0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
|
|
|
- Petteri Heikkilä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
2 Luonnolliset luvut: 1,2,3,4... Kokonaisluvut (ℵ):... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4... RaBonaaliluvut: kaikki luvut jotka voidaan esidää kahden kokonaisluvun osamääränä, esim 1/7, 3/5, 327/443 IrraBonaaliluvut: luvut joita ei voida esidää osamäärinä, Esim monet luonnollisten lukujen neliö ja muut juuret: esim 2, 3, 5 ("algebralliset luvut") Lisäksi ei algebrallisia lukuja joita ei voida esidää juurimuodossakaan, esim π, e. Reaaliluvut (R): kaikki rabonaali ja irrabonaaliluvut Imaginääriluku saadaan kertomalla reaaliluku i:lla, joka on määritelty siten edä i 2 = 1. Kompleksiluku = reaaliluku + imaginääriluku, a + bi.
3 Reaalilukujen peruslaskutoimitukset ovat yhteenlasku (+), vähennyslasku ( ), kertolasku ( tai ) ja jakolasku( tai /). Miinusmerkkien "kumoutuminen" yhteen ja kertolaskussa: m + ( n) = m n m ( n) = m + n ( m) ( n) = + (m n) ( m) (+n) = (m n) Osamäärien (murtolukujen) laskusäännöt perustuvat siihen edä osoidaja ja nimidäjä voidaan kertoa samalla luvulla ilman edä luku muuduu: m n = a m a n Saman luvun lisääminen molemmille puolille ei Betenkään ole sallidu! Tämä pätee kaikille a:n arvoille paitsi a=0 (koska nollalla jakaminen ei ole sallidua, ts tulos ei ole määritelty)
4 Murtolukujen lasku ja sievennyssääntöjä: m n + p q m n p q = mp nq = mq + pn nq m n p q = m n q p = mq np Laskujärjestys on sovidu siten, edä kerto ja jakolaskut lasketaan ennen yhteen ja vähennyslaskuja. Esim = = 14 Usein käytetään sulkeita merkitsemään mitkä operaabot lasketaan ensin. Esim. (2+4) [(4+9)/17] Käytä sulkeita jos järjestyksestä on pienintäkään epäselvyydä!
5 1. luvut ja suureet Esim: ainemäärä 0.1 mol on 1 L vetoisessa asbassa 1 atm paineessa. Mikä on kaasun lämpöbla? Ratkaisu: käytetään ideaalikaasun Blanyhtälöä, sijoitetaan annetut suureet SI yksiköissä. PV = nrt T = PV/nR V = 1 L = 1 dm 3 = m 3 p = 1 atm = Pa = N m 2 = kg m 1 s 2 R = J K 1 mol 1 = kg m 2 s 2 K 1 mol 1 n = 0.1 mol
6 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0.1mol kg m 2 s 2 K 1 mol 1
7 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0.1mol kg m 2 s 2 K 1 mol 1
8 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0.1mol kg m 2 s 2 K 1 mol 1
9 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0.1mol kg m 2 s 2 K 1 mol 1
10 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0.1mol kg m 2 s 2 K 1 mol 1 T = K 122 K
11 Mitä laskusta voi oppia? Luonnonvakioiden käydö, esimerkissä kaasuvakio R (arvot löytyvät taulukkokirjoista) Suureiden ilmaiseminen SI yksiköissä, esim J = kgm 2 s 2. Nämäkin löytyvät tarvidaessa taulukkokirjoista. RiippumaDomat muudujat (laskussa P, V, n), riippuvat muudujat (laskussa T) Fysiikan & kemian suureissa aina 2 osaa: luku ja yksikkö Joskus yksikön edessä on etuliite ilmaisemassa suuruusluokkaa, esim. 2 kg, 5 nm Samaan tarkoitukseen käytetään 10 potensseja, esim 1500 nm = m. Vastaus pyöristetään lähtöarvojen mukaiseen tarkkuuteen, välituloksia ei pyöristetä.
12 1.1 suureet ja niiden yksiköt Esim. 12 kj mol 1 Luku Etuliite Yksikkö Suurejärjestelmän perusta on ns. SI järjestelmä. Perussuureet: Pituus m Johdetut suureet, Massa kg Aika s esim Sähkövirta A N = kgm/s 2 Termodyn. lämpöbla K = kgms 2 Ainemäärä mol Valovoima Cd
13 Suureet eivät aina ole SI yksiköissä. Esim energia ilmaistaan usein yksiköissä kcal, kcal/mol, ev, E h (hartree), cm 1... E = hf = hc/λ = hc 1/λ = hc v Esim: Faradayn vakion lukuarvo F = N a q = mol C = C mol 1
14 1.2 Kymmenpotenssit ja etuliideet Esim. suuri luku, N A = mol 1 Esim. pieni luku, m e = kg Kymmenpotenssi kuvaa luvun suuruusluokkaa. Se korvataan usein etuliideellä. Osa näistä on jo arkielämästäkin tuduja, esim 1 km = 1000 m), osa taas eksooosempia, esim 1 as ("adosekunb") = s.
