MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01
SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen Copyright Isto Jokinen 011
LASKUJÄRJESTYS Lskujärjestys on seurv: 1. Sulkeiden sisällä olevt lsketn ensin. Jos sulkeit on useit sisäkkäin, lsketn sisimmäisistä ulospäin. Kerto- j jkolskut. Yhteen j vähennyslskut. Vsemmlt oikelle jos peräkkäin yhteenvähennys ti kerto-jkolskuj. Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki 1. 8 8 1
LASKUJÄRJESTYS Esimerkki. (8 ) 1 Esimerkki. 1[ (6 ) ] 1 1[ ] 1 1[ 6] 1 110 1 11 7 Copyright Isto Jokinen 011
MURTOLUKUJEN KERTOLASKU Murtolukujen kertolskuss osittjt j nimittäjät kerrotn keskenään. Esimerkki. 7 1 1 Jos murtoluku kerrotn kokonisluvull kerrotn vin soittj. Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki. 7 8 9 1
MURTOLUKUJEN JAKOLASKU Jos murtoluku jetn kokonisluvull jetn vin osoittj. Esimerkki 6. Jos murtoluku jetn toisell murtoluvull vihdetn jkjn osoittj nimittäjä keskenään. Tämän jälkeen jettv murtoluku kerrotn sdull jkjll. Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki 7. 6 8 6 8 0
MURTOLUKUJEN YHTEENLASKU Murtolukujen yhteenlskuss on nimittäjiksi stv sm luku lventmll. Esimerkki 8. Jos yhteenlskettvi termejä on useit tehdään lvennus muiden termien nimittäjien tuloll. Esimerkki 9. ) ) 9 1 10 1 19 1 Copyright Isto Jokinen 011 ) 1 ) ) 1 16 18 6 ( 1
MURTOLUKUJEN VÄHENNYSLASKU Murtolukujen vähennyslskuiss on nimittäjät lvennettv ensin smnnimisiksi kuten yhteenlskuss. Esimerkki 10. 7) 7 1 8 8 8 1 8 Jos vähennyslskuss on usempi tekijä lvennetn luvut muiden tekijöiden tuloll. ) Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki 11. ) 6 ) ) 7 16 18 8 19 1
ERI LASKUTOIMITUKSIA SEKAISIN Jos murtolukulskuiss on kerto-, jko-, yhteenj vähennyslskuj sekisin on lskujärjestys kuten yleensäkin: 1. Ensin kerto- j jkolskut. Sitten yhteen- j vähennyslskut Esimerkki 1. Copyright Isto Jokinen 011 7 1 8 7 1 8 ) 7 1 1 1 1
SEKALUKUJEN KERTO-, JAKO-, YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU Sekluvut pitää ennen lskemist muutt murtoluvuiksi. Tämän jälkeen lsketn murtolukuin kuten edellä. Esimerkki 1. Seklukuj murtolukuin 7 (1) 7 1 1 1 Copyright Isto Jokinen 011 1 (1 ) 1 1 9
OSOITTAJASSA JA NIMITTÄJÄSSÄ LASKUTOIMITUKSIA Osoittjss j nimittäjässä olevt lskutoimitukset lsketn ensin. Tämän jälkeen tehdään jkolsku. Esimerkki 1. Esimerkki 1. 7 9 (1 7) 87 7 8 (1 7) 1 9 1 9 0 10 0 10 Copyright Isto Jokinen 011
TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA KERTOLASKUT Esimerkki 16. Esimerkki 17. 6b c 10bc c 10b 0c 10b c b Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkki 18. 1x y 1yz xq 180xyz 0yxq 9 z q
TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA JAKOLASKUT Esimerkki 19. x : y 6b 1y : 7b x 1y 1 x 7y 7b 6b 1y x y Copyright Isto Jokinen 011 8b 6b y b y
TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUT Esimerkki 0. Esimerkki 1. Esimerkki. x y ) ) x yz x y ) z) 8x y 16x 1x 1y 1y 0x xz 1yz 1yz 1x 1y 0x xz 1yz Copyright Isto Jokinen 011 xz yz ) z) x y 0xz 1yz 6xz 1yz 1xz 1yz 7x 6y
SUUREET JA MITTAYKSIKÖT Suure = lukurvo yksikkö Esimerkiksi 18 kg:ss 18 on lukurvo j kg yksikkö. Knsinvälisessä yksikköjärjestelmässä ( SIjärjestelmässä ) on seitsemän perussuurett j perusyksikköä. Kikki muut suureet j yksiköt on johdnnisyksikköjä jotk perustuvt perussuureisiin j perusyksiköihin. Copyright Isto Jokinen 011 Suureill on myös tunnukset. Esimerkiksi mssn tunnus on m j jn tunnus t.
