LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA

LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA Kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö: R m 2 R = µ R r 3 jossa µ = G(m 1 + m 2 ) Liikeyhtälön integraalit m 1 R 1 R 2 k = R R suhteellisen liikkeen imp.mom/massayksikkö origo µ e = k R + µ R/r perisentrivektori h = 1 2 v2 µ/r suhteellisen liikkeen energia/massayksikkö sisältävät yhteensä 5 riippumatonta vakiota, kuudes määrää paikan radalla: esim. t 0 Yhteys massakeskipiste-systeemissä laskettuihin suureisiin E = m 1 m 2 m 1 +m 2 h L = m 1 m 2 m 1 +m 2 k Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 29 2.4 SUHTEELLISEN RADAN YHTÄLÖ, KEPLERIN LAIT KEPLERIN LAIT alkuperäisessä muodossaan: KEPLER I: Planeetat liikuvat Auringon ympäri pitkin ellipsirataa, jonka toisessa polttopisteessä Aurinko sijaitsee. (Kepler, 1609) YLEISEMMIN: RATA ON KARTIOLEIKKAUS KEPLER II: Planeetan pintanopeus on vakio, eli Auringosta piirretty radiusvektori pyyhkii yhtä pitkinä aikaväleinä yhtä suuret pinta-alat. (Kepler, 1609) YLEISEMMIN: da/dt = 1 2 k = vakio KAIKILLE KESKEISVOIMILLE KEPLER III: Planeettojen ratojen isoakselien kuutiot verrannollisia kiertoaikojen neliöön (Kepler, 1619) TARKEMMIN: riippuu planeetan massasta P 2 = 4π 2 a 3 G(msun+m plan ) Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 30

SUHTEELLISEN RADAN YHTÄLÖ Edellä johdetut integraalit k, e, h, t 0 eivät sinänsä kerro mikä on radan muoto Kahden kappaleen liikeen ratkaisu = kartioleikkausrata helppo osoittaa lähtien ratavektoreista: k = R R e = 1 µ k R R/r R e = 1 µ R ( k R) R R/r = k 2 /µ r (huomaa että R ( k R) = R ( R k) = ( R R) k) toisaalta R e = r e cos f, jossa f = R ja e välinen kulma r e cos f + r = k 2 /µ r = k2 /µ 1+ e cos f Vertaa kartioleikkausten yleiseen yhtälöön r = a 1 ǫ2 (napakoordinaatisto r, f) isoakselin puolikas a eksentrisyys ǫ ǫ = 0 ympyrä ǫ < 1 ellipsi ǫ = 1 parabeli ǫ > 1 hyperbeli Katso valokopiota Karttusen kirjan ss. 141-142 Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 31 Vertaamalla yhtälöitä saadaan yhteys geometristen ja dynaamisten suureiden välillä: 1) Ratavektorin e pituus e = ǫ radan eksentrisyys 2) Ratavektorin e suunta on perisentrisuunta: kun R e f = 0 ja r:llä minimi (nimitys perisentrivektori ) 3) Suure a 1 ǫ 2 = k 2 /µ impulssimomentin itseisarvo k = p µa 1 ǫ 2 riippuu sekä isoakselista että eksentrisyydestä Edellä suhteellisen liikkeen energia h = µ2 ( e 2 1) 2k 2 h = µ 2a 1 ǫ2 1 ǫ 2 ja a = µ 1 ǫ 2 2h 1 ǫ 2 Sijoitetaan tähän k 2 lauseke h < 0 ǫ < 1 ellipsi, negativinen energia a = µ 2h h = 0 ǫ = 1 parabeli, nolla energia h < 0 ǫ > 1 hyperbeli, positiivinen energia a = µ 2h Ellipsirata: suhteellisen liikkeen energia/massa h = µ 2a impulssimomentti/massa k = p µa(1 ǫ 2 ) (ellipsirata ǫ 2 < 1) Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 32

KEPLERIN LAKIEN JOHTAMINEN Rata kartioleikkaus erikoistapauksena Keplerin I laki (rata=ellipsi) Keplerin II laki (pintanopeus on vakio) seuraa impulssimomentin vakioisuudesta Sylinterikoordinaatistossa (r, f, z) kantavektorit ê r, ê f ja ê z (z-akseli on k suuntainen) R = rê r R = ṙê r + r fê f k = R R = rê r (ṙê r + r fê f ) = r 2 f(ê r ê f ) = r 2 fê z k = k = r 2 f Radiusvektorin ajassa dt pyyhkäisemä pinta-ala: da = 1 2 r2 df da/dt = 1 2 r2 f = 1 2 k = vakio Pätee yleisemmin kaikille keskeisvoimille: R = f(r) R k = vakiovektori Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 33 Kepler III laki (P 2 a 3 ) kiertoaikojen neliöt verrannollisia isoakselien kuutioihin) Kepler II da/dt = 1 2 k vakio Ellipsin geometria: pinta-ala πab, jossa pikkuakseli b = a p 1 ǫ 2 Z P toisaalta: pinta-ala = (da/dt)dt = 1 0 2 k P 1 2 k = πab P Edellä ollut tulos k = p aµ 1 ǫ 2 P = 2πab k = 2πa2 1 ǫ 2 aµ(1 ǫ 2 ) = 2π a 3 µ eli P 2 = 4π 2 a 3 G(m 1 + m 2 ) Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 34