15 m = m = 1 pm m = m = 1 nm m = m = 1 μm m = m = 1 mm m = 0.01 m = 1 cm m = 0.1 m = 1 dm m = 1 m = 1 m m = 10 m = 1 dam m = 100 m = 1 hm m = 1000 m = 1 km m = m = 1 Mm m = m = 1 Gm m = m = 1 Tm
16 Eksponenomerkintä Kymmenen potenssit (10 r ) ovat esimerkki yleisemmästä eksponenomerkinnästä a r. Perusmääritelmä (potenssiin korotus) lienee tudu ainakin jos r on kokonaisluku: a r = a a a a... a r kertaa a = kantaluku, r = eksponeno Kun r on murtoluku, laskua sanotaan juuren odamiseksi, esim a 1/2 = a
17 Potenssien laskusäännöt a 0 = 1 a m =1/a m 1 a n = a m n = n n a a m n = ( a) m (ab) r = a r b r (a/b) r = a r /b r a r a s = a r+s a r /a s = a r s
18 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π
19 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
20 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
21 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
22 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
23 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
24 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
25 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
26 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
27 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
28 Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε π E 1 = kg ( C) 4 32π 2 ( Fm -1 ) 2 ( Js) 2 = (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
29 Pyöristyssäännöt Kerto ja jakolaskussa pyöristetään sen luvun mukaan jossa on vähiten merkitseviä numeroita. Yhteenlaskussa pyöristetään sen luvun mukaan, jossa on vähiten desimaalipilkun jälkeisiä numeroita Mitä ovat merkitsevät numerot? merk. nroa 1200 kg 2 merk. nroa merk. nroa kg 5 merk. nroa merk. nroa kg 4 merk.nroa merk. nroa kg 2 merk.nroa merk. nroa kg 4 merk.nroa
30 Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = (mol dm 3 ) 1 s mol dm mol dm 3 = mol dm 3 s 1 = mol dm 3 s 1
31 Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = (mol dm 3 ) 1 s mol dm mol dm 3 = mol dm 3 s 1 = mol dm 3 s 1
32 Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = (mol dm 3 ) 1 s mol dm mol dm 3 = mol dm 3 s 1 = mol dm 3 s 1
33 Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = (mol dm 3 ) 1 s mol dm mol dm 3 = mol dm 3 s 1 = mol dm 3 s 1
34 Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: Älä koskaan pyöristä välitulosta! v = (mol dm 3 ) 1 s mol dm mol dm 3 = mol dm 3 s 1 = mol dm 3 s 1
35 Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: Älä koskaan pyöristä välitulosta! v = (mol dm 3 ) 1 s mol dm mol dm 3 = mol dm 3 s 1 = mol dm 3 s 1 2 merkitsevää numeroa
36 Esimerkki: summan pyöristäminen Orgaanisen kemian harjoitustöissä valmisteoin asetyylisalisylihappoa (aspiriini). Ryhmän jäsenet punnitsivat "saaliinsa", ja miitaustulokset olivat: 3.2 g 2.75 g 2.9 g ja 1.17 g Kuinka paljon aspiriinia he valmisbvat yhteensä? Ratkaisu: 3.2 g g g g = g = 10.0 g
0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaConaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esieää kahden
0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaFonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esihää kahden
0. perusmääritelmiä 1/21/13
Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusääriteliä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaDonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esifää kahden
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14
Yksikkömuunnokset Pituus pinta-ala ja tilavuus lördag 8 februari 4 SI-järjestelmän perussuureet ja yksiköt Suure Suureen tunnus Perusyksikkö Yksikön lyhenne Määritelmä Lähde: Mittatekniikan keskus MIKES
Fysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet SI-järjestelmä Antti Haarto 21.05.2012 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt
Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9
1 Numeroista lukuja 1.
1 1 Numeroista lukuja Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 4 luvussa 5 469 satoja b) 7 luvussa 35,271 sadasosia c) 1 luvussa 0,5281? kymmenestuhannesosia Kirjoita lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena.
Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014
Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 SI järjestelmä Kansainvälinen mittayksikköjärjestelmä Perussuureet ja perusyksiköt Suure Tunnus Yksikkö
Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
![[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko](/thumbs/59/42897527.jpg "[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko")
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
1. Fysiikka ja mittaaminen
1. Fysiikka ja mittaaminen 1.1 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt pelkästään ajattelemalla Aristoteles
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
PERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005
MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset 5 2.1 Lukujoukot................................ 5 2.2 Peruslaskutoimitukset.......................... 6 2.3
HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ TIEDOT JA ESIMERKIT:
1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä
Schildtin lukio
MAA1.9.15 Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,
S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
A. Mikä on 10-järjestelmä eli 10-kertaisia lukuja ja niiden 10:s osia
1(10) A. Mikä on 10-järjestelmä eli 10-kertaisia lukuja ja niiden 10:s osia Ensimmäinen oppilas rakentaa luvun 1 paikka-alustalle ja toinen oppilas piirtää sen olevalle paikka-alustalle. Toinen oppilas
2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
Liukulukulaskenta. Pekka Hotokka
Liukulukulaskenta Pekka Hotokka pejuhoto@cc.jyu.fi 10.11.2004 Tiivistelmä Liukulukuja tarvitaan, kun joudutaan esittämään reaalilukuja tietokoneella. Niiden esittämistavasta johtuen syntyy laskennassa
Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
Talousmatematiikan perusteet, L2
Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen
FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN
2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,
OPAS. Kansainvälinen suure- ja yksikköjärjestelmä International System of Quantities and Units
OPAS Kansainvälinen suure- ja yksikköjärjestelmä International System of Quantities and Units Sisällys Esipuhe....3 1 Kansainvälinen mittayksikköjärjestelmä SI...4 2 Suure ja yksikkö....5 3 ISQ-suurejärjestelmä
Ekvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.
. Hiilidioksidiolekyyli CO tiedetään lineaariseksi a) Mitkä ovat eteneisliikkeen, pyöriisliikkeen ja värähtelyn suuriat ekvipartitioperiaatteen ukaiset läpöenergiat olekyyliä kohden, kun kaikki vapausasteet
Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Käänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)
MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?
MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut
A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan
Lukujono eteenpain 1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen, 1-50 1. LukiMat/Arviointi/Laskemisen taidot
NEUREN TEHTAVAKUVAUKSET kaikki vuosiluokat Arviointi TAITO TEHTAVA TAVOITE LK. TEHTAVAN SIJAINTI LASKEMISEN TAIDOT Lukujonon luetteleminen Lukujonotaitojen arviointi1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen on,
Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
Lasku- ja huolimattomuusvirheet - ½ p. Loppupisteiden puolia pisteitä ei korotettu ylöspäin, esim. 2½ p. = 2 p.
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 DI-kemian valintakoe 31.5. Malliratkaisut Lasku- ja huolimattomuusvirheet - ½ p. Loppupisteiden puolia pisteitä ei korotettu ylöspäin, esim.
T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
MAY01 Lukion matematiikka 1
MAY01 Lukion matematiikka 1 - Oppikirja: Yhteinen tekijä, Lukion matematiikka 1: Luvut ja lukujonot (paperisena tai sähköisenä ) - Kurssilla tarvitaan myös tietokone, TI-laskinohjelma, geogebraohjelma,
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
Ilman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella:
ILMANKOSTEUS Ilmankosteus tarkoittaa ilmassa höyrynä olevaa vettä. Veden määrä voidaan ilmoittaa höyryn tiheyden avulla. Veden osatiheys tarkoittaa ilmassa olevan vesihöyryn massaa tilavuusyksikköä kohti.
Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p
KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
![= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]](/thumbs/62/46694692.jpg "= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]")
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
Sovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
7.lk matematiikka. Murtoluvut. Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu Syksy 017 Janne Koponen Tässä monisteessa teoriaosuudet ovat kuvakaappauksia tekemistäni kurssin powerpoint-dioista. Diat löytyvät koulun kotisivuilta osoitteesta: http://koulut.tampere.fi/hatanpaa/matikka/monisteita/
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Kvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Luvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
7.lk matematiikka. Murtoluvut. Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu Syksy 017 Janne Koponen Tässä monisteessa teoriaosuudet ovat kuvakaappauksia tekemistäni kurssin powerpoint-dioista. Diat löytyvät koulun kotisivuilta osoitteesta: http://koulut.tampere.fi/hatanpaa/matikka/monisteita/
Algebran ja Geometrian laskukokoelma
Algebran ja Geometrian laskukokoelma A. Potenssien laskusäännöt Sievennä 1. (r 3 ) 4 2. (2a 3 ) 3 3. x 3 x 5 4. k11 k 5 5. 2a2 a 7 5a 3 6. (-3x 2 y 3 ) 3 7. ( 1 4 ) 3 8. (2 a2 Lisätehtäviä b 3)3 9. (a
A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla
1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä