen kokeilun jälkeen avaimella on yhtä suuri todennäköisyys tulla valituksi seuravilla kerroilla. Millä todennäköisyydellä hän saa oven auki 4:nnellä yrittämällä? Millä tn:llä yrityksiä tarvitaan enemmän kuin kolme kappaletta? Tilastomatematiikka p.39/73

62 Poisson-jakauma Kun n-kertaisessa toistokokeessa Toistojen lukumäärä n on hyvin suuri; Tapahtuman B todennäköisyys on pieni (P(B) << 1) P(A k ) = ( ) n p k (1 p) n k = k P k = ak e a, k! missä a = np ja 0 k <. n! k!(n k)! pk (1 p) n k Tilastomatematiikka p.40/73

63 Poisson-jakauma Eksponenttifunktio: e a = k=0 ak k! Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujan X : S N pistetodennäköisyys sillä k=0 P(X = k) = ak e a, k! P(X = k) = e a k=0 a k k! = e a e a = 1. Tilastomatematiikka p.41/73

64 Poisson-jakauma Luku a on keskimääräinen lukumäärä tapahtumalle B X Poi(a) Klassinen esimerkki: valosähköinen ilmiö: Valonsäde irroittaa valosähköisesti herkän materiaalin pinnasta elektroneja. Vetämällä ne positiivisella jännitteellä varattuun anodiin ulkoisen virtapiirin virran voimakkuus kasvaa. Virran voimakkuudesta voidaan päätellä irronneiden elektronien lukumäärä. Tilastomatematiikka p.42/73

65 Hurraa, Einstein! Irronneiden elektronien lukumäärä on satunnaismuuttuja. Keskimääräinen emittoituneiden elektronien lukumäärä a on suoraan verrannollinen säteilyn kokonaisenergiaan W aikavälillä [0, T]: a = ηw hν, (HURRAA, EINSTEIN!), missä h on Planck n vakio, η on ns. materiaalin kvanttitehokkuus ja ν aallonpituus. Tilastomatematiikka p.43/73

66 Valosähk. ilmiö Fotoni irroittaa elektronin tn:llä η << 1; W hν on pintaan osuvien fotonien lukumäärä; Todennäköisyys, että k elektronia rekisteröidään mittalaitteessa noudattaa binomijakaumaa Mutta; elektronien lukumäärä n >> 1 ja irtoamistodennäköisyys η << 1, niin satunnaismuuttuja X (emittoituneiden elektronien lukumäärä) noudattaa Poissonin jakaumaa Poi(a). Tilastomatematiikka p.44/73

67 Esim.4 Asiakaspalveluun saapuu keskimäärin soittoa vuorokaudessa. Asiakaspalvelun ylikuormitustila on pienin kokonaisluku N siten, että asiakaspalveluun saapuu tn:llä enemmän kuin N puhelua sekunnisssa. Olettaen, että puhelujen lukumäärä on Poisson-jakautunut, määrää systeemin ylikuormitustila. Tilastomatematiikka p.45/73

68 Esimerkkejä Painovirheiden lukumäärä kirjan sivulla; Yli 100-vuotiaaksi elävien lukumäärä kunnassa; Vääriin numeroihin soitettujen puhelujen lukumäärä vuorokaudessa; Asiakkaiden saapuminen aikayksikössä Galaksien lukumäärä alueessa R Tilastomatematiikka p.46/73

69 Ominaisuuksia Jos X 1 Bin(n 1,p) ja X 2 Bin(n 2,p), niin X 1 + X 2 Bin(n 1 + n 2,p) Jos X 1 Poi(a 1 ) ja X 2 Poi(a 2 ), niin X 1 + X 2 Poi(a 1 + a 2 ) Tilastomatematiikka p.47/73

70 Hypergeometrinen jakauma Tarkastellaan numeroita {1, 2,...,N} Numeroista on merkitty m kappaletta Valitaan joukosta umpimähkäisesti n numeroa Millä todennäköisyydellä kokeensuorittaja valitsi täsmälleen k kappaletta ennakolta merkittyä numeroa? Tilastomatematiikka p.48/73

71 Hypergeometrinen jakauma Satunnaiskoe määrittelee satunnaismuuttujan X, joka noudattaa hypergeometrista jakaumaa: ( m N m ) P(X = k) = k)( n k ( N. n) Esim.: Millä todennäköisyydellä lotossa saadaan täsmälleen 4 oikein? Tilastomatematiikka p.49/73