Planeetan rata tunnetaan nyt perusteellisesti Entä miten laskea planeetan paikka radalla? Kepler II : 1 2 r 2 f = 1 2 k Kepler I: r = k2 /µ df/dt = f = k/r 2 = C(1 + ǫ cos f) 2 (jossa C = µ 2 /k 3 = vakio) df () 2 = Cdt Z f o df (1 + ǫ cos f) 2 = C(t t 0) (t 0 = perisentriaika) f = f(t) periaatteessa selvillä r = r(t) Kepler I laista Ongelma: eo. integraali ei ratkea suljetussa muodossa kierretään käyttämällä apusuuretta (eksentrinen anomalia) Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 35 2.5 ELLIPSIRADAN OMINAISUUKSIA Tarkastellaan rataellipsiä ja siihen liittyviä erilaisia kulmamuuttujia ( anomaliat ) saadaan keinot laskea plan. sijainti ratatasossa. 2.5.1 Parametriesitys Ellipsin geometrinen määritelmä: niiden pisteiden ura, joissa kahdesta polttopisteestä laskettujen etäisyyksien summa on vakio = 2a ǫa = polttopisteen etäisyys keskipisteestä. Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 36

Todetaan että geometrinen määritelmä johtaa tuttuun analyyttisen geometrian yhtälöön: (x xo + ǫa) 2 + (y yo) 2 + (x xo ǫa) 2 + (y yo) 2 = 2a (x xo + ǫa) 2 + (y yo) 2 = 4a 2 4a (x xo ǫa) 2 + (y yo) 2 + (x xo ǫa) 2 + (y yo) 2 2ǫa(x xo) = 4a 2 4a (x xo ǫa) 2 + (y yo) 2 2ǫa(x xo) (x xo ǫa) 2 + (y yo) 2 = a ǫ(x xo) (x xo) 2 + (ǫa) 2 2ǫa(x xo) + (y yo) 2 = a 2 + ǫ 2 (x xo) 2 2aǫ(x xo) (1 ǫ 2 )(x xo) 2 + (y yo) 2 = (1 ǫ 2 )a 2 (x x o) 2 a 2 + (y y o) 2 (1 ǫ 2 )a 2 = 1 Merkitään pikkuakselin puolikas b = a 1 ǫ 2, a = isoakselin puolikas ( x x o a ) 2 + ( y y o ) 2 = 1 b x = x o y y o = ±b y = y o x x o = ±a Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 37 Parametriesitys: Sij. x xo >< a = cos E >: y yo b = sin E >< x = a cos E + x o >: y = b sin E + y o Sijoitetaan origo toiseen polttopisteeseen. >< x = a cos E aǫ >: y = b sin E Toteuttaa eo. yhtälön. E = eksentrinen anomalia >< x o = aǫ >: y o = 0 = Parametriesitys = vanha k.piste uudessa koordinaatistossa Eli R = A(cos E ǫ) + B sin E >< A = a e x >: B = b e y = vektoriesitys Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 3

Geometrinen tulkinta eksentriselle anomalialle E:lle: Projisoidaan ellipsin piste (x, y) vastaavalle a-säteiselle ympyrälle (x, y ) E = keskipisteestä laskettu kulma x-akselin ja pisteen (x, y ) välillä. Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 39 Parametrin puolikas p = positiivisen y-akselin ellipsin sisään jäävä osa x = 0 cos E = ǫ y = b sin E = b p 1 ǫ 2 p = b p 1 ǫ 2 b = a p 1 ǫ 2 ) p = a(1 ǫ 2 ) p b = b a b = pa = p:n ja a:n geometrinen keskiarvo Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 40

Napakoordinaattiesitys: (r, f) f = todellinen anomalia luonnollinen anomalia napakoordinaatiston suuntakulma ( x = r cos f = a(cos E ǫ) ( ) y = r sin f = b sin E ( ) ; b = a p 1 ǫ 2 r 2 = a 2 (cos E ǫ) 2 + b 2 sin 2 E = a 2 (cos 2 E 2ǫ cos E + ǫ 2 ) + a 2 (1 ǫ 2 )(1 cos 2 E) = a 2 (cos 2 E 2ǫ cos E + ǫ 2 ) + a 2 (1 ǫ 2 cos 2 E + ǫ 2 cos 2 E) = a 2 (1 2ǫ cos E + ǫ 2 cos 2 E) r = a(1 ǫ cos E) nn Toisaalta ( ) cos E = r cos a f + ǫ r = a ǫr cos f aǫ 2 r(1 + ǫ cos f) = a(1 ǫ 2 ) r = a(1 ǫ2 ) = p Edellä ollut ellipsin yleinen muoto. Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 41 Eksentrisen anomalian E ja todellisen anomalian f yhteys: (*) a(cose ǫ) = r cos f = a(1 ǫ2 ) cos f >< cos E = >: cos f = cos f+ǫ cos E ǫ 1 ǫ cos E (**) a p 1 ǫ 2 sin E = r sin f = a(1 ǫ2 ) sin f >< sin E = >: sin f = 1 ǫ 2 sin f 1 ǫ 2 sin E 1 ǫ cos E sij. cos f edeltä Eli: ( sin E cos E ( sin f cos f käytännössä: f = arctan 2(sin f, cos f) = arctan 2( p 1 ǫ 2 sin E, cos E ǫ) E = arctan 2( p 1 ǫ 2 sin f, cos f + ǫ) Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 42

