3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0, 6. c) 7, 9, 3,, 3. 3. Laske rekursiivise lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku joo yleie jäse o: a) a 5 3 kaikilla ja a a b) a 5 a kaikilla ja a c) a ( ) 5a a), 7, 3, 57, 78. kaikilla ja a b),, 63, 39, 600. c),, 57, 8, 40. 5 3.3 Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä: a 3 +, ku., jolla o toki valta- 3 3 0,,,, 0. Samat pisteet löytyvät myös paraabelilta va paljo muitaki pisteitä. y x 3 x + 5 3.4 Muodosta sellaise lukujoo laskulauseke alkae : arvosta, joka kuvaa lija-autoje lähtemistä 0 miuuti välei alkae kello 5.00. Joo esimmäie jäse o kelloaika a 5.00. Joo yleie jäse voidaa ilmaista kirjoittamalla esimerkiksi a +0 a mi, ku,, 3... Toie vaihtoehto o kirjoittaa 5.00 + 0mi, ku 0,,, 3... Ei vaivata päätämme illa viimeisellä vuorolla. a 3.5 Muodosta sellaise lukujoo laskulauseke alkae : arvosta, joka kuvaa lija-autoje lähtemistä 5 miuuti välei alkae kello 5.00. Kuika mota kertaa ämä lija-autot lähtevät samaa aikaa tehtävä 4 lija-autoje kassa kello 6 ja 8 välillä? (0)
3. Mallitamie lukujooje avulla Joo esimmäie jäse o kelloaika a 5.00. Joo yleie jäse voidaa ilmaista kirjoittamalla esimerkiksi a +5 a mi, ku,, 3... Toie vaihtoehto o kirjoittaa a 5.00 + 5mi, ku 0,,, 3... Ei vaivata päätämme illa viimeisellä vuorolla. Kello 6 ja 8 välillä o viisi lähtöä, jotka sattuvat samaa aikaa eli äitte kahde joo yhteiset jäseet kyseisellä välillä ovat: kello 6:00, 6:30, 7:00, 7:30 ja kello 8:00. 3.6 Määrittele parittomat luoolliset luvut lukujoo avulla käyttämällä kaikkia kolmea määrittelytapaa. I tapa:, ku,, 3, a II tapa: a, a +, ku, 3, 4, a III tapa:, 3, 5, 7, 9,, 3, 3.7 Määrittele kolmella jaolliset luoolliset luvut lukujoo avulla käyttämällä kaikkia kolmea määrittelytapaa. I tapa: a 3, ku,, 3, II tapa: a 3, a + 3, ku, 3, 4, a III tapa: 3, 6, 9,, 5, 8, 3.8 Etsi sellaise lukujoo jäsee yleie laskukaava, joka viisi esimmäistä jäsetä ovat 7, a 9, 3,, 3. Aloita ideksoiti ykkösestä. 8, ku,, 3, 3 Aritmeettise lukujoo harjoituksia 3.9 Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja. Mikä o tämä joo differessi? b) a 6 ja 3. Mikä o tämä joo differessi? a) 6,, 8, 4, 30. Lukujoo differessi o 30 4 6. b) 8,, 6, 0, 6. Differessi 6. 3.0 Aritmeettise lukujoo ( a ),,, 3,, differessi o ja a 5 0. Laske joo. jäse., ii a a + ( 5 ) ( ), josta 0 ( 5 ) ( ) 4 Koska a a + ( )d 5 a. (0)
3. Mallitamie lukujooje avulla Joo. jäse o 4. 3. Aritmeettise lukujoo ( a ),,, 3,, differessi o ja a 5 7. Laske joo 0. jäse. ii + ( 5 ) d 7 Koska, a a + ( )d Joo 0. jäse o 7. a, josta joo 0. jäse o 7. 3. Aritmeettise lukujoo ( a ),,, 3,, differessi o 3 ja a 4. Mikä joo piei jäse, joka o suurempi kui 00? Piei jäse, joka o suurempi kui 00 o 35. jäse eli 03. 3.3 Laske lukujoo, 3, 5, 7, yleie jäse ja 50. jäse. Koska kaikkie aettuje joo peräkkäiste jäsete erotus o vakio, päätellää, että kyseessä o aritmeettie joo, joka esimmäie jäse o ja differessi o. Kaavasta: ja a ( ) +, ku,, 3, ( 50 ) 99 a 50 + Joo yleie jäse o + ( ) a, ku,, 3, ja 50. jäse o 99. 3.4 Aritmeettise lukujoo. jäse o 5 ja 00. jäse o 30. Laske se differessi. Kaavasta: 5 + ( 00 ) d 30 a, jote d 3. 