72 3.2 Jatkuva satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos kertymäfunktio on jatkuva kaikilla x:n arvoilla Lisäoletus: kertymäfunktio on paloittain derivoituva Tällöin kertymäfunktion derivaatta on tiheysfunktio f X (x) = df X(x) dx Tilastomatematiikka p.50/73

73 Tiheysfunktio Kertymäfunktio tiheysfunktion f X (t) integraali F X (x) = x f X (t)dt. Jos ei ole suurta erehtymisen riskiä, niin usein merkitään f(x) = f X (x). Jatkuvalle jakaumalle F(a + h) F(a h) 0, kun h 0. Näin ollen P(X = a) = 0. Diskreetille jakaumalle tämä ei välttämättä päde. Tilastomatematiikka p.51/73

74 Tiheysfunktion ominaisuuksia 1. f X(x)dx = 1; 2. P(a < X b) = b a f X(x)dx = F X (b) F X (a); 3. f X (x) = df X(x) dx. Koska P(x = b) = 0, niin jatkuvalle jakaumalle: P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a X b) = P(a < X b). Tilastomatematiikka p.52/73

75 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman, X exp(a), tiheysfunktio f X (x) = 0, x < 0, ae ax, x 0. kertymäfunktio F X (x) = x f X(x)dx = 0, x < 0 1 e ax, x 0. Parametri a > 0: Käänteisluku 1 a ilmoittaa satunnaismuuttujan keskimääräisen arvon. Mallinnetaan tapahtuman odotusaikaa (diodin elinaika) Tilastomatematiikka p.53/73

76 Tasajakauma Tasajakauman, X Tas(a, b), 0, x < a Tiheysfunktio f X (x) = 1 b a, a x b. 0, x > b 0, x < a Kertymäfunktio F X (x) = x a b a, a x b 1, x > b. Tilastomatematiikka p.54/73

77 Normaalijakauma 2-parametrinen jakauma: X N(µ,σ 2 ). Tiheysfunktio on ns. Gaussin kellokäyrä: f X (x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2. Parametri µ on satunnaismuuttujan X keskimääräinen arvo; Parametri σ 2 sen varianssi (tunnusluvut tarkemmin myöhemmillä luennoilla), ja σ on hajonta. Tilastomatematiikka p.55/73

78 Normaalijakauman kertymäfunktio Arvoja F X (x) = 1 2πσ 2 x 2 e (z µ) 2σ 2 dz ei osata laskea tarkasti. (0, 1)-jakautuneen l. standardisoidun normaalijakauman kertymäfunktion Φ(x) arvot taulukosta Tilastomatematiikka p.56/73

79 Standardisoitu normaalijakauma tiheysfunktio kertymäfunktio f X (x) = 1 e x2 2 2π Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt. Kertymäfunktion arvot Φ(x):n taulukosta Tilastomatematiikka p.57/73

80 Φ(x):n ominaisuuksia Symmetriaominaisuus: Φ( x) = 1 Φ(x). Todennäköisyys, että Z [a,b] on P(a < Z < b) = Φ(b) Φ(a). Lause 6. Jos Z N(0, 1), niin satunnaismuuttuja X = σz + µ N(µ,σ 2 ). Tilastomatematiikka p.58/73

81 Taulukon käyttö Olkoon X N(µ,σ 2 ) =. Satunnaismuuttuja Z = X µ σ N(0, 1). Todennäköisyys sille, että X a on P(X a) = P(Z a µ σ ) = Φ(a µ σ ). Tilastomatematiikka p.59/73

82 Vikaantumisjakaumat Laitteiston ehdollinen vikaantumistodennäköisyys hasardifunktio β(t); satunnaismuuttuja X = rikkoontumisajankohta ; Ehdollinen todennäköisyys laitteiston vikaantumiselle aikavälillä [t, t + dt] P(t < X t + dt X t) = β(t)dt. Tilastomatematiikka p.60/73

83 Hasardifunktio Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(t) ja kertymäfunktio F(t). P(t < X t + dt X t) = F(t + dt X t) F(t X t) = F(t + dt) F(t) 1 F(t) = f(t)dt 1 F(t). = hasardifunktio β(t) = f(t) 1 F(t) Tilastomatematiikka p.61/73