SUUREET JA MITTAYKSIKÖT Perussuureet Suure Tunnus Yksikkö Pituus l m Mss m kg Aik t s Lämpötil T K Copyright Isto Jokinen 011 Ainemäärä n mol Sähkövirt I A Vlovoim Cd
SUUREET JA MITTAYKSIKÖT Johdnnissuureet Johdnnissuureit on hyvin pljon. Esimerkiksi nopeus ( m/s ) on mtk jettun jll. Kiihtyvyys ( m/s ) on nopeus jettun jll. Voim ts on mss kert kiihtyvyys ( kgm/s ) j työ voim kerrottun mtkll (kgm/s m ) Molekyylimss on mss jettun inemäärällä kg/mol. Konsentrtio on inemäärä jettun tilvuudell ( mol/dm ), joss ts yksikkö dm ts on pituuden yksikkö dm on pituuden yksikkö dm korotettun kolmnteen potenssiin. Copyright Isto Jokinen 011
KERRANNAISYKSIKÖT Kun jonkin suureen lukurvo on hyvin suuri ti pieni, käytetään kerrnnisyksikköjä. Tällöin suureen suuruus on helpompi hhmott. Esimerkiksi mtkn ilmoittminen metreinä ei olisi selkeää, kun se olisi 0000 m. Selkeämpää on ilmoitt mtk kilometreinä, jolloin se on 0 km. Mlikerroksen pksuus ts on hyvä ilmoitt mikrometreinä (µm) eikä metreinä. Esim. 180 µm on sopivmpi kuin 0,000180 m. Kerrnnisyksiköitä tulisi käyttää niin, että suureen lukurvo on välillä 1-999. Copyright Isto Jokinen 011 Esimerkiksi 0 mg on sopivmpi tp ilmoitt mss kuin 0,0 g ti 0,0000 kg.
KERRANNAISYKSIKÖT Yleisimmin käytettävät kerrnnisyksiköt: Nimi Lyhenne Kerroin Ter T 10 1 Gig G 10 9 Meg M 10 6 Kilo k 10 - - 1 Copyright Isto Jokinen 011 Milli m 10 - Mikro µ 10-6 Nno n 10-9 Piko p 10-1
POTENSSI Potenssilskuiss kntluku kerrotn itsellään eksponentin mukn. Esimerkki. Potenssilskujen lskusäännöt: Copyright Isto Jokinen 011 7776 6 6 6 6 6 6 6 y x y x y x y x y x y x ) (
POTENSSI Potenssilskujen lskusäännöt: ( b) b c 1 c 1 b c c c b c Copyright Isto Jokinen 011
POTENSSI Potenssilskujen lskusäännöt: 1 b c b c Copyright Isto Jokinen 011
POTENSSI Esimerkkejä. Copyright Isto Jokinen 011 1 ) ( 9 79 8 18 6 7
POTENSSI Esimerkkejä. Copyright Isto Jokinen 011 6 1 1 1 1 16 9
JUURI Juurin on potenssin vstkkinen lskutoimitus Esimerkkejä 6. Neliöjuuri luvust on kosk =. Neliöjuuri luvust 81 on 9, kosk 9 = 81. Kuutiojuuri luvust 7 on, kosk = 7. Copyright Isto Jokinen 011 Neljäs juuri luvust 6 on, kosk = 6. Khdekss juuri luvust 906 on, kosk 8 = 906
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Tekijäyhtälöiden rtkisu trvitn hyvin pljon fysiikss, kemiss, teknisessä lskennss j ongelmnrtkisutehtävissä. Tämän vuoksi tekijäyhtälöiden rtkisun hllint on hyvin tärkeää. Esimerkki 7. Tekijäyhtälöitä: n I t z F ( v v ) 0 1 t U PV v n s t R m M I nrt Copyright Isto Jokinen 011
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Tekijän yhtälöstä pitää rtkist se tekijä jot kysytään tehtävässä. Esimerkiksi jos kysytään vstust ( R ), on yhtälöstä rtkistv se. Jos yhtälössä on pelkkiä kerto- j jkolskuj voidn termejä siirtää yhtälön puolilt toisiin kun niiden pikt vihdetn nimittäjästä osoittjn j päinvstoin. Tämä vst puolittin kertomist j jkmist, mutt on yksinkertisemp tehdä. Copyright Isto Jokinen 011 Teknisessä lskennss lskukvt ovt olemss, mutt niistä joudutn usein rtkisemn kysytty tekijä.
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Esimerkki 8. Termien siirto yhtälöiden puolist toisille. Rtkistn R, I, P, V j R. Copyright Isto Jokinen 011 I R U R I U I R U T n V P R R T n V P P T R n V V T R n P T R n V P
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Esimerkki 9. Termien siirto kun lskukvst hlutn rtkist I. Lskukv on muoto: m M I t z F Kun I rtkistn on kikki muut tekijät pitsi I siirrettävä yhtälön toiselle puolelle. Sdn: m z F M t I I m z F M t Tämän jälkeen sijoitetn luvut rvot m,z,f,m j t:n pikoille j rtkistn tehtävä. Copyright Isto Jokinen 011
TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN Jos tekijäyhtälössä on yhteen- j vähennyslsku on termit vähennettävä ti lisättävä puolittin. Esimerkki 0. Kiihtyvyyden yhtälöstä rtkistn loppunopeus v Copyright Isto Jokinen 011. Käyttö opetuksess tekijän luvll. 1 1 1 v v t v v t t v v