00 Differessi o 3. 3.5 Oko joo a), 4, 7, 0, b), 4, 0,, aritmeettie? a) Koska kaikki laskettavissa olevat, peräkkäiste jäsete erotukset ovat samat, ii joo o aritmeettie. O. b) Koska 0 4 6 0, ii joo o ei ole aritmeettie. Ei. 3.6 Porraspyramidi alimmaisessa kerroksessa o 4777 kiveä. Jokaisessa kerroksessa o 48 kiveä vähemmä kui heti se alla olevassa kerroksessa. Kuika mota kerrosta pyramidissa o ja kuika mota kiveä o se ylimmässä kerroksessa? Pyramidi kerrokse kivimäärä muodostaa päättyvä, aritmeettise joo. Muodostetaa tämä joo kuki jäse järjestysluvu fuktioa. Jäse : fuktioa o 4777 ( ) 48. Jos vali- a 3(0)
3. Mallitamie lukujooje avulla taa, ii. kerroksessa o 4777 kiveä, kute pitää ja jos valitaa, ii. kerroksessa o 4777 48 kiveä eli 48 kiveä vähemmä kui alimmassa kerroksessa kute pitiki olla. Etsitää se kerros, jossa kivie määrä saavuttaa laskeallisesti olla. ( ) 48 0 00, 5 4777, jote pyramidissa o 00 kerrosta ja 00. kerroksessa o 5 kiveä. Täte pyramidi kerroste kivimäärä saadaa myös sääö 5 + ( ) 48,,,3,..., 00. avulla. Pyramidissa o 00 kerrosta, joista ylimmässä o 5 kiveä. Aritmeettise summa harjoituksia 3.7 Käytä seuraavissa kohdissa aritmeettise summa kaavaa a) 6 + + 8 + 4 + 30 + 36 + 4 + 48 + 54 + 60. a S ( a + a ). b) 7 4 8 35 4 49 56 63 70 77 84 9 98 05 9 c) + + 3 + 4 + + 9 999 a) Koska jokaie peräkkäise yhteelaskettava erotus o sama 6, ii kyseessä o aritmeettie summa. Se esimmäie yhteelaskettava o 6, erotusvakio o 6 ja viimeie yhteelaskettava o 60. Siksi summa o S 6 + 60 0 0 330. 7 9 b) S 7 7 07 + 9999 c) S9999 9999 49 995 000 a) Summa o 330 b) Summa o 07 c) Summa o 49 995 000. 3.8 Porraspyramidi alimmaisessa kerroksessa o 4777 kiveä. Jokaisessa kerroksessa o 48 kiveä vähemmä kui heti se alla olevassa kerroksessa. Kuika mota kiveä pyramidissa o? Tämä tehtävä voi tietysti ratkaista edellise sarja viimeise harjoitukse avulla suoraa, mutta koska itse kivie määrä ei kuitekaa ole kiiostava, vaa meetelmä jolla se saadaa, ii käytetää mieluummi aritmeettise summa teoriaa. Käytetää maiittua aiempaa tehtävää kuiteki se verra, että todetaa, että pyramidissa o 99 täysilukuista kerrosta ja iitte lisäksi kerros, jossa o 5 kiveä. Kivie kokoaismäärä S o siis ( a + a ) 5 4777 + S 99 4000 kappaletta. Pyramidissa o 40 00 kiveä. 3.9 Yrjäällä o eliömuotoisilla kivillä laatoitettu alue. Laattoja o kahta väriä, siisiä ja valkoisia. Häe aapurisa Teppaa pyytää saada ostaa kivet. Yrjää suostuu, sillä hä päättää muokata kyseise aluee ryytimaaksi. Yrjää ja Teppaa sopivat, että Teppaa maksaa siisistä laatoista,5 euroa kappaleelta ja valkoisista euroa kappaleelta. Kahdesta laata puolikkaasta Teppaa maksaa yhde koko laata hia. 4(0)