84 Hasardifunktio Tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta = β(t) = F (t) 1 F(t) = d dt ln[1 F(t)]. Integroimalla puolittain saadaan: { 0, t < 0 F(t) = 1 e t 0 β(s)ds, t 0. Tiheysfunktio: f(t) = { 0, t < 0 β(t)e t 0 β(s)ds, t 0. Tilastomatematiikka p.62/73

85 Weibull n jakauma Weibullin jakauman hasardifunktio β(t) = abt b 1, t > 0, a,b > 0. Weibullin jakauman tiheys- ja kertymäfunktio ovat F(t) = 1 e atb, t > 0 f(t) = abt b 1 e atb, t > 0. Weibullin jakauma on odotusajan jakauma, jonka avulla mallinnetaan jonkun suotuisan tapahtuman ajankohtaa Tilastomatematiikka p.63/73

86 4. Jakauman tunnusluvut Odotusarvo = satunnaismuuttujan keskimääräinen arvo Varianssi (hajonta) mittaa poikkeamaa keskimääräisestä arvosta Vinous Kurtosis Tilastomatematiikka p.64/73

87 4.1 Odotusarvo Diskreetin jakauman odotusarvo Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskimääräisen arvon E(X) = k I x kp(x = x k ), jos summa on suppeneva. Tilastomatematiikka p.65/73

88 Esimerkkejä Geometrisen jakauman odotusarvo E(X) = 1 p, missä jakauman parametri on 0 < p < 1. Binomijakauman Bin(n, p) odotusarvo E(X) = np. Poissonin jakauman P oi(a) odotusarvo on E(X) = a. Tilastomatematiikka p.66/73

89 Mutta, jos Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on Tällöin E(X) = P(X = k) = 6 π 2 k 2, k=1 k 6 π 2 k 2 = 6 π 2 k=1 1 k =. Satunnaismuuttujalla X ei ole odotusarvoa. Tilastomatematiikka p.67/73

90 Jatkuvan jakauman odotusarvo Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x) kertymäfunktio F X (x) Satunnaismuuttujan odotusarvo E(X) = mikäli integraali on olemassa. xf X (x)dx, Tilastomatematiikka p.68/73

91 Cauchy-jakauma Cauchy-jakauman tiheysfunktio f(x) = 2 π x 2u(x). Tilastomatematiikka p.69/73

92 Cauchy-jakauma Cauchy-jakauman tiheysfunktio Kun a > 0 2 π a 0 f(x) = 2 π x 1 + x 2dx = 2 π / a x 2u(x). 1 2 log(1+x2 ) = 1 2π log(1+a2 ). Tilastomatematiikka p.69/73

93 Cauchy-jakauma Cauchy-jakauman tiheysfunktio Kun a > 0 2 π a 0 f(x) = 2 π x 1 + x 2dx = 2 π / a x 2u(x). Odotusarvoa ei ole olemassa, sillä 0 2 dx = lim π(1 + x 2 ) a 1 2 log(1+x2 ) = 1 2π log(1+a2 ). 1 2π log(1 + a2 ) = Tilastomatematiikka p.69/73

94 Tärkeiden jakaumien odotusarvoja: X Tas(a,b), E(X) = a + b 2 X Exp(λ), E(X) = 1 λ X N(µ,σ 2 ), E(X) = µ Tilastomatematiikka p.70/73

95 4.2 Odotusarvon ominaisuuksia X on diskreetti satunnaismuuttuja h(x) reaaliarvoinen differentioituva funktio Satunnaismuuttujan Y = h(x) arvojoukko S Y = {y j = h(x j ) x j S X } pistetodennäköisyysfunktio P(Y = y j ) = x i y j =h(x i ) P(X = x i). Oletus: x i h(x i ) P(X = x i ) <. Tilastomatematiikka p.71/73

96 Lauseita Lause 7. Satunnaismuuttujan Y = h(x) odotusarvo E(Y ) = E(h(X)) = x i h(x i )P(X = x i ). Lause 8. Olkoon h(x) siten, että h(x) f X(x)dx <. Tällöin satunnaismuuttujan Y = h(x) odotusarvo E(Y ) = h(x)f X(x)dx. Tilastomatematiikka p.72/73

97 Lineaarisuus Satunnaismuuttujan odotusarvo on lineaarinen, ts. on voimassa: Lause 9. Olkoon X ja Y reaalisia satunnaismuuttujia, ja a, b R. Tällöin E(aX + by ) = ae(x) + be(y ). Huom! Vakion odotusarvo on vakio: E(a) = a. Tilastomatematiikka p.73/73