HYPERBELI: Parametriesitys: x x o a 2 >< = a y y 2 o b = 1 >:b p ǫ 2 1 p = a(ǫ 2 1) e > 1 < x xo a : y yo b = cosh E = ee +e E 2 e = 2.73... = sinh E = ee e E 2 cosh 2 E sinh 2 E = e2e +e 2E +2 (e 2E +e 2E 2) 4 = 1 Vektoriesitys: R = A(ǫ cosh E) + B sinh E Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 43 2.5.2 Keplerin yhtälö Edellä kulmat E ja f kumpi hyvänsä tiedossa paikka ratatasossa laskettavissa Miten ratkaista E tai f annetulla hetkellä? Keskianomalia M: Paikkavektorin ja perisentrin välinen kulma mikäli kappale kulkisi tasaisella kulmanopeudella M = 2π t τ P τ = perisentrin ohitushetki t 0 P = kiertoaika = n(t τ) n = keskiliike = keskimääräinen kulmanopeus Keplerin yhtälö antaa riippuvuuden M:n ja E:n välillä: M = E ǫ sin E E = E(M) Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 44

Keplerin yhtälön geometrinen johtaminen Kepler II (pintanopeus = vakio) segmentin SPB ala (kuvasta) A SP B = πab p (t τ) = 2 1abM ( ) toisaalta A SP B = b a A SP B (Ellipsi on a b suhteena litistetty ympyrä) = b a (A CP B A CP S ) sektorin CP B ala: A CP B = 1 2 Ea2 kolmion CP S ala: A CP S = 2 1 ǫa a sin E A SP B = a b(1 2 Ea2 1 2 ǫa2 sin E) = 1 2ba(E ǫ sin E) ( ) Yhdistetään (*) ja (**) Keplerin yhtälö: M = E ǫ sin E Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 45 2.5.3 Keplerin yhtälön ratkaiseminen transkendentiaaliyhtälö eli E ei ratkea M:n funktiona suljetussa muodossa iteraatiot sarjakehitelmät nomogrammi (graafinen ratkaisu) Iteraatio a) Newtonin menetelmä ) erittäin tärkeitä ennen tietokoneita Yleisesti f(x) = 0 ratkaiseminen f (x i ) f(x i ) x x i+1 = x i x = x i f(x i ) f (x i ) f(e) = E ǫ sin E M f (E) = 1 ǫ cos E >< E 0 = M yleensä valitaan >: E 1 = M + 1 ǫ ǫ sin cos M M ) E i+1 = E i E i ǫ sin E i M 1 ǫ cos E i jne. p Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 46

b) Sijoitusiteraatio E ǫ sin E = M ǫ << 1 E M merk. E = M + Ψ(M) Ψ = ǫ sin E = ǫ sin(m + Ψ) ) Ψ saadaan iteraatioprosessi: K+1 = ǫ sin(m + Ψ K ) jatketaan kun Ψ 0 alkuarvo Ψ K+1 Ψ K E = M + Ψ K+1 alkuarvon valinta: Ψ 0 = 0 tai Ψ 0 = 1 ǫ ǫ sin cos M M (Newtonin iteraatio) sarjakehitelmät esim. E = M + (ǫ 1 ǫ3...) sin M + ( 1 2 ǫ2...) sin 2M + ( 3 ǫ3 +...) sin 3M sis. eksentrisyyden suhteen kolmanteen potenssiin verrannolliset termit Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 47 numeerinen esimerkki: ellipsin eksentrisyys ǫ = 0.25 M = 70 E =? a) Newton E 1 = M + ǫ sin M 1 ǫ cos M = 1.22 + 0.26 = 1.476 E 2 = E 1 E 1 ǫ sin E 1 M 1 ǫ cos E 1 = 1.47042 E 3 =... = 1.470473 E 4 =... = 1.470473 b) Sij. iteraatio Ψ 0 = 0 Ψ 1 = ǫ sin(m + Ψ 0 ) = 0.234923 E = 1.45665 Ψ 2 =... = 0.24373 Ψ 3 =... = 0.24734 Ψ 4 =... = 0.24743 E = 1.470473 = 4.25 = 0.24743 ts. hieman hitaampi c) sarjakehitelmä 3 kl:n termit E = 1.4720 = 4.34 Taivaanmekaniikka, SL2014, Luento 3 (29/9/2014) 4