3. Mallitamie lukujooje avulla Laatoitettu alue o eliömuotoie ja se sivu pituus o kymmee metriä. Siiset laatat muodostavat tasakylkise kolmio, joka kyljet ovat ymmärrettävistä syistä sahalaitaiset ja joka kata muodostaa kivety aluee yhde sivu. Kolmio seuraavassa, kaa suutaisessa siisessä rivissä o yksi laatta vähemmä kui kataa olevassa rivissä. Samoi seuraavassa rivissä ja sitä seuraavassa ja ii edellee o yksi siie kivi vähemmä kui edellisessä rivissä. Vähimmillää siisiä laattoja o rivissä yksi. Kuika paljo Teppaa maksaa Yrjäälle laatoista yhteesä? Ratkaise tämä tehtävä aritmeettise summa teoria avulla. Porraspyramidi alimmaisessa kerroksessa o 4777 kiveä. Jokaisessa kerroksessa o 48 kiveä vähemmä kui heti se alla olevassa kerroksessa. Kuika mota kerrosta pyramidissa o ja kuika mota kiveä o se ylimmässä kerroksessa? Aetuista tiedoista seuraa, että siisiä laattoja o riveissä 0 kappaletta yhde välei. Niitä o + 0 siis yhteesä 0 55 kappaletta. Koska mitää muuta ei saota, o lupa olettaa yksikertaisi mahdollie tilae eli puolikkaita laattoja lukuu ottamatta kaikki laatat ovat yhtä suuria ja eliö muotoisia. Laattoja o kaikkiaa 00 kappaletta, jote valkoisia laattoja o 45 kappaletta, ku kaksi puolikasta lasketaa yhdeksi koko laataksi. Teppaa maksaa siis Yrjäälle 55,5 + 45,00 3,75 euroa. Mahtavatko pyöristää summa johoki suutaa? Teppaa maksaa laatoista 3,75 euroa. 3.0 Nisse huomaa tarvitsevasa portaat, joita pitki hä pääsee kulkemaa kahde taso välillä, joide pystysuoraa mitattu ero o 4,8 metriä. Molemmat tasot ovat tarkallee vaakasuorat ja ii isot, että tila ei portailta lopu. Nisse päättää, että yhdellä askeleella 6 seti ousu sekä 0 seti vaakasuutaie eteemä ovat sopivat. Kuika mota porrasaskelmaa Nisse tekee? Nisse portaitte jokaie askel koostuu yhdestä, kulkusuutaa ähde poikittai olevasta tiilestä, joka leveys käytetää hyväksi portaa askelee syvyyteä kulkusuuassa. Kuika kaukaa ee ylemmä taso reuaa portaat alkavat, jos e eteevät kohtisuorassa tuota reuaa vastaa ja jos Nisse muuraa portaat tiilistä, joide leveys o juuri uo 0 cm? Kuika mota tiiltä hä tarvitsee, jos oletetaa että hä muuraa portaa jokaise kerrokse täytee tiiliä alkae esimmäisestä, jolle astutaa, aia ylemmä kerrokse reua alle alhaalta ylös saakka? Portaiko leveys o sama kui tiile pituus, mutta emme välitä siitä yt. 5(0)
3. Mallitamie lukujooje avulla Esimmäisessä kerroksessa o 30 tiiltä, ylimmässä tiili. Jokaisessa kerroksessa o yksi tiili vähemmä kui se alla olevassa kerroksessa tietysti alita lukuu ottamatta, yhteesä 30 + 9 + + 465. Portaat alkavat kuude metri päästä ja askelia tulee 30. Tiiliä tarvitaa 465 kappaletta. 3. Kauppias pioaa peltiset kurkkutölkit sääölliseksi pyramidiksi, joka pohjaa o eliö. Jokaise kerrokse sivussa o yksi tölkki vähemmä kui välittömästi se alla oleva kerrokse sivussa. Kuika mota tölkkiä piossa voi korkeitaa olla, jos alimmassa kerroksessa o 44 tölkkiä? 44. Tölkkejä o yhteesä 650 kappaletta. 3. Kuika paljo o säästettävä kuukaudessa, jos tavoitteea o, että tilillä o kuukausi viimeise säästöerä jälkee korkoiee 050 euroa, ku säästöeriä o 8? Tilille maksetaa,4 proseti vuotuie korko ja talletus tehdää aia kuukaude. päivää, josta alkae kuki talletus myös alkaa kasvaa korkoa. Vihje: Korkoa maksetaa joka kuukaude viimeiseä,4% päivää koko kuukaude saldosta. 8 0,05 + x 050, josta x 57,0. 57,0 euroa. 3.3 Teippirulla ulkoläpimitta o 0 cm ja teipi paksuus o 0,0 mm. Kuika mota metriä teippiä rullassa o, jos teippirulla hylsy eli tyhjä ytime halkaisija o 3cm? 0cm,5cm Teippiä o 45 kerrosta. Kuki kerros o π 0,mm lyhyempi kui ylempää 0,mm oleva, ylimmässä kerroksessa o teippiä π 0cm ja alimmassa π ( 3 cm + 0, mm). Teippirulla teipi määrä voi laskea aritmeettise summa sovelluksea, missä o 45 yhteelaskettavaa, piei yhteelaskettava o π ( 3 cm + 0, mm) ja suuri π 0cm. Teippiä o siis π ( 3cm + 0,mm) + 0πcm 45 54m. Rullassa o teippiä oi 54 metriä. Geometrise lukujoo harjoituksia 3.4 Mitkä seuraavista jooista ovat geometriset? Jos joo o geometrie, ilmoita se suhdeluku. a), 3, 9, 7, 8... b), 4, 9, 64, 8... 6(0)
3. Mallitamie lukujooje avulla c),,, 0 00 000, 0000,, 00000 d),,,,,, 9 99 999 9999 99999 e) 00, 99, 98, 97, 96, 95, 94 O: a (q 3), c (q 0 ), ei: b, d ja e. 3.5 Geometrise joo esimmäie jäse o 9 ja se suhdeluku o. Laske joo 5. jäse. 3 338059609. 4 8 6 3 64 3.6 Mikä o seuraava geometrise joo suhdeluku:,,,,,? 9 7 8 43 79 3. 3.7 Kuika suureksi kasvaa 0 euro talletus sadassa vuodessa, jos tilille hyvitetää vuotuista korkoa,5 prosettia koko tuo sada vuode aja, korko liitetää pääomaa eikä tililtä osteta mitää? (Todellisuudessa tili ei ilma muuta kasva korkoa loputtomii.) 8,4 euroa. 3 9 7 8 43 79 3.8 Kuika moes joo,,,,,, jäse o piei, joka o suurempi kui 4 8 6 3 64 000? 8. jäse. 3.9 Mikä o pitkäaikaistili vuotuise koro oltava, jos halutaa, että kertatalletus kaksikertaistuu kuudessa vuodessa? Korko liitetää taas pääomaa eikä tililtä osteta mitää. Noi, prosettia. Geometrise summa harjoituksia 3.30 Laske geometrise lukujoo, 4, 8, 6, 3, 64 kahdetoista esimmäise jäsee summa. 730. 3.3 Laske geometrie summa + + 8 + 6 + 3 + + 048 576 + 097 5. 4 94 303. 3.3 Kuika mota geometrise joo a, jäsetä o laskettava yhtee, jotta summa ylittää 000? Mikä o piei summa, joka o suurempi kui 000? 48 jäsetä. Summa o tällöi oi 056,9. 47 jäsee summa olisi oi 959,7. suuri arvo (: fuktioa), joka o pieem- 8 3.33 Kuika suuri o geometrise summa i 7 pi kui miljooa? i 7(0)
3. Mallitamie lukujooje avulla 8 8 7 Yhtälöstä 000000 saadaa 87 ja summa o oi 887 943,763; : arvolla 88 7 8 7 i 88 8 summa o 04 794,05 ja siis suurempi kui 000 000. i 7 Noi 887 943,763. Geometrista summaa soveltavia harjoituksia 3.34 Hitsa Kaapi tallettaa vuode aja pakkii rahaa aia vuode alussa 000 euroa. Kuika paljo häellä o rahaa tilillää. vuode lopussa, ku Hitsa ei osta rahaa koko aikaa yhtää ja ku tilille maksetaa korkoa,5 prosettia vuodessa ja ku korko lisätää pääomaa? 4 40,44 euroa. 3.35 Jösse Sakko poimi masikoita. Helle oli kova. Häe esimmäise päivä ettosaaliisa oli 6,00 kiloa marjoja. Kuumuus kävi päälle ja iipä häe päivä ettotuloksesa oli toisesta päivästä alkae joka päivä viisi prosettia pieempi kui edelliseä päivää. a) Kuika paljo hä sai kasaa kahde työviiko aikaa? b) Kuika kaua hä joutuisi tekemää töitä samoje ehtoje vallitessa jotta hä saisi kasaa 00 kiloa puhtaita marjoja? c) Mikä olisi häe esimmäise työpäivä ettosaaliisa, jos häe kahde työviiko ettotuloksesa olisi 60 kiloa ja edellee jokaie päivä olisi viisi prosettia edellistä huoompi alkae toisesta työpäivästä kute aluperiki oli asialaita? d),98 kg e) 00,47 kg f) kiloa. 3.36 Esimerkistä 8: Erico lähettää avaruutee kohti α Cetauria laittee, joka tehtävä o seuraava. Ku se o saapuut perille, se tekee itsestää heti kaksi kopiota ja lähettää e kahdelle muulle tähdelle, mutta ei Aurigo luo. Ku ämä kaksi laitetta saapuvat määräpäähäsä, e tekevät puolestaa itsestää kaksi kopiota ja lähettävät e kohti kahta sellaista tähteä, joille laitetta ei ole vielä lähetetty. Mikää laite ei koskaa lähetä kopiotaa kohti Aurikoa.. Kuika mota sukupolvea riittää kattamaa Liurada kaikki 00 miljardia tähteä? 38 sukupolvea. 3.37 Valpuri Iamaalla o 300 -litraie sadevesityyri. Kuo sateella tyyrii tulee vettä 0 litraa tuissa, mutta samaa aikaa pohjassa oleva reikä päästää hukkaa kolme prosettia edellise tui aikaa sataeesta vedestä. Täyttyykö tyyri ollekaa ja jos täyttyy, kuika kaua täyttymie kestää? Täyttyy alle 76 tuissa. 3.38 Keväällä, toukokuu alussa Valpuri istuttaa puutarhaasa 3000 uutta kukataita. Valitettavasti joka viikko kukista kuihtuu 4 prosettia. Tilalle Valpuri istuttaa uskollisesti joka viik- 8(0)
3. Mallitamie lukujooje avulla ko 360 uutta taita. Kuika paljo Valpurilla o eläviä kukkia syyskuu lopulla eli viikkoa myöhemmi? 589 kpl. 3.39 Ralliauto saavuttaa edellää ajavaa autoa ii, että autoje välimatka lyheee joka sekuti kolmee eljäsosaa jäljellä olevasta. Kuika kaua kestää, että autot ovat metri päässä toisistaa, jos lähestymie alkaa 350 metri päästä? Noi sekuissa. Rekursiivise lukujoo harjoituksia 3.40 Laske vähitää 30 Fiboacci joo esimmäistä jäsetä taulukkolasketaohjelmalla käyttämällä joo rekursiivista määritelmää. Solu B sisältö: Solu B3 sisältö: Solu B4 sisältö: B3+B 3.4 Laske rekursiivise lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku joo määritellää seuraavalla tavalla: a, ku, 3, 4, ja a. a 3.4 Nii saotut Lucasi luvut määritellää rekursiivise lukujoo sääö avulla seuraavasti: a a a, ku 3, 4, 5, ja a, a 3. Laske joo kuusi esimmäistä jäsetä. 3 5 8 3 34 55 89 44 33 377 60 987 597 584 4 8 6 765 0 946 7 7 8 657 46 368 75 05 393 96 48 37 8 54 9 83 040-0 - 0 - + 3 4 7 3.43 Nii saotut Pelli-Lucasi luvut määritellää rekursiivise lukujoo sääö avulla seuraavasti: a + a a, ku 3, 4, 5, ja a, a. Laske joo kuusi esimmäistä jäsetä. 5 9 ( + ) ( ) [Aalyyttie säätö: a,,, 3, ] 3.44 Sovella harjoitukse 4 säätöä tapauksee, missä a, a 3 ja laske tämä uude joo kuusi jäsetä. - 3 4 6 63 9(0)
3. Mallitamie lukujooje avulla 3.45 Sovella Fiboacci joo säätöä sellaisee tapauksee, missä a a ja laske se 0 jäsetä. - - - -3-5 -8-3 - -34-55 3.46 Laadi kertoma - fuktio luvut tuottava joo rekursiivie säätö. a a, a a a +, ku 3, 4, 5,... a 3.47 Laadi lukujoo joki rekursiivie ja joki aalyyttie säätö, ku se esimmäiset jäseet ovat,, 3,, 5. Rekursiivie säätö: a, a a +, ku,3,4,.... Aalyyttie säätö : a, ku,3,4,... 3.48 Laadi lukujoo joki rekursiivie ja joki aalyyttie säätö, ku se esimmäiset jäseet ovat 458, 486, 6, 54, 8. Laske joo 6. jäse. a Rekursiivie säätö: a 458, a, ku,3,4,... 3. 4374 Aalyyttie säätö : a, ku,,3,... 3 3.49 Laadi Esimerkkii 37 liittyvä taulukko. 3 3.50 Laadi 3 0 3 4 + 4 lukujoo joki rekursiivie ja joki aalyyttie 4 säätö, 4 3 0 + ( 0 3) ku se esimmäiset jäseet 5 46 3 + ( ) ovat, 4, 0, 8, 8, 44, 5 730, 88. a Aalyyttie säätö 3 4 3 Rekursiivie säätö 4 ( ) ( a ) Rekursiivie säätö: a, a 3 +, ku,3,4,.... Aalyyttie säätö : a 3 +, ku,,3,... 0(0)